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Étude de la polarisation en logique
Olivier Laurent
To cite this version:
Olivier Laurent. Étude de la polarisation en logique. Mathématiques [math]. Université de la
Méditer-ranée - Aix-Marseille II, 2002. Français. �tel-00007884�
U.F.R. DE SCIENCES
Numéro attribuépar labibliothèque :
THÈSE
pour obtenir le gradede
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉAIX-MARSEILLEII Dis ipline : MATHÉMATIQUES
présentée etsoutenue publiquementpar
OlivierLAURENT
le11 mars 2002
TITRE :
ÉTUDE DE LA POLARISATION EN LOGIQUE
Dire teursde thèse: Jean-Yves GIRARD Laurent REGNIER
Rapporteurs: Olivier DANVY Martin HYLAND
Jury : Samson ABRAMSKY Pierre-Louis CURIEN Vin ent DANOS Olivier DANVY Jean-Yves GIRARD Martin HYLAND
Mer i à mes deux anges-gardiens Vin ent Danos et Laurent Regnier pour avoir veillé, entre Paris et Marseille, àl'avan éede mestravaux et àleur diusion.
Mer i à Jean-Yves Girard de m'avoir a ueilli à Marseille, d'avoir a epté d'être mon dire teur de thèse et de m'avoir laissé puiser abondamment dansses idées.Mer i àlui également pour faire de l'équipe LDP e qu'elleestet pourlapla e importante qu'il insiste àdonner auxthésards.
Mer iàSamsonAbramsky,Pierre-LouisCurienetJean-YvesGirarddem'avoirapportéleursoutien in onditionnel lorsque 'était leplus important pour moi.
Mer i à Martin Hyland, qui fut l'un des premiers à lire e texte, pour les si agréables dis ussions que l'on a pu avoir lors de son séjour à Marseille et pour avoir a epté d'être rapporteur de ette thèse.
Mer i à Olivier Danvy d'avoir a epté lalourde tâ he d'apporter un regard informatique sur ette thèse et d'enêtre rapporteur.
Mer iàSamsonAbramskydesonintérêtpourmontravailetdesen ouragementsqu'ilm'aapportés. Mer ià Pierre-LouisCuriende l'attention qu'ila portée àmontravailet pour m'avoiren ouragé à rejoindresonlaboratoire.
Mer i àVin ent Danos pour tout e qu'ilm'a apprisde logique,sonenthousiasme, sondynamisme s ienti que, ...
Mer i àJean-Louis Krivinede m'avoirfait fairemes premiers pasen logique.
Mer i àSamson Abramsky, Pierre-LouisCurien, Vin ent Danos,Olivier Danvy, Jean-YvesGirard, Martin Hyland et Laurent Regnier d'avoir a epté de faire partie de mon jury et à Jean-Louis Krivined'avoir a eptéde leprésider.Et mer iàtous es her heurs a tifspour e queleur travail peutapporter auxdébutants omme en ouragements àla re her he.
Mer i àMyriam Quatrini et LorenzoTortora pour leur ollaboration agréable et fru tueuse. Mer i à Patri k Baillot, Russ Harmer et Peter Selinger pour toutes les dis ussions, apitales pour ette thèse,quenousavonspu avoir.
Mer i àPatri kBaillot, Pierre Boudes,AlexandraBruasse,Claudia Faggian, SylvainLippi,Virgile Mogbilet SamuelTronçond'avoir onstituéuneéquipede thésardsde ho très serrée thématique-ment equiaapportéunedynamiques ienti queex eptionnelle.Leurparti ipationà ette thèsea étéévidente et quotidienne.
Mer i àtous lesmembres del'équipe LDP pour leura ueil, leplaisir que j'aipu avoir à travailler ave euxet lesoutienqu'il m'ont apporté.
Mer i auxmembresde PPSde m'avoira ueilli pendant ette dernièreannée de thèse.
Mer iàFran eBodin,JeanineBrohanetAuréliaetÉri Lozingotpourleurpermanentedisponibilité et le nombre de problèmes qu'ils m'ont si e a ement aidé à résoudre. Mer i également à Pierre Barthélémy, Jean-Bruno Erismann et Pas al Rage pour leur aide. Et mer i à eux tous pour leur dynamismesans lequel l'IMLne seraitpas e qu'ilest.
plan s ienti que que personnel. Cettethèse lui doit énormément, bienau-delà de e que l'on peut attendre d'un dire teur de thèse.
Introdu tion 11
I Rappels 15
1 Réseaux de preuve 17
1.1 Stru tures depreuve . . . 17
1.2 Critère de orre tion . . . 20
1.3 Élimination des oupures. . . 22
2 Sémantiques de LL 25 2.1 Sémantique ohérente . . . 25
2.2 Géométrie del'intera tion . . . 27
3 Sémantique des jeux 33 3.1 Jeuxlinéaires HO . . . 33
3.2 Stratégies . . . 36
3.3 ExponentiellesHO . . . 37
3.4 JeuxAJM . . . 38
II Logique Linéaire Polarisée 41 4 Le système LLP 43 4.1 Cal ul desséquents . . . 43
4.1.1 Formules polarisées . . . 43 4.1.2 Règles . . . 46 4.2 Propriétés . . . 47 4.2.1 Règlesréversibles . . . 47 4.2.2 Renversement . . . 49 4.2.3 Conservation . . . 49
4.3 Tradu tions versdesfragments . . . 51
5 Réseaux de preuve polarisés 57 5.1 Réseauxà boîtesadditives . . . 57
5.1.1 Stru tures depreuve àboîtes . . . 57
5.1.2 Critère de orre tion . . . 59
5.2 Réseauxàpoids. . . 70
5.2.1 Poids et stru turesde preuve . . . 71
5.2.2 Critère de orre tion . . . 72
5.2.3 Élimination des oupures . . . 75
5.3 Réseauxpar tran hes . . . 75
5.3.1 Stru tures depreuve par tran hes. . . 76
5.3.2 Corre tion . . . 77
5.3.3 Élimination des oupures . . . 81
6 Sémantiques statiques de LLP 85 6.1 Espa es de orrélation . . . 85 6.2 Catégoriesde ontr le . . . 87 7 Jeux polarisés 93 7.1 JeuxHO polarisés . . . 93 7.2 Modèle dejeux deLLP . . . 105 7.2.1 Interprétation . . . 105 7.2.2 Dé nissabilité . . . 106
7.3 JeuxAJM polarisés. . . 109
7.4 Liens ave lalogique linéaire intuitionniste . . . 113
7.4.1 Desjeux intuitionnistesauxjeux polarisés . . . 113
7.4.2 Jeuxde Lamar he . . . 114
8 Géométrie de l'intera tion 117 8.1 Interprétation des onne teurs additifs . . . 117
8.1.1 Le systèmeMALL [ . . . 117 8.1.2 La ma hineà jetons . . . 120 8.1.3 IAMparallèle . . . 124 8.1.4 Constantes . . . 125
8.1.5 Interprétation desréseaux . . . 128
8.2 GoIparallèle pourMELL . . . 130
8.3 GoIpolarisée . . . 136
8.3.1 GoIpour MELLP . . . 136
8.3.2 Conne teurs additifs . . . 139
III Interprétation des systèmes lassiques 141 9 Tradu tions 143 9.1 Tradu tion polarisée . . . 143
9.2 Tradu tion positive . . . 144
9.3 Tradu tion négative . . . 144
10Systèmes lassiquespolarisés 145 10.1 LC . . . 145
10.1.1 Formules . . . 145
10.1.4 Tradu tion inverse . . . 147 10.2 LK pol . . . 148 10.2.1 Le système . . . 148 10.2.2 Tradu tion dans LLP . . . 149 10.2.3 Renversement . . . 150 11- al ul 153 11.1 Réseauxpolariséspurs . . . 153
11.2 Tradu tion négative . . . 153 11.3 Surje tivité . . . 157 11.4 -équivalen e . . . 159 11.4.1 Dé nition . . . 159 11.4.2 Adéquation . . . 161 11.4.3 Propriétés . . . 167
11.5 Autres-systèmes lassiquespar nom . . . 169
11.5.1 - al ul . . . 169 11.5.2 - al ul . . . 171 11.6 Tradu tion positive . . . 173 12Systèmes à variantes Q et T 177 12.1 LK tq . . . 177 12.1.1 LKQ . . . 177 12.1.2 LKT . . . 178 12.2 ~- al ul . . . 178 12.2.1 ~ Q - al ul . . . 179 12.2.2 ~ T - al ul . . . 180
IV Analyse linéaire de la logique lassique 183 13CPS-tradu tions 185 13.1 Tradu tion de Plotkin par nom . . . 185
13.2 Tradu tion de Plotkin par valeur . . . 188
13.3 Tradu tion de Krivine . . . 193
14Logique lassique linéaire 197 14.1 MALLP . . . 197
14.1.1 Formules polariséeslinéaires . . . 197
14.1.2 Règles . . . 197
14.2 - al ul linéaire . . . 199
14.3 Ludique multipli ative etadditive . . . 200
14.3.1 Le systèmeMALL f . . . 201 14.3.2 MALL f et MALLP . . . 201
14.4 Catégoriesde ontr le linéaires . . . 201
14.5 Logique lassique a ne. . . 207
A Notations logiques 213
A.1 Systèmeslogiques . . . 213
A.2 Cal uldes séquents . . . 213
A.2.1 Règles . . . 213 A.2.2 -expansion . . . 214 B LL 215 B.1 Formules . . . 215 B.2 Règles . . . 215 C LK (tq) 217 C.1 Formules . . . 217 C.2 Règles . . . 217 C.3 tq-proto ole . . . 218 D - al ul 221 D.1 Termes. . . 221 D.2 Typage. . . 221 D.3 Rédu tion . . . 222
D.3.1 Appelpar nom . . . 222
D.3.2 Appelpar valeur . . . 223
D.4 Ma hine de Krivine. . . 223
D.5 Extension auxautres onne teurs . . . 223
Bibliographie 225
La théorie de la démonstration est la bran he de la logique qui s'intéresse à la stru ture des preuvesmathématiques. L'undes résultatsessentiels de e domaine estl'élimination des oupures, qui montre que toute preuve peut être transformée en une preuve élémentaire, mais sans ingénio-sité don généralement in ompréhensible. De son té, l'informatiquefondamentale s'intéresse aux diérents paradigmes deprogrammation, auxlangages, auxprogrammeset à leurévaluation.
L'objet de la logique de la programmation est l'étude des liens entre al ul du point de vue informatique et stru ture géométrique des preuves en logique. La lef d'une telle analyse est la possibilitéd'interpréter l'élimination des oupures des systèmes logiques omme l'évaluation dans ertains langagesde programmation.
On her heàétablirlerapportentrel'exé utiondesprogrammesdansune lassedonnéede lan-gagesetlepro essusderédu tiondespreuvesd'un ertainsystèmelogique.Labonne ompréhension mathématique du télogique permet alors d'analyser le omportement des programmes, inverse-ment l'informatiquesuggère lesdire tionsàsuivre enlogiquepourobtenir dessystèmespertinents. Untel systèmedoitenparti ulier êtresu samment expressifpour avoirunintérêt informatiqueet su samment bien omprispourapporter uneanalysesurle al ul. L'é lairageré iproquedesdeux versantsde ette orrespondan eestd'autant plus ri he quelelienentrelesdeuxestpré iset bien analysé.
Historiquement, le premier système logique ayant une notion d'élimination des oupures est le systèmedelogique lassiqueLKdeGentzen
1
.Dans epremier as,ils'agitd'unrésultatd'existen e: ilexisteunemanièred'éliminerles oupures.L'éliminationdes oupuresdé nitunetransformation des preuves dont on sait qu'elle termine et qu'elle permet d'asso ier à toute preuve, une preuve élémentaire (sans oupure) mais e résultatn'est a prioripasunique.Le pro essusde al ul que e i permet d'interpréter estdon fortement non déterministe.
L'interprétation al ulatoirede lalogique,ou l'interprétationlogique du al ul, aen fait réelle-ment débutéave la logique intuitionniste (minimale) LJ à travers ladésormais élèbre orrespon-dan e deCurry-Howard quiexpli itelelienentrel'élimination des oupures dansLJet larédu tion du- al ul(programmation fon tionnelle).Onobtient ettefoisune analogiepré isedansun adre déterministe. L'élimination des oupures est alors unpro essus quitermine et qui mène àl'unique preuvesans oupurepossible.
L'existen e de tradu tions, dites ::-tradu tions, de la logique lassique dans la logique intui-tionniste donne unmoyen d'analyserégalement lalogique lassique.Cependant, ils'agitd'un biais indire tquinedonne pasd'interprétationimmédiatedespreuves lassiques.Cen'est quebeau oup plustardquelapossibilitéd'interpréterdire tement lalogique lassique dansun adre al ulatoire déterministeestapparue.Ils'avèrequelesinstru tionsde ontr le ( all/ ,ex eptions,...) orres-pondent à des formules lassiques qui ne sont pas prouvables intuitionnistiquement (loi de Peir e,
1
diérents systèmes pour la logique lassique( 'est-à-dire ayant lamême prouvabilité queLK) pos-sédant uneéliminationdéterministe des oupures, e quidonnedesextensionsdeLJ danslesquelles on peut interpréter les langagesfon tionnels ave primitives de ontr le.
Parallèlement à ela est apparue la logique linéaire LL, qui permet en parti ulier de ra ner l'étude de la logique intuitionniste, et don de pré iser l'analyse des langages fon tionnels. Des travaux ont également été faits pour interpréter lalogique lassique dans LL mais les tradu tions sont omplexes et moins informatives (elles a hent en réalité des ::-tradu tions). De plus les rapports entre logiques lassique et intuitionniste disparaissent puisque es deux systèmes sont plongés dansun seulet même système: LL.
Àla omplexitédelatradu tiondelalogique lassiquedansLL,s'ajouteladi ultéd'étudierla logiquelinéaire danssonensemble. Cesystèmetrèsri heest omplexeàanalyser et denombreuses dire tionsd'étude restent à e jour limitées à dessous-systèmes deLL. Il est souvent né essaire de se restreindre à des fragments plus fa iles à étudier mais en ore faut-il qu'ils soient su samment expressifs pour pouvoir y traduire les traits de programmation que l'on souhaite analyser. Ainsi, a n d'étudierLJ sans pourautant devoiraronterle systèmeLLdanssonensemble, il estpossible de se restreindre à lalogique linéaire intuitionniste ILL qui,tout en ontenant latradu tion de LJ (don des langagesfon tionnels), a permisde meilleures avan ées dans ertains domaines (réseaux de preuve, sémantique desjeux, ...).
L'obje tifde ettethèseestd'étendre etteappro heàlalogique lassique:peut-on ara tériser un sous-systèmede LL(ou une variante) interprétant de manièredire te lalogique lassique(don les langages fon tionnels ave primitives de ontr le) et possédant des propriétés plus simplesque LL?
Notre appro he est basée sur la notion de polarités qui, bien que déjà impli itement présente en logique intuitionniste, est véritablement issue d'une analyse ne des propriétés de la logique linéaire.Cetteidée aétéexpli itement introduite par Girardpour sonsystèmedelogique lassique déterministe LCet sert de lefde voûteà sonprogramme a tuel de Ludique. Partant de LC,il est naturel dedé nirdansLLdeux lassesdeformules(les formulespositives et lesformules négatives) é hangéesparlanégationetbasées suruneséparationendeux lassesdes onne teursdelalogique linéaire.Onestalorsamenéàintroduirelalogiquelinéairepolarisée LLP.Ilresteàvoirsi esystème permet de mieux répondre au problème de l'analyse de la logique lassique que LL ou ILL, e qui revient à aborder lestrois questionssuivantes qui onstituent la olonnevertébrale de ette thèse:
Quelles sont lespropriétés de LLPet sont-elles plussimplesque elles de LL?
Quelle est l'expressivité de LLP? est-elle su sante pour la logique lassique et les langages fon tionnels ave ontr le?
Est-il possible d'étudier, au niveau linéaire, les rapportsentre logiques lassiqueet intuition-niste?
Bien que néde la ontrainte de LLpar polarisation, LLPapparaît omme un systèmelogique à partentière, plusstru turé queLL,simpli ant notablement sathéoriedeladémonstration(réseaux de preuve polarisés,jeux polarisés, ...)et don l'étudede sonélimination des oupures.
De plus, sonpouvoirexpressif lui permet d'étendre onservativement larelation entre LJ et LL dontl'analyseapermisdesrésultatsremarquablesenthéoriedeslangagesfon tionnels(sémantique dénotationnelle, sémantiquedesjeux,...)enunerelationanalogue (mais lassique)entreLKetLLP. L'image deLJ dansLLP estalors fa ilement délimitable (LL
pol
)et lerapportqu'elleentretient ave LLPpermet d'étudier elui deLJ ave LK.
pour l'étude de ertaines notions, nous allons ee tuer une étude exhaustive de la théorie de la démonstrationde LLP,tant surleplansyntaxique quesémantique.Onpeut montrerquetoutes les bran hesusuellesdel'étudedelalogiquelinéairepeuventêtreappliquéesàLLPdanssonintégralité. Ceseral'objetdelapartieIIaprèsdesrappelssurquelquesnotionsimportantesdeLLdanslapartieI ( hapitres 1,2et 3).
Dans le hapitre 4,nouspré isons omment sefait la onstru tion de LLP à partir de LL et de l'idée depolarisation. Puis, nousétudions lespropriétés logiques fondamentalesde LLP àl'aide du al ul desséquents.
Dansle hapitre 5,nousabordonslaprin ipale syntaxeutiliséepour LL: lesréseauxde preuve. C'est la prin ipale nouveauté due à LL, en supprimant des informations de séquentialité inutiles du al ul des séquents elle lari e grandement la pro édure d'élimination des oupures grâ e à la diminution du nombre d'étapes à onsidérer. Contrairement au as de LL, nous dé nissons des réseaux pour LLP toutentier ave une pro édure omplète d'élimination des oupures. Deplus les polarités permettent de donner un ritère de orre tion nettement plus simple que pour LL. Nous abordonsles troisprin ipalesnotions de réseauxave onne teurs additifs: ave boîtes, ave poids et par tran hes. L'idée de réseaux par tran hes a été avan ée par Girard maisn'a jamais pu être réellement appliquée jusqu'i i.
Dans le hapitre 6, nous utilisons les espa es de orrélation et les atégories de ontr le pour dé nir les premières sémantiques dénotationnelles de LLP. Ce i pla e LLP dans le ontexte des études pré édentes puisque es deuxnotions préexistaient àLLP et fournissent desmodèles.
Dans le hapitre 7,lasémantiquedes jeuxusuelle(jeux intuitionnistes) estétendue à une véri-table dualité Joueur/Opposant ( orrespondant à positif/négatif) permettant de dé nir un modèle de jeux pour LLP. Ces jeux polarisés ontiennent les jeux intuitionnistes et lari ent les relations entreles diérentes onstru tionspar l'introdu tion d'opérateurs de dé alage.
Dans le hapitre 8, après avoir donné une interprétation des onne teurs additifs en géométrie de l'intera tion (GoI) qui simpli e elle de Girard, nous étendons la GoI aux règles stru turelles généralisées de LLPgrâ eà une ma hine parallèle.
A n de montrer l'expressivité de LLP, nous montrerons omment y interpréter les prin ipaux systèmesdelogique lassiquedéterministes onnus,aussibienpourl'appelparnomquepourl'appel par valeur.L'étude de estradu tions onstitue lapartieIII.
Dans le hapitre 9, nousdé rivons le ÷ur destrois prin ipales tradu tions des systèmes las-siques dansLLP: latradu tion polarisée,latradu tion positive ( orrespondant à l'appelpar nom) et la tradu tion négative ( orrespondant à l'appel par valeur). Ce qui permet, en parti ulier, une lassi ation pré isedes tradu tions déjà onnues.
Dans le hapitre 10, nous appliquons la tradu tion polarisée aux deux prin ipaux systèmes lassiquespolarisés:LC et LK
pol
.
Dans le hapitre 11,nousétudionsen détailsles liensentre LLPet le- al ul,aussibienpour l'appelparnomquepourl'appelparvaleurainsiquelesliensave deuxautresextensions lassiques du - al ul. Comme pour l'interprétation du - al ul dans LL, l'interprétation du - al ul dans LLPnousdonne desretombéessur le- al ul lui-même: la-équivalen e.
Dans le hapitre 12, nous terminons les tradu tions de systèmes lassiquesdans LLP par deux as de systèmes non déterministes possédant une versiondéterminisée par nom et une par valeur. Onaainsiles sous-systèmesdéterministes LKQ (appelpar valeur) etLKT (appelparnom) deLK
tq et le
~
Q
- al ul (parvaleur) et le ~
T
- al ul (parnom)pour le
- al ul.~
traduits (on avuun premierexemple ave la-équivalen e).
Dans le hapitre 13, on exploite l'idée que LLP est à LL (ou en tout as son fragment polarisé LL
pol
) e que LK est à LJ permettant une analyse linéaire du rapport entre lassique et intuition-niste.Ce isetraduit on rètement enmontrant queles diérentestradu tions deLLPdansLLque l'on a ren ontrées sont des analogues linéaires des ::-tradu tions de LK dans LJ (ave ertaines optimisations).
Dans le hapitre 14, nous étudions le sous-système linéaire MALLP de LLP, un système plus stru turéquelefragment linéaireMALLdeLL.NousmontronsqueMALLP orrespondpré isément à d'autres fragments linéaires de systèmes lassiques (- al ul linéaire par exemple), e qui fait apparaîtrel'idéed'unelogique lassiquelinéaire.C'estuneidéenouvelledanslamesureoùlalogique lassiqueestgénéralement onsidérée omme ara tériséeparl'utilisationdesrèglesstru turellessur toutes les formules. Il apparaît i i que e n'est pas né essairement la ara téristique prin ipale de lalogique lassique.
Pour on lure, nous montrons dans le hapitre 15 omment LLP permet d'analyser la dualité entre appel par valeur et appel par nom. Cette dualité est réapparue ré emment dans diérents travaux et s'exprime de manière parti ulièrement laire dans LLP par la dualité entre positif et négatif.
simplement de rappelerun ertainnombre de dé nitionset de résultatsdansle adregénéral dela logique linéaireavant de les appliquer au aspolarisé.
Il faut toutefois pré iser que la présentation faite dans le hapitre 3 est originale sur diérents points bien que très fortement inspirée de elle de la thèse de G. M Cusker [M C96 ℄. Elle met en avant ertaines dé nitions qui, bien qu'utilisées dans la littérature, n'étaient pas autant mises en valeur,en parti ulier en e qui on erne l'utilisation des jeuxindépendemment des stratégies à travers lesmorphismes d'arènes etde parties.
Réseaux de preuve
Nous rappelons dans e hapitre les prin ipaux résultats surles réseauxde preuve pour MELL ave quanti ateursduse ondordre etsans onstante[Gir87 ,Gir91b ,Dan90 ,Reg92℄.Lesréseauxde preuve onstituentlaprin ipalenouveautésyntaxiquedelalogiquelinéaire.Inspirésdeladédu tion naturelleetutilisantladualitédeLL,ilspermettent unereprésentation despreuvespardesgraphes e qui fournit une stru ture moinsséquentielle que les arbres du al ul desséquents. Il en dé oule quel'étudedel'élimination des oupures estnettement simpli éepuisquequelaplupartdesétapes ommutatives né essairesen al ul desséquentsdisparaissent.
L'intégrationdes onne teursadditifsdanslesréseauxdepreuven'ayantà ejourpasderéponse pleinement satisfaisante,nous aborderons plus tard ette question, dansle adrepolarisé,où nous omparerons les diversessolutions existantes. Il en va de mêmepour les onstantes.
1.1 Stru tures de preuve
1.1. Définition (Stru tures de preuve)
Unestru turedepreuve estungrapheorientéa y liqueàarêtespendantes,i.e.dont ertainesarêtes ontunn÷udsour emaispasden÷ud ible( esarêtessontappelées on lusions delastru ture de preuve).Lesn÷uds (ouliens)sont étiquetéspar l'undessymbolesax, ut ,P,,! ,?d, ? ,?w, 8ou 9(et orrespondentauxrèglesdu al uldesséquents).Lesarêtessontétiquetéespardesformulesde LLappeléestype del'arête.L'étiquette de haquen÷udimposesonnombre d'arêtes entrantes (ses prémisses)etsortantes(ses on lusions)ainsiquedesrelationsentrelestypesde esarêtes, omme indiqué surla gure 1.1. Par exemple unn÷ud a deux arêtesentrantes de types(arbitraires) A et B et unearête sortante dontle typedoit êtreAB.
À haque n÷ud ! de prémisse A d'une stru ture de preuve est asso iée une sous-stru ture de preuve (appelée boîte dun÷ud) de on lusions ? ;A.La on lusion A estappeléeporte prin ipale etlesautressontlesportesauxiliaires.Deuxboîtesdoivent toujoursêtresoit disjointessoit in luses l'une dansl'autre. Onappelle profondeur d'un n÷udle nombre de boîtesqui le ontiennent.
Soit n un n÷ud 8 dont la on lusion a type 8XA, on appelle X la variable propre de n. Les variablespropres dedeuxliens8doivent êtredistin teset les on lusionsdelastru ture depreuve ne doivent pas ontenir de variables propres libres. Si n est à l'intérieur d'une boîte, sa variable proprene doit pasapparaîtrehors de ette boîte.
Si la on lusion d'un n÷ud ontient, omme variablelibre,lavariablepropre X d'un lien 8,on ditqu'il dépend de X.
re-?d ?w A A AB APB A !A A ?A ?A ?A A 8XA A[ B = X ℄ 9XA P A B A B ? ?A ?A A ? A 9 8 ! ax ut
Fig.1.1 N÷uds desstru turesde preuvepour MELL
présentéesave les arêtesorientéesduhaut verslebas e quipermetd'omettre lesorientations. Du faitde ette onventiononparleraden÷ud(oud'arête)situéau-dessusouau-dessousd'unautre,de haut oude bas d'unestru ture depreuve,de monter oudes endre dansunestru ture depreuve,... Unn÷udàprofondeur0dontles on lusionssontdesarêtespendantes estappelén÷ud on lu-sion. Lesn÷uds on lusionset les n÷uds ut à profondeur 0sont appelés n÷uds terminaux.
1.2. Définition (Taille)
La taille d'unestru ture depreuve estsonnombre de n÷uds.
Nous allons maintenant rappeler la tradu tion des preuves du al ul des séquents MELLdans les stru turesdepreuve.
1.3. Définition (Tradu tion du al ul des séquents)
Soit une preuve de ` en al ul des séquents, on lui asso ie la stru ture de preuve S
de on lusions , dé nie indu tivement à partir de en regardant la dernièrerègle R (on note
1 ou 1 et 2
lespreuvesdesprémisses deR selon qu'elleest d'arité1 ou2) : (ax ) S
ontient un unique lienax .
( ut ) Onmetunlien utentreles on lusionsdeS
1 etS
2
qui orrespondentauxformules oupées dansR .
() On met un lien entre les on lusions de S 1
et S 2
qui orrespondent auxformules a tives de R .
(P) Onmet unlien Pentreles on lusionsde S 1
1 S
1
omme boîte.
(?d) Onmet unlien ?d sous la on lusionde S 1
qui orrespond à laformulea tivede R . (? ) On metunlien ? entreles on lusionsde S
1
qui orrespondent auxformules a tivesde R . (?w) OnajouteàS
1
unlien ?w ave omme on lusion laformule aaiblie dansR . (8) OnajouteàS
1
unlien8sousla on lusion orrespondantàlaformulea tivedansR .L'absen e delavariablepropredansle ontextedelarègle garantitqu'ellen'apparaîtpaslibre dansles on lusionsde lastru ture depreuve.
(9) Onajoute àS 1
unlien 9sous la on lusion orrespondant àlaformulea tive dansR . 1.4. Exemple
La preuve du al ul desséquents:
ax `B;B ? ax `B;B ? ?d `B;?B ? `BB;B ? ;?B ? ?d `BB;?B ? ;?B ? ? `BB;?B ? ! `!(BB);?B ? ax `A;A ? ?w `?(B ? PB ? ) ;A;A ? ut `?B ? ;A;A ? P `?B ? PA;A ? 9 `9X(? XPA);A ? donne leréseau de preuve suivant :
ax ax ax ut ?d ?d ? ! ?w P 9 B B ? B ? ?B ? ?B ? A ? ? B ? PA BB ?(B ? PB ? ) ! (BB) B ?B ? A 9X(?X PA)
1.5. Définition (Arbre exponentiel)
Soit S une stru ture de preuve et a une arêtede S de type?A, l'arbre exponentiel de aest l'arbre desn÷uds ? et ?w (dont lesarêtes ont type ?A)situés au-dessus deadansS.
1.6. Définition (Équivalen e stru turelle) L'équivalen e stru turelle '
s
de stru tures de preuve onsiste à modi er la stru ture des arbres exponentiels. Elle est dé nie omme la l ture ré exive symétrique transitive de la relation de réé riture !
s :
? ? ? w ? ? ? ? ? ? ! ! ? w ?w ! ! 1.2 Critère de orre tion
A n de ara tériser les stru turesde preuve qui orrespondent à des preuves du al ul des sé-quent,onestamenéàintroduirelanotionde ritèrede orre tion. Ils'agitd'une onditionàvéri er surune stru turede preuve pours'assurerqu'ellepeut êtretransforméeen preuve (séquentialisée). Ce ritèrede orre tiondoit, deplus,êtrepréservé parl'éliminationdes oupurespourgarantirque les al uls ee tués sur les réseaux ne détruisent pas le fait de orrespondre à une preuve. Nous présentonsi i le ritère de orre tion leplus répandu: le ritère de Danos-Regnier [DR89℄, maisil en existe denombreux autres (voir par exemple [Gir87 ,Mét94 , Lam94, Gue99 ℄).
1.7. Définition (Stru ture de preuve séquentialisable)
Ondonne une dé nitionré ursive dufait quelastru ture de preuve S estséquentialisable : Si S est onstituée d'un unique lienax , S estséquentialisable.
Si S possède un lien ut ou terminal et si en le supprimant on obtient deuxstru tures de preuve séquentialisables alorsS estséquentialisable.
Si S possède un lien P, ?d, ? , ?w, 8, ou 9 terminal et si en le supprimant on obtient une stru turede preuve séquentialisablealors S estséquentialisable.
Si S possède, omme unique lien à profondeur 0, un lien ! et si laboîte asso iée à e n÷ud estséquentialisable alors S est séquentialisable.
1.8. Lemme
Une stru ture de preuve est séquentialisable ssi elle est la tradu tion d'une preuve du al ul des séquents.
Lesgraphesde orre tion àprofondeur0d'unestru turedepreuveS sontlesgraphes(nonorientés) formésdesn÷uds àprofondeur 0 deS danslesquels:
Onsupprimeles arêtespendantes.
Chaquelien !dontlaboîte apour on lusions? ;Aestrempla éparun lien!généralisésans prémisseet ave on lusions? ;! A:
...
!A ? !
Pour haque lienP, une desdeuxarêtesprémisses estsupprimée. Pour haque lien? ,une desdeux arêtesprémissesest supprimée.
Sinestunlien 8,sonarête prémissepeut êtrerempla ée parune arêteentrenetunlien qui dépend de savariablepropre.
Un graphede orre tion de S est soit un graphe de orre tion à profondeur 0 deS soit un graphe de orre tion àprofondeur 0 d'unedesboîtesde S.
1.10. Définition (Réseau de preuve)
Une stru ture de preuve sans aaiblissement est un réseau de preuve ou est orre te si tous ses graphes de orre tion sont a y liques et onnexes.
1.11. Théorème (Séquentialisation)
Unestru ture de preuve sansaaiblissement est séquentialisable ssi elle est orre te.
Trouver un ritèrede orre tion pour esstru turesde preuve ave aaiblissement est a tuelle-mentunproblèmeouvert. Ladi ultévientdufaitquel'aaiblissementintroduitdesdis onnexités dans les graphes de orre tion. Une possibilité serait de rempla er la ontrainte de onnexité par une omptabilité dunombre de omposantes onnexes, en demandant :
(C)Lesgraphesde orre tionsonta y liquesetontune omposante onnexedeplus quede liens?w.
Toutefois ette onditionestné essairepourlaséquentialisationmaispassu sante ommelemontre l'exemple 1.12. 1.12. Exemple La formule ((X P X ? ) P (Y P Y ?
))?Z n'est pas prouvable dans LL ( ar ?Z ne l'est pas) mais lastru ture de preuve suivante a ses 8 graphes de orre tion a y liques et qui ontiennent 2 omposantes onnexes: X Y ? XPX ? Y PY ? ?Z X ? Y ((XPX ? )P(Y PY ? ))?Z (XPX ? )P(Y PY ? ) ax ax P P P ? w
1.13. Définition (Étapes d'élimination des oupures)
Pour haquen÷ud oupure,ondé nitselonsesn÷udsprémisses,lesdiérentesétapesd'élimination des oupures : (ax ) A A A A ? ax ut (=P) A B A ? B ? AB A ? B ? B A A ? PB ? ut ut P ut (!=? d)
...
...
? d !A A ? ? A ? A A ? ?A ? B ut B ! ut (!=? )...
...
...
...
? ? ? ?A ? ? A ? ? ! A ? ? !A ? A ? ?A ? !A ? ? A ? A A A ut ut ut B ! ! ! B B (!=? w)...
...
?w ?w ?w !A ? ? ? A ? A ut ! B...
...
...
...
...
!B ? ? !A ! A ? !B ? ?B ? ?B ? A B B A ! ! ! ! B B B 0 B 0 ut ut (8=9) A[ B = X ℄ A[ B = X ℄ A ? A ? [ B = X ℄ 8XA ? 9XA 8 9 ut utX est substituée par B danstoute lastru turede preuve. 1.14. Proposition (Préservation de la orre tion) Soit Run réseau depreuve et R
0
unréduit de R, R 0
est unréseau de preuve.
1.15. Remarque : siR ontient desaaiblissements, onneprend pasen omptela onnexitémais la ondition(C) est préservée.
1.16. Théorème (Normalisation forte et Confluen e)
Sémantiques de LL
Nousrappelonsdans e hapitredeuxsémantiquesdénotationnelles ara téristiquesdeLL.Tout d'abord lasémantique ohérente [Gir87 ℄ qui a donné naissan e à LL en dé omposant l'impli ation intuitionniste.Ensuitenousaborderonslagéométriedel'intera tion[Gir88 ℄pourMELL, ette inter-prétation géométrique des preuves de logique linéaire est en parti ulier à labase de lasémantique desjeuxet de l'analyse logiquede larédu tionoptimale du - al ul.
2.1 Sémantique ohérente
Nousreprenonsi ilesdé nitionsde[Gir95b ℄ on ernantlesespa es ohérents.Ils'agitde eque l'onappellelasémantique ohérente multi-ensembliste alorsquelesdé nitionsoriginellesde[Gir87 ℄ étaient basées surune utilisationd'ensembles pour interpréter les onne teursexponentiels.
Notations : Ensembles.
Onnoteabl'in lusion (au sens large) de deuxensembles et a(bl'in lusion stri te. La somme disjointe a+b dedeux ensemblesaet b estl'ensemble (f1ga)[(f2gb). Multi-ensembles.
Soit aunensemble, un multi-ensemble suraest unefon tion de adansN.
Le support jj du multi-ensemble est lesous-ensemble de a onstitué des éléments dont l'image par est non nulle.
Un multi-ensemble estdit ni sisonsupport est ni.
Le multi-ensemble vide (dont lesupport estvide, 'est-à-direle multi-ensemble orrespon-dant àlafon tion nulle) estnoté"ou [℄.
Lasomme(ouunion)dedeuxmulti-ensemblesesttoutsimplementlasommedesfon tions, ave omme élément neutre ".
Le multi-ensemble ni sera noté entre ro hets ave haque élément x2jj répété (x) fois.
2.1. Exemple
Soient lemulti-ensemble surfx;y;zg suivant :
x7!2 y7!3 z7!0
y7!2 z7!1 t7!1
etsontdesmulti-ensembles nisetonlesnote=[x;x;y;y;y℄et =[y;y;z;t℄.Lesupportde estjj=fx;yget eluideestjj=fy;z;tg.Lasomme+estnotée+=[x;x;y;y;y;y;y;z;t℄ et a pour supportj+j=jj[jj=fx;y;z;tg.
2.2. Définition (Espa e ohérent) Un espa e ohérent A estun ouple (jAj;
_ ^A
) où jAj est un ensemble(la trame de A) et _ ^A
est une relationsymétrique et ré exivesur jAj.
Une lique ad'un espa e ohérent A,notéaA,est unsous-ensembledejAjtelquequelsque soient xet y dansa, on aitx
_ ^A
y.
Notations :Lorsqu'au une onfusion n'est possible,on abrégera _ ^A en _ ^ . On dé nitles autres relations de ohéren eà partir de
_ ^ : Cohéren estri te : x_y six _ ^ y et x6=y. In ohéren e : x ^ _ y estle ontrairede x_y. In ohéren e stri te :x^y si x ^ _
y et x6=y ( 'estdon le ontraire dex _ ^
y). 2.3. Remarque : Ladonnée d'uneseule desrelations
_ ^
,_, ^ _
et ^su tàdéterminer toutesles autres.
2.4. Définition (Constru tions)
Soient A et Bdeux espa es ohérents, on dé nit lesespa es ohérentssuivants : A
?
apour trame jAjet x _ ^A ? x 0 si x ^ _A x 0 . AB apourtrame jAjjBjet (x;y)
_ ^AB (x 0 ;y 0 ) six _ ^A x 0 et y _ ^B y 0 . APB a pour trame jAjjBj et (x;y)_
APB (x 0 ;y 0 ) six_ A x 0 ou y_ B y 0 . AB a pour trame jAj+jBj (somme disjointe ensembliste) et (i;x)
_ ^AB (i;x 0 ) si x _ ^A x 0 et (i;x)^ AB (j;x 0
) sii6=j quels quesoient xet y ave i;j2f1;2g. A&B apour trame jAj+jBj et(i;x)
_ ^A&B (i;x 0 ) si x _ ^A x 0 et (i;x)_ A&B (j;x 0 ) sii6=j quels quesoient x et y ave i;j2f1;2g.
1 a pour trame f?g en remarquant qu'à isomorphisme près il n'y a qu'un espa e ohérent à un point.
? estégalement f?g.
0 a pour trame ;, l'espa e ohérent àtrame vide. > estégalement vide.
!A a pour trame l'ensemble desmulti-ensembles nis d'éléments de jAj dont les supports sont des liquesde Aet x
_ ^!A
y si jx+yjA.
?A apour trame l'ensembledesmulti-ensembles nisd'élémentsde jAj dont les supportssont des anti- liques deA(i.e.des liquesdeA
?
)etx_ ? A
y sijx+yj n'estpasuneanti- liquedeA. 2.5. Exemple (Cliques)
SoitAunespa e ohérentquel onque,l'ensemblevide;formeune liquedeA,appelée liquevide. SixetysontdeuxélémentsdejAj,(x;x)et(y;y)sont ohérentsdansAPA
? ( arsoitx_ A y, soit x_ A ?
y,soit x=y),don f(x;x)jx2jAjgAPA ?
tionnel:
2.6. Définition (Interprétation de LL)
On interprète les atomes par des espa es ohérents quel onques, les formules de LL par l'espa e ohérent orrespondant.Une preuve duséquent `A
1 ;:::;A
n
estinterprétéepar une liqueJK oh de l'espa e ohérent A
1
P ::: P A n
selon la dernière règle de . On note 1
la prémisse de ette dernièrerègle si elle estunaire ou
1 et
2
sielle est binaire. (ax ) JK oh =f(x;x)jx2jAjg ( ut ) JK oh =f(x 1 ;:::;x n ;x 0 1 ;:::;x 0 m )j9y; (x 1 ;:::;x n ;y)2J 1 K oh ^(y;x 0 1 ;:::;x 0 m )2J 2 K oh g (P) JK oh =f(x 1 ;:::;x n ;(y;z))j(x 1 ;:::;x n ;y;z)2J 1 K oh g () JK oh =f(x 1 ;:::;x n ;x 0 1 ;:::;x 0 m ;(y;y 0 ))j (x 1 ;:::;x n ;y)2J 1 K oh ^(x 0 1 ;:::;x 0 m ;y 0 )2J 2 K oh g (&) JK oh = f(x 1 ;:::;x n ;(1;y)) j (x 1 ;:::;x n ;y) 2 J 1 K oh g[f(x 1 ;:::;x n ;(2;y)) j (x 1 ;:::;x n ;y) 2 J 2 K oh g ( i ) JK oh =f(x 1 ;:::;x n ;(i;y))j(x 1 ;:::;x n ;y)2J 1 K oh g (!) JK oh = f( P k i=1 x i 1 ;:::; P k i=1 x i n ;[y 1 ;:::y k ℄) j 81 i k; (x i 1 ;:::;x i n ;y i ) 2 J 1 K oh ^81 i 0 k; 81jn;x i j _ ^ x i 0 j g (?d) JK oh =f(x 1 ;:::;x n ;[y℄)j(x 1 ;:::;x n ;y)2J 1 K oh g (? ) JK oh =f(x 1 ;:::;x n ;y+z)j(x 1 ;:::;x n ;y;z)2J 1 K oh ^y ^ _ zg (?w) JK oh =f(x 1 ;:::;x n ;")j(x 1 ;:::;x n )2J 1 K oh g (?) JK oh =f(x 1 ;:::;x n ;?)j(x 1 ;:::;x n )2J 1 K oh g (1) JK oh =f?g (>) JK oh =;
2.7. Théorème (Modèle ohérent)
Les espa es ohérents sont un modèle dénotationnel de LL, i.e. si est une preuve qui se réduit en
0
par élimination des oupures alors JK oh =J 0 K oh . 2.2 Géométrie de l'intera tion
Lesprin ipaux résultatsde laGoI pour MELLque nousdonnonsi i ont étéinitialement dé rits dans [Gir88 , DR95, DR99, DHR96℄. De nombreuses présentations de la GoI ont été données : C
?
-algèbres, semi-goupes inversifs, algèbres de lauses, automates bi-déterministes, ... Une idée ommuneàtoutes esprésentationsest ellede hemin.Par hemin dansune preuve ouunréseau, nous entendrons hemin dans les formules partant d'une on lusion, montant jusqu'à un axiome, redes endantparl'autreformulejusqu'àune oupure,remontant jusqu'àunaxiome,...etterminant dansune on lusion.Oninterprèteunepreuve parl'ensembledeses heminspersistants, i.e.quine sontpas oupésparéliminationdes oupures.L'obje tifdelaGoIestdedonnerune ara térisation algébriquede es hemins. Con rètement,ondé nitalgébriquementunefamillede heminsquel'on appelle hemins réguliers et onmontrequ'un hemin estréguliersiet seulement siilestpersistant. Nousutiliseronsi i laprésentationqui onsiste àinterpréterlespreuves(oulesréseaux) omme des ma hines à jetons, les hemins réguliers sont alors eux tels qu'il existe jeton qui par ourt e hemin lorsd'une exé ution delama hine.
Un jeton estun triplet(m;b;s) où :
mestunepile onstruiteàpartir dessymbolesg etd("estlapilevideetj:j lalongueurd'une pile),appelée jeton multipli atif,
bet ssont despiles de signatures exponentielles ou piles exponentielles, appelées respe tive-ment pile deboîtes et pile d'équilibrage,
une signature exponentielle est dé niepar lagrammaire : ::= ? j g: j d: j pq:
2.9. Définition (Profondeur exponentielle d'un jeton multipli atif)
Soitm unjeton multipli atif et Aune formule deMELL,laprofondeurexponentielle dem dansA, notéeprof
A
(m), est dé niepar : prof X (")=prof BC (")=prof BPC (")=0, prof X
(m) n'est pasdé niesi m6=", prof BC (g:m)=prof BPC (g:m)=prof B (m), prof BC (d:m)=prof BPC (d:m)=prof C (m), prof ?B (m)=prof !B (m)=prof B (m)+1.
2.10. Remarque : Intuitivement, laprofondeur exponentielle d'un jetonmultipli atif m dansune formule A est le nombre de onne teurs exponentiels dansle hampdesquels lasous-formule mul-tipli ative de Adé rite par mse trouve.
2.11. Définition (Validité d'unjeton)
Soit R un réseau et a une arête de type A de R, le jeton (m;b;s) est valide pour a si jbj est la profondeur deadans R,prof
A
(m) estbiendé nie et jsj=prof A
(m). 2.12. Définition (Ma hine abstraite d'intera tion)
SoitRunréseaudeMELL,ondé nitlama hineabstraited'intera tion (ouIAM)M R
asso iéeàR. UnétatdeM
R
estladonnéed'unearêteadansR,d'unedire tionlquiestsoit"soit#etd'unjeton (m;b;s) valide pour a, ou bien l'état parti ulier ; qui signi e que la ma hine s'arrête (l'intuition étant qu'il s'agit d'un message d'erreur). Une transition de M
R
à partir de l'état A l
(m;b;s) est donnéeparlen÷udsituéau-dessusdeAsil="etparlen÷udsituéau-dessousdeAsil=#, omme dé rit i-dessous:
ax ax ax ax
ut ut ut ut
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ (d:m;b;s) " (m;b;s) " (d:m;b;s) # (m;b;s) # (g:m;b;s) " (m;b;s) " (m;b;s) # (g:m;b;s) # (m;b;s) # (m;b;s) " (m;b;s) # (m;b;s) " (m;b;s) " (m;b;s) # (m;b;s) " (m;b;s) #
?d ?d ?d ?d (m;b;?:s) " (m;b;s) " (m;b;s) # (m;b;?:s) # ? ? ? ? ? ? ? ? (m;b;(g:):s) " (m;b;:s) " (m;b;:s) # (m;b;(g:):s) # (m;b;(d:):s) " (m;b;:s) " (m;b;:s) # (m;b;(d:):s) # ! (m;b;(p 0 q:):s) " (m;b;(p 0 q:):s) # (m;b;:s) " (m;:b;s) " (m;b;:s) # (m;:b;s) # (m;:b; 0 :s) " (m;:b; 0 :s) # ! ! !
Lorsqu'un jeton fran hit une porte auxiliaire de boîte, il est modi é omme s'il avait traversé un n÷ud. Au unetransitionn'est dé nie pour les n÷uds?w.
Un jeton qui monte dans un n÷ud ?d, ? ou une porte auxiliaire peut avoir une jeton qui ne orrespond pasà l'une des transitions dé rites i-dessus. Dans e as, la ma hine passe dansl'état ;.
Un étatinitial(resp. nal)de lama hineestunétat dont laformuleestune on lusionde Ret dontla dire tionest "(resp. #).
La fon tiond'intera tion f R
est la fon tion partiellequi, à toutétat initial, asso iel'état nal (ou ;) atteint par M
R
àpartir de etétat initial,s'il existe. 2.13. Théorème (Corre tion)
Soit R un réseau sans ? dans ses on lusions, si R se réduit en une forme normale R 0 alors f R =f R0 .
Démonstration: Lapreuve onsisteàmontrerquef R
estpréservéeàtraverslesétapesderédu tion qui,dansle asdes oupures exponentielles, ne on ernent quedes boîtessans ontexte. Ces étapesétant su santespouratteindreuneformenormaleàpartird'unréseausans on lusion ?A. On on lut alors par on uen ede larédu tion deMELL. 2
2.14. Corollaire (Terminaison) SoitRunréseau, lafon tionf
R
est totale,i.e. le al uldela ma hineM R
à partir d'unétat initial termine.
2.15. Remarque : La ontrainteimposantqu'iln'yaitpasde?dansles on lusionsdespreuvesest fortemaispermet néanmoinsde al uler. Par exemple,il estpossible de oder les booléens àl'aide
despreuvesde`X PX ;XX (puisqu'ilenexisteexa tement deuxdistin tes).Un al ul dont lerésultat nalestunbooléen orrespondainsiàlarédu tiond'un réseaude on lusionsX
? PX
? et XX qui ne ontiennent pasde ?et don pour lequel l'interprétationpar laGoIest orre te.
Il estpossibledera ner erésultatde orre tionenautorisant les?maisenne onsidérantque les étapes de rédu tion !=?w lorsque la boîte n'apas de portes auxiliaires. Dans e as on n'apas exa tement f
R =f
R0
maisonpeutmontrer queles heminspar ourus parlesjetons dansRet R 0 se orrespondent ( omme dé rit dans [DR95℄). Pour ela, une méthode onsiste à onsidérer une variante de MELL,quel'on appellera MELLave promotion fon torielle, où larègle! estrempla ée par les deuxrègles:
` ;A ! `? ;!A ` ;??A ?? ` ;? A
il est lairque la règle usuelle est odable ave es deux règles et que, ré iproquement, es règles sont odables ave les règles usuelles. Le hoix de es règles est dis uté un peu plus longuement dans[Gir95a ℄.
On modi ealors légèrement l'élimination des oupures par :
` ;A ! `? ;!A `;A ? ?d `;?A ? ut `? ; ! ` ;A `;A ? ut ` ; ?d `? ; ` ;A ! `? ;!A `;??A ? ?? `;? A ? ut `? ; ! ` ;A ! `? ;!A ! `?? ;! !A `;??A ? ut `?? ; ?? `? ; ` ;B ? ;A ! `? ;?B ? ;!A `;B ! `?;!B ut `? ;?;! A ! ` ;B ? ;A `;B ut ` ;;A ! `? ;? ;!A
Dans les réseaux, pour interpréter lanouvelle règle ! ,on introduitun nouveau n÷ud ?p unaire dontlaprémisse atype Aet la on lusion atype ?A. À haque n÷ud! estasso iéeune boîte dont les on lusionssontprémissesden÷uds?p (onditque esn÷uds?p sontasso iésaun÷ud!).Tout n÷ud ?p doitêtre asso ié à un n÷ud!. La nouvelle règle ?? est interprétée par un nouveau n÷ud unaire.Ce quidonne pour l'élimination des oupures:
(!=? d)
...
...
A !A A ? ? ? ?A ? A A ? ?d ut ut B ?p ! B ?p ?d ?d...
...
!A ? ?? ? ??A ? ? ?A ? ? A ? A A !! A ut ut B B ?p ! ! ?p ?p ! ?? ?p ?p ?p ?? (!=! )...
...
...
...
? ! A ? !B ?B ? ? !A ? A B A ut ut ! ! ! ? p ? p ?p ?p ?p ?p ? p ?p ?p B B B ? B 0 B B 0Les transitionsde lama hine àjetons sont :
(m;b;:s) " (m;:b;s) " ! ! ! ! (m;b;:s) # (m;b;:s) " (m;:b;s) " ?p ?p ?p ?p (m;:b;s) # (m;:b;s) # (m;b;:s) # ?? ?? ?? ?? (m;b;(p 0 q:):s) " (m;b;: 0 :s) " (m;b;: 0 :s) # (m;b;(p 0 q:):s) #
Sémantique des jeux
La sémantique des jeux a été utilisée pour fournir à la fois des modèles de systèmes logiques et de langages de programmation. Nous nous intéressons i i à e qui on erne la logique linéaire intuitionniste et lalogique intuitionniste.
Les dé nitions des jeux Abramsky-Jagadeesan-Mala aria (ou AJM) et elles desjeux Hyland-Ong/Ni kau (ou HO) sont essentiellement reprises de [AJM00 , HO00 , M C96 ℄ même si quelques nouveautéssontintroduitesdanslaprésentation(enparti ulierlefaitdemettreenavantlesnotions de a-morphismeet p-morphisme).
Pour une introdu tion plus détaillée aux jeux, on pourra se référer aux deux thèses [M C96 ℄ et [Har99 ℄.
3.1 Jeux linéaires HO
3.1. Définition (Arène HO) Une arène A estun triplet(M
A ; A ;` A ) où : M A
est unensemble appeléensemble de oups,
A
estune fon tion de M A
dansfO;Jg, `
A
estladonnée d'un sous-ensembleM i A
de M A
appeléensemble des oups initiaux (onnote `
A
msi mest dans etensembleet on noteM ni A
l'ensemble des oupsnon initiaux)et d'une relation binaire sur M
A
appelée relation de validation (on note m ` A n si m valide n). ` A doitvéri er : Si ` A m alors A
(m)=O et pour tout oup n2M A , n0 A m. Si m` A nalors A (m)6= A (n)
3.2. Définition (Suite justifiée)
Une suite justi ée de l'arène A est une paire (s;f) où s=m 1
:::m n
est une suite de oups de A et f est unefon tion de f1;:::;ng dansf0;:::;n 1g telleque pour tout1in:
f(i)<i sif(i)=0 alors ` A m i sif(i)=j6=0alors m j ` A m i Lorsquef(i)=j6=0,onditquele oupm
i
pointe surm j
ouquem i
estjusti é parm j
.Etlorsqu'il existe unk 0 telque f
k
(i)=j6=0,ondit quem i
esthéréditairement justi é par m j
.
Une suitejusti éeestbienouverte sif(i)=0uniquementpouri=1,i.e.sisonseul oupinitial estsonpremier oup.
f. On onsidérera qu'à haque oup d'une suite justi ée est asso ié un oup situé avant dans la suite (ouriendansle asdes oupsinitiaux), ledéfautde e pointdevueprovient bienentendu du fait qu'un oup peut apparaîtredeux foisdansune suite : dans aba si on ditque estjusti épar a, ilya uneambiguïté. Dans lapratique es ambiguïtés seront toujours fa ilement évitées.
Notations (Suites) :Si t est une suite justi ée terminant par un oup m tel que A
(m) = J (resp.
A
(m) = O), et si s est la sous-suite de t ne ontenant pas e dernier oup m, on note t=sm
J
(resp.t=sm O
).
On notestl'ordre pré xe surles suiteset "lasuite vide. Si sestune suitejusti ée,onnotes
J
tsistet ledernier élémentde sestun oup J (resp. O),on ditquesest unJ-pré xe (resp. O-pré xe) de t.
3.3. Définition (Proje tion)
Soit sune suite justi ée et I un ensemblenon vide de oups initiauxde s, on dé nit laproje tion s
I
de ssurI omme lasous-suite desformée uniquement des oupshéréditairement justi éspar un élément deI.
3.4. Définition (Vue)
Soit s une suite justi ée, on dé nit lavue joueur de s, notée psq, qui est une sous-suite justi ée, par : p"q=" psm J q=psqm J psm O q=m O si mest initial psmtn O q=psqmn O
sinest justi épar m où set tsont dessuites.
La vue opposant est dé niede manièresimilaire par : x"y=" xsm O y=xsym O xsmtn J y=xsymn J
sinest justi épar m 3.5. Définition (Position légale)
Une position légale estune suite justi éestelleque : Si tmnsalors (m)6=(n).
Si tm J
salors mpointe dansptq. Si tm
O
set mn'est pasinitial alors m pointe dansxty. OnnoteL
A
l'ensembledes positions légales del'arène A.
Puisque sin estjusti épar m dansset n estdanspsq alors m estdanspsq, on onserve dans psq lesmêmes pointeurs quedanss.
3.6. Définition (Constru tions d'arènes)
Somme. Soient A et B deuxarènes, on noteA+B l'arène somme dé nie par : M A+B =M A +M B
et onidenti era (i;x)et x quand ela neportepasà onfusion. A+B =[ A ; B ℄,i.e. A+B (1;x)= A (x) et A+B (2;x)= B (x) ` A+B m si` A m ou` B m m` A+B nsi met n sont dansAet m` A nou sim et nsont dansB et m` B n Si s est une position légale de A+B, on note s
A
la sous-suite de s ne ontenant que les oupsdansA, 'estunepositionlégale deA (etde même pourB).
A)B A B A)B =[ A ; B ℄,i.e. A)B (1;x)6= A (x)et A)B (2;x)= B (x) ` A)B m si` B m m` A)B nsim et nsont dansA etm` A n, ousi met nsontdansB et m` B n, ousi m est dansB, nestdans Aet `
B
m et` A
n Si s est une position légale de A ) B, on note s
A
la sous-suite de sne ontenant que les oupsdansA, 'estunepositionlégale deA (etde même pourB).
3.7. Remarques :
Soitsmnunepositionlégaledel'arèneA+B ave m2M A (resp.m 2M B )etn2M B (resp. n2M A ),on a A+B (m)=J et A+B (n)=O.
Soit smn une position légale de l'arène A ) B ave m 2 M A (resp. m 2 M B ) et n 2 M B (resp.n2M A ),on a A)B (m)=O et A)B (n)=J. C'est e qu'onappelle habituellement les onditions deswit hing.
3.8. Définition (Jeu HO) UnjeuAestunquadruplet(M
A ; A ;` A ;P A )où(M A ; A ;` A
)estunearèneetP A
,appelél'ensemble desparties deA,estunensemblede positions légalesde ettearènenonvideet losparpré xe qui véri e que:
(i) Si I estun ensemblede oupsinitiauxde s2P A alors s I 2P A . Un jeuest bien ouvert sitoutes ses partiessont bienouvertes.
Notation : P J A
désigne l'ensemblede partiesde A quiterminent par un oup J.
3.9. Remarque : Lorsqu'un jeu est bien ouvert, la propriété (i) est trivialement véri ée puisque s
I =s.
3.10. Définition (Constru tions linéairesde jeux)
(>) Onnote>l'unique jeu dontl'ensemble de oupsestvide : (;;;;;;f"g).
( ) Si A et B sont deux jeux, le jeu A B a omme arène A+B et omme ensemble de parties P A B =fs2L A+B js A 2P A ^s B 2P B g.
(_) SiA etB sont deuxjeux,lejeuA_B a ommearèneA)B et omme ensembledeparties P A_B =fs2L A)B js A 2P A ^s B 2P B g.
(&) Si A et B sont deux jeux, le jeu A&B a omme arène A+B et omme ensemble de parties P A&B =P A [P B
, laseulepartie ommune étant ".
3.11. Définition (Morphismes)
Soient A et B deuxjeux, ondé nit deuxnotions de morphismes entre jeux:
Un p-morphisme (ou morphisme departies) de A dans B est une fon tion inje tive f de P A dans P
B
(respe tant les pointeurs) qui préserve la longueur des parties et telle que si s t alors f(s)f(t).
Un a-morphisme (ou morphisme d'arènes) de A dans B est une fon tion f inje tive de M A dansM B telleque: B Æf = A ` B f(m) ssi ` A m f(m)` B f(n) ssi m` A n
et telle que la fon tion induite surles ensembles de parties soit un p-morphisme (il su t de véri er quel'image d'une partie estbienune partie).
inverse ( e qui entraîne quela fon tion sous-ja ente est une bije tion). Onnote A' x
B s'il existe un x-isomorphisme entre Aet B.
On ditqu'un onne teur est x-asso iatif, x- ommutatif, ... sil'isomorphisme sous-ja ent est un x-isomorphisme.
3.12. Proposition (Propriétés stru turelles) et & sonta- ommutatifs et a-asso iatifs :
A B ' a B A A (B C)' a (A B) C A&B ' a B&A A&(B&C)' a (A&B)&C
>est a-neutre pour et& :
A >' a A A&>' a A Démonstration:
Lesa-asso iativitéset a- ommutativités sont immédiates.
Lesa-neutralitésde >viennentdire tement dufaitque, pour toutensembleA,A+;'A. 2
3.2 Stratégies
3.13. Définition (Stratégie)
SoitA unjeu,une stratégie surlejeu A estun ensemble nonvide departies de Aterminantpar des oupsJ et lospar J-pré xe, telque:
estdéterministe : si sm J 2 et sn J 2 alors m=n. estinno ente : sismn J 2, t2, tm2P A et psmq=ptmqalors tmn2. 3.14. Lemme (Image d'une stratégie)
Soient une stratégie sur le jeu A et f un p-morphisme de A dans B, f() est une stratégie sur B.
Démonstration: Si s J
t alors f(s) J
f(t) don f() est lose par J-pré xe. La fon tion f est inje tive don f() est déterministe. Si f(smn
J ) 2 f(), f(t) 2 f(), f(tm) 2 P B et pf(sm)q=pf(tm)q alors psmq=ptmqet tmn2P A
par inno en e de don f(tmn)2P B
et f() estinno ente. 2
3.15. Lemme (a-stratégie)
Soit f un a-morphisme deA dans B, f =fs2P J A_B j 8t J s;t A 2P A ^t B =f(t A )g est une stratégie sur A_B.
Démonstration: L'ensemble f
est los par J-pré xepar dé nition. Si sm J ;sn J 2 f , supposons que m 2 A, on a s B = sm B = f(sm A ) don js B j = js A j+1 d'où n 2 A (sinon sn B =f(sn A )entraîneraits B n=f(s A
A B B B A A A
f
est déterministe. On montre également que f
est inno ente (en fait sans mémoire) : si smn J 2 f , t 2 f , tm 2 P A et si n 2 A alors m = f(n) 2 B puisque smn 2 f et f(tmn A )=f(t A )f(n)=t B f(n)=t B m=tmn B d'oùtmn2 f . 2 3.16. Définition (Identité) Soit A unjeu, lastratégie identité id
A
surA_ Aest lastratégie obtenue par le lemme3.15 pour lea-isomorphisme identité entre A et A.
3.17. Définition (Suite d'intera tion)
L'ensembledessuitesd'intera tion int (A;B;C)estl'ensembledessuitesssurA+B+C ayantdes pointeurs pour haque oup ex epté eux initiauxdans C telles que s
A)B 2P A_B et s B)C 2 P B_C . La suite s A_C
est obtenue en remplaçant le pointeurde haque oup adans A pointant surun oup bdansB ( equiimpliqueque aest initialdansAet bestinitial dansB par dé nition de A_B)par le oup vers lequelpointe e oup b de B (qui est né essairement un oup initial dansC),voir [M C96 ℄pour plusde détails.
3.18. Définition (Composition)
Soient : A _ B et : B _ C deux stratégies, la omposition ; de et est la stratégie sur A_C dé nie par: ; =fs A_C 2P A_C js2int (A;B;C)^s A_B 2^s B_C 2 g
3.19. Proposition (Catégorie monoïdale de jeux HO)
La atégorie dont les objets sont les jeux HO et les morphismes de A dans B sont les stratégies inno entes sur A_B est une atégoriemonoïdale symétriquefermée (SMCC) ave produits.
3.3 Exponentielles HO
3.20. Définition (Jeux exponentiels)
SoitA un jeu,lejeu ℄Aapour arène ellede A et P ℄A =fs2L A j8minitial ;s m 2P A g.
3.21. Remarque : Lapropriété(i)deladé nition3.8entraîne quetoutepartiedeAestunepartie de ℄A.
3.22. Proposition (Propriétés stru turelles) ℄(A&B)'
a
℄A ℄B. ℄>=>.
Démonstration:
Les arènes de ℄(A&B) et ℄A ℄B sont les mêmes, l'identité est don une fon tion entre les oups de es deuxjeux qui véri e les onditions requises pour être una-isomorphisme, il reste toutefois à véri er que la fon tion induite sur les ensembles de parties est un p-isomorphisme ( e qui est faux pour les arènes A&B et A B). Soit s une partie du jeu ℄(A&B),soit m un oup initial de s
℄A (= s A ), on a s A m =s m or m est un oup initial de s don s m 2 P A&B mais m 2 M A
don 'est une partie de A. De même, si n est un oup initial de s
B , s
B
n
est une partie de B don s estune partie de ℄A ℄B. Ré iproquement, sisest unepartie de ℄A ℄B,et sim estun oup initial de s,supposons quem2M A , s m A =s A m
estune partie deA (etde même sim2M B
3.23. Définition (Stratégies exponentielles)
SoitA un jeubien ouvert, ondé nit les stratégiessuivantes: (déréli tion) d
A =id
A
:℄A_A biendé nie d'aprèslaremarque 3.21. ( ontra tion) Si sest une partie de℄A
0 _ ℄A
1 ℄A
2
(où les indi esne servent qu'àdistinguer les o urren es) et si I est l'ensemble de ses oups initiaux dans A
1 et J eux dans A 2 , on notes 1 =s I et s 2 =s J
. Onpeut alors dé nirlastratégie A =fs2P J ℄A 0 _℄A 1 ℄A 2 j8t J s;t 1 ℄A 0 =t 1 ℄A 1 ^t 2 ℄A 0 =t 2 ℄A 2 g:℄A 0 _℄A 1 ℄A 2 . (affaiblissement) w A
:℄A_>est lastratégie f"g. (promotion) Soit : ℄A_B une stratégie, lastratégie
y
: ℄A_ ℄B est dé nie par y =fs2 L ℄A_℄B j8minitial ;s m 2g. 3.24. Définition (Composition (bis))
Soit : ℄A _ B et : ℄B _ C deux stratégies, on peut les omposer pour obtenir une stratégie dans℄A_C par
y ; .
3.25. Proposition (Catégorie artésienne de jeux HO)
La atégorie dont les objets sontles jeux HO bien ouverts et les morphismes de A dans B sont les stratégies inno entes sur ℄A_B est une atégorie artésienne fermée (CCC).
3.26. Lemme (!-lemme)
Soit B unjeu bien ouvert et soit : ℄A_℄B une stratégie, on a =(;d B
) y
.
3.27. Remarque : Celemme estun résultatde réversibilité du onne teur ℄dansla sémantique.
3.4 Jeux AJM
3.28. Définition (Arène AJM) Une arène AJM A estun ouple(M
A ; A ) où: M A
est unensemble appeléensemble de oups,
A
estune fon tion de M A
dansfO;Jg. 3.29. Définition (Jeu AJM)
Unjeu AJM Aestunquadruplet (M A ; A ;P A ; A )où(M A ; A
)estune arèneAJMet P A
,appelé ensemble desparties de A, est unensemble de suites alternées de oups de A ommençant par un oup O, en n
A
estune relation d'équivalen e entreparties de mêmelongueur telle que: s A t^s 0 s^t 0 t^js 0 j=jt 0 j )s 0 A t 0 s A t^sm2P A )9n(tn2P A ^sm A tn) 3.30. Définition (Constru tions linéaires)
(>) Onnote>l'unique jeu dontl'ensemble de oupsestvide : (;;;;f"g;f" >
"g).
( ) SiAetBsontdeuxjeux,lejeuA B est onstruit ommedansle asHOave ommerelation d'équivalen e : s A B t si s A A t A , s B B t B
et l'entrela ement des parties est le même (i.e.lei
e
oup desest dansA ssi lei e
oupde test dansA). (_) Idem.
(&) SiAetBsontdeuxjeux,lejeuA&B est onstruit ommedansle asHOave ommerelation d'équivalen e : s A&B tsi s A tave set tdansP A ou sis B t ave set tdansP B .
trera pas dans une dé nition te hnique très pré ise. Une partie u est un entrela ement de deux partiessett, sitout oup deuestsoitun oup dessoitun oup det,siré iproquement tout oup de soude test dansuet si l'ordredes oupsde set de testrespe tédansu (set t sontdon des sous-suitesde u).Siu (resp.u
0
) estunentrela ement desett(resp.s 0 et t 0 ),onditqueu etu 0 ont même entrela ement si : lei e
oup de u est un oup de s ssi le i e oup de u 0 estun oup de s 0 ( e qui entraîne que lei
e
oup de u estun oupde t ssi lei e oup de u 0 estun oup det 0 ).
La notion de stratégie estlamême que pour les jeuxHO, ex eptéque la onditiond'inno en e estrempla ée par lefait queles stratégiesdoivent êtresans mémoire :
smn J 2^t2^tm2P A )tmn J 2
Les onstru tions sur les stratégies sont les mêmes que pour les jeux HOen oubliant les infor-mations depointeurs.
3.32. Proposition (Catégorie monoïdale de jeux AJM)
La atégorie dont les objets sont les jeux AJM et les morphismes de A dans B sont les stratégies sans mémoire sur A_B est une atégoriemonoïdale symétriquefermée.
3.33. Définition (Équivalen e partielle de stratégies)
Deux stratégies et sur un jeu A sont équivalentes, noté , si la ondition suivante est véri ée : smn J 2^t2 ^sm A tm 0 )9n 0 (tm 0 n 0 2 ^smn A tm 0 n 0 ) ainsiquela ondition symétrique.
Cette relation entre stratégies est une relation d'équivalen e partielle et on ne s'intéressera désormaisqu'aux stratégiesauto-équivalentes.
3.34. Définition (Jeux exponentiels AJM)
Soit A un jeu, le jeu AJM ℄Aest le quadruplet (N M A ;(i;a) 7! A (a);P ℄A ; ℄A ) où P ℄A =fsj 8i 2 N;s i 2 P A g (où s i
est la sous-suite de s ontenant les oups d'indi e i) et s ℄A
t s'il existe unepermutation desentiers tellequepourtout i2N, s
i A t (i) et set (t)ontmême entrela ement (où (t)estobtenue est remplaçant l'indi e i par (i)dans haque oup det).
3.35. Définition (Stratégies exponentielles AJM)
Soit A un jeu AJM,soit k un entier, soient l et r deuxinje tions de N dans N à images disjointes et soit p uneinje tion deN N dansN, on dé nitles stratégies suivantes:
(déréli tion) d A = fs2 P J ℄A _A j 8t J s;t ℄A = k:t A
g : ℄A _ A, hanger d'indi e k donne lieu àune stratégie équivalente.
( ontra tion) A = fs 2 P J ℄A 0 _℄A 1 ℄A 2 j 8t J s;8i 2 N;t ℄A 0 l (i) =t ℄A 1 i ^t ℄A 0 r(i) = t ℄A2 i g : ℄A 0 _ ℄A 1 ℄A 2
, hanger de paire d'inje tions (l;r) donne également lieu à une stratégie équivalente.
(affaiblissement) w A
:℄A_>est lastratégie f"g. (promotion) Soit : ℄A_B une stratégie, lastratégie
y
: ℄A_℄B est obtenue en omposant la stratégie fs 2 P J ℄A _℄℄A j 8t J s;t ℄A = p(t ℄℄A
)g : ℄A _ ℄℄A (où si s est une suite de oups de ℄℄A , p(s) est obtenue en remplaçant haque oup (i;(j;m)) par (p(i;j);m)) et la stratégie ! = fs 2 P
J ℄℄A _℄B
j 8i 2 N;s i
2 g : ℄℄A _ ℄B. Prendre une autre fon tion de odage pdonne une stratégie équivalente.
La atégorie dont les objets sont les jeux AJM et les morphismes de A dans B sont les lasses de stratégies sansmémoire auto-équivalentes sur ℄A_B est une atégorie artésienne fermée.
3.37. Définition (Jeu bien ouvert)
UnjeuAJMestbienouvert silepremier oupd'unepartien'apparaîtjamaisau oursd'unepartie.
3.38. Remarque : Attention, ettenotiondebonneouverturepourlesjeuxAJM estdiérente de elledesjeux HO.
3.39. Lemme (!-lemme)
Soit A unjeu bien ouvert et soit :℄A_℄B une stratégie, on a (;d B
) y
LLP, nous aborderons, dans le adre polarisé, toutes les bran hes syntaxiques et sémantiques de l'étude habituelle de lalogique linéaire : al ul des séquents, réseaux de preuve, sémantique ohé-rente,sémantique atégorique,sémantiquedesjeuxet géométriede l'intera tion. Ce ipermettra en parti ulier d'étendredesnotions jusqu'i i limitéesà de pluspetits systèmesque LLP.
Le système LLP
L'introdu tion, dansLL, de lanotion de polarités dé nie dansLC [Gir91a ℄et issuedestravaux de J.-M. Andreoli sur la fo alisation [And90 ℄, va nous permettre de dé nir le système LLP. Nous étudions i i les prin ipales propriétés logiques de e système pour la plupart provenant des liens entrenégatif et réversibilité et entre positif et fo alisation.
4.1 Cal ul des séquents
Nous allonsmontrer omment s'ee tuela onstru tion du al ul desséquents de LLPà partir de l'introdu tion despolarités dansLL.
4.1.1 Formules polarisées
4.1. Définition (Formule polarisée)
Une formulepolarisée estune formule de LLengendrée parla grammairesuivante :
P ::= X j P P j P P j 1 j 0 j 9XP j !N N ::= X
?
j N PN j N&N j ? j > j 8XN j ?P
Les onne teurs P, &,?, >et 8 (resp., ,1,0 et 9) sont dits négatifs (resp.positifs).
Notations :N et M désigneront desformules négatives et P et Q desformules positives. et serontdesmulti-ensembles de formules et N un multi-ensemble de formules négatives.
4.2. Remarque : Nousne onsidéronsi iquelaquanti ationduse ondordre. Lesquanti ateurs du premier ordre se traiteraient de manière extrêmement similaire mais né essiteraient d'alourdir le langage. Il en sera de même pour le reste de ette thèse : réseaux de preuve, logique lassique, tradu tions, ...
4.3. Lemme (Formule positive)
Soit une preuve de LL ne ontenant que des formules polarisées et n'utilisant pas la règle >, si ` est la on lusionde alors ontient au plusune formulepositive.
Démonstration: Parré urren e surlataillede, en onsidérant haque asde dernièrerèglepour :
(ax ) =P;P ?
ré urren e.Or, parmilesdeuxformulesduales oupées,l'uneestné essairementpositive don la on lusion delarègle ne ontient qu'au plusune formulepositive.
(P) Cetterègle ne modi epaslenombre deformules positives.
() Pour que la règle puisse s'appliquer haque prémisse doit ontenir une formule positive don , par hypothèse de ré urren e, exa tement une. La on lusion ontient une unique formule positive quiest letenseur de ellesdesprémisses.
(&) Silesprémisses ontiennentuneformulepositive, 'estlamêmeetelleestdansle ontexte. Par ontra tiondu ontexteonobtientalorsauplusuneformulepositivedansla on lu-sion.
( i
) Pour que larègle s'applique et par hypothèse de ré urren e, la prémisse ontient exa -tement uneformulepositivequi donne une formulepositive dansla on lusion.
(?) Cetterègle ajouteune formule négative sanstou her auxformules positives. (1) =1 ontient une formule positive.
(8) Cetterègle ne hange rien aunombre de formulespositiveset négatives. (9) Comme pour larègle
i .
(?d) Pourquelarègles'applique,laprémissedoit onteniruneformulepositiveP quidisparaît en ?P dansla on lusion.
(? ) Comme pour larègle P. (?w) Commepour larègle?.
(! ) Les formules du ontexte sont né essairement négatives et on obtient une formule !N
positive. 2 4.4. Définition (LL pol ) LesystèmeLL pol
estlefragmentdeLL onstituéuniquement desformules polariséesetdontlarègle >n'introduitqu'au plus uneformulepositive.
4.5. Remarque : Par fragment d'un systèmelogique, onentendrasous-système dé nipar restri -tionde l'espa edesformules ennemodi antpaslesrègles. La ontrainte surlesformulesdoitbien entenduêtrestableparrestri tionàunesous-formule.Cependantle asdelarègle>estparti ulier, eneetsonr leestque>soitl'élémentneutrede&.ConserverlarègledeLLautorisantun ontexte quel onque n'est pasfor ément né essairepour ela etpeutfaire perdredespropriétésdu système. Ainsidansle asde LL
pol
, lapropriété donnée par lelemme4.3est ru iale omme nousleverrons à de nombreux endroits. Il est naturel de ontraindre la règle > à véri er ette propriété, dansla mesureoù l'onpeut toujours prouver (>&N)Æ ÆN.
4.6. Définition (LL + pol ) LL + pol
estlefragmentdeLL onstituédesformulesfaiblementpolarisées (formulesfaiblementpositives et formules faiblement négatives) :
P ::= X j P P j P P j 1 j 0 j 9XP j !N j !P N ::= X
?
j N PN j N &N j ? j > j 8XN j ?P j ?N
et dont larègle> n'introduit qu'au plusune formulepositive.
Une formule polarisée dont les atomes positifs et négatifs sont sous la portée d'un onne teur exponentiel est diteà polarité expli ite.
Soit N une formule négative à polarité expli ite, `! N ?
;N est prouvable dans LL + pol
.
Démonstration: Parré urren esurlatailledeN en onsidérant haque asde onne teurprin ipal (le as del'atome étant ex lupar hypothèse):
(?) Prouvons `!1;?: 1 `1 ! `!1 ? `! 1;? (>) `! 0;> sedémontre parune simple règle >. (P) Si N =N
1 PN
2
, par hypothèse deré urren e, `! N ? 1 ;N 1 et `! N ? 2 ;N 2 sont prouvables. ax `N ? 1 ;N 1 ax `N ? 2 ;N 2 `N ? 1 N ? 2 ;N 1 ;N 2 ?d `N ? 1 N ? 2 ;?N 1 ;N 2 ?d `N ? 1 N ? 2 ;?N 1 ;?N 2 ! `!(N ? 1 N ? 2 ) ;?N 1 ;? N 2 `! N ? 1 ;N 1 ut `!(N ? 1 N ? 2 ) ;N 1 ;?N 2 `!N ? 2 ;N 2 ut `!(N ? 1 N ? 2 ) ;N 1 ;N 2 P `!(N ? 1 N ? 2 );N 1 PN 2 (&) Si N =N 1 &N 2
, par hypothèsede ré urren e, `! N ? 1 ;N 1 et `!N ? 2 ;N 2 sont prouvables. ax `N ? 1 ;N 1 1 `N ? 1 N ? 2 ;N 1 ?d `N ? 1 N ? 2 ;?N 1 ! `!(N ? 1 N ? 2 ) ;?N 1 `! N ? 1 ;N 1 ut `!(N ? 1 N ? 2 ) ;N 1 ax `N ? 2 ;N 2 2 `N ? 1 N ? 2 ;N 2 ?d `N ? 1 N ? 2 ;?N 2 ! `!(N ? 1 N ? 2 ) ;?N 2 `! N ? 2 ;N 2 ut `!(N ? 1 N ? 2 ) ;N 2 & `!(N ? 1 N ? 2 );N 1 &N 2 (8) Si N =8XN 1
, par hypothèsede ré urren e, `!N ? 1 ;N 1 estprouvable. ax `N ? 1 ;N 1 9 `9XN ? 1 ;N 1 ?d `9XN ? 1 ;?N 1 ! `!9XN ? 1 ;?N 1 `!N ? 1 ;N 1 ut `! 9XN ? 1 ;N 1 8 `!9XN ? 1 ;8XN 1 (?) Prouvons `!! P ? ;?P : ax `!P ? ;?P ! `!!P ? ;?P 2
SoientN uneformulenégativeetN unmulti-ensembledeformulesnégativestouslesdeuxàpolarités expli ites. Les règlessuivantes sontprouvables dans LL
+ pol : ` ` ;N ` ;N;N ` ;N `N;N `N;! N
Démonstration: Onutilise essentiellement lelemme4.7 enintroduisant des oupures :
` ?w ` ;?N `!N ? ;N ut ` ;N ` ;N;N ?d ` ;?N;N ?d ` ;?N;?N ? ` ;? N `!N ? ;N ut ` ;N `N;N 1 ;:::;N k ?d `N;?N 1 ;:::;?N k ! `!N;?N 1 ;:::;? N k `! N ? 1 ;N 1 ut `!N;N 1 ;?N 2 ;:::;? N k . . . `! N;N 1 ;:::;N k 1 ;?N k `! N ? k ;N k ut `! N;N 1 ;:::;N k 2 LesystèmeLLPestobtenuenajoutant esrèglesàLL
pol
pourtouteformulenégative.Surleplan delaprouvabilité, etenri hissementnefaitqu'ajouterlesrèglesstru turellessurlesatomesnégatifs e qui estparfaitement dansl'idée qu'un atome négatif représente une formule négative générique. Puisque elles- i véri ent les règles stru turelles il est normal que e soit le as des atomes. Cette extension pouvant ainsisembler anodineest enfait essentielle du point de vue despreuves (etpas simplement de laprouvabilité) omme ette thèsetendra àle prouver! Contrairement à LL
pol , LLP n'est pasunsous-système de LLmaison aLL
pol
=LL\LLP.
4.1.2 Règles
On aboutit ausystème LLPdont lesrègles s'é rivent : ax `N;N ? ` ;N `N ? ; ut ` ; ` ;N;M P ` ;N PM ` ;P `;Q ` ;;P Q ` ;N ` ;M & ` ;N &M ` ;P 1 ` ;P Q ` ;Q 2 ` ;P Q `N;N ! `N;! N ` ;P ?d ` ;?P ` ?w ` ;N ` ;N;N ? ` ;N > ` ;> ` ? ` ;? 1 `1
` ;N 8 ` ;8XN ` ;P[ = X ℄ 9 ` ;9XP Ave les ontraintes suivantes:
le ontexte delarègle > ontient auplus une formulepositive; lavariable X n'est paslibre dansle ontextede larègle 8.
4.9. Lemme (Formule positive)
Soit unepreuvede LLP,si` estla on lusionde alors ontientauplusuneformulepositive.
Démonstration: Comme pour le lemme 4.3 puisque les modi ations des règles stru turelles ne hangent paslapolarité desformules. 2
4.10. Remarque : Il est également possible d'expli iter le lemme 4.9 dans les règles omme ela estfaità lase tion 10.1.3,enindiquantexpli itement lesformules positivesqui peuvent apparaître dansles ontextes.
4.2 Propriétés
4.2.1 Règles réversibles
4.11. Définition (Conne teur réversible)
Un onne teur ~ est réversible si pour toute preuve du séquent ` ;A où ~ est le onne teur prin ipal de A, il existe une preuve sans oupure
0
de ` ;A dont la dernière règle est une règle d'introdu tion de~.
4.12. Lemme (Conne teurs réversibles de LL) Les onne teurs réversibles de LLsontP, &, ?,>et 8.
Démonstration: Pour ha un des onne teurs, ondé nit 0 de lamanièresuivante : (P) ` ;APB ax `A ? ;A ax `B ? ;B `A ? B ? ;A;B ut ` ;A;B P ` ;APB (&) ` ;A&B ax `A ? ;A 1 `A ? B ? ;A ut ` ;A ` ;A&B ax `B ? ;B 2 `A ? B ? ;B ut ` ;B & ` ;A&B (?) ` ;? 1 `1 ut ` ? ` ;?
