Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°18 Probabilités
Exercice 168
Soitn un nombre entier supérieur ou égal à 2. Un joueur lance une bille sur une planche percée dentrous numérotés de 1 àn. La bille tombe dans un trou et un seul. On sait que pour toutk∈ 1,n−1, la probabilité que la boule tombe dans le trou numérokest de 1
3k. Quelle est la probabilité que la boule tombe dans le trou numéron?
Exercice 169
On jette trois dés non truqués à 6 faces numérotées de 1 à 6.
1. Calculer la probabilité d’avoir exactement un 6.
2. Calculer la probabilité d’avoir au moins un 6.
3. Calculer la probabilité d’obtenir au moins deux faces identiques.
Exercice 170
Soitnun nombre entier supérieur ou égal à 3. Dans une urne, on placenboules numérotées de 1 àn. On tire successivement, sans remise, au hasard, trois boules de l’urne.
1. Quelle est la probabilité que les trois nombres obtenus soient dans l’ordre croissant au sens strict ? 2. Quelle est la probabilité que les trois nombres obtenus soient dans l’ordre croissant au sens large ?
Exercice 171
Soitnun nombre entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient des boules, indiscernables au toucher, numé- rotées de 1 àn. On suppose que pour toutk∈ 1,n, il y akboules portant le numérok. On tire une boule au hasard dans l’urne.
1. On suppose quenest un nombre pair. Déterminer la probabilitépn d’obtenir une boule portant un numéro pair. Comparerpnà1
2.
2. On suppose quenest un nombre impair. Déterminer la probabilitéqnd’obtenir une boule portant un numéro pair. Comparerqnà1
2.
3. Déterminer les comportements asymptotiques des deux suites¡ p2l¢
l∈N∗et¡ q2l+1¢
l∈N∗.
Exercice 172
Soientnun entier naturel non nul,bun nombre entier supérieur ou égal à 4. On placebboules blanches etn boules noires dans une urne. On tire ensuite successivement 4 boules. À chaque tirage :
• si on tire une boule noire, on l’enlève ;
• si on tire une boule blanche, on la retire, et on ajoute une boule noire à la place.
Quelle est la probabilité de tirer 4 boules blanches à la suite ?
Exercice 173
Un commerçant dispose d’un stock de plantes. Chacune des plantes fleurit une fois par an. Pour chaque plante, la première année, la probabilité de donner une fleur rose est de34, celle de donner une fleur blanche est de14. Puis, les années suivantes, pour tout entier natureln, on a :
• si l’annéen, la plante a donné une fleur rose, alors l’annéen+1, elle donnera une fleur rose ;
• si l’annéen, la plante a donné une fleur blanche, alors l’annéen+1, elle donnera de façon équiprobable une fleur rose ou une fleur blanche.
On notepnla probabilité de l’évènement : « la plante a donné une fleur rose l’annéen».
1. Démontrer que pour tout entier natureln:
pn+1=1 2pn+1
2.
1
2. En déduire une expression depnen fonction den, pour tout entier natureln.
3. Étudier la limite éventuelle de la suite (pn)n∈N.
4. Quelle est la probabilité que la plante ne donne que des fleurs roses pendant lesnpremières années ? 5. Quelle est la probabilité que la plante ne donne que des fleurs blanches pendant lesnpremières an-
nées ?
Exercice 174
Quatre pour cent des pièces fabriquées dans un atelier étant défectueuses, on décide de les contrôler à l’aide d’une machine.
• Si la pièce est bonne, elle est acceptée avec une probabilité de 98%.
• Si la pièce est défectueuse, elle est refusée avec une probabilité de 99%.
1. Calculer la probabilité des évènements suivants :
A: « La pièce est défectueuse et elle est acceptée. » ; B: « La pièce est bonne et elle est refusée. » . 2. CalculerP(A∪B). Interpréter ce résultat.
3. Calculer la probabilité que la pièce soit bonne sachant qu’elle a été refusée.
Exercice 175
On dispose de 5 pièces de monnaie équilibrées dont 4 possèdent un « PILE » et un « FACE » et dont une possède deux « FACE ».
Soitnun nombre entier supérieur ou égal à 2. On choisit une des pièces au hasard et on la lancenfois.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir « FACE » au premier lancer ?
2. On a obtenu « FACE » au premier lancer, quelle est la probabilité d’avoir choisi la pièce à deux « FACE » ? 3. Quelle est la probabilité d’obtenir « FACE » auxnpremiers lancers ?
4. On a obtenu « FACE » auxnpremiers lancers, quelle est la probabilitépn d’avoir choisi la pièce à deux
« FACE » ?
5. Étudier la limite éventuelle depnquandntend vers+∞.
Exercice 176
Un lot de 100 dés contient 25 dés pipés tels que la probabilité d’apparition d’un six soit de1
2. On choisit un dé au hasard, on le jette, et on obtient un 6. Quelle est la probabilité que le dé soit pipé ?
Exercice 177
1. Une puce se déplace sur les points entiers de la droite réelle. Elle est initialement placée sur l’origine.
Ensuite, à chaque seconde, elle saute sur l’un des deux points entiers à proximité de manière équipro- bable. Calculer la probabilité qu’aprèsnsecondes la puce revienne à l’origine, pour tout entier naturel n.
2. Étudier le problème analogue en dimension 2.
Exercice 178
SoitAetBdeux évènements d’un espace probabilisé fini (Ω,P).
1. CalculerP³ A∩B´
en fonction deP(A) etP(B).
2. Démontrer que les événementsAetBsont indépendants si et seulement siAetBsont indépendants.
Exercice 179
On dispose de deux désD1etD2équilibrésà 6 faces. Les faces deD1sont numérotées de 1 à 6 tandis queD2
possède 5 faces portant le numéro 1 et 1 face portant le numéro 6. On choisit un dé au hasard et on le lance deux fois. On considère les évènements :
E: « le premier lancer donne l’as » ; F: « le deuxième lancer donne l’as ».
1. CalculerP(E) etP(F).
2. (a) Sachant que l’on a choisi le déD2quelle est la probabilité de l’évènementE∩F? (b) CalculerP(E∩F).
3. Les évènementsEetFsont-ils indépendants ?
2
