N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
Solutions de questions proposées
Nouvelles annales de mathématiques 4
esérie, tome 4 (1904), p. 94-96
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SOLUTIONS OE QUESTIONS PROPOSÉES.
1938.
(1902, p. 4:9.)
Le centre de gravité des pieds des normales menées d
yun
point quelconque G à une conique de centre O est au milieu
de la distance du point O au centre de gravité des points
( 9 5
)d'intersection de la conique et d'un cercle de centre G et de rayon quelconque. (M. D'OCAGNK.)
SOLUTION Par M. R.-N. BARISIEN.
Supposons que la conique soit l'ellipse d'équation ( i ) b* x* -h aï y* — a* b* = o.
Soient ( a , fi) les coordonnées du point C. On sait que l'équa- tion aux abscisses des pieds des normales à ( i ) issues de G est
c'*x'+— 2 a2a c2/3+ a2x*( a2a2-f- b2 ji2— c4)-!-.. . = o.
a somme de ces abscisses es du centrede gravité des pieds
i . . >a2a , , , ,
La somme de ces abscisses est —— : par consequent labscisse
i( :c2 ou — - •
Les coordonnées de ce centre de gravité sont donc
D'autre part, l'équation d'un cercle de centre G et de rayon R s'écrit
( 3 ) (x — oL)*-r-iy— 3)2=r R2
(4) x*-hy*
L'élimination d e ^ entre (t) et ( 2 ) donne l'équation du qua- trième degré en x
- 2 a r -h b*--h a*-t- p2- R2V - 4 ?2 ^ ^ 2~
La somme des abscisses des quatre points d'intersection de (1) et ( \ ) est - — - • D011C5 l'abscisse du centre de gravité de
ces quatre points est —— • Les coordonnées de ce centre de gravité sont, par suite,
La c o m p a r a i s o n d e s f o r m u l e s ( 2 ) e t ( 5 ) d é m o n t r e la p r o p o - s i t i o n é n o n c é e .
Le centre de gravité des points d'intersection d'un cercle et d'une ellipse ne change pas lorsque le rayon du cercle varie, son centre restant fixe.
