Question d'examen - École polytechnique (1862)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

A ^LFRED B ^RISSAUD

Question d’examen - École polytechnique (1862)

Nouvelles annales de mathématiques 2

série, tome 2 (1863), p. 9-10

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9 )

QUESTION D'EXAMEN — ÉCOLE POLYTECHNIQUE ( 1 8 6 2 ) ;

SOLUTION DE M. ALFRED BRISSAUD,

Élève en spéciales (institution Loriol).

Conditions de convergence et somme des termes de la série :

i . 2 . 3 . . ,pxP-\- 2 . 3 . . .p[p-t-i)x^p+i H- 3 . 4 . 5 . . . (/? H-«2 ).*/>+'-H

1 ° Le rapport de deux termes consécutifs est en général

(m -+- 1) (m -h 2) . . . (m -hp)(m -hp 4- i) m -hp-+• i m (m -+- 1 ) . . . ( / « -+-p— \){rn-\-p) ' m '

sa limite est x; donc la condition de convergence est x < 1. Nous supposerons, dans ce qui va suivre, x <^ 1.

2

Pour£>= 1, la série convergente considérée devient x -f- 2 x

-h 3 x

H- 4 ^ -h - . . •

Désignons sa somme par xy, on aura y = H - ?.x -f- 3 .r

+ 4 .r

-f- Or, i-i-^x-f- 3x

4 - . . . est la dérivée de

donc y est la dérivée première de

I — . r

En prenant les p dérivées successives de —-— > on trouve

1 4 - 2 x 4 - 3.Z2 4 - 4 #3 - + - • • •

= dérivée première de — (i — x)

dérivée seconde de —* = i . a ( 1 — .

Multipliant les deux membres de cette dernière égalité par x^v, le premier membre devient la série considérée, dont la somme est

i . 2 . 3 . . . / M *