E121 : Une séquence cordiale.
Énoncé : On considère la suite d’entiers positifs telle que a1 = 1,a2 = 2 et le terme général an pour n > 2 est le plus petit entier naturel qui n’est pas dans la séquence et qui a un diviseur commun supérieur à 1 avec le terme précédent .
Démontrer que :
Q1 : 2012 appartient à la séquence.
Q2 : tout entier naturel appartient à la séquence.
Q3 : les nombres premiers apparaissent dans l’ordre croissant.
Question annexe : justifier le qualificatif « cordiale » de la séquence.
Q1 : 2012 est le 1923è terme de la séquence.
Q2 : Soit, pour tout n∈ℕ✱ , Hn : "n appartient à la séquence"
H1 est clairement vraie.
Soit n∈ℕ✱ tel que pour tout kn Hk est vraie on suppose que n+1 n'appartient pas à la séquence,
au plus n nombres pairs supérieurs à 2(n+1) peuvent apparaître dans la séquence car il reste n entiers entre n+1 et 2(n+1)
donc, à partir d'un certain, plus aucun terme n'est pair,
or, s'il n'y a plus de nombre pair, aucun nombre premier ne peut plus apparaître, en effet, puisqu'un nombre premier est forcément précédé ou suivi de son double, donc, il y a un nombre fini m de nombres premiers dans la séquence,
notons-les p1, ... pm,
tous les termes de la séquences se décomposent en produits de ces nombres, soit k∈〚1; m〛 ,
au plus (pk-1)n termes multiples de pk supérieurs à pk(n+1) peuvent apparaître car il reste (pk-1)n entiers entre n+1 et pk(n+1) non multiples de n+1, donc, à partir d'un certain rang, plus aucun multiple de pk n'apparaît
donc, à partir d'un certain rang, plus aucun multiple d'aucun nombre premier n'apparaît, la séquence aurait alors un nombre fini de termes, ce qui n'est pas,
Donc Hn+1 est vraie,
Finalement, le principe de récurrence forte assure que tout entier appartient à la séquence.
Q3 : Soit p et q deux nombres premiers tels que pq , Notons r le rang de q dans la séquence,
ar-1 n'étant pas premier avec q et q étant premier, il existe k∈ℕ✱ tel que ar−1=k⋅q , ar-2 est forcément premier avec q, car sinon, comme qk⋅q , q apparaitrait au rang r-1,
ce qui n'est pas, d'ailleurs aucun multiple de q n'apparaît dans la séquence avant kq, Donc le terme de rang r-2 n'est pas premier avec k,
notons g le PGCD de ar-2 et k, on a que gq et ar-2 ne sont pas premiers et gq n'est encore dans la séquence (au rang r-2), donc ar−1=g⋅q , donc g=k , donc k divise ar-2, alors k est forcément premier, car sinon il existerait deux entiers naturels a et b
supérieurs à 2 tels que k=a⋅b et aq étant strictement inférieur à kq apparaitrait au rang r-1,
ar-2 n'étant pas premier avec k, il n'est pas premier avec kp, or k⋅pk⋅q , donc kp apparait à un rang inférieur à r-2,
Il y a alors deux cas possibles :
- les termes précédent et suivant sont premiers avec p,
notons u et v les termes encadrant kp, qui sont alors non premiers avec k, comme k est premier, alors u et v sont multiples de k,
u et v ne sont alors pas premiers entres eux, et comme kp apparaît avant v, alors v est plus grand que kp,
or, kp et p ne sont pas premiers et pk⋅pv , donc p est déjà dans la séquence, - au moins l'un des termes encadrant kp dans la séquence est non premier avec p,
on a alors deux multiples de p qui se suivent dans la séquence,
or, p n'est pas premier avant le premier des deux termes et inférieur à l'autre, c'est donc que soit p apparaît dans la séquence avant le deuxième multiple, soit p est ce deuxième multiple,
Dans tous les cas, p apparaît dans la séquence avant le terme succédant kp, donc p apparaît avant le terme précédent kq,
donc p apparaît avant q dans la séquence,
Finalement, les nombres premiers sont classés par ordre croissant dans la séquence
