Analyse d’estimabilitéet identification des paramètres des isothermes d'adsorption du dioxyde de carbone sur charbon actif

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Submitted on 19 Apr 2021

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Analyse d’estimabilitéet identification des paramètres des isothermes d’adsorption du dioxyde de carbone sur

charbon actif

Cristian Cardenas, Stephanie Marsteau, Cécile Vallières, Léa Sigot, Abderrazak Latifi

To cite this version:

Cristian Cardenas, Stephanie Marsteau, Cécile Vallières, Léa Sigot, Abderrazak Latifi. Analyse d’estimabilitéet identification des paramètres des isothermes d’adsorption du dioxyde de carbone sur charbon actif. 17ème édition du congrès de la Société Française de Génie des Procédés, Oct 2019, Nantes, France. �hal-03201861�

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Analyse d’ estimabilité et identification des paramètres des isothermes d'adsorption du dioxyde de carbone sur charbon actif

Cristian Cardenas ^1,2,*, Stephanie Marsteau¹ , Cécile Vallières² , Léa Sigot², Abderrazak Latifi²

*cristian,cardenassarabia@inrs.fr

• Dans le cadre de ce travail de recherche, une procédure a été mise au point afin d'évaluer l'estimabilité de paramètres inconnus du modèle, indépendamment des valeurs initiales.

• Les mesures doivent contenir les informations nécessaires pour permettre une identification précise des paramètres. Sinon, les paramètres pourraient être corrélés et leur identification pourrait conduire à des valeurs optimisées imprécises.

• Les résultats montrent que l'approche de l'estimabilité fondée sur les sensibilités globales conduit à une meilleure prédiction des mesures expérimentales pour les deux modèles de Sips et de Toth

▪ Introduction

Dans les procédés d'adsorption en phase gazeuse, différents modèles sont développés pour prédire l'équilibre gaz/solide grâce aux isothermes d'adsorption. Ces modèles mettent généralement en jeu plusieurs paramètres inconnus qui sont très souvent déduits de mesures expérimentales à l’aide d’une méthode d'identification paramétrique. Celle-ci suppose généralement que les mesures expérimentales disponibles contiennent les informations nécessaires pour identifier avec précision l’ensemble des paramètres inconnus. Cependant, il est bien admis que ce n'est pas toujours le cas et la question qui se pose est de savoir quels paramètres sont estimables et dans quel ordre.

Enjeux méthodologiques et développements actuels en génie des procédés

S5 – P6 3^ème année

XVIIème Congrès de la SFGP 2019

INTRO & OBJECTIF

MÉTHODOLOGIE

RÉSULTATS

CONCLUSION

1 Institut National de Recherche et de Sécurité. 1, rue du Morvan. 54519 Vandœuvre-lès-Nancy

2 Laboratoire Réactions et Génie des Procédés, CNRS - ENSIC, 1, rue Grandville. 54001 Nancy Cedex

▪ Objectif

Déterminer les paramètres inconnus les plus estimables des isothermes d’adsorption du dioxyde de carbone sur charbon actif à partir de mesures disponibles.

Les données expérimentales disponibles sont constituées par la quantité adsorbée à l'équilibre mesurée à 303, 323 et 343 K, et à une pression partielle de CO₂ allant de 0 à 101 kPa.

i ii L'équilibre d'adsorption du dioxyde de carbone sur charbon actif est décrit par les

équations des isothermes de Sips et de Toth

𝛼, 𝜒, constants

𝑞_𝑚0, quantité d’adsorption maximale à la température de référence [mol kg^-1]

𝑏₀, constante à l'équilibre à la température de référence [Pa^-1] 𝑠₀, facteurs Sips d'hétérogénéité à la température de référence 𝑡₀, facteurs Toth d'hétérogénéité à la température de référence 𝑇₀, température de référence [K]

𝑇, température [K]

𝑄, chaleur d'adsorption [J/mol]

𝑅, constante molaire des gaz parfait [Jmol^-1K^-1)]

𝑞_𝑚 = 𝑞_𝑚0 𝑒𝑥𝑝 𝜒 1 − 𝑇 𝑇₀ 𝑏 = 𝑏₀ 𝑒𝑥𝑝 𝑄

𝑅𝑇₀

𝑇

𝑇₀ − 1 1

𝑠 = 1

𝑠₀ + 𝛼 1 − 𝑇₀ 𝑇 𝑡 = 𝑡₀ + 𝛼 1 − 𝑇₀

𝑇 𝑞_{𝑠𝑖𝑝𝑠} = 𝑞_𝑚 𝑏 𝑃 ¹^𝑠

1 + 𝑏𝑃 ¹^𝑠 𝑞_{𝑡𝑜𝑡ℎ} = 𝑞_𝑚 𝑏𝑃

1 + 𝑏𝑃 ^𝑡 ¹^𝑡

iii Une approche d'analyse d'estimabilité fondée sur le calcul de sensibilités globales (au sens de Sobol) a été développée et dont les principales étapes sont détaillées ci-dessous :

Définir les intervalles d’études pour chaque paramètre

1

Paramètre Intervalles Unité

q_m0 0 -100 mol.kg^-1

b₀ 0,0001- 0,1 (kPa)^-1

s₀, t₀ 0-2 -

Q/RT₀ 5-20 -

α 0-10 -

χ 0-30 -

Générer des échantillonnes aléatoires pour chaque paramètre (N=10000) et calculer la variable réponse :

2

𝐴 =

𝑞_𝑚0^𝐴 ₁ 𝑞_𝑚0^𝐴 ₂

⋮ 𝑞_𝑚0^𝐴 _𝑁

𝑏₀^𝐴₁ 𝑏₀^𝐴₂

⋮ 𝑏₀^𝐴_𝑁

𝑠₀^𝐴₁ 𝑠₀^𝐴₂

⋮ 𝑠₀^𝐴_𝑁

𝑄/𝑅𝑇₀^𝐴₁ 𝑄/𝑅𝑇₀^𝐴₂

⋮

𝑄/𝑅𝑇₀^𝐴_𝑁

𝛼₁^𝐴 𝛼₂^𝐴

⋮ 𝛼_𝑁^𝐴

𝜒₁^𝐴 𝜒₂^𝐴

⋮ 𝜒_𝑁^𝐴

𝑀𝑜𝑑è𝑙𝑒

𝑃, 𝑇 𝑞_{𝑠𝑖𝑝𝑠} =

𝑞_{𝑠𝑖𝑝𝑠}^𝐴 ₁ 𝑞_{𝑠𝑖𝑝𝑠}^𝐴 ₂

⋮ 𝑞_{𝑠𝑖𝑝𝑠}^𝐴 _𝑁

𝐵 =

𝑞_𝑚0^𝐵 ₁ 𝑞_𝑚0^𝐵 ₂

⋮ 𝑞_𝑚0^𝐵 _𝑁

𝑏₀^𝐵₁ 𝑏₀^𝐵₂

⋮ 𝑏₀^𝐵_𝑁

𝑠₀^𝐵₁ 𝑠₀^𝐵₂

⋮ 𝑠₀^𝐵_𝑁

𝑄/𝑅𝑇₀^𝐵₁ 𝑄/𝑅𝑇₀^𝐵₂

⋮

𝑄/𝑅𝑇₀^𝐵_𝑁

𝛼₁^𝐵 𝛼₂^𝐵

⋮ 𝛼_𝑁^𝐵

𝜒₁^𝐵 𝜒₂^𝐵

⋮ 𝜒_𝑁^𝐵

𝑞_{𝑠𝑖𝑝𝑠}

1

𝐵

𝑞_{𝑠𝑖𝑝𝑠}^𝐵 ₂

⋮ 𝑞_{𝑠𝑖𝑝𝑠}^𝐵 _𝑁

𝐶₁ =

𝑞_𝑚0^𝐴 ₁ 𝑞_𝑚0^𝐴 ₂

⋮ 𝑞_𝑚0^𝐴 _𝑁

𝑏₀^𝐵₁ 𝑏₀^𝐵₂

⋮ 𝑏₀^𝐵_𝑁

𝑠₀^𝐵₁ 𝑠₀^𝐵₂

⋮ 𝑠₀^𝐵_𝑁

𝑄/𝑅𝑇₀^𝐵₁ 𝑄/𝑅𝑇₀^𝐵₂

⋮

𝑄/𝑅𝑇₀^𝐵_𝑁

𝛼₁^𝐵 𝛼₂^𝐵

⋮ 𝛼_𝑁^𝐵

𝜒₁^𝐵 𝜒₂^𝐵

⋮ 𝜒_𝑁^𝐵

1

𝐶₁

2

𝐶₁

⋮ 𝑞_{𝑠𝑖𝑝𝑠}

𝑁

𝐶₁

3 Calculer l’indice de sensibilité totale normalisée à la température T et à la pression P

𝑆𝑇መ _𝑖 = 1 − 1

𝑁 σ_𝑘=1^𝑁 𝑞_{𝑠𝑖𝑝𝑠}^𝐵 _𝑘𝑞_{𝑠𝑖𝑝𝑠}

𝑘

𝐶_𝑖

− መ𝑓_𝐵0² V෡

avec ^:^෡𝑓𝐵0 = ¹

𝑁 σ_𝑘=1^𝑁 𝑞_{𝑠𝑖𝑝𝑠}

𝑘

𝐵

V =෡ 1

𝑁 ෍

𝑘=1 𝑁

𝑘

𝐵 2

− መ𝑓_𝐵0²

𝑆_𝑖,𝑗│_𝑇_ℎ

= 𝜃ҧ_𝑘 𝑌_𝑙^𝐴│_𝑇_ℎ

𝑆𝑇መ _𝑖,𝑗│_𝑇_ℎ

5 Utiliser la méthode d'orthogonalisation fondée sur la matrice Z des coefficients de sensibilité suivante :

Z =

𝑆_1,1│_𝑇₁ ⋯ 𝑆_1,𝑘│_𝑇₁

⋮ ⋱ ⋮

𝑆_𝑙,1│_𝑇₁ ⋯ 𝑆_𝑙,𝑘│_𝑇₁ 𝑆_1,1│_𝑇₂ ⋯ 𝑆_1,𝑘│_𝑇₂

⋮ ⋱ ⋮

𝑆_𝑙,1│_𝑇₂ ⋯ 𝑆_𝑙,𝑘│_𝑇₂ 𝑆_1,1│_𝑇₃ ⋯ 𝑆_1,𝑘│_𝑇₃

⋮ ⋱ ⋮

𝑆_𝑙,1│_𝑇_𝑚 ⋯ 𝑆_𝑙,𝑘│_𝑇_𝑚

∀_𝑗= 1, … 𝑘; ∀_𝑖= 1, … 𝑙; ∀_ℎ= 1, … 𝑚,

𝑘, paramètres 𝑙, pressions

𝑚, températures

Définir un seuil d’estimabilité 4

Rang 1 2 3 4 5 6

Paramètre q_m0 χ Q/RT₀ α s₀ b₀ Itération 1 227,05 61,18 67,23 22,75 4,45 0,2259 Itération 2 0 1,87 1,80 0,77 0,13 0,0022 Itération 3 0 0 0,72 0,68 0,13 0,0017 Itération 4 0 0 0 0,43 0,09 0,0014

Itération 5 0 0 0 0 0,08 0,0013

Itération 6 0 0 0 0 0 0,0011

Tableau 2: Estimation et analyse des paramètres du modèle de Sips Tableau 1: Intervalles des paramètres

Tableau 3: Estimation et analyse des paramètres du modèle de Toth

Rang 1 2 3 4 5 6

Paramètre q_m0 χ Q/RT₀ t₀ α b₀ Itération 1 125,70 34,36 38,23 12,98 2,571 0,12765 Itération 2 0 1,28 1,03 0,32 0,022 0,00173 Itération 3 0 0 0,34 0,09 0,015 0,00110 Itération 4 0 0 0 0,04 0,014 0,00080

Itération 5 0 0 0 0 0,005 0,00074

Itération 6 0 0 0 0 0 0,00070

Modèle de Sips q_m0 b₀ t₀ Q/RT₀ α χ Bedel et al, 2017 6,28 0,006 1,103 9,61 0,17 0 Modèle 6,14 0,006 1,076 9,49 0,18 0,3

Tableau 4: Paramètres optimaux du modèle de Sips Tableau 5: Paramètres optimaux du modèle de Toth

Modèle de Toth q_m0 b₀ t₀ Q/RT₀ α χ Bedel et al, 2017 88,86 0,00115 0,29 14,46 0,66 0 Modèle 90,01 0,00115 0,29 14,79 0,65 0,05