Solution d'une question du concours d'admission à l'École normale en 1865

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Solution d’une question du concours d’admission à l’École normale en 1865

Nouvelles annales de mathématiques 2

série, tome 5

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SOLUTION D'UNE QUESTION

DU CONCOURS D'ADMISSION A L'ÉCOLE NOR1ALE EN 1 8 6 5

(Toirfsérle, t. IV, p. 424);

PAR M. A. R.

On considère n variables x,y, £ , . . . , u, f : décom- poser le polynôme

p zzzx1 -f-y2 -\- z2 -h. . .-hv7 -+- (x -\-y H-~ -+-...-f- P)2

composé de (n -f-1) carrés, en la somme de n carrés de fonctions homogènes et du premier degré.

Prenons d'abord deux variables. Nous aurons

OU

Pour trois variables, on a aussi

>rJ 4 . j 2 .+. za -+. ( jj -f- ^ -f- z)2 z= 2X7 H- 2 J H- iyz -4- OU

z\2 (r-\-zYi

V^ h '>y* f '2 \X

y-f-z\2

• — '1 I

\ '1

ou encore

z

y + _ l _

+

_ L

.

On verrait de même que pour quatre variables on aurait .r2 -f-ƒ* + zî + «2 + (o: -+-j 4- z -t- «)2

( H 4 )22

(2.Z H j 4 2 -t u) H ô

La loi de formation est évidente. Je vais maintenant dé- montrer qu'elle est générale, c'est-à-dire que si elle est vraie pour n variables, elle s'appliquera au cas de [n -h i) variables.

Soient donc les n variables x, y, z>. . . , M, V. Le dé- veloppement sera

X* _}_ y* -f_ . . _f- (,2 _4_ (jn. _|_ y _|_ g _^_ # # . -J-pj*

I . 2 V

Si le développement est général, je dois avoir, en admet- tant une variable t de plus :

-T' -+- J2 H- z2-*- • • • "+- <'2

H- - i -

2 . «j

H — ( f

Si de ce développement je retranche le développement

( 4 i 6 ) précédent, j'aurai

2f'-h 2.t(x -hy -4- z -f-. . .H- v)

...-f-p

2 . 3 *" /i(/|-f-i)

n -f- i

Mais la somme

i i i f

i . 2 2 . 3 3 . 4 " n(n -h 1)

peut s'écrire

\ ²/ V^{2 3}/ V³ 4 / \ « « - f - i / chaque terme se dédoublant de la façon suivante

i i i

n [n -4- 1) n n -4- 1

Cette somme est donc égale à L'égalité précédente devient alors

2fJ -f- it [x -h y -4- z -+-...-+-

Or, on voit facilement que le coefficient de %t dans le second membre est égal à x + ^-f-^-f-...-!-^; donc cette égalité devient une identité, et par conséquent l'hy- pothèse dont nous sommes partis est exacte. Ainsi, la loi du développement est générale.