République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur
et de la Recherche Scientifique
Université Mohammed Seddik BENYAHIA - Jijel
Faculté des Sciences et de la Technologie
Département d’Electronique
MEMOIRE DE FIN D’ETUDES
Présenté en vue de l’Obtention du Diplôme
de MASTER en Electronique
Option : Electronique des Systèmes Embarqués
Thème :
Encadré par :
Réalisé par :
Année Universitaire
2019/2020
Dr. Fatiha BOUAZIZ Melle Meriem BOUCHEKARA
Melle Khadidja MOULAHEM
Analyse et Détection des ondes caractéristiques
des signaux Electrocardiographiques (ECG)
Remerciements
A l'issue de ce mémoire de fin d'étude, nous adressons tout d’abord nos sincères remerciements à Dieu tout puissant qui nous a donné la santé, la volonté et la patience, pour achever ce travail.
Nous tenons à remercier en premier lieu Madame FATIHA BOUAZIZ, Docteur à l’université de Jijel, pour avoir accepté de nous encadrer et de nous diriger de manière continue. Sa disponibilité ainsi que ses conseils ont été un atout inappréciable dans l’avancement dans la réalisation de ce travail de mémoire. Nous avons trouvé ici l’occasion de lui exprimer notre gratitude et notre respect les plus chaleureux.
Nous tenons à remercier également les membres de jury pour nous avoir honorées en acceptant de juger ce travail. Nous leur exprimons toute notre gratitude d’avoir accepté la noble tâche d’être membre de jury dans la soutenance de notre mémoire de fin d’étude.
Enfin, nous exprimons nos remerciements à tous ceux qui ont contribué de près ou de loin à la réalisation de ce travail, sans oublier tous nos enseignements du département d’Electronique pour leur contribution dans notre formation le long de plusieurs années universitaires.
Dédicace
C’est avec une grande émotion, que je dédie ce modeste
travail de fin d’étude à mes êtres les plus chers :
A mon père,
A ma très chère mère,
Au reste des membres de ma famille qui ont fait de moi ce
que je suis aujourd’hui et qui ont veillé à guider mes pas
durant toute ma vie par leurs aides, leurs grandes émotions
et leurs sacrifices.
A mon binôme,
et tous mes amis.
A mes parents,
A mes sœurs et mes frères,
A mon binôme,
A tout ce qui m’ont aidé de près ou de loin pour la
réalisation de ce travail.
Table des matières
Introduction générale………...
Chapitre I: Description du signal Electro-cardiographique
I.1 Introduction………...….... I.2 Système cardiovasculaire ………...
I.2.1 Le cœur ………...……... I.2.2 Anatomie du cœur ………... I.2.3 Circulation du sang………...
a. La grande circulation du sang ………... b. La petite circulation du sang ……….…... I.2.4 Activité électrique cardiaque……….……...
a. Réseau électrique du cœur……….……... b. Fonctionnement électrique du cœur ………... I.3 Le signal électrocardiographique……….…….... I.3.1 Historique sur l’électrocardiogramme………... I.3.2 Principe de l’enregistrement ECG………... I.3.3 Caractéristiques du signal ECG ………... I.3.4 Intervalles et segments du signal ECG………... I.3.5 Rythme et fréquence cardiaque………... a. Le rythme cardiaque……….... b. La fréquence cardiaque………... I.4 Dérivations électrocardiographiques………...
I.4.1 Les dérivations périphériques………... a. Les dérivations périphériques bipolaires………... b. Les dérivations périphériques unipolaires...………... I.4.2 Les dérivations précordiales………... I.5 Types de bruits observés sur l’ECG………..…... I.5.1 Bruits techniques………... a. Bruit dû au réseau électrique………...
01 04 04 04 04 05 06 06 06 06 07 08 08 09 09 10 11 11 11 11 12 12 13 13 14 14 14
b. Bruit dû au mouvement des électrodes……….….. I.5.2 Bruits physiques………...………...
a. Mouvements de la ligne de base ………...….. b. Bruit musculaire………...…... I.6 Quelques cas de pathologies cardiaques ………...
I.6.1 Fibrillation auriculaire (FA)……….……... I.6.2 Fibrillation ventriculaire (FV)………..……... I.6.3 Tachycardie ventriculaire (TV)………... I.7 Conclusion……….…...
Chapitre II: De l’analyse en fréquence à l’analyse temps-fréquence
II.1 Introduction………..……... II.2 Transformée de Fourier ………...……….... II.2.1 Définition………... II.2.2 La transformée de Fourier inverse………... II.2.3 Les propriétés de la transformées de Fourie………... II.2.4 Condition d’existence de la transformée de Fourier………... ... II.2.5 limitations de la transformée de Fourier………... II.3 Méthodes de représentation temps-fréquence………...
II.3.1 Transformée de Fourier à court terme………... a. Définition et propriétés……….………... b. Principe d’incertitude d’Heisenberg……….………...
c. Limitations de la TFCT………..…....
II.3.2 Transformée en ondelettes……….………... a. Définition d’une ondelette………... b. Principe de base de la transformée en ondelettes………..…... c. La transformée en ondelette continue (TOC)………... d. La transformée en ondelette discrète (TOD)……….…... e. L’analyse multi-résolution………... II.4 Exemples d’illustration ………...……... II.4.1 Analyse par la TF classique………...…... II.4.2 Analyse par la TFCT………..…...
15 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 19 19 19 20 20 21 21 21 22 23 23 23 24 24 26 26 27 28 29
II.4.3 Analyse par la transformée en ondelette continue………..…….... II.5 Conclusion………...
Chapitre III: La méthode de décomposition modale empirique
III.1 Introduction………... III.2 Méthode de décomposition modèle empirique………..……...
III.2.1 Définition………... III.2.2 Principe dela décomposition………... III.2.3 Fréquence et amplitude instantanée……….... III.3 Principe de la méthode EMD………... III.3.1 Processus de tamisage………... III.3.2 Critère d’arrêt………... III.3.3 Méthode d’interpolation ………... III.4.Propriétés de la méthode EMD………... III.4.1 Erreur d’estimation………..…...
III.4.2 Adaptabilité et localité………... III.4.3 Résolution fréquentielle………... III.5 Comparaison de la méthode EMD avec la transformée en ondelette………... III.6 Conclusion………...
Chapitre IV: Applicationde la méthode EMDpour l’analyse des signaux ECG
IV.1 Introduction………..…... IV.2 Base de données MIT-BIH………... IV.2.1 Description de base de données MIT-BIH………... IV.2.2 Fichiers de la base MIT-BIH………... IV.3 Procédure de filtrage des signaux ECG………... IV.3.1Décomposition des signaux ECG par la transformée en ondelettes discrète………... IV.3.2 Débruitage des signaux ECG………... IV.4 Méthode de détection des ondes R du signal ECG………... IV.4.1Décomposition modale empirique des signaux ECG filtrés………... IV.4.2 Analyse du spectre de la puissance………... IV.4.3 Enveloppe approximative améliorée de Hilbert………...
32 34 35 35 35 35 36 37 37 39 40 40 40 43 45 46 50 51 51 51 51 52 53 54 55 56 57 58
IV.4.4 Extraction des positions des pics R………... IV.5Application de l’algorithme de détection des ondes R pour des cas pathologiques…... IV.6 Extraction des points caractéristiques des tracés ECG………... IV.6.1 Segmentation des complexes QRS………... a. Détection de l’onde Q………... b. Détection de l’onde S………... c. Détection des points caractéristiques QRS_on et QRS_off………... IV.6.2 Détection des ondes P et T………... IV.7 Conclusion………... Conclusion générale………... Références bibliographiques ………... 59 61 65 65 66 66 66 67 68 69 71
Figures et tableaux
Figures
Pages
Figure I.1: Anatomie du cœur………05
Figure I.2 : Circulation du sang……….…06
Figure I.3 : Réseaux électrique du cœur ………...………07
Figure I.4 : Fonctionnement électrique du cœur ………...…08
Figure I.5 : Ondes et intervalles d’un signal ECG normal………... 09
Figure I.6: Les dérivations périphériques bipolaires d’Einthoven. ………...……12
Figure I.7 : Montage de Goldberger pour des dérivations unipolaires. ………13
Figure I.8: Position des électrodes pour les dérivations unipolaires précordiales. ………...…14
Figure I.9: Bruit dû au mauvais contact électrode-peau. ………..15
Figure I.10: Bruit dû aux mouvements de la ligne de base. ……….16
Figure I.11 : Bruit musculaire. ………..…16
Figure I.12: Fibrillation auriculaire………...…17
Figure I.13: Fibrillation ventriculaire. ………..17
Figure I.14: Tachycardie ventriculaire………..18
Figure II.1: Principe de la TFCT.……….….22
Figure II.2: Analyse multi-résolution d’un signal x(n) pour trois niveaux………..27
Figure II.3: Représentation temporelle du: (a) signal stationnaire x(t) et (b) signal non stationnaire y(t)………...…28
Figure II.4 : Spectre de Fourier du :(a) signal stationnaire x(t) et (b) signal non stationnaire y(t). ………29
et (b) 230 ms…...31
Figure II.7 : Scalogramme de la TOC avec l’ondelette de Morlet du signal: (a) x(t) et (b) y(t)……...33
Figure III.1 : Principe d’estimation de la fréquence instantanée………...37
Figure III.2 : Organigramme du Pseudo-code de l’EMD………..39
Figure III.3 : Représentation de: (a) signal x1(t), (b):composante rapide, (c):composante lente……..41
Figure III.4 : Décomposition EMD du signal x1(t): (a) IMF1, (b) IMF2, (c) résidu………..42
Figure III.5 : Représentation temporelle du signal x2(t)………...….43
Figure III.6 : Décomposition EMD du signal x2(t)………..….44
Figure III.7 : le signal original y(t)………...…45
Figure III.8 : Représenation des IMFs du signal y(t)………...46
Figure III.9 : Représentation temporelle du signal original z(t)………47
Figure III.10 : Les modes (IMFs) de la décomposition EMD du signal z(t)……….………48
Figure III.11 : Coefficients de détail de la décomposition par la TOD du signal z(t)………...49
Figure III.12 : Coefficients d’approximation de la décomposition par la TOD du signal z(t)……..49
Figure III.13 : Erreur d’estimation : (a) de l’EMD, et (b) de la TOD………...50
Figure IV.1: Représentation temporelle du signal ‘100’...………52
Figure IV.2 : Coefficients de détail de la décomposition par la TOD du signal ‘101’……….53
Figure IV.3 : Représentation d’un segment de l’enregistrement 222(1100-1118s) :(a) le signal original, (b) le signal débruité……….54
Figure IV.4 : Organigramme de la méthode de détection des ondes R……….55
Figure IV.5 : Décomposition EMD du signal 101...56
Figure IV.6: Spectre de puissance des IMFs………..57
Figure IV.7 : Représentation du : (a) signal original, (b) enveloppe traditionnel, (c) enveloppe améliorée et (d) enveloppe approximative améliorée...59
Figure IV.9: Représentation du segment 101(130-136 s): (a) signal original, (b) signal filtré, (c) signal filtré avec les pics R détectés……….61 Figure IV.10: Représentation du segment 222(1100-1118 s): (a) signal original, (b) signal filtré, (c) signal filtré avec les pics R détectés……….……….62
Figure IV.11: Représentation du segment 117 (1250-1268 s): (a) signal original, (b) signal filtré, (c) signal filtré avec les pics R détectés………63 Figure IV.12: Représentation du segment 208 (500-514 s): (a) signal original, (b) signal filtré, (c) signal filtré avec les pics R détectés……….. 64 Figure IV.13: Représentation du segment 203 (18-30 s): (a) signal original, (b) signal filtré, (c) signal filtré avec les pics R détectés………...………65 Figure IV. 14 : Représentation des points caractéristiques des complexes QRS de
l’enregistrement ‘100’………67 Figure IV. 15: Représentation de toutes les ondes détectées de l’enregistrement ‘101’………...67 Figure IV. 16: Représentation de toutes les ondes détectées de l’enregistrement ‘205’………...68
Tableaux
Tableau I.1: Valeurs habituelles des différents paramètres caractérisant un battement
cardiaque………11
Liste des abréviations et des symboles
Abréviations et symboles
Abréviation
SA Sinus auriculaire. AV Auriculo-ventriculaire. ECG L’électrocardiogramme. DI Dérivation I.DII Dérivation II. DIII Dérivation III.
FA Fibrillation auriculaire. FV Fibrillation ventriculaire. TV Tachycardie ventriculaire.
TF La transformée de Fourier.
TFCT La transformée de Fourier à court terme.
TOC La transformée en ondelette continue.
TOD La transformée en ondelette discrète.
EMD Décomposition modèle empirique.
IMF La fonction de mode intrinsèque. FI La fréquence instantanée.
AI L’amplitude instantanée. HT Transformée de Hilbert.
Symboles
x (t) Le signal dans le domaine temporel. f La fréquence d’un signal.
Ψ (t) L’ondelette mère.
Ψ a, b (t) Les ondelettes filles.
a Le facteur d’échelle. b Le facteur de translation. j Représente l’indice de l’IMF.
i Constitue l’indice de l’itération appliquée sur le résidu pour vérifier le critère d’une IMF.
𝜺 Indique le seuil prédéfini, c’est un critère de condition de la boucle indicée par i. 𝐫𝐣 Désigne le résidu après l’obtention de la jeme
IMF.
𝐡𝐣, C’est une variable intermédiaire de calcul qui prend la valeur du nouveau résidu à la première itération, puis, elle prend la différence entre le résidu et la valeur de l’enveloppe moyenne aux itérations suivantes.
𝐦𝐣 Désigne l’enveloppe moyenne, obtenu à partir des deux enveloppes de𝐡𝐣,. SD (i) Indique le critère d’arrêt à l’ ieme itération.
1
Introduction générale
Le cœur est un muscle cardiaque ayant une fonction très importante dans le corps humain. Il fait circuler le sang dans l'organisme en agissant comme une pompe par des contractions rythmiques. Cependant, un déséquilibre électrique dans cet organe peut mener à des pathologies cardiaques. Ces dernières constituent l'une des principales causes de mortalité dans le monde, un taux de 60% de ces maladies est enregistré dans les pays en voie de développement [1]. Le déséquilibre dans le muscle cardiaque peut être détecté par l’intermédiaire de l’électrocardiogramme (ECG), qui représente l’examen le plus couramment employé. Ce dernier permet de détecter les anomalies dans le fonctionnement du muscle cardiaque pour dresser leur diagnostic.
L’électrocardiogramme (ECG) est une représentation graphique temporelle des différences de potentiels prélevée entre plusieurs électrodes placés à la surface du corps. Cet enregistrement donne des informations importantes sur l’évolution de l’activité électrique du cœur. Le tracé ECG comprend des ondes et des segments caractérisant l’activité électrique des oreillettes et des ventricules. Les durées des intervalles et des segments de l’ECG ainsi que les amplitudes et les durées de ses ondes sont des caractéristiques primordiales. En effet, ces dernières peuvent être significatives d’une grande quantité des anomalies cardiaques.
Le traitement automatique du signal ECG a suscité un grand intérêt dans ces dernières années, tant dans les milieux médicaux que dans ceux qui s’occupent avec le traitement du signal. Il constitue une tâche particulièrement délicate, car son objectif principal est de compléter ou même de substituer l’apport du médecin.
La détection des complexe QRS par extraction des positions de différents pics R représente l’étape la plus dominante dans l’opération de segmentation des signaux électrocardiographiques. En effet, d’une part, l’estimation du cycle cardiaque s’effectue en mesurant les intervalles R-R, et d’autre part, la détection des autres ondes constitutives du signal ECG dépend de l’extraction exacte des positions des ondes R.
Dans la littérature, la détection des complexes QRS des signaux ECG a fait l’objet de plusieurs travaux et elle continue à être un domaine de recherche très développée. Ces travaux se
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basent sur diverses méthodes de détection et de transformation. Chaque approche apporte des avantages et des inconvénients en termes de performance et de complexité. Les algorithmes classiques en temps réel présentent des mauvaises performances dans le cas de la morphologie variable des complexes QRS au cours du temps, en présence du bruit et des arythmies cardiaques. Plusieurs algorithmes basées sur la transformée en ondelettes ont été proposées et testées avec efficacité pour la détection des complexes QRS [2-4].
Récemment, une autre méthode de décomposition très importante appelée « EMD » est beaucoup utilisée dans le cas du traitement des signaux. Cette dernière décompose le signal de manière simple en une série de composantes oscillantes (IMF) qui sont des fonctions oscillantes de moyenne nulle, reflétant les fréquences présentes localement dans le signal.
L’objectif principal de ce travail est focalisé sur l’analyse et la segmentation des signaux électrocardiographiques (ECG). Dans un premier lieu, nous avons utilisée la transformée en ondelettes discrète (TOD) pour le filtrage des signaux. Puis, la détection des positions des ondes R est effectuée en utilisant la méthode de la décomposition modale empirique pour permettre par la suite une localisation des autres ondes caractéristiques de l’ECG.
Le travail effectué dans ce mémoire est organisé en quatre chapitres :
Le premier chapitre présente une description anatomique et physiologique du cœur. Nous exposons des notions fondamentales sur la nature et l’origine physiologique de l’électrocardiogramme. En outre, les principales techniques utilisées pour l’enregistrement des tracés ECG sont présentées. Les divers types de bruits souvent observés sur les signaux ECG ainsi que quelques cas pathologiques font aussi partie de ce chapitre.
Le deuxième chapitre décrit le principe de l’analyse temps–fréquence. Cette dualité temps-fréquence est le fondement de la plupart des méthodes du traitement de signal analogique. Dans un premier temps, nous présentons la transformée de Fourier classique (TF) ainsi que sa limitation lors de l’analyse des signaux non stationnaires. Pour pallier à cette déficience, une idée est introduite à travers la transformée de Fourier à fenêtre glissante (TFCT), dans laquelle on fait intervenir une fenêtre temporelle dont son rôle est de limiter le domaine d’intégration temporel et ainsi d’obtenir une localisation de l’information dans le domaine conjoint temps-fréquence. Ensuite, la transformée en ondelettes est présentée, utilisant une base des fonctions d’ondelettes
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ayant des positions et des durées variables pour remédier au problème de la durée fixe de la fenêtre d’analyse rencontré dans la TFCT.
Le troisième chapitre est consacré à la présentation de la méthode de décomposition modale empirique (EMD). Tout d’abord l’aspect général de cette méthode est exposé suivie par une description de l’algorithme de décomposition selon le processus de tamisage. Une démonstration de diverses propriétés fondamentales de l’EMD fait aussi objet de ce chapitre.
Le quatrième chapitre est destiné pour la description de la méthode mise en œuvre pour la segmentation des signaux ECG issues de la base de données MIT-BIH. Dans un premier temps, les signaux sont filtrés de tous types de bruits de hautes et de basses fréquences par l’application de l’analyse multirésolution par transformée en ondelettes discrètes (TOD). Ensuite, la détection des ondes R est effectuée en se basant sur l’utilisation conjointe de la méthode de décomposition EMD et de l'enveloppe approximative améliorée par application de la méthode de Hilbert. Enfin, les positions des ondes R sont extraites comme étant les maximums de l’enveloppe améliorée. Cet algorithme est appliqué par la suite pour l’extraction des pics R dans des segments ECG de la base de données MIT-BIH présentant certains types de perturbations et de pathologies cardiaques. Puis, l’extraction des autres ondes caractéristiques (Q, S, P et T) ainsi que des points de débuts et de fin des complexes QRS est aussi présentée dans ce chapitre.
Enfin, ce mémoire est achevé par une conclusion générale résumant tous les résultats obtenus dans notre travail ainsi que les perspectives envisageables.
Chapitre I
Description du signal
Electro-cardiographique
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I.1 Introduction
Dans ce chapitre, une description du signal électro-cardiographique est présentée. Tout d’abord, nous décrivons le principe général du système cardiovasculaire. Ensuite, l’activité éclectique du cœur est exposée. Après, nous présentons les différentes composantes caractéristiques d’un enregistrement ECG, telles que les ondes et les intervalles, ainsi que ses origines physiologiques. Enfin, les différentes sources de bruits qui affectent le tracé ECG, ainsi que des cas pathologiques courants, sont aussi décrits dans ce chapitre.
I.2 Système cardio-vasculaire
Le système cardiovasculaire est un grand réseau d'organes et de vaisseaux responsables de la circulation sanguine vers le corps, pour reconstituer et nourrir les cellules.
I.2.1 Le cœur
Le cœur est un organe important dans le corps humain appelé aussi ‘myocarde’ composé de deux oreillettes et deux ventricules. Il est situé dans la partie supérieure du corps dans le thorax entre les deux poumons. La taille du myocarde est presque identique à celle d’une poignée et son poids est d’environ 250g ou 350 g.
Le cœur fonctionne comme une pompe: la contraction automatique des oreillettes et des ventricules aide à pomper du sang à travers les vaisseaux cardiovasculaires vers les cellules du corps. La quantité du sang pompé par jour est presque 7600 litres.
I.2.2 Anatomie du cœur
Le cœur est un organe musculaire très puissant situé au centre du thorax. Cet organe est pratiquement infatigable car il fait circuler le sang dans tout le corps à chaque instant sans relâche.
La partie gauche du cœur propulse le sang des artères remplies d’oxygène qui venait directement des poumons et envoie le sang oxygéné dans tout le corps par l’artère principale qui s’appelle l’aorte. Le sang artériel alimente chacun des organes en oxygène permettant leur bon fonctionnement. La partie droite du cœur assure la circulation du sang pauvre en oxygène qui recoule par les veines. Ce sang retourne par la suite aux poumons où sera débarrassé du gaz carbonique (CO2 ) et rechargé en oxygène (O2).
Le cœur est constitué de quatre cavités appelées les chambres, les deux chambres supérieures sont les oreillettes et les deux chambres inférieures sont les ventricules (Figure
5
I .1). Entre les oreillettes et les ventricules il existe des valves qui sont des passages ou des portes par lesquelles le sang entre et sort du cœur dans une direction.
Figure I.1: Anatomie du cœur [5].
I.2.3 Circulation du sang
La circulation du sang se produit selon les étapes suivantes :
le sang pénètre par la veine cave inférieure et veine cave supérieure vers l’oreillette droite.
l’oreillette droite se contracte pour expulser le sang dans le ventricule droit par la valve tricuspide.
lorsque le ventricule droit se remplit du sang la valve tricuspide est fermé.
le ventricule droit doit contracter et expulse le sang dans les artères pulmonaires par la valve pulmonaire vers les poumons.
les poumons alimentent le sang en oxygène et débarrasse le dioxyde de carbone, après le sang riche en oxygène arrive dans l’oreillette gauche par la veine pulmonaire. la contraction de l’oreillette gauche permet le passage du sang vers le ventricule
gauche par valve mitrale (valve bicuspide).
le ventricule gauche se contracte pour expulser le sang dans l'aorte par valve aortique vers tout le corps.
6 a. La grande circulation du sang
Le sang oxygéné circulant toujours dans le même sens a l’intérieur d’un circuit clos parcourt plus de cent mille kilomètres vaisseaux sanguins de différents calibres. Il quitte le cœur en passant par des artères qui se ramifient et deviennent de plus en plus fines.
b. La petite circulation du sang
Le sang pauvre en oxygène, en repassant par le cœur est envoyé vers les poumons par les artères pulmonaires. Il y est ré-oxygéné, puis il retourne vers le cœur par les veines pulmonaires.
La figure I.2 schématise le principe de la circulation sanguine :
Figure I.2 : Circulation du sang [5].
I.2.4 Activité électrique cardiaque
Chaque contraction cardiaque est générée suite à une activité électrique du cœur qui possède un réseau servant à transférer l’impulsion électrique entre les différentes chambres du cœur.
a. Réseau électrique du cœur
Le schéma du réseau électrique du cœur est illustré par la figure I.3, il se compose des éléments suivants:
7
Nœud du sinus auriculaire (SA) : situe dans la face antérieure de l'oreillette droite, ce nœud est composé des fibres musculaires libres, de fibres nerveuses et de certaines cellules nerveuses. Elle représente une source majeure d'électricité cardiaque.
Nœud auriculo-ventriculaire (AV): se situe en dessous de la barrière séparant les oreillettes. Ce nœud devient la principale source d'électricité si le premier nœud (SA) est perturbé.
Emballage auriculo-ventriculaire: appelé aussi faisceau de Hys, Il se ramifie du nœud AV à la base du cœur.
Le réseau de Purkinje: Il commence de la fin du faisceau de Hys jusqu'à la paroi interne du ventricule. Sa fonction est de transférer l'électricité aux cellules cardiaques dans la paroi des ventricules.
Figure I.3 : Réseaux électrique du cœur [6].
b. Fonctionnement électrique du cœur
L’impulsion électrique se propage dans le muscle cardiaque induisant sa contraction (figure I.4). Elle prend naissance dans le sinus puis se propage dans les oreillettes entraînant leurs contractions (systole auriculaire). L’impulsion arrive alors au nœud auriculo-ventriculaire (AV), seul point de passage électrique entre les oreillettes et les ventricules. Une courte pause est alors introduite juste avant la propagation dans les fibres constituant le faisceau de Hys. Au passage de l’impulsion électrique, les ventricules se contractent à leur
8
tour (systole ventriculaire). Après la décontraction du muscle (diastole), les cellules se re-polarisent et le cœur devient pris pour un nouveau battement.
Figure I.4 : Fonctionnement électrique du cœur [6].
L’enregistrement de la variation de l’activité électrique cardiaque en fonction du temps appelé le signal ElectroCardioGraphique (ECG) ou l’ElectroCardioGramme.
I.3 Le signal électrocardiographique
I.3.1 Historique sur l’électrocardiogramme
L'activité musculaire produit un potentiel électrique qui est connu depuis les travaux de Carlo Matteucci en 1842. Les premières expérimentations sont réalisées en 1878 par John Burden Sanderson et Frederick Page qui détectent à l’aide d’un électromètre capillaire les phases QRS et T, définies par la suite. A cette même période, E. Marey [7] et Augustus Waller [8] montrent que l’activité électrique cardiaque peut être suivie à partir de la peau. En 1887, le premier électrocardiogramme humain est publié par Augustus Waller.
En 1895, Willem Einthoven [9], met en évidence les cinq déflexions P, Q, R, S et T. Il utilise le galvanomètre à cordes en 1901 et publie les premières classifications d’électrocardiogrammes pathologiques en 1906. Il obtiendra en 1924 un prix Nobel pour ses travaux sur l’électrocardiographie. Les dérivations précordiales sont utilisées pour le diagnostic médical à partir de 1932 et les dérivations frontales unipolaires à partir de 1942, ce qui permet à Emanuel Goldberger de réaliser le premier tracé sur 12 voies.
9 I.3.2 Principe de l’enregistrement ECG
L’électrocardiographie (ECG) est l’enregistrement des potentiels électriques parcourant le cœur. La propagation des potentiels d’action au sein du cœur correspond en fait à la propagation d’une zone de dépolarisation (positive) dans un myocarde repolarisé (négatif). Donc, l’amplitude, la vitesse et la direction moyenne du front de propagation qui sont enregistrées au cours de l’enregistrement ECG.
L’enregistrement ECG peut se faire soit par voie externe à l’aide d’électrodes posées à la surface du corps, soit par voie interne en enregistrant l’influx électrique à la surface du cœur (enregistrement épicardique), ou directement en introduisant une sonde endocavitaire. Il se fait sur un papier millimétré, déroulant à vitesse constante. Ce papier est composé de carrés de 5mm5 mm qui sont subdivisés en carrés plus petits d’un millimètre de côté. Dans les conditions standard, le papier est déroulé à la vitesse de 25 mm par seconde, de sorte qu’un millimètre corresponde à 0,04 seconde, et 5mm à 0,20 seconde. Un étalonnage correct est indispensable à l’interprétation des tracés. L’étalonnage standard de l’électrocardiogramme enregistre en ordonnée une déflexion de 10 mm pour un voltage de 1 mV.
I.3.3 Caractéristiques du signal ECG
Le signal ECG est obtenu à partir d’un appareil appelé l’électrocardiographe, qui enregistre l’activité mécanique du cœur sous forme d’un signal électrique. L’information enregistrée dans l’ECG se présente comme une série d’ondes électriques avec des formes et des durées particulières qui se répètent à chaque cycle cardiaque. En réalité ces ondes traduisent les différents phénomènes mécaniques des parties du cœur.
La contraction et la relaxation du myocarde sont représentées par une série de déviations positives et négatives superposées sur une ligne de potentiel zéro (ligne de base) qui correspond à l'absence de phénomènes cardiaques comme le montre la figure I.5.
10
Onde P : Elle correspond à la dépolarisation des oreillettes. Cette onde est positive de faible amplitude et arrondie. Il existe un léger retard entre l’oreillette droite, qui se contracte en premier, et l’oreillette gauche. Ce retard n’est pas visible dans l’onde P.
Complexe QRS : Il correspond à la dépolarisation des ventricules qui se contractent simultanément. Le complexe QRS est constituée de trois ondes principales:
- Onde Q: représente la première déflexion négative. - Onde R: est la première déflexion positive.
- Onde S: est la défection négative qui suit l’onde R.
Onde T : elle est positive et allongée et elle correspond à la repolarisation des ventricules.
Onde U : c’est une onde de faible amplitude pouvant être observée après l'onde T. Elle est souvent associée aux processus de repolarisation ventriculaire tardive.
I.3.4 Intervalles et segments du signal ECG
Les intervalles et les segments sont des paramètres très important du tracé ECG permettant d’évaluer sa normalité.
Intervalle R-R : représente le cycle de repolarisation ventriculaire et sépare les sommets de deux ondes R successives, Il est associé à la période cardiaque.
Intervalle P-R (ou P-Q) : Il représente le temps de conduction auriculo-ventriculaire, correspond au délai entre la dépolarisation de l’oreillette et celle du ventricule. Il est donc relatif au temps de propagation de l’onde de dépolarisation à travers les oreillettes, le nœud auriculo-ventriculaire, le faisceau de His et le réseau de Purkinje, jusqu’aux cellules myocardiques ventriculaires.
Intervalle Q-T : correspond au temps de la systole ventriculaire qui va du début de l’excitation des ventricules jusqu’à la fin de leur décontraction.
Segment S-T : correspond à la phase de repolarisation ventriculaire. Donc, il représente l’étape durant laquelle les cellules ventriculaires sont toutes dépolarisées.
Les valeurs habituelles des durées et des amplitudes des ondes et des intervalles d’un signal électrocardiographique pour un sujet sain sont regroupées dans le tableau I.1.
11 Onde P Complexe QRS Onde T Intervalle PR Intervalle ST Intervalle QT Durée (s) 0.08-0.1 0.08 0.2 0.12-0.2 0.20 0.36 Amplitude (mV) 0.25 Qa<0, Ra>0, Sa<0 Ta >0 Isoélectrique : 0 Isoélectrique : 0
Tableau I. 1 : Valeurs habituelles des différents paramètres caractérisant un battement cardiaque [10].
I.3.5 Rythme et fréquence cardiaque
a. Le rythme cardiaque
Le rythme cardiaque dépend de l’endroit de la génération de l'impulsion électrique dans le cœur et de la régularité ou non de sa propagation. Un rythme cardiaque est dit sinusal dans le cas normal où l'activité électrique est générée par le nœud sinusal et il est régulier si les complexes QRS sont similaires et l'intervalle R-R est quasi-constant sur tout le tracé ECG.
b. La fréquence cardiaque
La fréquence cardiaque est le nombre de cycles cardiaques par minute. Elle est très rapide chez un nouveau-né, rapide chez un enfant et légèrement plus lente chez une personne âgée. Les athlètes ont habituellement une fréquence cardiaque plus basse au repos qu’une personne s’entraînant peu ou pas du tout. La fréquence cardiaque est aussi le nombre de contractions ventriculaires par unité de temps; autrement dit, sur l’ECG on la repère grâce au nombre de complexes QRS, donc de dépolarisation des ventricules par une impulsion électrique, à chaque minute.
Pour un sujet sain, le rythme cardiaque est régulier et sinusal. Il est caractérisé par une fréquence cardiaque comprise entre 60 à 100 bpm (battements par minute) durant la journéeet 40 à 80 bpm durant la nuit. Lors de l’inspiration, la fréquence cardiaque augmente alors qu’elle diminue durant l’expiration.
I.4 Dérivations électrocardiographiques
Les appareils électrocardiographiques peuvent enregistrer plusieurs différences de potentiels en même temps selon l'emplacement et le nombre d'électrodes réparties sur le corps. Chaque mesure de ces potentiels correspond alors à une dérivation de l'ECG. L’emplacement de ces électrodes est choisi de manière à explorer la quasi-totalité du champ
12
électrique cardiaque résultant de la contraction du myocarde. Donc, la dérivation est définie par deux points d'observation de l'activité électrique du cœur à partir des quels on mesure une différence de potentiel électrique.
I.4.1 Les dérivations périphériques
Les dérivations périphériques (ou dérivations des membres) permettent d'étudier l'activité électrique du cœur sur le plan frontal. Elles sont obtenues au moyen de quatre électrodes appliquées au bras droit, au bras gauche et à la jambe gauche. L'électrode de la jambe droite étant une électrode neutre destinée à éliminer les parasites électriques. Elles ont été déterminées par Einthoven en 1906 (Les dérivations périphériques bipolaires) et complétées par Goldberger en 1942 (Les dérivations périphériques unipolaires).
a. Les dérivations périphériques bipolaires
Les dérivations bipolaires (DI, DII, DIII) ont été déterminées par Einthoven au début du vingtième siècle [11], et restent encore utilisées jusqu’aujourd’hui. Ces dérivations utilisent trois électrodes placées sur le sujet. Les électrodes sont placées sur les bras droit et gauche et sur la jambe gauche pour former un triangle (triangle d’Einthoven). Ces dérivations sont dites bipolaires parce qu’elles mesurent une différence de potentiel entre deux électrodes. Chaque côté du triangle formé par les trois électrodes représente une dérivation en utilisant une paire d’électrodes différente pour chacune des dérivations (Figure I.6).
Les trois dérivations sont :
DI (dérivation I) avec DI = VL−VR
DII (dérivation II) avec DII = VF− VR
DIII (dérivation III) avec DIII = VF− VL
Avec : VL est le potentiel sur le bras gauche, VR représente le potentiel sur le bras droit et VF
est le potentiel sur la jambe gauche.
13 b. Les dérivations périphériques unipolaires
Les dérivations unipolaires ont été introduites par Wilson. Dans son système, les dérivations sont obtenues entre une électrode exploratrice placée au sommet du triangle d'Einthoven et une borne centrale (électrode neutre ou indifférente, dont le potentiel est la moyenne des potentiels des trois sommets du triangle d'Einthoven). Cela a donné les dérivations unipolaires VL VR et VF. Plus tard, Goldberger [12] a modifié le système des
dérivations de Wilson pour obtenir trois dérivations unipolaires augmentées, appelées aVL
aVR et aVF qui sont illustrées sur la figure I.7. La lettre a (augmented en anglais) désigne le
fait que les nouvelles dérivations amplifient les variations de potentiel des dérivations de Wilson par un facteur de 1.5.
Figure I.7 : Montage de Goldberger pour des dérivations unipolaires.
I.4.2 Les dérivations précordiales
Pour mesurer les potentiels proches du cœur, Wilson a introduit les dérivations du plan horizontal V1, V2, V3, V4, V5, et V6 [13]. Ces six dérivations sont localisées du côté gauche du thorax (Figure I.8). Les potentiels sont enregistrés à partir d’une électrode exploratrice (pôle positif) placée sur le thorax et l’électrode de référence (pôle négatif) connectée à la borne centrale de Wilson. Ce sont des dérivations rapprochées car l'électrode exploratrice est placée à faible distance des parois du ventricule droit et gauche.
14
Figure I.8: Position des électrodes pour les dérivations unipolaires précordiales.
I.5 Types de bruits observés sur l’ECG
Lors de l’enregistrement de l'électrocardiogramme, il peut être contaminé par diverses sources de bruit. Ces sources peuvent être de plusieurs types: techniques, physiques, pathologiques,…etc. Cependant, on va se baser sur l’aspect technique et physique des bruits observés sur les tracés ECG.
I.5.1 Bruits techniques
Les causes principales des bruits techniques visibles sur les signaux ECG sont couramment les appareils utilisés au cours de leur enregistrement. Dans cette catégorie de bruit, on distingue le bruit dû aux mouvements des électrodes et celui dû au réseau électrique.
a. Bruit dû au réseau électrique
Dans certains cas, le signal ECG peut être affecté par un bruit dû au réseau de distribution électrique. Dans le domaine fréquentiel, ce type de bruit est caractérisé par une fréquence de 50 Hz (ou 60 Hz). Ce type de bruit apparait sur tout le tracé ECG et son annulation s’effectue facilement par le biais d’un filtre sélectif à cause de sa haute fréquence et de sa bande étroite.
15 b. Bruit dû au mouvement des électrodes
Ce type de bruit peut apparaître sur les tracés ECG quand les électrodes sont placées incorrectement. Par conséquence, des sauts brusques de la ligne de base des signaux ECG apparaissent. En outre, des pics indésirables peuvent parfois être confondus avec les ondes du tracé normal lorsque les électrodes sont en contact discontinu avec la peau comme il est indiqué par la figure I.9.
L’énergie de ce type de bruit, possédant une large bande spectrale, est concentrée dans la même bande spectrale que le complexe QRS du signal ECG. Par conséquence, son élimination est devenue difficile à effectuer.
Figure I.9: Bruit dû au mauvais contact électrode-peau.
I.5.2 Bruits physiques
Cette catégorie de bruits est principalement due aux autres activités électriques du corps humain telles que les commandes de contraction des muscles ou le processus de respiration.
a. Mouvements de la ligne de base
Pendant la procédure d'enregistrement de l’ECG, des oscillations de la ligne de base du signal ECG peuvent apparaitre à cause de l'activité respiratoire du corps (Figure I.10). Néanmoins, cette perturbation peut être en grande partie filtrée puisque son énergie est concentrée dans une gamme spectrale de basse fréquence.
16
Figure I.10: Bruit dû aux mouvements de la ligne de base.
b. Bruit musculaire
La contraction d'un muscle est provoquée par une dépolarisation des cellules musculaires. Bien que les électrocardiographes soient construits pour être surtout sensibles aux fréquences du myocarde, l'enregistrement ECG peut contenir des oscillations à haute fréquence dues aux contractions des muscles squelettiques (Figure I.11).
Figure I.11 : Bruit musculaire.
Ce type de bruit est particulièrement relié à l’activité électrique musculaire d'un sujet qui n’est pas bien calme. Cette perturbation peut empêcher un diagnostic fiable car elle peut recouvrir les ondes P et T du signal ECG.
I.6 Quelques cas de pathologies cardiaques
Le cœur humain est un organe vivant pouvant être affecté par des pathologies qui défavorisent son activité. Ces pathologies peuvent avoir différentes origines ; ils sont dus soit
A mp li tu d e ( mV ) Temps e (s) Temps (s) A mp li tu d e ( mV )
17
à une anomalie de la génération de l'excitation cardiaque ou à des anomalies de la conduction de cette excitation [14,15]. L’électrocardiogramme est le meilleur outil pour diagnostiquer ces pathologies [16]. Parmi les pathologies cardiaques souvent rencontrées, on peut mentionner :
I.6.1 Fibrillation auriculaire (FA)
La fibrillation auriculaire est un rythme cardiaque supra ventriculaire irrégulier sans aucune régulation. La dépolarisation se divise en plusieurs fronts, provoquant une perturbation complète de l'activité électrique dans les oreillettes. Cette activité laisse le muscle cardiaque auriculaire sans repos électrique. Cela se traduit sur le tracé ECG par la disparition des ondes P ou l’apparition d’un bruit permanant (Figure I.12).
Figure I.12: Fibrillation auriculaire.
I.6.2 Fibrillation ventriculaire (FV)
La fibrillation ventriculaire c’est l’équivalent physiologique de la fibrillation auriculaire, mais transposée aux deux ventricules. Lorsque les ventricules sont complètement désynchronisés et il n'y a pas de contractions cardiaques, un électrocardiogramme enregistre une activité ventriculaire rapide, irrégulière et aléatoire (Figure I.13). Ainsi, la fibrillation ventriculaire est une perturbation grave du rythme cardiaque qui peut entraîner une mort subite. En fait le cœur ne fait plus fonctionner la pompe et le sang ne circule plus, ce qui conduit à l'étouffement de tous les tissus du corps y compris le myocarde.
18 I.6.3 Tachycardie ventriculaire (TV)
La tachycardie ventriculaire a pour origine un ou plusieurs foyers ectopiques ventriculaires (qui se dépolarisent à tour de rôle). Les battements ont donc la forme d’extrasystoles ventriculaires très rapprochées. Ce type de rythme est dangereux à cause de sa possible évolution en fibrillation ventriculaire. Donc, elle peut conduire au décès du patient si elle n’est pas traité à l’aide d’un défibrillateur dans les quelques minutes qui suivent son apparition (Figure I.14).
Figure I.14: Tachycardie ventriculaire.
I.7 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons passé en revue les principes de base de l’électrocardiographie. Les origines physiologiques de l’électrocardiogramme ainsi que de ses diverses composantes caractéristiques telles que les ondes et les intervalles ont été aussi présenté. Nous avons également décrit les différentes techniques d’enregistrement des signaux ECG. Les différentes sources de bruit qui peuvent affecter les tracés ECG ainsi que certaines pathologies principalement rencontrée ont fait aussi objet de ce chapitre.
Chapitre II
De l’analyse en fréquence à
l’analyse temps-fréquence
19
II.1 Introduction
Dans ce chapitre, nous présentons le passage de l’analyse en fréquence vers l’analyse temps–fréquence. En effet, le principe de la majorité des techniques du traitement de signal analogique repose sur la dualité temps-fréquence. Tout d’abord, nous passons en revue les propriétés et les limitations majeures de la transformée de Fourier classique (TF). Ensuite, nous présentons la transformée de Fourier à court terme (TFCT) comme une solution des problèmes rencontrées par la TF classique. Puis, nous présentons la transformée en ondelettes avec ses deux variétés continue et discrète. Enfin, un exemple d’illustration fait partie de ce chapitre pour mettre en évidence les avantages et les inconvénients de toutes les méthodes d’analyse présentées en cas des signaux stationnaires et non stationnaires.
II.2 Transformée de Fourier
II.2.1 Définition
La transformation de Fourier (TF) est une méthode classique permettant de passer du domaine temporel au domaine fréquentiel par des fonctions de base sinusoïdale ou exponentielle. La transformée de Fourier d’un signal x(t) est définie par :
(II.1)
Avec t : représente le temps, f : représente la fréquence, x(t) : le signal à analyser et X(f) : le spectre en fréquence.
II.2.2 La transformée de Fourier inverse
Le travail dans le domaine fréquentiel est très utile dans de nombreuses opérations et analyses pour extraire des informations. Cependant, si on veut revenir au domaine temporel on utilise la transformée de Fourier inverse, exprimée comme suit:
(II.2)
II.2.3 Les propriétés de la transformées de Fourier
La transformée de Fourier est caractérisée par les propriétés suivantes:
Symétrie :
Si x(t) est réel : X (-f) = X*(f) │X (-f) │= │X(f) │
20 Linéarité : Si x1(t) ↔ X1(f) a x1(t) + b x2(t) ↔ a X1(f) + b X2(f) x2(t) ↔ X2(f) Dualité : g(t) ↔ H(f) h(t) ↔ G(-f) Translation x(t-t0) ↔ ↔ X (f-f0) Dilatation x (at) ↔ 1/aX(f/a)
II.2.4 Condition d’existence de la transformée de Fourier
Pour une fonction x(t) ayant la transformée de Fourier définie par l’expression (II.1), il faut et il suffit que :
L’intégral de x(t) entre -∞ et +∞ soit une valeur finie.
x(t) soit une fonction bornée.
Les discontinuités de x(t) ainsi que les maxima et minima soient en nombre finie. II.2.5 limitations de la transformée de Fourier
La TF fournit l’information spectrale du signal, ce qui signifie qu’elle nous donne des informations sur les fréquences existantes dans le signal mais ne permet pas de donner l’instant de ces fréquences. Donc, cette transformation donne une représentation exacte en cas d’un signal stationnaire dont ses composantes fréquentielles sont constantes et ne changent pas au cours du temps.
Par contre, cette méthode reste insuffisante pour mettre en évidence les caractéristiques évolutives en cas du signal non stationnaire dont ses composantes de fréquences changent avec le temps [17]. Une autre description s’avère donc nécessaire, combinant la description temporelle et la description fréquentielle : c’est la représentation « temps-fréquence ».
21
II.3 Méthodes de représentation temps-fréquence
Il existe plusieurs technique de représentation temps-fréquence, dont les plus courantes sont : la Transformée de Fourier à Court Terme (TFCT) et la Transformée en Ondelettes (TO).
II.3.1 Transformée de Fourier à court terme
La transformation de Fourier à court terme (TFCT) est une technique de représentation temps-fréquence permettant de remédier au problème rencontré lors de l’application de transformée de Fourier.
a. Définition et propriétés
Gabor a introduit une fonction bien localisée en temps dans les années 40. Elle ne représente pas une nouvelle méthode, mais c'est une façon d'utiliser la TF pour analyser les propriétés du signal qui varient en fonction du temps. Dans la TFCT, le signal est divisé en des segments suffisamment petits afin de pouvoir considérer le signal comme stationnaire. Les étapes permettant de calculer la TFCT peuvent être résumées comme suit :
1. Choix de la fenêtre, dont la forme la plus simple de la fenêtre c'est la forme rectangulaire.
2. Choix de la largeur de la fenêtre.
3. Localiser la fenêtre autour de l'instant t=0 (début du signal). 4. Tronquer le signal en utilisant cette fenêtre.
5. Calculer la TF du signal tronqué, puis sauvegarder le résultat trouvé. 6. Faire glisser la fenêtre sur l'axe temporelle.
7. Revenir au pas 4, jusqu’à ce que la fenêtre atteigne l’extrémité du signal.
Pour chaque partie où la fenêtre est centrée, nous obtenons une TF différente comme présente la figure II.1. Par conséquent, chaque TF Fournit les informations spectrales d’une tranche séparée du temps du signal, fournissant simultanément le temps et les informations de fréquence. Donc, la TFCT peut être exprimée par la formule suivante:
22 Avec :
s(t) : le signal à analyser.
g*(t- ) : le conjugué de la fenêtre d’analyse g(t) centrée à t= .
La quantité est appelé le spectrogramme de s(t), qui fournit une indication sur la quantité d’énergie présente dans le signal autour de la fréquence f à l’instant .
Figure II.1: Principe de la TFCT. b. Principe d’incertitude d’Heisenberg
Avant de définir les méthodes d'analyse temps-fréquence, le signal ne peut être à la fois parfaitement localisé simultanément en temps et en fréquence. Ceci est interprété par une loi de mécanique quantique appelé: principe d’incertitude d’Heisenberg.
La localisation en temps-fréquence se mesure en écart-type et se présente sous forme d'une boite d’Heisenberg. Cette boîte est un rectangle de dimension σt et σf qui donne la limite à la précision de différentes méthodes de représentation du signal. Ce principe est énoncé par l’équation suivante:
(II.4) où σ désigne écart-type, σ2t désigne la variance de temps, σ2f désigne la variance de la
fréquence
Ce principe peut être appliqué à l’information temps-fréquence d’un signal : on ne peut pas connaitre la représentation exacte en temps-fréquence d’un signal, c’est-à-dire, on ne peut pas connaitre quelles composantes spectrales existent à des instants précis du temps. Ce qu’on
23
peut savoir sont les intervalles de temps dans lesquels certaines bandes de fréquences existent [18,19].
c. Limitations de la TFCT
Du fait que la TFCT est limité par le principe d’incertitude d’Heisenberg, on ne peut donc obtenir une représentation temps-fréquence exacte d’un signal. En d’autres termes, on ne peut donc savoir quelles composantes spectrales existant à un instant donné. Tout ce que nous pouvons connaitre ce sont les intervalles de temps pendant lesquels une certaine bande de fréquence existe. La TFCT présente donc un inconvénient majeur de résolution temporelle et fréquentielle fixes.
Le choix d’une taille de fenêtre unique pour représenter un signal par le spectrogramme impose par conséquent un compromis parfois difficile entre la précision de la localisation temporelle et celle de la localisation fréquentielle. Ainsi, la résolution fréquentielle est améliorée de plus en plus avec une diminution de la résolution temporelle et vice-versa [20].
L’inconvénient majeur de la TFCT est dû à l’utilisation d’une fenêtre d’analyse à taille fixée permettant une faible résolution temps-fréquence. Afin de palier à cet inconvénient, il faut chercher une transformée permettant une analyse semblable mais capable d’agir pour toute une gamme de résolution temporelle et fréquentielle simultanément [21]. L’ingénieur Jean Morlet au début des années 80 a proposé la transformée en ondelette continue en utilisant une fonction appelée « ondelette », bien localisée en temps et en fréquence et sur laquelle on applique des translations et des dilatations.
II.3.2 Transformée en ondelettes a. Définition d’une ondelette
Une ondelette est une petite onde de durée limitée appartenant à l’espace des signaux
L2(), ayant une valeur moyenne nulle et une énergie finie [22]. Elle représente un outil
adéquat pour l’analyse des phénomènes transitoires, dont les caractéristiques statistiques varient dans le temps [23], car elle permet une analyse simultanée en temps et en fréquence avec une base mathématique flexible.
Il existe plusieurs familles d’ondelettes, à savoir Morlet, Chapeau Mexicain, Haar, Symlet, Daubechies, Coiflet…etc.
24
b. Principe de base de la transformée en ondelettes
La transformée en ondelettes peut être définie comme étant la projection du signal sur une base des fonctions d’ondelettes. En d’autres termes, une fonction de base appelée l’ondelette mère (t) que l’on va translater et dilater pour recouvrir le plan temps –fréquence et analyser le signal.
L’analyse des basses et des hautes fréquences contenues dans un signal est effectuée respectivement en dilatant ou en comprimant une fonction d’ondelette (t), à l’aide d’un paramètre a appelé facteur d’échelle. L’analyse par les ondelettes nécessite également un autre paramètre appelé facteur de translation b, dépendant de la position dans le temps de la fonction d’ondelette. Pour toute échelle a +
et pour toute position b , on définit un atome de la transformée en ondelette par :
a b t a 1 ) t ( , a , b a,b (II.5)
Les différentes valeurs possibles du facteur d’échelle a sont :
a<1 : une compression de l’ondelette (la fréquence de l’ondelette fille est plus grande que celle de l’ondelette mère).
a1 : une dilatation de l’ondelette (la fréquence de l’ondelette fille est plus petite que celle de l’ondelette mère).
a=1 : même enveloppe que l’ondelette mère (la fréquence de l’ondelette fille est égale à la fréquence de l’ondelette mère).
La TO possède deux variétés distinctes selon le type de variation des paramètres d’échelle et de translation : la transformée en ondelettes continue (TOC) et la transformée en ondelettes discrète (TOD).
c. La transformée en ondelette continue (TOC)
La transformée en ondelettes continue a été introduite initialement par Goupillaud, Grossaman, et Morlet. Dans ce cas, les paramètres de translation et de dilatation varient de manière continue. En d’autres termes, la TOC d’un signal d’énergie finie x(t) à l’échelle a et à la position b est calculée par la corrélation de x(t) avec l’ondelette ab(t) correspondante [6]. Elle permet donc le calcul d’une famille des coefficients d’ondelettes T(a,b) exprimés comme suit:
25
dt ) t ( ). t ( x b , a : , x ) b , a ( T * b , a * b , a (II.6) Donc :
dt a b t ). t ( x a 1 ) b , a ( T * (II.7) La TOC est alors calculée en faisant varier l’échelle sur la fenêtre d’analyse en décalant la fenêtre dans le temps, en effectuant le produit avec le signal puis en intégrant sur toute la durée. Les grandes échelles correspondent à des vues globales du signal sans aucun détail. Les faibles valeurs d’échelle correspondent à des vues détaillées. Du point de vue fréquentiel, les basses fréquences correspondent aux grandes échelles et fournissent une information globale sur le signal, alors que les hautes fréquences correspondent aux faibles échelles et donnent les informations détaillées sur un événement caché dans le signal (généralement de faible durée) [24].Ainsi défini, la TOC est une transformation temps-échelle, permettant l’analyse du signal x(t) pour la détection des singularités ou d’un comportement non stationnaire. Pour que cette transformation soit inversible, elle doit vérifier une condition très importante appelée condition d’admissibilité décrite par [21] :
df f ) f ( ˆ C 2 (II.8) Avec ˆ(f )est la transformée de Fourier de (t).
La formule de synthèse ou de reconstruction du signal est définie par [25] :
0 2 b , a a db . da ) t ( ). b , a ( T C 1 ) t ( x (II.9)La contribution de l’énergie de signal à l’échelle a et à la translation b est donnée par la fonction bidimensionnelle de la densité d’énergie d’ondelette connue sous le nom de scalogramme : 2 ) b , a ( T ) b , a ( E (II.10)
26
d. La transformée en ondelette discrète (TOD)
Contrairement à la transformée en ondelette continue, dans laquelle l’ondelette est dilatée de manière continue, la transformée en Ondelette Discrète (TOD) translate et dilate (contracte) l’ondelette selon des valeurs discrètes [25]. Par conséquent, la TOD est obtenue par une discrétisation de la TOC par un facteur d’échelle a et de translation b variant d’une manière dyadique, selon les formules suivantes :
) k (j, a kb b et a a j 0 0 j 0 (II.11) Avec : a0 > 1 et b0 > 0.
j, k : sont les paramètres de discrétisation qui contrôle respectivement la dilatation et la translation.
Le choix usuel a0=2 et b0 =1 est dicté par le théorème d’échantillonnage de Shannon [26]. Par conséquent, au lieu d’utiliser la famille d’ondelette décrite par la formule (II.5), on utilise pour la transformée discrète, la famille d’ondelettes décrite par l’équation suivante :
) k t 2 ( 2 ) t ( 2 * j j k , j (II.12)
La TOD du signal x(t) est alors définie par l’équation suivante :
2 ,b 2 k) 2 x(t). (2 t k)dt a ( T 2 * j j j j (II.13)Dans le cas où la base d’ondelettes est orthonormale, la transformée inverse de cette équation est donnée par :
j k jk k , j . (t) T ) t ( x (II.14) e. L’analyse multi-résolutionLa théorie de l’analyse multi-résolution conçoit la transformée en ondelette discrète comme une séquence d’application de filtres [27]. En effet, chaque signal est constitué de composantes basses fréquences appelées approximations et de composantes hautes fréquences appelées détails.
La figure II.2 illustre la structure pyramidale de l’algorithme de décomposition du signal x(n) utilisant la TOD à trois niveaux. Pour chaque niveau de décomposition, le signal
27
d’approximation est décomposé en un coefficient d’approximation et un autre de détail et ainsi de suite.
Figure II.2: Analyse multi-résolution d’un signal x(n) pour trois niveaux.
II.4 Exemples d’illustration
On considère un signal stationnaire x(t) composé des fréquences pures f1=80Hz,
f2=40Hz et f3=10Hz, exprimé par : x(t)=sin (2πf1t) +sin (2πf2t) +sin (2πf3t). On propose
également un autre signal non stationnaire y(t), exprimé par l’expression: sin (2πf1t) si 0 t t1
y(t) = sin (2πf2t) si t1 t t2 sin (2πf3t) si t2 t t3 Avec t1=0.3 s, t2=0.6 s et t3=1 s.
La figure II.3 montre la représentation temporelle des deux signaux proposés.
x(n) g(n) 2 d1 h(n) 2 g(n) 2 d2 h(n) 2 h(n) 2 g(n) 2 d3 a3 a2 a1 Niveau1 Niveau 2 Niveau 3
28
Figure II.3: Représentation temporelle du: (a) signal stationnaire x(t) et (b) signal non stationnaire y(t).
Nous savons que les deux signaux considérés ont trois composantes fréquentielles différentes. La figure II.3.a montre que les trois composantes de fréquences sont présentes le long du signal. Tandis que, le signal non stationnaire (Figure II.3.b) est caractérisé par une seule composante fréquentielle dans chaque intervalle du temps. Autrement dit, le signal y(t) est caractérisé par la fréquence f1 dans l’intervalle du temps [0, t1], puis la fréquence f2 dans l’intervalle [t1, t2] et enfin la fréquence f3 dans l’intervalle [t2, t3].
II.4.1 Analyse par la TF classique
La figure II.4 illustre les spectres de Fourier des signaux x(t) et y(t). Les spectres obtenus montrent l’existence de trois composantes spectrales, mais ils ne permettent pas de localiser leur existence dans le temps. On observe l’apparition des pics intermédiaires entre les lobes principaux avec des faibles amplitudes qui sont des bruits indésirables.
Temps (s) A m p li tu d e (a) (b) Temps (s) A m p li tu d e
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Figure II.4 : Spectre de Fourier du :(a) signal stationnaire x(t) et (b) signal non stationnaire y(t).
La comparaison des spectres en fréquence du signal stationnaire et non stationnaire montre qu’ils sont presque semblables. Cependant, les représentations temporelles des deux signaux (Figure II.3) n’ont aucune ressemblance entre eux. Les signaux mettent en jeu les mêmes composantes de fréquence, mais le premier présente ces composantes en permanence alors que le second ne les présente que sur des intervalles de temps différents. Donc, la TF classique n’est pas adéquate pour l’analyse des signaux non stationnaires.
II.4.2 Analyse par la TFCT Le spectrogramme
C'est une visuelle représentation spectral de la fréquence d'un phénomène ou autre signal varie en temps,le spectrogramme introduit en 2000, base sur la transformée de Fourier á court terme qui nécessite l’utilisation d’une fenêtre qui se déplace au long du signal et décompose en segment. A m p li tu d e A m p li tu d e Fréquence (Hz) Fréquence (Hz) (a) (b)
