Question de licence (Paris, juillet 1880)

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E. F AUQUEMBERGUE

Question de licence (Paris, juillet 1880)

Nouvelles annales de mathématiques 2^e série, tome 20 (1881), p. 471-473

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QUESTION DE LICENCE (PARIS, JUILLET 1 8 8 0 ) ;

PAR M. E. FAUQUEMBERGUE.

Soient OX, O Y, OZ trois axes de coordonnées rec- tangulaires, et dans le plan ZOX une courbe donnée C.

Une surface est engendrée par une circonférence de cercle dont le plan reste parallèle au plan XOY, dont le centre décrit la courbe C,et qui rencontre constam- ment OZ. On demande de former Véquation différen- tielle des lignes asynipto tiques de la surface, en pre-

fiant pour variables la coordonnée z d'un point M rt l'angle 6 du raj on du cercle qui passe en ce point avec la trace du plan du cercle sur le plan ZOX. Applica- tion au cas où la courbe C est une parabole, ay^nt le point O pour sommet et OX pour axe.

Soient x,y, z les coordonnées du point M: x^K l'ab- scisse OB de la projection du centre I -, et xK = v(z) l'é- quation de la courbe C. On a

( i ) x^=.œx{\ -hcos6), ou œ~ cp(z)(i 4- cosB), (7 ) yrrr^rjsinO. ou y — <p(s) sinft;

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(472 ) par suite, l'équation de la surface est

(3) ouou

On déduit de là

cosO r, l-t-COSÔ ç'(-)

dz _ y

M'IIO (

i / . 0 \ r

= - ( i — tan"2 - —

2 \ ° -l)<i\z

dp— — - ! cosOof/(z)dz-h îp'(5)tang w/0

sinü f (z)dz — o\z

dx —- ^ c o s - cos - o' ( z ) 6/2 — biii - o(z) 2 [ 2 ' ' 2 ' dy=. sinôcp^^) dz 4- ç(^) cosO<iÔ.

Substituant ces valeurs dans l'équation générale des lignes asymptotiques

dp dx -4- dlgr dy zzz o, on aura l'équation demandée :

Ö 2 COs —

2

x

cos f) çp" ( 5 ) dz + o' ( ^ ) t a n g - r 2

cos - o' [ z) dz — sin - y(z) dû

X ^ -h '-

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( «73 )

Application. — Dans le cas où la courbe C est une parabole, on a

I' • '2/J

a o u

i/équation (4) devient alors

<7>G 2 j " 0'

cos -

2

d'où

\ l / /