Chute verticale d’un objet

Chute verticale d’un objet

Bilan des forces : - le poids

- la force de frottement fluide (laminaire en v pour des objets petits avec une vitesse faible, turbulente en v² pour des objets gros avec une vitesse fluide) - la poussée d’Archimède

Equation du mouvement

Expression des forces : P mg f hv  Vg m'g

On applique la 2ème de loi de Newton :

v m h g m m m a a m v h g m m a m g m v h g m a m f P               ' ) ' ( ' Notons m m m ' v m h g t d v d   

: Équation différentielle du mouvement On projette sur un axe vertical (Oz) :

v m h g t d v d

Soit OGvecteur position : OG z k, zk t d OG d v  et zk t d v d a    g z m h z g v m h t d v d Vitesse limite : 0 lim t d v d cte v

Par suite, v_lim 0 m h g h m g v_lim Vitesse initiale à t 0s, v(0) 0 g t d v d On obtient donc : v )(t gt

Chute libre d’un objet

Un objet est en mouvement de chute libre lorsqu’il n’est soumis qu’à l’action de son poids.

a m

P  (2ème loi de Newton), et P mg D’où a g

L’accélération est donc une constante vectorielle sous réserve que la chute se fasse dans un champ de pesanteur uniforme.

Résolution de l’équation différentielle :

g z g t d z d g dt v d g a ₂ 2 On intègre : t g t v v t C t g t v( ) ₁ orà 0, (0) 0 d'où ( ) et z gt On intègre de nouveau : 0 ) 0 ( , 0 à or 2 1 ) ( 2 ₂ z t C t g t z D’où 2 2 1 ) (t gt z