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première partie

écoulement de Taylor-Couette

Sommaire

4.1 État de l'art sur les écoulements de Taylor Couette à bulles . . . 106

4.2 Etude Préliminaire . . . 110

4.2.1 Paramètres adimensionnels caractéristiques de la dispersion . . . 110

4.2.2 Description des simulations numériques . . . 114

4.2.3 Inuence des uctuations . . . 115

4.2.4 Inuence de la gravité (inuence de C) . . . 124

4.2.5 Inuence de la géométrie (inuence de H) . . . 128

4.2.6 Conclustion préliminaire . . . 129

4.3 Dispersion de bulles pour le cas η = 0.5, Re = 5000 . . . 134

4.3.1 Paramètres numériques . . . 134

4.3.2 Le cas des grosses bulles . . . 134

4.3.3 Le cas des petites bulles . . . 143

4.3.4 Comportement près de la paroi . . . 150

4.3.5 Analyse des forces . . . 151

4.3.6 Inuence de la taille des bulles . . . 154

4.4 Interaction des bulles en proche paroi . . . 162

4.4.1 Modication du rebond à la paroi : réinjection . . . 163

Introduction

On étudie dans ce chapitre la dispersion passive des bulles dans le dispositif de Taylor Couette. On ne prend donc pour l'instant pas encore en compte l'action de la phase dispersée sur la phase uide. Le but est ici d'étudier les mécanismes de migration des bulles. On proposera dans un premier temps une étude bibliographique sur les écoulements de Taylor Couette chargés en bulles. On constate dans la littérature que ces écoulements présentent généralement l'originalité de voir la phase dispersée suivre un agencement particulier (colliers, spirales . . . ). On exposera dans un deuxième temps une étude préliminaire s'appuyant sur des simulations eectuées sur des maillages grossiers (pour la phase continue), mais permettant de mettre en évidence quelques tendances (notamment l'eet de la turbulence sur la dispersion des bulles, ainsi que l'eet de la géométrie du dispositif). Enn on présentera dans une troisième partie les résultats des simulations eectuées à partir de maillages retenus lors de la phase de validation de l'écoulement monophasique. On s'est concentré pour cela sur un cas de référence η = 0.5, Re = 5000.

4.1 État de l'art sur les écoulements de Taylor Couette à bulles

Dans la littérature, la dispersion des bulles en écoulement de Taylor Couette a été étudiée ex-périmentalement dans divers dispositifs. Les quatre principaux que l'on peut mentionner sont ceux utilisés à l'IRENav (correspondant aux travaux de Djeridi et al. (1999), Djeridi et al. (2004) et Mehel et al. (2007)), celui utilisé à l'université du Maryland (pour les travaux de Van den Berg et al. (2005)), celui utilisé par l'équipe japonaise de Murai, et enn plus récemment le dispositif T3C utilisé à l'université de Twente (Van Gils et al. (2011)).

Les études menées à l'IRENav se sont intéressées à des régimes correspondant aux premières in-stabilités de l'écoulement de Taylor-Couette et aux régimes de turbulence naissante en présence de bulles. Les premières mesures dans un dispositif vériant (η = 0.85, Γ = 22) ont permis de carac-tériser l'inuence des bulles sur le champ de vitesse du liquide (vitesse axiale, azimutale), ainsi que l'arrangement des bulles (Djeridi et al. (1999)). La gure 4.1 tirée des travaux de Djeridi et al. (2004) illustre les diérents types d'arrangement de la phase dispersée. Ils ont été obtenus lors des premières instabilités WVF, MWVF (régimes Wavy Vortex Flow et Modulated Wavy Vortex Flow présentés dans le chapitre précédent) soit par cavitation (mise en dépression du dispositif) ou de ventilation (bulles formées par capture de l'air au niveau de la surface libre). Dans la continuité des travaux de Djeridi et al. (2004) un dispositif plus large a été construit à l'IRENav (η = 0.9, Γ = 40) pour la thèse de Mehel (2006) permettant d'insérer des sondes optiques dans l'entrefer. Pour des régimes de turbulence naissante, le dispostif a permis de caractériser de manière très détaillée la localisation des bulles et leur vitesse de glissement en fonction de leur taille ainsi que l'inuence de cette loca-lisation dans l'écoulement. Les bulles millimétriques sont capturées par les cellules de Taylor alors que les bulles submillimétriques sont localisées en Outow (zone de jet comprise entre deux rouleaux partant du cylindre intérieur et impactant le cylindre extérieur) près du cylindre intérieur. Il a été

(1)

(2)

Figure 4.1  Illustration tirée des travaux de Djeridi et al. (2004) : Visualisation de l'arrangement de la phase dispersée pour η = 0.85 en régime ventilé (1), et cavitant (2) pour trois nombres de Reynolds diérents (a) Re/Rec1 = 3.5, (b) Re/Rec1 = 4.5et (c) Re/Rec1= 11. On observe une organisation en colliers séparés par une distance d1 ou d2dans la direction axiale

gueur d'onde axiale et à une augmentation de la vorticité alors qu'une accumulation en proche paroi dans la zone d'Outow induit une augmentation de la longueur d'onde axiale. Les mesures de Mehel et al. (2007) ont permis de conclure qu'une accumulation à la paroi implique une augmentation du gradient de vitesse azimutale près du cylindre intérieur due au glissement des bulles. En revanche une accumulation au coeur des rouleaux stabilise l'écoulement tout en augmentant la vorticité des cellules, sans modier de manière notable le prol de vitesse azimutale. Il est à noter que ces études expérimentales successives n'avaient pas vocation à caractériser le couple de frottement visqueux. On n'a donc pas d'information pour ce dispositif quant à l'inuence des bulles sur le frottement à la paroi.

Murai et al. (2005) ont étudié l'agencement de la phase dispersée en MWVF et en régime de turbulence naissante an de caractériser la relation entre la dispersion des bulles et les mécanismes de réduction de la traînée. On trouve notamment dans leur étude plusieurs visualisations permettant de distinguer diérents types d'accumulation de bulles (en collier ou en spirale g 4.2). Ils ont également eectué des mesures de taux de vide permettant de quantier l'accumulation à la paroi. Murai et al.

réduction de frottement est alors associée à une élongation des cellules de Taylor bien que le champ de vitesse de la phase liquide n'aie pas été caractérisé en présence de bulles.

(1) (2)

Figure 4.2  Illustration tirée des travaux de Murai et al. (2008) : (1)Vue de face de la phase dispersée pour plusieurs nombres de Reynolds et pour un débit gazeux constant (2) vue de côté pour diérents Reynolds.

Les travaux de Van den Berg et al. (2005) ont pour but de décrire la réduction de la traînée pour des régimes de turbulence pleinement développée (typiquement Re = 105_{). Le dispositif initial}

avait déjà permis d'étudier la turbulence de l'écoulement en conguration monophasique (Lathrop et al. (1992)). Le but des travaux de Van den Berg et al. (2005) était alors d'étudier la réduction de traînée par injection de bulles en conguration de Taylor Couette (de façon globale sans caractériser la dispersion des bulles). Leurs premiers travaux ont permis de mettre en évidence qu'une réduc-tion de la traînée était possible dans ce dispositif expérimental. Par comparaison avec l'écoulement chargé en particules solides légères, ils ont montré que la réduction de la traînée devait être liée à la déformabilité des bulles. En modiant les états de surface des cylindres intérieurs et extérieurs (parois lisses et rugueuses), ils ont observé diérents régimes de réduction de traînée indiquant que la réduction de traînée serait la conséquence de l'intéraction des bulles avec les structures de la couche limite turbulente.

Enn plus récemment le dispositif T3C (Twente Turbulent Taylor Couette) a été élaboré an d'étudier la turbulence de l'écoulement pleinement développée, ainsi que la dispersion des bulles à des nombres de Reynolds encore plus élevés (typiquement Re = 106_{). Une première étude a mis}

en évidence l'existance de la réduction de la traînée dans ce dispositif (Van Gils et al. (2011)). Ils ont aussi caractérisé par le biais de sondes optiques la distribution des bulles ainsi que leur taille et le champ de vitesse du liquide (composante azimutale de la vitesse). Cela a permis de déterminer le nombre de Weber de bulle en fonction de la localisation des bulles. Leur conclusion renforce les observations de Van den Berg et al. (2005) et renforce l'importance de la déformabilité des bulles dans les mécanismes de réduction de traînée à hauts nombres de Reynolds.

Figure 4.3  Illustration tirée des travaux de Van Gils et al. (2011) : visualisation d'une partie de la phase dispersée (concentrée près de la paroi) dans un cas Re = 106 _{avec le cylindre extérieur xe}

Concernant l'étude numérique de la dispersion des bulles dans un écoulement de Taylor-Couette, on recense deux études principales. La première s'est attachée à étudier les mécanismes d'accumula-tion préférentielle (Climent et al. (2007)) pour la même géométrie que les premiers travaux menés à l'IRENav (η = 0.85). La méthode employée est similaire à celle de notre étude en dispersion passive, et se place dans des régimes correspondant à des nombres de Reynolds plus faibles (écoulement de Couette cylindrique, TVF, WVF). Pour ces régimes, aucune modication de l'écoulement par la présence des bulles n'a été observée expérimentalement. Climent et al. (2007) ont mis en évidence trois eets qui entrent en concurrence lors de la migration des bulles : l'eet de ottabilité qui fa-vorisent l'ascension des bulles dans le dispositif, une attraction aux coeurs des cellules de Taylor, et l'eet d'attraction à la paroi du fait de la rotation du cylindre intérieur (g 4.4). L'arrangement obtenu par la simulation et la modélisation proposée sont en accord avec les visualisations de Dje-ridi et al. (2004) : dans la direction radiale on obtient soit une accumulation en colliers au coeur des rouleaux, soit une accumulation près de la paroi intérieure. L'accumulation près de la paroi est observée lorsque l'intensité des cellules de Taylor est trop faible pour compenser l'attraction à la paroi. Dans la direction axiale, les bulles peuvent être soit piégées dans le coeur des rouleaux soit les traverser sous l'eet de la ottabilité. Cette accumulation axiale peut être prédite en comparant l'eet de la gravité à l'attraction centripète liée à la taille des bulles.

Enn l'étude numérique de Sugiyama et al. (2008), employant une approche Euler-Lagrange permet-tant de prendre en compte le retour des bulles sur le uide via un terme de forçage dans le bilan de quantité de mouvement, avait pour but de reproduire numériquement les expériences menées en ré-gime MWVF (réré-gime d'onde modulée). Cette étude emploie elle aussi une approche Euler-Lagrange pour les suivis respectifs de la phase continue et de la phase dispersée. Elle permet de prendre en compte le retour de la phase dispersée sur la phase continue via un terme de forçage dans le bilan de

(1) (2)

Figure 4.4  Inuence de la gravité sur les zones d'accumulation : dans le cas (1) correspondant au cas sans gravité pour lequel les bulles auront tendance à s'accumuler soit au centre des rouleaux soit en Outow près du cylindre intérieur tandis que pour le cas (2) en présence de gravité les zones d'accumulation vont être excentrée par rapport au centre des rouleaux pour correspondre à des zones où la vitesse axiale au coeur des rouleaux est positive (la gravité est orientée vers le bas)

de la ottabilité. Cependant cette étude numérique n'a pas permis de reproduire une dispersion des bulles en accord avec les mesures de taux de vide de Murai et al. (2005). En eet, les simulations ont mis en évidence un double pic de taux de vide à proximité des parois des deux cylindres contre un pic unique près du cylindre intérieur dans l'expérience.

4.2 Etude Préliminaire

4.2.1 Paramètres adimensionnels caractéristiques de la dispersion

Cette section présente une analyse préliminaire de la dispersion des bulles en écoulement de Taylor Couette turbulent. On expose ici les premiers tests qui ont été eectués an de déterminer si les simulations pouvaient reproduire les tendances observées expérimentalement, dans un premier temps avec des maillages grossiers qui restituent néanmoins les grandes structures de l'écoulement. On s'est appuyé pour cela sur l'étude numérique et théorique de Climent et al. (2007) menée pour des nombres de Reynolds plus faibles dont on présente ici les principaux résultats. La partie théorique de l'étude vise à introduire des nombres adimensionnels permettant d'estimer l'inuence des diérentes forces à l'origine de la migration des bulles dans le plan (x, r), en partant du bilan des forces (4.1) prenant en compte les forces de ottabilité, traînée, portance, masse-ajoutée et Tchen :

(ρb+ CMρf)Vb dv dt = (ρb− ρf)Vbg+ ρf 3 4 Vb db CD|u − v| (u − v) DU (4.1)

CMρfVbx =¨ −ρfVb

VL

2τ + ρfVb UT V

2τ (4.2)

La comparaison des deux eets permet d'introduire le premier nombre adimensionnel :

C = UT V/VL (4.3)

ce qui permet donc d'avoir une estimation de l'inuence des rouleaux dans la direction axiale : une forte valeur de C indique une faible inuence de la gravité, et les rouleaux sont alors capables de piéger les bulles. Les cas sans gravité correspondent à C → ∞. A l'inverse une faible valeur de C indique que les rouleaux ont peu d'inuence sur les trajectoires des bulles.

Dans la direction radiale (4.4), ce sont les termes associés à la masse ajoutée et à la force de Tchen qui dominent : CMρfVb  ¨ r₋v 2 θ r  = (1 + CM)ρfVb  ∂ur ∂t + ur ∂ur ∂r + uθ ∂ur r∂θ + ux ∂ur ∂x − u2 θ r  (4.4) Les termes ur∂u_∂rr et ux∂u_∂xr ont pour ordre de grandeur UT V/((R2− R1)/2). Les termes v_θ2/ret u2_θ/r

sont du même ordre de grandeur que U2

1/R1, de sorte que le bilan des forces dans la direction radiale

peut être approché par 4.5 en négligeant les eets de variations temporelle et azimutale pour le uide. CMρfVb r¨ = (1 + CM)ρfVb  4 U 2 T V R2− R1 − U2 1 R1  + CMρfVb U2 1 R1 (4.5)

De la même manière en comparant les eets radiaux, Climent et al. (2007) ont introduit le deuxième nombre adimensionnel permettant d'estimer les tendances dans la direction radiale (eq 4.6). Une forte valeur de H induirait une attraction au coeur des rouleaux, et une faible valeur de H une attraction à la paroi du cylindre intérieur.

H = 4  UT V U1 2 R1 R2− R1 (4.6)

Les résultats obtenus par les simulations conrment ce modèle théorique, et sont en bon accord avec les résultats expérimentaux (4.5).

Ces deux nombres ont alors permis de classier les régimes d'accumulation observés en les reliant aux paramètres C et H (g 4.6). On constate que par dénition H est indépendant des caracté-ristiques des inclusions (taille, gravité perçue, ...), mais ne dépend que de l'intensité des rouleaux (via le nombre de Reynolds) et de la géométrie. Son évolution en fonction de Re et de la géométrie (g 4.7) indique que ce sont les plus petits entrefers (η grand) qui présentent une valeur de H plus importante. On en déduit que l'accumulation en coeur des cellules de Taylor devrait être plus

fré-(1) (2)

Figure 4.5  Illustration tirée des travaux de Climent et al. (2007) : (1) trajectoires de bulles sous un cas à H et C élevés (les positions initiales des bulles sont marquées par des cercles) (2) Position des bulles accumulées dans les minima de pression (WVF tel que Re = 150, nombre d'onde azimutal égal à 2)

(1) Accumulation uniforme le long du cylindre intérieur Attraction à l’intérieur des rouleaux Accumulation au cylindre intérieur,

dans les zones d’outflow

𝐶

_𝑐

𝐻

_𝑐

𝐶

(2)

Figure 4.6  (1) Synthèse de l'inuence des paramètres H et C sur la position des bulles dans l'entrefer d'après Climent et al. (2007) : le paramètre H permet d'estimer l'inuence relative des rou-leaux de Taylor et de l'attraction à la paroi intérieure (Une forte valeur de H induit une attraction au coeur des rouleaux, et une faible valeur de H une attraction à la paroi du cy-lindre intérieur). Le paramètre C permet d'estimer l'inuence relative des rouleaux de Taylor et de la ottabilité (Une forte valeur de C induit une attraction au coeur des rouleaux, et une faible valeur de C une ascension à travers les cellules sans accumulation).

(2) Illustration tirée des travaux de Climent et al. (2007) : Diagramme de phase (C,H) de l'état nal des bulles. Les courbes font référence à une vitesse de rotation du cylindre en augmentation pour un nombre de Reynolds ReL = VL(R2− R1)/ν xé (Ligne continue ReL= 4.5et ligne pointillée ReL= 41). (1) 0 0.5 1 1.5 x 1042 0 0.5 1 1.5 Re Ha x η = 0.5 η = 0.7246 η = 0.7246 maillage grossier η = 0.9091 (2) 0 0.5 1 1.5 x 1042 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Re Hr a d η = 0.5 η = 0.7246 η = 0.7246 maillage grossier η = 0.9091

Figure 4.7  Evolution du paramètre H pour les trois géométries en fonction du nombre de Reynolds : estimation de UT V à partir de la vitesse axiale (1), ou de la vitesse radiale (2) issus des

4.2.2 Description des simulations numériques

On rappelle dans cette section les paramètres des cas utilisés dans cette partie préliminaire. On commence par rappeler les conditions limites et initiales imposées pour les bulles, puis on expose les paramètres physiques des diérents cas étudiés dans cette partie.

Interaction des bulles avec les limites du domaine

On a vu dans le chapitre précédent que les conditions aux limites imposées pour l'écoulement porteur étaient de type périodique dans les directions axiale et azimutale, et qu'on imposait une vitesse constante aux parois. Pour la phase dispersée on impose une condition de rebond aux parois. Le rebond est traité sans perte d'énergie (rebond élastique) et en négligeant la courbure du cylindre intérieur à l'échelle de la bulle (g 4.8).

Figure 4.8  Traitement du rebond à la paroi dans Jadim : l'inclusion se trouve à la position (1) à l'instant n, l'intégration en temps avance cette inclusion à la position (2) à l'instant n+1. Cette position est alors corrigée comme si elle avait rebondi en (3) contre la paroi, la position réelle est alors la position (4) correspondant au symétrique de (2) par rapport au plan r = R1+ Rb

Dans les directions axiales et radiales, des conditions limites périodiques sont imposées sur les trajectoires : toute bulle traversant une frontière, est réinjectée à la frontière opposée en conservant sa vitesse et son accélération.

Initialisation

Au début de la simulation les bulles sont disposées aléatoirement dans le domaine an de ne pas favoriser de position dans chaque direction (donc distribution uniforme en r, x et θ). Cela induit

Synthèse des paramètres utilisés pour l'étude préliminaire

Le tableau 4.1 synthétise les paramètres des cas analysés dans cette étude préliminaire. On cherche ici à faire varier les paramètres C et H an de tester leur inuence. On a considéré plusieurs intensités de gravité an de faire varier le paramètre C, et on a considéré deux géométries an de faire varier le paramètre H. On a conservé une même taille de bulle.

Cas η Re Rb/R2 (R2− R1)/2Rb 2Rb/δ∗ Nombre de bulles C H

1 0.7246 4000 2.0 10−3 _{96 2.96 1000 3 0.4064}

2 0.7246 4000 2.0 10−3 _{96 2.96 1000 3 0.4064}

3 0.7246 4000 2.0 10−3 _{96 2.96 1000 0.5 0.4064}

4 0.9091 5000 2.0 10−3 _{23 8.90 1000 5 0.6519}

5 0.9091 5000 2.0 10−3 _{23 8.90 1000 1.0 0.6519}

Table 4.1  Conguration des cas étudiés pour la partie préliminaire

4.2.3 Inuence des uctuations

L'étude de Climent et al. (2007) s'est intéressée à des régimes TVF jusqu'au régime WVF, donc ne présentant pas de uctuations turbulentes de petite échelle. On s'intéresse dans un premier temps à l'inuence de ces uctuations an d'estimer si l'accumulation des bulles est toujours régie par les paramètres H et C. Pour cela on considère un domaine présentant un rapport η = 0.7246 et permettant de simuler trois paires de rouleaux dans la direction axiale avec un maillage grossier (Nx = 128, Nr = 64, Nθ = 128). On s'est placé à un nombre de Reynolds Re = 4000 ce qui permet

d'atteindre une valeur de H intermédiaire (g 4.7). La phase dispersée est constituée de 1000 bulles de rayon Rb = 2.10−3R2, soit un diamètre vériant db = (R2− R1)/69. La gravité xée correspond

à C ≈ 3.

Pour chaque cas, on appuiera notre étude sur les mêmes types de gures. On tracera d'abord une vue 3D de la localisation des bulles, permettant de visualiser les inhomogénéités de la distribution des bulles dans les trois directions. Puis on projette ces positions dans un plan méridien (x, r) an de situer axialement et radialement les positions préférentielles. Le temps de référence utilisé est TΩ1= 2πR1/U1 égal au temps mis par le cylindre intérieur pour eectuer un tour. Enn on tracera

les histogrammes de répartition instantanée des positions des bulles dans les directions axiales et radiales. Comme les bulles n'interagissent pas entre elles, elles peuvent migrer vers la même région de l'écoulement. On verra que les visualisations 3D et 2D ne permettent justement pas de distinguer ces

Cela permet de mieux estimer la nature des points d'accumulation (accumulation majoritaire ou secondaire) et permet d'avoir une estimation qualitative du taux de vide moyenné.

Dispersion des bulles par le champ moyen

On s'intéresse pour commencer à l'eet du champ moyen sur la position des bulles. Pour cela on a utilisé le champ moyen < Ui >θt que l'on a gé dans le temps (pas de uctuations turbulentes).

Numériquement on n'a donc pas d'avancement en temps pour la phase continue, on n'intègre que les trajectoires. On retrouve alors les mêmes résultats que pour les régimes TVF à savoir un agencement en colliers dans les rouleaux (g 4.9) et en proche paroi. Au cours du temps on voit les bulles s'ac-cumuler à des positions préférentielles très localisées correspondant à l'équilibre des forces exercées par le champ moyen. La position d'accumulation dans les rouleaux est ainsi légèrement décentrée (g 4.10) due à la concurrence entre l'ascension due à la poussée d'Archimède et la capture par les cellules de Taylor. Elle est située dans une zone de vitesse axiale négative à l'intérieur des rouleaux. Les histogrammes eectués sur les positions axiales et radiales des bulles (g 4.11) indiquent que parmis les trois positions d'accumulation possibles, c'est la position en proche paroi qui est occupée majoritairement. La discontinuité de l'histogramme des positions des bulles dans la direction radiale indique aussi que cette accumulation en proche paroi est très localisée.

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

Figure 4.9  Positions des bulles dans le domaine pour diérents instants (pour le cas η = 0.7246, Re = 4000, Rb = 2.10−3R2, C ≈ 3, H = 0.4064 et dispersion dans le champ moyen) : après (1) 4.27 tours - (2) 8.52 tours -(3) 17 tours - (4) 21.3 tours - (5) 25.5 tours - (6) 29.8 tours

(0) (1) (2) (3)

(4) (5) (6)

Figure 4.10  Isocontours de vitesse axiale de l'écoulement porteur (0), et projection dans un plan (r, x) des positions des bulles dans le domaine pour diérents instants : après (1) 4.27 tours -(2) 8.52 tours -(3) 17 tours - (4) 21.3 tours - (5) 25.5 tours - (6) 29.8 tours (pour le cas η = 0.7246, Re = 4000, Rb = 2.10−3R2, C ≈ 3, H = 0.4064 et dispersion dans le champ moyen)

(1) 0 2 4 6 0 0.05 0.1

x/(R

2

− R

1

)

N

(x

)/

N

to t b

4.2708 tours

8.5244 tours

12.7781 tours

17.0315 tours

21.2852 tours

25.5382 tours

29.7927 tours

(2) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10−3 10−2 10−1 100

(r

− R

1

)/(R

2

− R

1

)

N

(r

)/

N

to t b

4.2708 tours

8.5244 tours

12.7781 tours

17.0315 tours

21.2852 tours

25.5382 tours

29.7927 tours

Figure 4.11  Histogramme des positions des bulles dans les directions axiale (1) et radiale (2) pour le cas η = 0.7246, Re = 4000, Rb = 2.e−3, C ≈ 3, H = 0.4064 et dispersion dans le champ moyen, normalisé par le nombre total de bulles (Découpage en 200 sous-domaines pour les directions axiale et radiale)

Dispersion des bulles dans le champ turbulent uctuant

On considère maintenant la même conguration pour les paramètres de l'écoulement porteur et pour la phase dispersée que le cas précédent, mais maintenant on tient compte de la contribution du champ turbulent instationnaire. Les simulations se font donc comme présentées dans le premier chapitre en dispersion passive (avancement en temps pour les deux phases). On constate alors que la phase dispersée forme des colliers (g 4.12) mais cette fois situés en Outow (g 4.13). Les histogrammes sur les positions de bulles (g 4.14) conrment que les rouleaux n'ont pas piégé de bulles. En revanche les bulles sont capturées en majorité près du cylindre intérieur en Outow. Dans le temps ces colliers disparaissent et les bulles occupent des zones très localisées.

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

Figure 4.12  Positions des bulles dans le domaine pour diérents instants (pour le cas η = 0.7246, Re = 4000, Rb= 2.10−3R2, C ≈ 3, H = 0.4064 et dispersion dans le champ instationnaire turbulent) : après (1) 2.4tours - (2) 18.7 tours -(3) 35 tours - (4) 51.2 tours - (5) 75.5 tours - (6) 108 tours

(0) (1) (2) (3)

(4) (5) (6)

Figure 4.13  Exemple d'isocontours instantanés de vitesse axiale de l'écoulement porteur (0), et projec-tion dans un plan (r, x) des posiprojec-tions des bulles dans le domaine pour diérents instants (pour le cas η = 0.7246, Re = 4000, Rb= 2.10−3R2, C ≈ 3, H = 0.4064 et dispersion dans le champ instationnaire turbulent) : après (1) 2.4 tours - (2) 18.7 tours -(3) 35 tours - (4) 51.2 tours - (5) 75.5 tours - (6) 108 tours

(1) 0 2 4 6 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

x/(R

2

− R

1

)

N

(x

)/

N

to t b

2.4014 tours

67.4017 tours

131.948 tours

196.452 tours

261.2829 tours

325.7788 tours

390.5275 tours

455.1889 tours

519.8799 tours

(2) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10−3 10−2 10−1 100

(r

− R

1

)/(R

2

− R

1

)

N

(r

)/

N

to t b

2.4014 tours

67.4017 tours

131.948 tours

196.452 tours

261.2829 tours

325.7788 tours

390.5275 tours

455.1889 tours

519.8799 tours

Figure 4.14  Histogrammes des positions des bulles dans les direction axiales (1) et radiales (2), normalisé par le nombre total de bulles (Découpage en 200 sous-domaines pour les directions axiale et radiale pour le cas η = 0.7246, Re = 4000, Rb= 2.10−3R2, C ≈ 3, H = 0.4064 et dispersion dans le champ instationnaire turbulent)

4.2.4 Inuence de la gravité (inuence de C)

On conserve à nouveau la même conguration, mais en augmentant l'intensité de la gravité (an d'atteindre des valeurs de C plus faibles, ici C = 0.5). On observe que la diminution de C a pour eet d'atténuer l'arrangement des bulles en colliers (g 4.15). On conserve aussi l'accumulation des bulles près de la paroi intérieure (g 4.16, et 4.17) avec une distribution spatiale plus homogène dans la direction axiale. Cela traduit le fait que les rouleaux ont moins d'inuence sur la migration des bulles, ce qui est en accord avec l'analyse proposée par Climent et al. (2007).

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

Figure 4.15  Positions des bulles dans le domaine pour diérents instants (pour le cas η = 0.7246, Re = 4000, Rb = 2.10−3R2, C ≈ 0.5, H = 0.4064 et dispersion dans le champ instationnaire turbulent) après (1) 2.4 tours - (2) 18.7 tours -(3) 35 tours - (4) 51.2 tours - (5) 75.5 tours - (6) 108 tours

(0) (1) (2) (3)

(4) (5) (6)

Figure 4.16  Isocontours instantannés de vitesse axiale de l'écoulement porteur (0), et projection dans un plan (r, x) des positions des bulles dans le domaine pour diérents instants : après (1) 2.4 tours - (2) 18.7 tours -(3) 35 tours - (4) 51.2 tours - (5) 75.5 tours - (6) 108 tours (pour le cas η = 0.7246, Re = 4000, Rb= 2.e−3, C ≈ 0.5, H = 0.4064 et dispersion dans le champ instationnaire turbulent)

(1) 0 2 4 6 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

x/(R

2

− R

1

)

N

(x

)/

N

to t b

2.4014 tours

18.6944 tours

34.973 tours

51.2026 tours

67.4017 tours

83.6096 tours

99.7699 tours

(2) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10−3 10−2 10−1 100

(r

− R

1

)/(R

2

− R

1

)

N

(r

)/

N

to t b

2.4014 tours

18.6944 tours

34.973 tours

51.2026 tours

67.4017 tours

83.6096 tours

99.7699 tours

Figure 4.17  Histogrammes des positions des bulles dans les direction axiales (1) et radiales (2), normalisé par le nombre total de bulles (Découpage en 200 sous-domaines pour les directions axiale et radiale pour le cas η = 0.7246, Re = 4000, Rb = 2.10−3R2, C ≈ 0.5, H = 0.4064 et dispersion dans le champ instationnaire turbulent)

4.2.5 Inuence de la géométrie (inuence de H)

On s'intéresse maintenant au cas du petit entrefer η = 0.9091. Le maillage considéré permet de simuler une paire de rouleaux dans la direction axiale. On se place à Re = 5000, pour un maillage grossier (Nx = 200, Nr = 100, Nθ = 200). L'écoulement porteur utilisé est turbulent instationnaire

et pleinement 3D. La phase dispersée est constituée de 10000 bulles de rayon Rb = 2.10−3R2, soit

un diamètre vériant db = (R2− R1)/23. Une telle conguration présente une valeur de H telle que

l'accumulation dans les rouleaux devrait être favorisée. Les simulations eectuées pour les premiers tours pour un cas C ≈ 5 (g 4.18) montrent que l'accumulation à la paroi reste majoritaire dans la zone d'Outow (g 4.20). Les histogrammes des positions dans la direction radiale indiquent que les rouleaux ont piégé plus de bulles que pour l'entrefer plus large (et donc des valeurs de H plus faibles).

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

Figure 4.18  Positions des bulles dans le domaine pour diérents instants après (1) 0.11 tours - (2) 0.53 tours -(3) 3.1416 tours - (4) 4.74 tours - (5) 6.34 tours - (6) 7.9 tours (pour le cas η = 0.9091, Re = 5000, Rb= 2.10−3R2, C ≈ 5, H = 0.6519 et dispersion dans le champ instationnaire turbulent)

On a également simulé le cas équivalent avec des eets de ottabilité plus important (C ≈ 1.0) et reporté les résultats sur les gures 4.21 à 4.23. On retrouve alors la même tendance que pour l'entrefer intermédiaire : l'augmentation des eets de ottabilité s'accompagne d'une diminution du

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

Figure 4.19  Projection dans un plan (r, x) des positions des bulles dans le domaine pour diérents instants : après (1) 0.11 tours - (2) 0.53 tours -(3) 3.1416 tours - (4) 4.74 tours - (5) 6.34 tours - (6) 7.9 tours (pour le cas η = 0.9091, Re = 5000, Rb= 2.10−3R2, C ≈ 5, H = 0.6519 et dispersion dans le champ instationnaire turbulent)

4.2.6 Conclustion préliminaire

Cette étude préliminaire a ainsi montré que l'on observe les mêmes tendances quant à l'inuence des paramètres H et C que pour les régimes aux plus faibles nombres de Reynolds. Cependant on observe que l'agglomération dans les rouleaux est nettement moins importante dans le cas turbulent et que les bulles ont tendance à ne s'accumuler que près de la paroi du cylindre intérieur. On considère

(1) 0 1 2 3 0 0.05 0.1

x/(R

2

− R

1

)

N

(x

)/

N

to t b

0.11123 tours

1.0459 tours

2.0827 tours

3.1416 tours

4.1993 tours

5.262 tours

6.3359 tours

7.4077 tours

8.4623 tours

(2) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10−4 10−3 10−2 10−1 100

(r

− R

1

)/(R

2

− R

1

)

N

(r

)/

N

to t b

0.11123 tours

1.0459 tours

2.0827 tours

3.1416 tours

4.1993 tours

5.262 tours

6.3359 tours

7.4077 tours

8.4623 tours

Figure 4.20  Histogrammes des positions des bulles dans les direction axiales (1) et radiales (2), normalisé par le nombre total de bulles (Découpage en 50 sous-domaine pour la direction axiale et 200 pour la direction radiale pour le cas η = 0.9091, Re = 5000, Rb = 2.10−3R2, C ≈ 5, H = 0.6519et dispersion dans le champ instationnaire turbulent)

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

Figure 4.21  Positions des bulles dans le domaine pour diérents instants après (1) 0.11 tours - (2) 0.53 tours -(3) 3.1416 tours - (4) 4.74 tours - (5) 6.34 tours - (6) 7.9 tours (pour le cas η = 0.9091, Re = 5000, Rb = 2.10−3R2, C ≈ 1.0, H = 0.6519 et dispersion dans le champ instationnaire turbulent)

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

Figure 4.22  Projection dans un plan (r, x) des positions des bulles dans le domaine pour diérents instants : après (1) 0.11 tours - (2) 0.53 tours -(3) 3.1416 tours - (4) 4.74 tours - (5) 6.34 tours - (6) 7.9 tours (pour le cas η = 0.9091, Re = 5000, Rb = 2.10−3R2, C ≈ 1.0, H = 0.6519et dispersion dans le champ instationnaire turbulent)

(1) 0 1 2 3 0 0.05 0.1

x/(R

2

− R

1

)

N

(x

)/

N

to t b

0.11123 tours

1.0459 tours

2.0827 tours

3.1416 tours

4.1993 tours

5.262 tours

6.3359 tours

7.4077 tours

8.4623 tours

(2) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10−4 10−3 10−2 10−1 100

(r

− R

1

)/(R

2

− R

1

)

N

(r

)/

N

to t b

0.11123 tours

1.0459 tours

2.0827 tours

3.1416 tours

4.1993 tours

5.262 tours

6.3359 tours

7.4077 tours

8.4623 tours

Figure 4.23  Histogrammes des positions des bulles dans les direction axiales (1) et radiales (2), normalisé par le nombre total de bulles (Découpage en 50 sous-domaine pour la direction axiale et 200 pour la direction radiale pour le cas η = 0.9091, Re = 5000, Rb = 2.10−3R2, C ≈ 1.0, H = 0.6519et dispersion dans le champ instationnaire turbulent)

4.3 Dispersion de bulles pour le cas η = 0.5, Re = 5000

On s'intéresse ici à la dispersion des bulles pour la géométrie présentant le plus large entrefer η = 0.5. On conserve le maillage qui a été retenu suite à la validation présentée dans le chapitre précédent. Les trajectoires des bulles sont donc couplées avc le champ uide pleinement résolu de l'écoulement turbulent. L'étude préliminaire indique que la migration des bulles devrait être dominée par l'attraction à la paroi, et on souhaite préciser cette tendance. On étudiera à cet eet l'inuence des diérentes forces exercées sur les inclusions.

4.3.1 Paramètres numériques

On s'intéresse ici à la dispersion de bulles en faisant varier deux paramètres : leur rayon (on va considérer des bulles ayant un rayon Rb tel que Rb/(R2− R1)≈ 10−2− 10−3, les eets de gravité (en

considérant dans un premier temps un cas avec g = 0 et un autre cas correspondant à C = 0.5). On choisit d'initialiser diéremment la position des bulles en les injectant aléatoirement dans un volume contenu entre le cylindre intérieur et un quart de l'entrefer (donc en favorisant les positions près de la paroi du cylindre intérieur). On verra que ce type d'initialisation permet de mettre en évidence l'inuence des cellules de Taylor sur l'agencement de la phase dispersée. Le tableau 4.2 rappelle les paramètres utilisés pour les quatre cas considérés. On présente à titre indicatif ce que représenterait le diamètre des bulles considérées si on faisait varier Re ou η sur la gure 4.24.

Comme dans la section précédente, on présentera pour chaque cas une vue 3D instantanée des positions de bulles dans le domaine ainsi que la projection de ces positions dans un plan méridien et les histogrammes des positions dans les directions axiale et radiale. On remarque que dans cette partie les gures des positions 3D, et projections dans le plan méridien (r, x) ne représentent qu'une partie des bulles (20000 bulles) pour plus de visibilité. Les histogrammes de position des forces quant à eux ont bien été eectués sur la totalité des bulles.

Cas η Re Rb/R2 (R2− R1)/2Rb 2Rb/δ∗ Nombre de bulles C H

6 0.5 5000 2.0 10−3 _{125 2.32 1 million ∞ 0.0637}

7 0.5 5000 2.0 10−3 _{125 2.32 1 million 0.5 0.0637}

8 0.5 5000 2.0 10−4 _{1250 0.23 1 million ∞ 0.0637}

9 0.5 5000 2.0 10−4 _{1250 0.23 1 million 0.5 0.0637}

Table 4.2  Conguration des cas étudiés pour η = 0.5.

4.3.2 Le cas des grosses bulles

On s'intéresse dans un premier temps au cas sans gravité. Les visualisation 3D des positions des bulles montrent qu'elles ne vont pas rester contenues dans leur zone d'injection, mais qu'une partie des bulles est dispersée dans tout le domaine (g 4.25). L'évolution de leur projection dans le plan

102 103 104 105 10−2 10−1 100

Re

db ∗δ η = 0.9091, Rb= 2.10−3R2 η = 0.5, Rb= 2.10−4R2 η = 0.7246, Rb= 2.10−4R2 η = 0.9091, Rb= 2.10−4R2

Figure 4.24  Tailles des bulles adimensionnées par l'unité de paroi δ∗_{en fonction du nombre de Reynolds} pour les diérentes géométries (estimation de δ∗ _{via les corrélations de Wendt (1933))}

la paroi, et que ce sont par la suite les rouleaux de Taylor qui mélangent la phase dispersée (g 4.26). Néanmoins les histogrammes indiquent que les bulles sont majoritairement attirées à la paroi interne pour s'accumuler près de la zone de jet en Outow (g 4.27).

On s'intéresse maintenant à l'inuence du paramètre C sur la migration des bulles en augmentant l'eet de la gravité. Les positions des bulles indiquent que le mélange eectué par les rouleaux est moins important puisque les bulles sont accumulées près de la paroi (g 4.28, et g 4.29). On observe que les bulles ne suivent plus un agencement en collier près de la paroi du cylindre intérieur mais forment des structures en spirale qui montent dans le système. Les histogrammes des positions axiales conrment qu'il n'y a pas de zone d'accumulation préférentielle dans la direction axiale comme dans le cas g = 0. Les positions radiales indiquent quant à elles que les bulles vont majoritairement à la paroi du cylindre intérieur, et que le coeur de l'entrefer se vide au fur et à mesure en faveur de la zone de proche paroi (g 4.30).

Les résultats précédents montrent clairement que la majorité des bulles est attirée vers la paroi du cylindre intérieur. Les histogrammes des positions axiales montrent que pour les bulles soumises à une gravité nulle la dispersion est caractérisée par une accumulation préférentielle autour d'une position axiale, tandis que les cas g 6= 0 ne révellent pas de zone d'accumulation dans la direction axiale. On étudie maintenant l'agencement spatial de la phase dispersée près du cylindre intérieur. La gure 4.31 conrme les résultats des histogrammes : pour le cas sans gravité les bulles sont localisées autour de la zone de jet en Outow, tandis que le cas g 6= 0 ne montre pas d'accumulation préférentielle dans la direction axiale. On constate néanmoins que dans les deux cas la phase dispersée suit un agencement en stries. Pour le cas g = 0 ces stries sont nes et alignées avec les streaks de grandes vitesses. Pour le cas g 6= 0 ces stries sont plus larges et ne suivent pas la forme des structures de proche paroi, mais forment des spirales.

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

Figure 4.25  Positions des bulles dans le domaine pour diérents instants après (1) 0 tours - (2) 0.20 tours -(3) 1.14 tours - (4) 2.08 tours - (5) 9.64 tours - (6) 18.9 tours (η = 0.5, Re = 5000, Rb= 2.10−3R2, C → ∞, H = 0.0637)

situés en bas du dispositif. Ils observent un agencement en collier ou en spirale, mais pour le cas des spirales cela résulte de la déformation des lignes d'émission de bulles par l'écoulement azimutal.

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

Figure 4.26  Projection dans un plan (r, x) des positions des bulles dans le domaine pour diérents instants : après (1) 0 tours (2) 0.20 tours (3) 1.14 tours (4) 2.08 tours (5) 9.64 tours -(6) 18.9 tours (η = 0.5, Re = 5000, Rb= 2.10−3R2, C → ∞, H = 0.0637)

(1) 0 0.5 1 1.5 2 0 0.05 0.1 0.15 0.2

x/(R

2

− R

1

)

N

(x

)/

N

to t b

0 tours

0.19562 tours

1.1449 tours

2.075 tours

9.6445 tours

18.9196 tours

(2) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10−6 10−4 10−2 100

(r

_{− R}

1

)/(R

2

− R

1

)

N

(r

)/

N

to t b

0 tours

0.19562 tours

1.1449 tours

2.075 tours

9.6445 tours

18.9196 tours

Figure 4.27  Histogrammes de répartition des positions des bulles dans les directions axiale (1) et radiale (2) pour η = 0.5, Re = 5000, Rb = 2.10−3R2, C → ∞, H = 0.0637 : Nombre de bulles normalisé par le nombre total de bulles (découpage en 50 sous domaines dans la direction axiale et 200 dans la direction radiale)

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

Figure 4.28  Positions des bulles dans le domaine pour diérents instants après (1) 0 tours - (2) 0.20 tours -(3) 1.14 tours - (4) 2.08 tours - (5) 9.64 tours - (6) 18.9 tours (η = 0.5, Re = 5000, Rb= 2.10−3R2, C ≈ 0.5, H = 0.0637)

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

Figure 4.29  Projection dans un plan (r, x) des positions des bulles dans le domaine pour diérents instants : après (1) 0 tours (2) 0.20 tours (3) 1.14 tours (4) 2.08 tours (5) 9.64 tours -(6) 18.9 tours (η = 0.5, Re = 5000, Rb= 2.10−3R2, C ≈ 0.5, H = 0.0637)

(1) 0 0.5 1 1.5 2 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

x/(R

2

− R

1

)

N

(x

)/

N

to t b

0 tours

0.19562 tours

1.1449 tours

2.075 tours

9.6445 tours

18.9196 tours

(2) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10−4 10−3 10−2 10−1 100

(r

_{− R}

1

)/(R

2

− R

1

)

N

(r

)/

N

to t b

0 tours

0.19562 tours

1.1449 tours

2.075 tours

9.6445 tours

18.9196 tours

Figure 4.30  Histogrammes de répartition des positions des bulles dans les directions axiale (1) et radiale (2) pour η = 0.5, Re = 5000, Rb = 2.10−3R2, C ≈ 0.5, H = 0.0637 : Nombre de bulles normalisé par le nombre total de bulles (découpage en 50 sous domaines dans la direction axiale et 200 dans la direction radiale)

(1)

(2)

(3)

Figure 4.31  (1) Isocontour de vitesse près de la paroi du cylindre intérieur y+ _{= 0.19. Agencement de} la phase dispersée près de la paroi (pour des bulles dont les positions sont comprises entre r = 0.5et r = 0.51) après 19 tours du cylindre intérieur, H = 0.0637, pour le cas des grosses bulles avec : Rb = 2.10−3_R

bulles sont plus sensibles aux rouleaux de Taylor et aux uctuations que pour le cas précédent (g 4.32, g 4.33). Les histogrammes des positions axiales ne révèlent eectivement pas d'accumulation en colliers, et on observe la même tendance dans la direction radiale à savoir une diminution progressive du nombre de bulles dans les rouleaux due à une attraction centripète près du cylindre intérieur (g 4.34). L'histogramme du nombre de bulles dans la direction radiale présente un pic à la paroi du cylindre intérieur et une répartition uniforme dans le reste de l'entrefer.

On s'intéresse ensuite au cas des petites bulles subissant les eets de la gravité. Les visualisations des positions des bulles (g 4.35 et 4.36) montrent que les bulles sont moins sensibles aux zones de jet que pour les cas précédents, et que les bulles restent concentrées près du cylindre intérieur. Les histogrammes de positions conrment qu'il n'y a pas d'accumulation axiale, et que les bulles restent majoritairement concentrées près du cylindre intérieur (mais pas en contact direct avec la paroi g 4.37).

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

Figure 4.32  Positions des bulles dans le domaine pour diérents instants après (1) 0 tours - (2) 0.20 tours -(3) 1.14 tours - (4) 2.08 tours - (5) 3.94 tours - (6) 5.83 tours (η = 0.5, Re = 5000, Rb= 2.10−4R2, C → ∞, H = 0.0637)

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

Figure 4.33  Projection dans un plan (r, x) des positions des bulles dans le domaine pour diérents instants : après (1) 0 tours (2) 0.20 tours (3) 1.14 tours (4) 2.08 tours (5) 3.94 tours -(6) 5.83 tours (η = 0.5, Re = 5000, Rb= 2.10−4R2, C → ∞, H = 0.0637)

(1) 0 0.5 1 1.5 2 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

x/(R

2

− R

1

)

N

(x

)/

N

to t b

0 tours

0.19562 tours

1.1449 tours

2.075 tours

3.9352 tours

5.827 tours

(2) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10−4 10−3 10−2 10−1

(r

− R

1

)/(R

2

− R

1

)

N

(r

)/

N

to t b

0 tours

0.19562 tours

1.1449 tours

2.075 tours

3.9352 tours

5.827 tours

Figure 4.34  Histogrammes de répartition des positions des bulles pour η = 0.5, Re = 5000, Rb = 2.10−4_R

2, C → ∞, H = 0.0637 dans les directions axiale (1) et radiale (2) : Nombre de bulles normalisé par le nombre total de bulles (découpage en 50 sous domaines dans la direction axiale et 200 dans la direction radiale)

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

Figure 4.35  Positions des bulles dans le domaine pour diérents instants après (1) 0 tours - (2) 0.20 tours -(3) 1.14 tours - (4) 2.08 tours - (5) 3.94 tours - (6) 5.83 tours (η = 0.5, Re = 5000, Rb= 2.10−4R2, C ≈ 0.5, H = 0.0637)

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

Figure 4.36  Projection dans un plan (r, x) des positions des bulles dans le domaine pour diérents instants : après (1) 0 tours (2) 0.20 tours (3) 1.14 tours (4) 2.08 tours (5) 3.94 tours -(6) 5.83 tours (η = 0.5, Re = 5000, Rb= 2.10−4R2, C ≈ 0.5, H = 0.0637)

(1) 0 0.5 1 1.5 2 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

x/(R

2

− R

1

)

N

(x

)/

N

to t b

0 tours

0.19562 tours

1.1449 tours

2.075 tours

3.9352 tours

5.827 tours

(2) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10−4 10−3 10−2 10−1

(r

− R

1

)/(R

2

− R

1

)

N

(r

)/

N

to t b

0 tours

0.19562 tours

1.1449 tours

2.075 tours

3.9352 tours

5.827 tours

Figure 4.37  Histogrammes de répartition des positions des bulles pour η = 0.5, Re = 5000, Rb = 2.10−4_R

2, C ≈ 0.5, H = 0.0637 dans les directions axiale (1) et radiale (2) : Nombre de bulles normalisé par le nombre total de bulles (découpage en 50 sous domaines dans la direction axiale et 200 dans la direction radiale)

4.3.4 Comportement près de la paroi

Ces quatre congurations ont permis de conrmer que dans notre cas c'est l'accumulation à la paroi qui domine. An de mieux comprende les mécanismes conduisants à cette accumulation, on s'intéresse plus particulièrement aux bulles qui vont à la paroi.

Rebond à la paroi

Dans les cas que nous considérons ici on observe que pour les bulles attirées vers le cylindre intérieur elles restent près du cylindre malgré de nombreux rebonds (g 4.38).

(1) 0.8 1 1.2 1.4 483.6 483.7 483.8 483.9 484 484.1 484.2 484.3 484.4 484.5 484.6 (r_{− R}1)/Rb x /R b Trajectoire Vitesse (2) 0.8 1 1.2 483.6 483.7 483.8 483.9 484 484.1 484.2 484.3 484.4 484.5 484.6

(r

− R

1

)/R

b

x

/R

b Trajectoire Fd FL (1 + CM)4₃πR3bρfDU_Dt

Figure 4.38  Exemple de trajectoire d'une bulle allant à la paroi (les ronds marquent la position du centre des bulles aux diérents instants mais ne sont pas à l'échelle du rayon de la bulle). La bulle se déplace suivant les x décroissants. (1) Projections de la trajectoire et de la vitesse de la bulle dans le plan (ex, er)- (2) Projections des trajectoires et forces s'exerçants sur la bulle dans le plan (ex, er)

Ce comportement est problématique car il semble se reproduire pour un nombre important de bulles. Dans la mesure où les bulles n'interagissent pas entre elles cela se traduit par des taux de vide irréalistes. En eet le taux de vide local est estimé sur les grilles de calcul Eulériennes utilisées

expérimentalement par Mehel (2006). Murai et al. (2008) observent certes une accumulation à la paroi qui conduit soit à un pic de taux de vide, soit à un pic dans les pdf de position radiale des bulles, mais ces prols restent continus et la position de ces pics n'est pas située à une distance Rb

de la paroi. 10−3 10−2 10−1 100 10−6 10−4 10−2 100 102 (r_{− R}1)/(R2− R1) εd 0 tours 0.19562 tours 1.1449 tours 2.075 tours 9.6445 tours 18.9196 tours

Figure 4.39  Evolution radiale du taux de vide moyen à diérents instants pour le cas η = 0.5, Re = 5000, Rb= 2.10−3R2, g = 0, H = 0.0637. On constate que ce taux de vide prend des valeurs qui n'ont pas de réalité physique (εd> 1), et présente une dicontinuité importante à la paroi.

4.3.5 Analyse des forces

On étudie maintenant l'évolution des forces subies par les bulles lors de leur migration. Pour étudier leurs importances relatives on a calculé des champs de forces permettant d'accéder à leur évolution globale (par opposition à la force subie par une bulle isolée). Pour cela on a procédé de la façon suivante : les positions des bulles ont été projetées sur la grille Eulérienne utilisée pour la simulation des équations de Navier-Stokes. Pour chaque bulle on projette les diérentes forces du bilan sur la maille qui la contient an d'obtenir un champ de force. Enn pour les mailles occupées par plusieurs bulles, on utilise la moyenne des forces associées à ces bulles. Ces forces sont ensuite moyennées dans le temps et dans la direction azimutale. Une valeur nulle peut donc s'interpréter aussi comme le fait qu'aucune (ou très peu) de bulles aient occupé la maille considérée. On a procédé de la même façon pour obtenir une cartographie de la vitesse de glissement, et des nombres de Reynolds de bulle. Toutes ces forces ont été normées par Fin= (1+Cm)VbρfU12/R1. An de comparer avec des

à de petits nombres de Reynolds de bulles inférieurs à 0.001 (g 4.41). Le signe de la vitesse de glissement indique que la vitesse des bulles est globalement plus faible que celle du uide.

(1) (2) (3)

Figure 4.40  Composantes des vitesses de glissement Ugliss= U− Vb moyennes pour le cas η = 0.5, Re = 5000, Rb = 2.10−3R2, g = 0, H = 0.0637 (normée par Uθ1) : composantes selon ex (1), er (2) et eθ (3)

Figure 4.41  Nombre de Reynolds de bulle moyen pour le cas η = 0.5, Re = 5000, Rb = 2.10−3R2, g = 0(ce nombre de Reynolds a été moyenné pour chaque inclusion à partir de la vitesse de glissement instationnaire).

ensuite moyennés dans la direction axiale an d'estimer l'importance relative des diérents termes du bilan des forces radiales (g 4.45). On constate alors que l'attraction à la paroi est due au terme (1 + Cm)VbρfDu/Dt, et que la traînée et l'accélération d'entraînement contenue dans CmVbρfdv/dt

compensent en partie ses eets alors que la composante radiale de la portance est négligeable.

(1) (2) (3)

Figure 4.42  Composantes de la force de portance moyenne (normée par Fin = (1 + Cm)VbρfU12/R1) pour le cas η = 0.5, Re = 5000, Rb = 2.10−3R2, g = 0, H = 0.0637 : composantes selon ex (1), er (2) et eθ (3)

(1) (2) (3)

Figure 4.43  Composantes de la force de traînée moyenne (normée par Fin= (1 + Cm)VbρfU12/R1) pour le cas η = 0.5, Re = 5000, R = 2.10−3R , g = 0, H = 0.0637 : composantes selon e (1),

(1) (2) (3)

Figure 4.44  Composantes du terme ρfVb(1 + Cm)Du/dt de la masse ajoutée moyenne (normée par Fin = (1 + Cm)VbρfU12/R1) pour le cas η = 0.5, Re = 5000, Rb = 2.10−3R2, g = 0, H = 0.0637: composantes selon ex(1), er (2) et eθ (3) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 (r_{− R}1)/(R2− R1) Σ F ρf Vb U 2 1/ R1 ρfVb(1 + Cm)Du_Dtr + (ρb+ Cmρf)Vbu 2 θ r ρfVb(1 + Cm)Du_Dtr + (ρb+ Cmρf)Vbu 2 θ r + Fd,r ρfVb(1 + Cm)Du_Dtr + (ρb+ Cmρf)Vbu 2 θ r + Fd,r+ Fl,r

Figure 4.45  Somme des composantes radiales des diérentes forces du bilan (ces composantes sont nor-mées par Fin = (1 + Cm)VbρfU12/R1) pour le cas η = 0.5, Re = 5000, Rb = 2.10−3R2, g = 0, H = 0.0637

On a ensuite estimé l'importance relative des diérents termes de ρfVb(1 + Cm)Du/dt (g 4.46).

On constate que c'est le terme ρfVb(1 + Cm) < Uθ >2xθt /r qui est prépondérant pour les bulles

situées en proche paroi.

4.3.6 Inuence de la taille des bulles

On s'intéresse maintenant à l'inuence de la taille des bulles sur le comportement de la phase dispersée. On se concentre pour cela sur les vitesses de glissement associées à la phase dispersée. Elles ont été calculées sur une itération donnée, et n'ont donc pas été moyennées dans le temps. Elles sont en revanche moyennées dans la direction azimutale. On a séparé les composantes axiale, radiale

(1) (2)

Figure 4.46  Importance relative des diérents termes de ρfVb(1 + Cm)Du/dt pour le cas η = 0.5, Re = 5000, Rb = 2.10−3R2, g = 0, H = 0.0637 : comparaison entre sa valeur moyenne et ρfVb(1 + Cm) < Uθ >2xθt /r (en trait noir). On a représenté également l'évolution de cette force pour 20 bulles en fonction de leur position radiale (ligne colorée, les ronds noirs représentent les positions initiales). Toutes ces forces sont normées par Fin = (1 + Cm)VbρfU12/R1

suit la notation suivante : les cas (1) et (2) correspondent aux grosses bulles (Rb = 2.10−3R2), les

cas (3) et (4) aux petites bulles (Rb = 2.10−4R2). On constate ainsi que pour les cas sans gravité

((1) et (3) sur les gures), la diminution de la taille des bulles s'accompagne naturellement d'une diminution de la vitesse de glissement. Les petites bulles seront ainsi plus sensibles aux uctuations de l'écoulement à petite échelle. On rappelle que la gravité est xée a priori an d'atteindre la vitesse d'ascension liée à C. On a utilisé la relation aux faibles nombres de Reynolds VL = 2τbg

avec le temps de relaxation τb = Rb2/6ν. On observe alors pour les cas C ≈ 0.5 ((2) et (4) sur les

gures), que l'adaptation de la gravité permet bien de conserver l'ordre de grandeur de C. On en déduit que la conservation de C accompagne bien d'une conservation de l'ordre de grandeur de la vitesse de glissement dans la direction axiale. On constate aussi que le glissement radial et azimutal est moins sensible à la taille des bulles que pour le cas g = 0. La diminution de la taille des bulles s'accompagne ainsi d'une diminution des nombres de Reynolds moyens de bulle (g 4.50). En ce qui concerne le bilan des forces radiales (g 4.51), les cas (1)-(2)-(3) se comportent de la même façon. Le cas (4) se distingue des autres par le fait que les forces de portance et de traînée sont un peu plus importantes, mais la tendance globale reste la même à savoir une migration vers le cylindre intérieur.

On peut estimer un nombre de Weber équivalent à partir des vitesse de glissement pour une bulle de 100µm dans un système eau/air. On trouve alors des valeurs faibles de W e (inférieures à 10−2_).

(1) (2)

(3) (4)

Figure 4.47  Vitesse de glissement axiale < Ux− Vx>θ normée par Uθ1 : (1) grosses bulles, g = 0 - (2) grosses bulles C ≈ 0.5 - (3) petites bulles, g = 0 - (4) petites bulles C ≈ 0.5

ont tendance à s'accumuler au coeur des rouleaux, et les petites bulles près du cylindre intérieur. Ce qui est en accord avec nos simulations numériques.

(1) (2)

(3) (4)

Figure 4.48  Vitesse de glissement radiale < Ur− Vr>θnormée par Uθ1 : (1) grosses bulles, g = 0 - (2) grosses bulles C ≈ 0.5 - (3) petites bulles, g = 0 - (4) petites bulles C ≈ 0.5

(1) (2)

(3) (4)

Figure 4.49  Vitesse de glissement azimutale < Uθ− Vθ>θ normée par Uθ1 : (1) grosses bulles, g = 0 -(2) grosses bulles C ≈ 0.5 - (3) petites bulles, g = 0 - (4) petites bulles C ≈ 0.5

(1) (2)

(3) (4)

Figure 4.50  Nombres de Reynolds de bulles (1) grosses bulles, g = 0 - (2) grosses bulles C ≈ 0.5 - (3) petites bulles, g = 0 - (4) petites bulles C ≈ 0.5

(1) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 (r− R1)/(R2− R1) Σ F ρf Vb U 2 1/ R1 ρfVb(1 + Cm)Du_Dtr+ (ρb+ Cmρf)Vbu 2 θ r ρfVb(1 + Cm)Du_Dtr+ (ρb+ Cmρf)Vbu 2 θ r + Fd,r ρfVb(1 + Cm)Du_Dtr+ (ρb+ Cmρf)Vbu 2 θ r + Fd,r+ Fl,r (2) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 (r− R1)/(R2− R1) Σ F ρf Vb U 2 1/ R1 ρfVb(1 + Cm)DuDtr+ (ρb+ Cmρf)Vbu 2 θ r ρfVb(1 + Cm)Du_Dtr+ (ρb+ Cmρf)Vbu 2 θ r + Fd,r ρfVb(1 + Cm)Du_Dtr+ (ρb+ Cmρf)Vbu 2 θ r + Fd,r+ Fl,r (3) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 (r− R1)/(R2− R1) Σ F ρf Vb U 2 1/ R1 ρfVb(1 + Cm)Du_Dtr+ (ρb+ Cmρf)Vbu 2 θ r ρfVb(1 + Cm)Du_Dtr+ (ρb+ Cmρf)Vbu 2 θ r + Fd,r ρfVb(1 + Cm)DuDtr+ (ρb+ Cmρf)Vbu 2 θ r + Fd,r+ Fl,r (4) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 (r− R1)/(R2− R1) Σ F ρf Vb U 2 1/ R1 ρfVb(1 + Cm)Du_Dtr+ (ρb+ Cmρf)Vbu 2 θ r ρfVb(1 + Cm)Du_Dtr+ (ρb+ Cmρf)Vbu 2 θ r + Fd,r ρfVb(1 + Cm)Du_Dtr+ (ρb+ Cmρf)Vbu 2 θ r + Fd,r+ Fl,r

Figure 4.51  Somme des composantes radiales des diérentes forces du bilan (ces composantes sont nor-mées par Fin = (1 + Cm)VbρfU12/R1) pour le cas η = 0.5, Re = 5000, et pour plusieurs tailles de bulles Rb= 2.010−3R2 pour (1) et (2), et g = 0 pour (1) et (3), C ≈ 0.5 (2) et (4)

(1) 𝑟 − 𝑅1 𝑅2− 𝑅1 − 1 2 𝛼 ( % ) (2) 𝑟 − 𝑅1 𝑅2− 𝑅1 − 1 2 𝛼 ( % )

Figure 4.52  Figures tirées des travaux de Mehel (2006) illustrant l'évolution radiale du taux de vide : (1) 2Rb/(R2− R1) = 0.15, Re = 2400, H = 0.59, C = 0.9 - (2) 2Rb/(R2− R1) = 0.035, triangles : Re = 3170, H = 0.53, C = 19, losanges : Re = 32400, H = 0.59, C = 16

4.4 Interaction des bulles en proche paroi

On vient donc de montrer que la simulation de la migration des bulles en écoulement de Taylor Couette s'accompagne dans notre cas d'un phénomène d'accumulation. Cette accumulation s'ex-plique par le fait que les inclusions subissent une attraction vers le cylindre intérieur que les rouleaux de Taylor ne peuvent pas compenser. Numériquement cela conduit à une augmentation irréaliste (εd> 1) de la fraction volumique de bulles dans la maille la plus proche du cylindre interne. Cela a

alors deux conséquences : un taux de vide supérieur à un pour certaines mailles situées en Outow près de la paroi du cylindre intérieur, et une discontinuité du taux de vide autour de ces mailles. Dans la mesure où ceci n'a pas de réalité physique cela pourrait être problématique pour des cas de dispersion active. On a donc cherché à estimer si des corrections des forces en proche paroi pourraient conduire à réduire cette accumulation.

Correction de la portance près de la paroi

La première modication proposée concerne le bilan des forces. On s'est appuyé pour cela sur les travaux de Takemura & Magnaudet (2003) qui ont permis de proposer une correction de la portance près de la paroi via l'ajout d'un terme répulsif FLW = FLWerdépendant de la distance de séparation

L entre la bulle et la paroi, la vitesse relative de la bulle projetée dans la plan (ex, er) que l'on note

U⊥ = [(ux− vb,x)2+ (ur− vb,r)2](1/2), la distance normalisée L∗= U⊥L/ν et le nombre de Reynolds

adapté Re⊥= U⊥Rb/ν. La force FLW suit la formulation (4.7).

FLW = CLWπR2bρf

U2 ⊥

2 (4.7)

Le coecient CLW suit la relation 4.8.

CLW = CLW0 (L ∗ )h1 + 0.6pRe⊥− 0.55Re0.08⊥ i2 _L 3Rb −2.00tanh(0.01Re⊥) (4.8) dans le cas d'une bulle contaminée le coecient C0

LW va dépendre de la distance à la paroi comme

4.9 : C_LW0 (L∗) =      9 8 + 5.78 10 −6_(L∗₎4.58_{exp(−0.292L}∗_{) si 0 < L}∗ _{< 10} 8.94(L∗)−2.09 si 0 ≤ L∗ < 300 (4.9) Une telle force n'avait initialement pas été prise en compte dans le bilan. Une estimation de l'ordre de grandeur de cette force a été faite à partir des cartographies des vitesses de glissement (g 4.53) où l'on constate que cette force répulsive resterait négligeable face à la masse ajoutée. Les simulations dynamiques prenant en compte ce terme correcteur, menées sur les grosses bulles, ont conrmé qu'il était négligeable et ne pouvait pas compenser l'attraction à la paroi du cylindre

Figure 4.53  Estimation du terme correctif de la portance en fonction des cartes de vitesse de glissement moyenne (normalisée par Fin = (1 + Cm)VbρfU12/R1) pour le cas η = 0.5, Re = 5000, Rb= 2.10−3, g = 0, H = 0.0637

4.4.1 Modication du rebond à la paroi : réinjection

L'étude du bilan des forces illustre les limites de la méthode employée ici. On peut en eet supposer que le principal défaut ici est qu'il n'y a pas de limite physique à εd (volume exclu des

bulles). La nature de l'écoulement est telle que toutes les bulles vont être attirées dans la même région, ce qui mène dans nos simulations à une occupation des mailles par un nombre de bulles plus important que ce qui est réalisable physiquement. Les développements permettant aux bulles d'interagir directement n'étaient pas envisageables dans le cadre de notre étude (faute de temps). Nous avons donc considéré une autre modication du rebond à la paroi permettant de limiter les eets d'accumulation. Lorsque les bulles arrivent à la paroi elles sont réinjectées aléatoirement dans le domaine, de sorte à simuler un ux continu de bulles (et maintenir un taux de vide global constant). On a également modié l'initialisation des positions des bulles pour partir d'un taux de vide uniforme. Les positions des bulles en vue 3D et projetées dans le plan médian (g 4.54 et 4.55 respectivement) n'indiquent pas d'accumulation. Les prols de taux de vide indiquent que la répartition est quasi homogène dans la direction radiale avec une décroissance près de la paroi du cylindre intérieur (g 4.56). On remarque une nette amélioration de prol de taux de vide près de la paroi puisqu'il ne présente plus de discontinuité pour la première maille.

An d'estimer l'eet de la condition limite de réinjection dans les simulations on a comparé les prols de taux de vide obtenus pour les deux congurations suivantes : la première correspond au cas de réinjection, pour la deuxième les bulles ne sont par réinjectées mais sortent du domaine. Dans cette deuxième conguration les bulles qui sortent du domaine ne sont plus prises en compte

(1) (2)

(3) (4)

(5)

Figure 4.54  Positions des bulles dans le domaine pour diérents instants après (1) 0 tours - (2) 3.93 tours -(3) 7.76 tours - (4) 11.4 tours - (5) 15.21 tours (η = 0.5, Re = 5000, Rb= 2.10−3R2, g = 0, H = 0.0637 avec réinjection)

a calculé le rapport entre deux prols de taux de vide associés à deux instants diérents (espacés d'une durée d'environ 1.9TΩ1. On constate alors que ce rapport converge vers une valeur proche de

(1) (2) (3)

(4) (5)

Figure 4.55  Projection dans un plan (r, x) des positions des bulles dans le domaine pour diérents instants : après (1) 0 tours - (2) 3.93 tours -(3) 7.76 tours - (4) 11.4 tours - (5) 15.21 tours (η = 0.5, Re = 5000, Rb = 2.10−3R2, g = 0, H = 0.0637 avec réinjection)

pour conséquence de réarranger l'ensemble de la phase dispersée. Cette procédure de réinjection sera conservée par la suite.

(1) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.005 0.01 0.015 0.02 (r_{− R}1)/(R2− R1) < εd >x θ 2.075 tours 3.9352 tours 5.827 tours 7.7606 tours 9.6445 tours 11.4322 tours (2) 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 (r− R1)/(R2− R1) < εd >x θ 2.075 tours 3.9352 tours 5.827 tours 7.7606 tours 9.6445 tours 11.4322 tours (3) 10−3 10−2 10−1 100 10−3 10−2 (r_{− R}1)/(R2− R1) < εd >x θ 2.075 tours 3.9352 tours 5.827 tours 7.7606 tours 9.6445 tours 11.4322 tours

Figure 4.56  Evolution radiale du taux de vide moyen à diérents instants dans le cas où les bulles sont réinjectées dans le domaine à chaque rebond : (1) échelle linéaire, (2) échelle linéaire (évolution près de la paroi du cylindre intérieure), (3) échelle logarithmique

(1) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 (r_{− R}1)/(R2− R1) < εd >x θ 0.19562 tours (Reinjection) 2.075 tours (Reinjection) 3.9352 tours (Reinjection) 5.827 tours (Reinjection) 7.7606 tours (Reinjection) 9.6445 tours (Reinjection) 11.4322 tours (Reinjection) 0.19562 tours (Sortie) 2.075 tours (Sortie) 3.9352 tours (Sortie) 5.827 tours (Sortie) 7.7606 tours (Sortie) 9.6445 tours (Sortie) 11.4322 tours (Sortie) (2) 10 −3 10−2 10−1 100 10−3 10−2 (r− R1)/(R2− R1) < εd >x θ 0.19562 tours (Reinjection) 2.075 tours (Reinjection) 3.9352 tours (Reinjection) 5.827 tours (Reinjection) 7.7606 tours (Reinjection) 9.6445 tours (Reinjection) 11.4322 tours (Reinjection) 0.19562 tours (Sortie) 2.075 tours (Sortie) 3.9352 tours (Sortie) 5.827 tours (Sortie) 7.7606 tours (Sortie) 9.6445 tours (Sortie) 11.4322 tours (Sortie)

Figure 4.57  Estimation de la part de bulles ayant subies une réinjection via la comparaison de l'évolution radiale des taux de vide moyens pour deux congurations : dans le premier cas (lignes grises) les bulles sont réinjectées aléatoirement dans le domaine à chaque rebond, dans le deuxième cas (lignes bleues) les bulles sont évacuées du domaine et ne sont plus prises en compte dans le calcul du taux de vide). (1) échelle linéaire, (2) échelle logarithmique

(1) 0 0.5 1 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 (r− R1)/(R2− R1) < εd >x θ (t )/ < εd >x θ (t − TΩ 1 /T o ) 2.075 tours 3.9352 tours 5.827 tours 7.7606 tours 9.6445 tours 11.4322 tours (2) 0 0.01 0.02 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 (r− R1)/(R2− R1) < εd >x θ (t )/ < εd >x θ (t − TΩ 1 /T o ) 2.075 tours 3.9352 tours 5.827 tours 7.7606 tours 9.6445 tours 11.4322 tours (3) 10−3 10−2 10−1 100 10−0.3 10−0.2 10−0.1 100 (r_{− R}1)/(R2− R1) < εd >x θ (t )/ < εd >x θ (t − TΩ 1 /T o ) 2.075 tours 3.9352 tours 5.827 tours 7.7606 tours 9.6445 tours 11.4322 tours

Figure 4.58  Estimation de la part de bulles ayant subies une réinjection à un instant t via l'évolution du rapport entre deux taux de vides moyennés dans l'espace associés à deux instants diérents. L'intervalle de temps est de l'ordre de 1.87TΩ1. (1) Echelle linéaire, (2) Echelle linéaire (zoom près de la paroi du cylindre intérieur), (3) échelle logarithmique

de grange échelle (les cellules de Taylor), et des structures turbulentes de petite échelle (notamment des streaks en chevrons près des parois, au niveau des zones de jets). On constate dans ce chapitre que la migration des bulles résulte de l'interaction avec ces diérentes contributions de l'écoulement, combinés aux eets de ottabilité. L'écoulement moyen azimutal va induire une migration vers le cylindre intérieur (principalement par des eets de masse ajoutée). La rotation des tourbillons de Taylor peut induire une capture au coeur de ces rouleaux si les eets de ottabilité sont faibles. Ces deux eets sont en compétition, et on observe que leur inuence relative dépend principalement de la géométrie via le rapport η = R1/R2. Enn l'inuence des uctuations turbulentes tend à diminuer

l'attraction au coeur des rouleaux en faveur d'une accumulation près de la paroi du cylindre inté-rieur. On a constaté que l'accumulation près du cylindre intérieur est problématique du point de vue de la simulation numérique car elle est très localisée, ce qui induit des taux de vide qui n'ont pas de réalité physique (εd> 1). Une adaptation des conditions limites à la paroi pour la phase dispersée a

donc été nécessaire. La stratégie retenue consiste à réinjecter aléatoirement dans le domaine chaque bulle atteignant la paroi. On observe alors que cela conduit à une augmentation du taux de vide dans des rouleaux (sans accumulation dans la direction axiale) et une diminution du taux de vide en proche paroi.

On s'intéresse dans la suite à l'action des bulles sur la phase porteuse. L'étude de la migration des bulles indique qu'elles interagissent avec la couche limite (notamment les streaks) et avec les rouleaux de Taylor, on s'attachera donc à étudier comment elles modient ces diérentes structures lorsque le retour sur la phase porteuse est actif.