G201-La plantation de douglas

G201-La plantation de douglas

Solution

Pour n=3, le nombre d’alignements de 3 arbres est égal à 8.

Pour n=4, le nombre d’alignements A(4) se limite à 4 compte tenu du fait qu’on exclut tous les alignements de 4 arbres et plus.

Pour n=5, le nombre d’alignements A(5) est de 16 : 6 lignes rouges + 4 lignes vertes + 6 lignes bleues

Pour n=6, le décompte des lignes rouges, vertes et bleues fait apparaître A(6)=36 alignements de 3 douglas :

A ce stade, on est tenté de trouver une formule générale. Par la méthode des différences finies, on trouve A(n)4n² 24n36valable pour n=4,5 et 6.

Pour n=7 et n=8, la formule donne respectivement A(7)=64 et A(8)=100 qui sont des valeurs exactes que l’on peut vérifier. A l’inverse pour n=9, la formule est fausse et A(9) vaut 204 et non 144 comme le montre le diagramme ci-après :

On considère dans un premier aux alignements dont la pente est positive et strictement inférieure à 1 :

- pente 1/2 : lignes bleu clair = 4 - pente 1/3 : lignes violettes = 21 - pente1/4 : lignes vertes = 7 - pente 2/3 : lignes jaunes=15 - pente 3/4 : lignes turquoises=3

Il y a donc 50 alignements dont la pente p est comprise entre 0 et 1.

Symétriquement, il y a 50 alignements dont la pente toujours positive est supérieure à 1 et par conséquent il y a 100 alignements dont la pente est négative sans être égale à –1.

A ces 200 alignements ainsi recensés, il convient d’ajouter ceux dont la pente est égale à 1 en valeur absolue soit 4 alignements dont deux représentés en rouge dans la figure ci-dessus.

Au total A(9) = 204

La généralisation a été donnée par Lucien Pianaro dans la revue Jouer Jeux Mathématiques n°12 avec les notations suivantes :a désigne le nombre d’alignements de i points strictement _i

compris entre 45° et 90° et A le nombre total d’alignements de i points avec _i A = 4_i a + 4 si _i i n et A = 2n+2 si i=n. _i

On a





































a_i ^{2 2}

i



Où I(p) indicateur d’Euler d’un entier p est le nombre d’entiers q inférieurs à p et premiers avec lui.

On a par ailleurs la relation suivante A₂3A₃6A₄....n(n1)A_n/2n²(n²1)/2