LE RÉGLAGE DE LA FRÉQUENCE EN RÉSEAU SÉPARÉ PAR DES TURBINES FRANCIS DE ns MOYEN, LE DOSAGE DU RÉGLEUR ÉTANT OPTIMISÉ

LA HOUILLE BLANCHE 41

par le

Le réglage de la fréquence en des turbines Francis de dosage du régleur étant

, "

reseau separe n

s

moyen,

optimisé

PAR

G. RANSFORD

11','GI~i'\IEUn ^{A LA SOGHEAH}

English text, p. 48

Résumé pratique des données sur le réglage de la fréquence sur des turbines Francis de vitesse spécifique moyenne, compte tenu de l'effet de l'autoréglage el de la pente de la courbe de rendement.

L'article donne, pour 25 combinaisons de ces facteurs, les valeurs optimales des paramètres de réglage et les courbes de réponse en fré- qlzence lors d'une prise de charge brutale.

1. - INTRODUCTION Dans une publication précédente (La Houille

Blanche, n° 3, 1H58, pp. 21:3-228), nous avons exposé une méthode d'analyse permettant d'op- timiser le dosage des régleurs des turbines Fran- eis, compte tenu du coefficient d'autoréglage du réseau et de la pente de la courbe de rendement en fonction de l'ouverture du vannage. Nous n'avions fait qu'effleurer à cette époque l'étude de la précision du main tien de la fréquence par des turbines réglées de cette manière. Cependant, nous avons attiré l'attention sur l'intérêt que pourrait présenter une formule du type:

formule qui donne l'écart maxinuull de la fré- quence après un saut brutal de la puissance de- mandée. La valeur de l'intégrale 1 pouvait être déterminée à l'aide des graphiques accompa- gnant l'article en question; fil désignait un para- mètre, voisin de 2, défini comme étant le temps, en variables réduites, mis pour atteindre _{II max} après la perturbation.

Nous voudrions maintenant faire le point de cette question laissée en suspens. Les résultats obtenus peuvent se résumer ainsi:

Le paramètre ~ reste voisin de 0,95 dans une large gamme de conditions d'exploitation. Q'uant il fil, nous avons trouvé des valeurs allant de 1,25 il :3,25 eln'iron, dans les cas étudiés. Toutefois, ce facteur intervient sous le radical dans la for-

mule donnant lIma,,; de ce fait, l'efTet des erreurs possibles d'interpolation dans le tableau accom- pagnant notre texte sera atténué.

Cinq graphiques (les figures 1 à 5) traduisent, en variables réduites, le comportement détaillé des turbines Francis dont le réglage obéit à notre critère de (I/W₀2_)lllill' pour différentes valeurs de a, le coefficient d'autoréglage en variables rédui- tes, et de !J, la pente relative de la courbe de rendement.

Soulignons, une fois de plus, l'intérêt qu'il y aurait à diminuer quelque peu, dans la pratique, les facleurs de dosage « optima», ), et 1)" qui cor- respondent ici à notre critère de base déjà men- tionné.

Ainsi, au lieu de prendre, pour (J

=

b

=

0,

1).= 0,12

), = 0,7:3 nOlis ferions mieux de choisir:

1).= 0,10 ),=0,70 par exemple.

Nous n'avons pas entrepris d'étuàe systéma- tique de cette question, mais il y a lieu de croire que l'amortissement des oscillations de fré- quence bénéficierait du changement, l'écart maxi- mum de fréquence restant il peu près inchangé.

Il est à noter en passant que nous sommes arri-

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1960023

42 LA HOUILLE BLANCHE N° 1 -JANv.-FÉv. 1960

vés à des conclusions contraires, en ce qui con- cerne les groupes bulbes, dans notre étude sur les Kaplans; les deux cas difl'èrent sur bien des points, en effet.

Le présent texte contient tous les détails inté-

ressant les applications pratiques, un exemple numérique ayant été ajouté pour mieux illus- trer le raisonnement. Toutefois, le premier ar- ticle contient les études de base indispensables à une connaissance générale de nos méthodes.

II. - NOTATIONS

cf

don

b=·· - .1- : La pente relative de la courbe -~ ^{d (ilY)} de rendement;

Les notations sont celles que nous avons em- ployées dans J'article paru dans La Houille Blan- che, n° :3, 1B58 (voir aux pages 221-223). En par- liculier :

"1)1 :Le rendement à la pleine puis- sance;

: La variation relative (brutale) de la puissance demandée;

A

-~n ^: Le rendement à l'ouverture partielle n;

: Le coefficient d'autoréglage du réseau, compris en général entre 0 et 2;

1=

!~l2dt:

Intégrale chifTrée après un saut - " de puissance;

~w

Wo= \v.

/,

fJ-

.JJ.L

r'"":"

~

^:Le temps de lancer de la con- - gH^l

I-\.

S duite;

: La puissance relative à fournir par la turbine;

: Le temps en variables réduites;

: Le coefficient d'autoréglage du réseau en « variables rédui- tes» ;

: L'inverse du rendement relatif;

l = · - -T

cf'O

C/'20 a=--A

'r

: Le temps de lancer du groupe, évalué pour la pleine puis- sance.

: Le dosage accélérométrique du régleur, en variables réduites;

: Le dosage tachymétrique du régleur, en variables sans di- mensions;

llmax : Le premier écart maximum de

Il survenant après une varia- tion brutale de la puissance demandée;

tu :Temps, en variables réduites, mis pour atteindre ^UlllllX ;

'r (~Q)\ L " l ' d .

l l =

cj

₂

0 \

^{QI :} a vanatIon re atIve e vitesse

du groupe, en variables ré- duites;

III. - BUT DE L'ÉTUDE

Nous nous sommes attachés à évaluer:

1° Les combinaisons de !J. et de ), conduisant, pour a et b donnés, à la valeur minimum de I/wo^2;

2⁰ La valeur correspondante de I/wo^2;

3° Les valeurs Àlllax et ^)'Illill qui fixent les deux ex- trémités, sur l'axe iL=O, de la zone de stabi- lité; ces paramètres permettent de se rendre compte de l'étendue de cette zone, ainsi qu'il a été démontré dans l'article sur les turbi-

nes Kaplan paru dans La Houille Blanche, n° 6, 1959;

4° La valeur de t" pour la combinaison de ), et de iL choisie;

5° La valeur de - (ulllaxlwo); ce paramètre est positif, du moment qu'une augmentation de la puissance demandée(wo+ve) se traduit par un premier écart maximum de Il, de signe négatif ;

6° _~= 1lllllllX1Vil//I.

Nous avons déjà souligné l'intérêt de ce para- mètre.

IV. - LES RÉSULTATS an est prié de se reporter à la table qui pré-

sente les paramètres de réglage « optima », se- lon le sens que nous attribuons à ce terme, pour les combinaisons suivantes:

a=O

a = 0,1

Il = 0,2 a = 0,3 a=0,4

b

= +

^0,4

b= 0,2

b=O b=-0,2 b= -0,4

0,1

0 '),-

+

^0,4 i

+

^{0,2 :}

1

~,2

^{1 0,4}

1 -0,4 :

0,935 0,948 0,958 0,9G3 0,9G2 1,01

1,20 1,43 1,73 2,14 1,45

2,2G5 3,63 (i,07 10,92

),

0,317 0,971 0,27!l 0,878 0,247 0,804 0,218 0,751 O,lll:l 0,705 b

+

^0,4

+

0,2

°

-0,2 -- 0,4

Cl

0,2 0,1

°

"'''1

1

Valeur 1 1 Facteur 1:

,correspondante) J','"l" t (Il /w) de f'OI'Ille b ! ^Cl II/wo"=tt/Wo")n"" ,n"" " : " - max ⁰

~

^l'

1 i Il

- - - 1 - - - - 1 - - - , 1 - - - : - - - - -- - - 1 - - - -

1

i

^{1 1}

1

+-

0,4 0,179 0,866 1 3,63 1 1,250 ^f

°

^{1,54 1,43 0,932}

⁺

^{HA l'}

+-

^{0,2 0,148 0,791 6,40 1,111 1}

°

^{'Ii 1,81 1,785 0,949}

⁺

^0,2

°

^{0,121 0,734 Il,94 ! 1,000 l'}

°

^{1 2,14 2,28 0,964}

° °

-- 0,2 0,097 O,G87 24,48 0,909

°

^{12,58 3,015 0,979 - 0,2 :}

_____ =-~:~

^0_'0_7_4

~~;51_J

^{59,06 0,833}

°

^{3,22 4,25 0,992 - 0,4 ! _}

+

0,4 0,211 0,892 1--2-,-78-5-- 1,312! - 0,071 -1,45 - ---1,29--- ~q33-

+

0,4 ¹

+

0,2 0,178 0,812 1 4,71 1 1,lG7 1

1

- -0,083 1,685 1,59 0,949

+

0,2

o

0,150 0,750 8,33 1,050 -- 0,100 1,97 1,98 0,9M 0

- 0') 0,125 0,701 i 15,84 0,955 - 0,125 2,34 2,54 0,975 -- 0,2

____ -=~~ ~)_,1_0_~_ _0,6~:_:---3-3-,9-4--- ,_0_,8_)7_5_1_~= O,lG~_I_~~~f)

^{__ 3,40}

_~_~'~

^{0,_4 _}

+

0,4 1 0,24;) 0,918 1 2,195 1 1,375

1--

^{0,143 11,:)7 1,18 O,9:H}

⁺

^0,4

+ :;,2

¹

i::î~~ :::~~~! ~:~~ [i:î~~ Il:=: _i::~i;~

¹

i _{:~~ i:~~ ~:~;~~} ⁺ _~),2

-- 0,2 0,155 0,717 1 10,ll8 1,000 ,-- 0,250 ,2,15 2,19 0,972 - 0,2 - 0,4 0,131 O,(i75 1 21,75 0,lll7

1-

_, ^0,333!_, 2,58 2,8'1 O,ll77 - 0,4

- - - . - - - --- --- , - - - - ' - - - , - - - 1 - - - 1 - - - -

+

ü,4 0,280 0,944 1,77 1,438 i - 0,214 ^'l' 1,302 1,09 0,9:)5

+

0,4 i

+

^{0,2 0,2'14 0,857 2,82 1,278}

1-

^{0,250 1,495 1,30 0,9'19}

+

^{0,2 1}

0,23

°

^{0,214 0,78'1 4,64 . 1,150}

^1-

^{0,300 1,73 1,57 0,9(H}

°

^{li 0,3}

- 0,2 0,180 0,734 8,00 1 1,045

'1'--

^{0,375 ! 2,00 1,93 0,967 - 0,2}

____ .:---=-_0,_4__

~_,l_Gl~

^{_ _}

O_,(~89

_i _ _1_5,_O_0_ _¹

0,95~

^{-0,500 2,37} 2,_4_4_i __

?!~9_.

^{_ _0,_4_}

1 1,500

1-

^{0,28G 1,24}

I

l 1,333 - 0,333 1,42 1,200 ,--0,400 1,G3 i 1,091 ! ----0,500! 1,88 1,000

1----

^{0,6G7 1 2,20}

I l !

+0,5t - - - , - - - I r - - - r - - - r

o

-- 1,5t - - - I - - - f - - - I - - - - _ l _

a =

°

- ' - - - =0,1

= 0,2

=0,3

= 0,4

- 2,0 ---+---+---1 ---,__

u

Wo

b=+0,4 t=

°

^à15

FIG, 1.

44 LA HOUILLE BLANCHE N" 1 -JANV.-FÉv. 1960

+0,5

1

o

-1,0

- 1,5

,

, - - - , - - - --- - - - , - - - j - - Cl =

°

=0,1

=0,2

=0,3

14

1

- 15

=0,4 b =+0,2 t =

°

^{à 15}

FIG. 2.

+0,51---,------;---r---,---r--- - - - - - - - , - - - - , -

=0,3

=0,1

=0,2 Cl=

°

b=

°

- 1,5

- 1,0 '---\:~--'--+_+:-/--_r_-!---'---+---!---r---,---+---r--

- 2,5r--- ---;- ---

-w;;u FIG. 3.

Les figures 1 à 5 concrétisent le comportement du groupe réglé pour chaque combinaison étudiée. Rappelons enfin qu'une légère diminution de ), et de :J. résulterait sans doute en une amélioration de l'amortisSClnent, selon ce que nous avons déjà dit.

JANV.-FÉv. 1960 - N° 1 Q RANSFORD 45

_ 15

- - - - ~0,3

~0,4 b~- 0.2 1~0 à 15

~_---<: 1~ 14

.- - --._~- --~---,----r-

WCu _ 1,5 - 0,5

- 1,0

- 2.0I----\.l,-J~____;-'---f---ft---+__--__I---

- 2,51----++'--=-"'--+--+----+---11---+--

.,l----j---··[

°

FIG. 4.

0,4

--..---r

° _-7-~~

^{" 1}

1\

2 4

6-~

^/

_"

^,

_'" ^{' "}

^"

·

^'",

^'V-:;

^{/ , ./ '}

^~'--

^{/ /}

^~ / ^{---- "}

/ , ' '" , v . / " /

- 0,5

"

^{/ " ' , / , ; . " - -}

î ^{Il ' .}

^{1,'1,' //}

^/

^{,~~" -~.-}

^{~./ V/1}

-1,0 /

"

^{' - - '}

\~ /; ^/

^{/ ~}

^.---_

..

/ ^,

" ^V

^{! '}

,

/

, /

_1.5 ,

~h j/: ^{/ /} /

- 2,0 \','.\^\

;'

\\\" ^{f-/ / '}

^,

/

\,\ _\\

_'.^{\ / "}

/

1'-./ " ^{Cl~ 0}

-2,5

~

^,'..._...~

^"

¹¹

^/

^1/

/

^{- ' - - '}- - - - ^~=0.10.2

-3,0 ^{- - - -} ~ 0.3

\1\

/

/

^{~ 0,4}

\ , , - /

il ^b= - 0.4 1=0 à15

-3,~

\ ^1/

-4,0 ^Wuo

\ J

FIG. 5.

4G LA HOUILLE BLANCHE

V. - EXEMPLE NUMÉRIQUE

N° 1 -JANv.-FÉv. 19GO

Cet exemple a été suggéré par l'étude d'un mué- nagement en construction. Les caractéristiques choisies sont toutefois fictives en partie.

Un ensemble de turbines Francis de 142 000 ch/112 500 kVA chacune et d'une vitesse de ro- tation de 187,5 tr/mn doit fonrnir de l'énergie électrique en réseau séparé, la fréquence étant de 50 périodes. Chaque turbine possède sa con- duite forcée de 4,88 mètres de diamètre; la chute nette est de 103,8 mètres. L'inertie (PD2) du 1'0-

Lor de l'alternateur se chiffre à 7 600t.m~.

Compte tenu du rendement de la turbine et de son alternateur, nous savons que le débit à la puissance nominale s'élève à 112 m³/s. II s'en- suit que la vitesse lnaximum dans la conduite forcée égale 6,01 mis. La longueur de cette con- duite peut être évaluée à 160 mètres, s'agissant des calculs d'inertie de l'eau: ce chitrre tient compte d'une majoration pour la bâche spirale et l'aspirateur.

Le rendement de la turbine à l'ouverture maxi- UlUm se chitrre à :

75 X 142000 , '"

---.--- --, =

q] ) 10 1000 X 103,8 X 112,5 . '-, (Voir la figure 6).

On peut mentionner que, le facteur de puis-

- - - .----_._---

1

sance nominal étant de 90 %, le rendement de l'alternateur s'établit à 97 % :

112500 X O,~)O

= m

% ]42000 X 0,1355

D'autre part, la vitesse spécifique des turbines est égale à :

187,5>:<_lj~_000 ⁼ 214 003,8)5/4

Les turbines sont du type « moyen » auquel notre analyse s'applique en toute rigueur. .

Le 0 de la conduite s'identifie à 3 enVIron [~= (~V)/2gH], à la pleine charge. Nous som- mes autorisés par conséquent à négliger le coup de bélier d'onde dans la conduite; il serait pos- sible d'en tenir compte de la façon expliquée dans La HOllille Blanche, n° 1, 1959, pp. 32-46.

Le temps de lancer d'un groupe est donné par:

~ = 087,5)2 X 7600 = 70 secondes , 270 X 142 000 '

Le temps de lancer d'une conduite s'identifie à:

On examinera le cas où le coefficient d'auto- réglage vaut 2,0.

9 0 o / , f - - - t - - - ; r ' - - - - f - - - f - - - + - - - j 't:

Cl;;>;

't

2E."

.fi~~

2~ ~

~_6"0'" _~^"-

~ %---1---+---+---+---+---1

c

E t

i

_cr:

~

_l;j

80%

50% 60"/. 70%

FIG. li.

80"/.

Ouverture du v one e - Gat..,oDenin

.TA:>:v.-FI~V. 1960 - N" 1 - - - G. HANSFORD ---..--.--...---.--- 47

Les ealeuls se déroulent, suivant le tableau eî-dessous, pour trois valeurs typiques (70 %, 85 %, 100 %) de l'ouverture du vannage:

L'analyse, étant linéarisée, n'est valable que pour des faibles variations Wo de la charge, de l'ordre de 5 %à 10 % au maximum

(UJ o⁼ 0,05 à 0,10).

Les résultats soulignent l'amélioration très nette du maintien de la fréquence à mesure que la charge diminue. Cette conclusion, quoique exacte, est sujette à deux remarques:

a) Wo est le changement relatif de la puissance demandée, et ne représente pas le même nom- bre de kilowatts à des ouvertures partielles qu'à la pleine ouverture;

h) Pour des valeurs du paramètre? inférieures à 2 environ, il convient de prendre le coup de bélier d'onde en considération; le réglage de la fréquence en est influencé défavorablement, lorsqu'on le compare avec le schéma simple présenté ici (coup de bélier de masse). Cepen- dant, dans notre exemple, ce paramètre se chifTre encore à 2,1 environ à l'ouverture de 70 %, donc l'analyse telle que nous la pré- sentons est valable dans tous les cas étudiés.

On se souviendra, d'après l'article paru dans La Houille Blanche, n° 1, 1H59, pp. 32-46, que le coup de bélier d'onde conduit à des valeurs de À et de fi. plus faibles que celles évaluées sur la base du coup de bélier de masse.

c[20/-r . . .

Il . 0,272

+

^0,25

d'~/d(tlYl .

1 - - - -

b _ .

- .. 0,38 -- O,4l(j

3,7 s 0,152

1,3 S-l

17 G,05

3,7 s 3,8

fi. pour (l/wo²)mill··· - . . . . 0,195 _0,18~

), pour (l/wo:l)mill (par interpolationl ... _. . . . 0,839 0,7G8 0,G82 - - - , - - - -

p.rccommandé 1 (US 0,17 0,14

), recommandé --.-..-.-.

~-:~-

^..-.-.-.

:~~:-.

^-..

~~-~.~:~.I----O-.8-'O--- (_),~_I

^{[_) 0_,(j_5}

1

K," correspondan t . . . . . . . .. . [. 2_,,_8_s_-_l_ _ , 1_,_7_s_-_¹_

K_À correspondant ^'11 8_'_:~ (î_,:._)[_) 4_,8 _

Pente de la camc de statisme' .. . . .. . . (l,l~ O,1(j O,~l

- - - 1 - - - - 'I· ~ _

Temps de relaxation du dash-pol' . . . . ;) s

- - - 1 - - - -

(I/wo²)mill par interpolation .

---_·_---1---

t" par interpolation . l,GO 2,45

~,58

1,74 1,4G5

- - - . - - - 1 - - - ; - - - -

--- (llmax/wol, par interpolation .

2,5G

0,88 2,33 s 0,35 w() 0,971

17,5w o 0,25 0,45

~, par interpolation. . . . 0,945 : 0,962

~/wo

^{VI/tIf à titre de contrôle de la valeur de l,}

'.~.r) ·1!----1-,~/~ ---

- (lIllIaxlwo) donnée précédeml11ent . . . . ' t " v

_T_e_I11_I_)S_'_e_n_s_'e_c_o_n_d_e_s_,_111_i_S_l_JO_t_ll_'_a_tt__e_Î1_H_I_re_'_(tl_'_n_/_n_1_l'_"I_lX_'_'_'1 1_'_0_G_S_ _ \ l,49 Valeur de (tln/n₁)llIax' . . . . (l,098w ( ) . O,lnWo tlnlll"x en fréquence. '.' . . . . 4,9 Wo --i\ S,9 w o

iln lllax en fl'équence pour un saut de puissance de 5(k.

. Les g-randeurs étoilées se rapportent à des régleurs à statisme temporaire.

48 LA HOUILLE BLANCHE

Separate-network frequency control by medium n

s

Francis turbines with optimized governor parameters

lW

G. RANSI,""'ORD

ENGINEEI\ AT THE SOGHEAH

Texte français, p. 41

.il sllmmary for prac!ical design pllrposes of freqllency control data for medium specific speed Francis tllrbines, inelllding the elTect of grid inherent stability and J'llIlner efliciency droop.

il selection of optimllm (JolJernor parameters and correspondin(J response Cllrlles after a slldden th rowing-on of load are gillen fol' 25 possible com bina!ions.

I. - INTRODUCTION

A former article (La Houille Blanche, Nr. :3, 1958, pp. 205-21~)) discussed a method of opti- mizing Francis turbine governor parameters, taking account of the grid inherent stahility factor and the turhine (efficiency/opening) droop. Little was said ho,vever about the per- formance of turbines as far as the accuracy of frequency control goes. However, on the basis of some approximate figures, evidence was put forward to support the bel icI' that this perfor- mance, or more particularly, the maximum deviation l'rom the assigned frequency artel' a sudden thro"\ving on or off" load could be deter- mined by a formula of the type:

where :

~

==

0.95

1 can be found l'rom the diagrams published in the article referred to, and f" is a time factor generally equal to about 2.

The usefulness of this formula has now heen made evident hy the further studies to he des- crihed here. Il has been found that ~ is very nearly constant at 0.95 over a wide range of conditions. As for fIl' which in fact denotes the

time (in dhnensionless variahles) taken for the maximum frequency variation to OCCUl' artel' the sudden load change, it ranges l'rom 1.25 to 3.25 approximately in the cases studied here. Howe- ver, f" oecurs under the square-root sign in the formula for l/lmllx¹ and hence any e!Tor in inter·

polation in the tahle to he given later on will he attenuated.

Referring now to the detailed behaviour of the unit aiter a sudden load change, and in par- ticular to the damping out of the speed varia- tion, five graphs show what can he expected for values of b (the dimensionless efficiency slope) l'anging l'rom

+

^{0.4 ta - 0.1 and with a, the}

gl'id inherent stability factor in reduced varia- bles, ranging l'rom 0 to 0.1. Il should be noted that the choice of governor parameters, À and iL,

corresponds in aIl cases to the least value of I/w(j2. As pointed out in the first article, it would doubtless be preferable to choose points slightly closer to the origin; for example in- stead of :

fi.

=

0.12

À= 0.73

for a = b = 0, il would be better to select:

p.= 0.10

), = 0.70,

- - - G. HANSFOHD 49

Though no systematic study has been made of this point, there is good reason to believe that an iInprovement in damping out of the oscillations would result. The maximum fre- quency variation would be little alTected by this charge, however.

The present article sums up the main prac-

tic~d points of use to designers; the earlier ar- ticle already referred to gives the hacl,ground of these studies. A numerical example has been added to make the present text self-contained.

II. - NOTATION

cf

d'~

b= --- -_... :The relative slope of the ef- .~ d (ilY) ficiency CUI've;

The symbols are as used previously (see La Houille Blanche, NI'. 3, Hl58, pp. 206-207).

In particular,

1=

/'~12df:

Evaluated artel' a sudden load

• Il change;

A : Inherent stabilitv factor of the n'rid rano'in o' ;)'enerall" fronl

n ' b b b •.'t

o

^{to 2;}

: The relative (sudden) load change;

; The first extreme value of u after a load change;

~w

\V"

: The inherent stability factor of the grid in dimensionless variables;

cf

²0 a = - - A

: The reciprocal of relative ef-

ficiency; : Et'fîciency at partial opening n;

f=

Y"

c

t= - - .'1' cf0

; The relative load on the tur- bine;

: Time in dimensionless form;

; Time in dimensionless form, required to aUain /lllll";

: The relative speed variation of the runner in dimension- less form;

'~I : Efficiency at full load;

0= Q] \"1

~

^:The so-called penstock starting

gH] --i S time;

: Taehymetric eft'ect of governor in dimensionless form;

: Accelerometric eft'ect of gover- nor in dimensionless form;

: Specific inertia of unit at maxi- mum Ioad.

III. - PURPOSE OF THE INVESTIGATION

The aim has heen lo determine :

(a) optimum combinations of !J. and ), (i.e., those giving minimum values of I/w,,2);

(b) the corresponding values of I/w,,2;

(c) values of À_lllflX and À_llllll bounding the zone of stability on the axis [L

=

0 (cf. article on Kaplan turbines in La Houille Blanche, NI'. fi,

Hl59: this enables the extent of the zone of stability to be pietured easily);

(d) fIl for the optimum il. and ),;

(e) --(Ulllflx/WO), Ihis quantity being positive;

thus a throwing on of load (positive wo) is followed by a decrease in speed lo a first extreme negative value of u;

(f) ~= 1U lllflX¹ Yf.,';I.

The utility of ~ has been explained.

50 LA HOUILLE BLANCHE N" 1 - .!A;-,;v.-Fùv. 1%0

IV. - RESUL1'5

The results are presented in labular form for the following combinations of values: -

a=O a= 0.1 a=0.2 a= O.i~

a

=

0.4

b=

+

^0.4

b=

+

^0.2

b=O b= --0.2 b

= ---

0.4

I<'requency variation aftcr a suddcn load changc has been pIotted for each case on figu- res 1 10 5 (l). Il should he recalled (HlCe again that somewhat improved damping wouIel no doubt result l'rom slightly smaller values of ), and iJ. lhan those choscn here, which correspond to (I/wo²⁾ minimum. However an investigation of this point has not been undertaken.

(1) Sl'l' Fl'eneh tl'xl. pp. 41-·17.

«

1 Conesponding 1

value i

of i

I/10o':!.=(l/Uh?)ma)

l,Ill ill

Flll'l11

fado]' b ^{(

0.'1 O.l

o

0.2

0,;)

+

0.1

+

0.2 ¹

o

-0.2 -0.'1 0.!):i2

n.!!!D n.9(j1 (U)7!) 0.n!!2

0.!118 O.S:!·!

0.7G7 0.717 0.li75 0.17!!

0.148 0.121 n.On7 0.07e!

O.2!5 0.210 0.181 0.15ii 0.131

+

0.'1 .J- 0.2

o

-0.2 -0.'1

-1_ 0.'1

+

^0.2

o

-- 0.2 -- 0.4

o

0.1

0.:1 0.2

OA

0.8GG :LIi:l 1.250 0 1.54 1.'1;1

O.7nl G.IO 1.111 0 1.81 1.78:;

0.7:34 Il.!H 1.000 0 1 2.14 2.21->

(UiS, 24.'11-> 0.90n 0 2.5S :H115

0.G51 5n.OG O.8:l:3 i 0 1 :3.22 1 4.25

-,---,-,--- ---1.- ---,.---.--- ---1--- _

+ OA 0.211 Il.X!)2 ¹ 2.78!i1.:312 -~^{0.071 11,45 1 un o.n:l'l}

+

0.1

+ ~.2 :;:g~ :::~~~ ~L~ ~:~~~

ⁱ

g:il~;: li:g~5i ~:~~ :::~;1i!i ⁺ ~.2

- 0.2 0.12:; 0.701 15.84 ¹ 0.9:;5 i --0.125 i 2.:H ! 2.54 0.975 - 0.2

1 _ _- _ -__(_1._4_.- _(__l._1<_)2 0_.li_()~_~33.94 ^{1 O.S75} 1-=~·lG7 ^,_2.S5 I._~()____ ^0.9S1 -=-~~

__

2.19ii 1

1 1.:375

i-

^{O.H3 1 U7}

us

O.n34

+

0,4

3,(iO 1.222

1--

^{O.Hi7 1 1.5S 1.43 0.949}

+

0.2

G.1 0 1 1.1 00 1--0.200 ¹ 1.84 1.75 0.%2 0

10.9S ,l.OOO 1-- 0.260 ¹ 2.15 . 2.19 0.912 - 0.2

')1 ~~ ^{! ()}()l~ ¹ (l "')') i ,)~8" ') 8j ()9~7 ') 1

- .1;) 1 " 1 ^{1-- ,} . •) , , , , 1 -. .) , , - . , . " 1 - ( .'

1 · - - - 1 - - - ' - - - - , 1 , ' _

' I i i

+ 0.'1 0.2S0 0.n44 l,.T,I 1.4:!S - - 0.21! ^l,' ,1.:,\021, 1.09' (U)35

+

0,4

+

0.2 0.24,1 O.S57 2.82 1.2/S -- 0.250 IU!)51 1.:30 0.949

+

0.2

o

0.214 0.7S4 ·1.li·j. 1.150 ^{1- -} 0.:300 ^'1 1.73, 1.57 0.9G1 0

. - 0.2 0.18G 0.73'1 S.OO 1.045 1, __IU75 ,2.00 1.!l:1 O.UG7 ._ 0.2

. .=-~:~_ .~~lGlii

^__

~i~!~,

^.

~5.~(~

^__

j __

0.!)ii:....l. - 0.500 ,

2:~

^__

._=~~_. ~.:~~_ _

^{0.4 .__}

+ 0.4 0.:317 O.H71 1.45 ¹ 1.500

1--

O.28Gi U4 1.01 O.9:!5

+

0..1

-1- 0.2 0.27!) 0.878 2.2(ii) ¹ 1.:3:n 1--0.:1:3:31 1012 1.20 (U)·jS

+

0.4

o

0.2'17 0.804 :Ui3 ,1.200 ^{1- -}00100i l.<i:l 101,1 0.958 0

-·0.2 0.218 0.751 (L07 LO!!I-- O.i)OO 1.88 1.73 0.9G:l __ 0.2

- OA 0.1!)3 0.70ii 10.!!2 1.000 0.(i()7! 2.20 2.11 (UHi2 ,.- OA

1

JANV.-Fliv. 19(iO - N° 1 - - - G. HANSFOHD ------~---

V. - NUMERICAL EXAMPLE

51

The fallowing example corresponds approxi- mately ta the charaeteristics of some large Fran- cis turhines at present being instaIIed in a power station under construction, except that the head in the l'cal case is not so high.

A set of 140,000 B.H.P.j112,500 kVA Francis turbines running at 187.5 r.p.m. is designed to deliver power to an isolated 50 cycle grid. There is one penstock pel' unit (0

=

Hift.) supplied UlHler a head, pen stock losses deducted, of :340 ft.

The inertia of the alternator rotor is 45 X lOG lh.

ft~ in British units; in metric ones, these figures became:

o

= 4.8 m; H= 108.8 m; PlYl =7 ,GOO L.m~,

the latter being four times the British definition, which is based on the radius.

AlIowing for electrical and hydraulic losses, the maximum discharge pel' unit to supply the stated power output is :3,H70 cusecs (112.5 m:^{l /} sec); the maximum flow velocity in the pen stock is thus 1H.8 Lp.s. (G.Olm/sec). For inertia cOIn- putations, the equivalent length of penstock, af- ter allowing for the scroll case and draught tube, may be taken as equal to 525 ft. ClGO m).

The efficiency of the turbine al full opening works out at :

140,000

6^{'>h [(') -=} 91.2 %

)_ . .l 0,~)70X 840)/550J (See figure G)

In passing, it may be mentioned that al a 90 % rated power factor, alternator efficiency lurns out to be 97

% :

The specifie speed of the turbines is equal to :

in British units, and :

in melric ones. The unils are thus of the me- dium specifie type to which the present analysis is fully applicable.

The caleulations proeeed according to table p. 52 for three typical values (70 '?{), 85 % and 100 %) of gate opening:

On the other hand, the AlIievi water hammer parameter

1>

= (aV /2 gH)l

=

:3, approximately, at full load. The negleet of elastic ,vatel' ham- mer ell'eds is therefore l'ully justified, though these cou Id he aecounted for in lhe way explain- cd in La Houille Blanche, No. 1, 1H5H, pp. 2:3-27.

The machine inertia parameler may he ob lain- cd in British units as follows :

(187.5)~ X 45 X lOG ~

't'

= ---

⁼ , 0 seconds ].G

X

]40,000

X

lOG .

and in metric ones, aceording lo the formula:

(187.5)2 X 7,GOO _~ () 1

't'

= - ---- ---

_{270 X ]42,000}

=,

_. ^{seeonr s}_-

On lhe olher hand :

o

= ~-~~ X 19.8 or ]1\()_X _G.~H

=

0.H5 second :32.2

X

840 H.8

X

10.3.8

The grid inherent stability factor A may he taken as equal to 2.0.

The analysis, being linearized, only applies to smalI values of the load change wo, say of the order of 5 % or 10 % at the most (wo= 0.05 ln lU 0).

The results indieate a greal improvemel1t in governing when the load is lessened. This is truc, hut two points must also he eonsidered in this eonneetion :

Ci) lVois the relative load change, and does not represent the sa me number of kilowatts al partial npenings as for the full one;

(ii) For Allievi water hammer parameters of less lhan about 2. elastie eiTeets must be eon- sidered and adversely afl'ect the governing as compared with the simple pieture pre- sented here. Hnwever, in the ahove exam-

52 LA HOUILLE BLANCHE ^{N" 1 -}JANY.-Fl;Y. 19GO

pIe, at 70 % opening, this parameter is still equal ta about 2.1, sa the analysis as given is justified. It should he noted (cf. La Houille Blanche,NI'. 1, 1959, pp. 2:3-

::l7) that the elastic water hammer leads tü choosing smaller values of J, and [L th an according to the bulk water hammer theory trea ted here.

2.45 LOO

0.272 0.130 140000

- O,41(j 0.152 ._- 0.31)

1 0.(i82

- - - I - - - ( J . l - . I- - - O.lî5

0.70 0.85

0.9U 0.9G5

0.707 0.881

99000 123000

O.OG7 0.102

0.1:34 0.204

+

^0.33 . ., ⁰

+

^{0.25 i1 0}

1

0.195 ¹ 0.182

1

O.S:39

1

0.7G8 0.18

1

0.17

0.80 0.75

2.8see--1 1.7sec·-¹

8.:3 (i.25

...1

0.12 0.1 G

:3secs. 3.7secs.

:3.8 G.05

1.lîO 1.81

1.4G5 1.7·1

O.!J45 O.!)(i2

[J. . • . • . . . . • . . . • . . . • • • • . . . • . . . .

....

^{." , .}

('

....

Il . • . . . . . .

Hecollll11ended

B.H.P output , .

t .. ..

:~.~/.d.(.~~.). '. :.'.'. ::::::::::::::::.: :::::::::::::::::: 1---

- - 1 - - - -- - - 1

fi. for (I/lUtnlllill (by interpolation) .

- 1 - - - _ · -

J. for (I/IU O")llIill (by interpolation) .

0.OU811'0 0.178w" 0.35 w"

~OIll:lX in cycles ',' . 8.9_{1U 0} 17.5lUI)

~OIll:lX for a 5% Ioad change, in cvcles .

. . 1 0.25 0.45 n.88

The values marked with an asterisk refer ta dashpot type governors.