Un modèle stochastique du taux d’intérêt implicite en microcrédit

Un modèle stochastique du taux d’intérêt implicite en microcrédit

PHEAKDEIMAUK, MARCDIENER

LABORATOIREJ.A. DIEUDONNÉ

Dixième colloque des jeunes probabilistes et statisticiens CIRM Marseille 16-20 avril 2012

Microcrédit

Qu’ est-ce que le microcrédit ?

De très petits prêts à des gens très pauvres.

Introduit par Muhammad Yunus au Bangladesh dans les années 70.

Le prix Nobel de la Paix en 2006 pour la Grameen Banque et Yunus.

Des taux de remboursements très hauts (≈97%).

Environ 10 000 institutions de microfinance (IMF) dans la plupart des pays du monde.

Et environ 50 milliards d’Euros de prêts à plus de 500 millions de bénéficiaires.

Les Problémes de taux d’intérêt

Retard de rembousement / taux d’intérêt effectif

Reproche : les taux d’intérêts sont trop élevés.

Mais les emprunteurs ne remboursent pas toujours à temps.

En cas de retard, l’IMF accorde habituellement un délai gratuit.

Mais le delai entraine un taux d’intérêt plus petit.

Aucune étude mathématique de ce phénomène.

P MAUK, M DIENER L J.A. D

Equation de Yunus

L’équation de Yunus (ref. [1])

1000 BDT 

22  22  22 

2^ème  50^ème 

1^ère 

1000=22

50

∑

k=1

e^−52r

k

=22

50

∑

k=1

q^k =22q−q⁵¹

1−q , q=e^−52r r : taux d’intérêt annuel,k : nombre de semaines,k =1,2,· · ·,50.

D’oùl’équation de Yunus 22q⁵¹−1022q+1000=0.

r≈20%(19.74175%)

Modèle aléatoire de Yunus (1)

Notre Modèle : modèle aléatoire de Yunus

(εi)i=0,1,2,···: une suite de v.a. i.i.d. de loi

B

εi =

1

si l’emprunteur ne rembourse pas à la date

sinon

B0=0

Bi =Bi−1+εi:

un processus de Bernoulli

le nombre de semaines de retard à la date







X0=0,T0=0

Xn=

Min{

Xn

G

^où

la probabilité de remboursement à temps

P MAUK, M DIENER L J.A. D

Modèle aléatoire de Yunus (2)

Notre Modèle : modèle aléatoire de Yunus

vv  

T1  T2  T3  T4  T5  T6  T7 

X3=3  Bi 

0  i 

SoitRle taux d’intérêt actuariel qui satisfait l’équation de Yunus :

1000=22

50

∑

n=1

e^−52RTn =22

50

∑

n=1

e^{−52R(X1+X2+···+Xn)}

CommeX₁,X₂,· · · sont des v.a., alorsRdevientvariable aléatoire.

Taux aléatoire

Le taux d’intérêt devient aléatoire

Proposition :

Si on désigne parr¯la quantité qui satisfait l’équation :

1000=E

50

∑

n=1

22e^{−52¯r(X1+X2+···+Xn)}

!

alors¯r=52 ln

1+p(_q¹

+−1)

,oùq₊: la solution (positive non triviale) de l’équation de Yunus non stochastique.

En utilisant la fonction génératrice deX_n, on obtient¯r.

P MAUK, M DIENER L J.A. D

La probabilité de rembousement à temps comme fonction du taux de non défaut

La probabilité de rembousement à temps comme fonction du taux de non défaut

Proposition :

Soitd : le nombre maximum de semaines de retard autorisé et soit γ=P(Max{X1, . . . ,X50} ≤d): le taux de non defaut.

On a la relationp=1−(1−γ

1 50)^1d.

γ=P

50

\

i=1

{Xi≤d}

!

=

50

∏

i=1

P(Xi ≤d),lesXi sont i.i.d. et de loi

G

Graphes depen fonction deγpour différentes valeurs ded

Graphes de p en fonction de γ pour différentes valeurs de d

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Non-default probability

On-time probability

Le retard maximumd=1,2,3,4,5

P MAUK, M DIENER L J.A. D

p=0.84

Simulation de la loi du taux d’intérêt aléatoire R, p = 0 . 84

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20

Interest Rate Distribution, p=0.84, Samples Size=10 000

Interest Rate

Number of Occurrence

p=0.95

Simulation de la loi du taux d’intérêt aléatoire R, p = 0 . 95

0 20 40 60 80 100 120 140

0.155 0.160 0.165 0.170 0.175 0.180 0.185 0.190 0.195 0.200

Interest Rate Distribution, p=0.95, Samples Size=10 000

Interest Rate

Number of Occurrence

P MAUK, M DIENER L J.A. D

p=0.97

Simulation de la loi du taux d’intérêt aléatoire R, p = 0 . 97

0 50 100 150 200 250 300 350

0.160 0.165 0.170 0.175 0.180 0.185 0.190 0.195 0.200

Interest Rate Distribution, p=0.97, Samples Size=10 000

Interest Rate

Number of Occurrence

Conclusion

Conclusion

Dans la pratique, le remboursement du prêt est d’environ 97%, en général, le temps maximal autorisé avant défaut est de 4 semaines.

Dans notre modèl, pourd =4 etγ=97%, on trouvep=84%, ce qui correspond à un taux d’intérêt effectif¯r ≈16,59%.

Donc le taux d’intérêt effectif, dans ce cas n’est pas de 20% mais de 16,59% en réalité.

L’ étude mathématique du modèle devrait permettre de déterminer la loi deRet le calcul du taux effectif dans le cas général.

P MAUK, M DIENER L J.A. D

Références

Références

[1] M. Yunus et Alan Jolis,Vers un monde sans pauvreté, JC Lattès, 1997.

[2] M. Yunus and Alan Jolis, Banker to the Poor :Micro-lending and the battle against world poverty, Public Affairs, 1999.

[3] Beatriz Armendàriz de Aghion and Jonathan Morduch, The Economics of Microfinance, The MIT Press, 2005.

[4] Christian Ahlin and Robert M. Townsend, Using repayment data to test across models of join liability lending, The Economic Journal, 2007.

[5] Osman KHODR Modèles dynamiques des innovations du microcrédit, PhD Thesis, Université de Nice Sophia-Antipolis, 2011.