E542. Le temps des cerises
2010 cerises sont r´eparties dans un certain nombre de paniers.
1) on choisit le ou les paniers qu’on veut garder, on retire les autres avec les cerises qu’ils contiennent ; 2) on retire des paniers conserv´es, quand il y en a plusieurs, autant de cerises que n´ecessaire pour que chacun de ces paniers contienne le mˆeme nombre de cerises.
Le but de ces choix est de maximiser en fin d’op´eration le nombre total de cerises dans les paniers restants.
Si l’on a 2010 cerises au d´epart, quel est le plus grand nombre total qui peut ˆetre obtenu par le meilleur choix, quelle que soit la r´epartition initiale des 2010 cerises ?
——————————————- Solution de Claude Felloneau
La r´eponse est 336 cerises. Plus g´en´eralement, pour n cerises au d´epart, la r´eponse est le plus petit entier k tel queuk =
k
X
i=1
k i
>n o`u [...] d´esigne la partie enti`ere.
Preuve :
• Une autre expression de uk : On a uk =
k
X
i=1
d(i) o`ud(i) est le nombre de diviseurs dei.
En effet : pour k > 1 et 1 6 i 6 k, en posant q = k+ 1
i
on a q 6 k+ 1
i < q+ 1, donc iq6k+ 1< i(q+ 1).
– Siine divise pask+1, alorsk+1> iq, donck>iq. Ainsiq6k
i < q+1 et k
i
=q=
k+ 1 i
.
– Siidivisek+ 1,k+ 1 =iq, donci(q−1)6k < iq. Ainsi k
i
=q−1 soit k+ 1
i
= k
i
+ 1.
On en d´eduit queuk+1−uk =d(k+ 1), d’o`u par addition,uk=
k
X
i=1
d(i).
• Une r´epartition desncerises pour laquelle le meilleur choix permet d’obtenirkcerises.
Soitkle plus petit entier tel queuk>n.
On posep=uk−n=uk−1−n+d(k). Commeuk−1< n, on ap < d(k).
Si p>1, on noteE l’ensemble des pplus petits entiers strictement sup´erieurs `a 1 qui divisentk.
Pour 16i6k, on pose :
ai=
k
i
−1 sip>1 eti∈E
k i
sinon.
Il est clair quea1>a2>...>ak et on a :
k
X
i=1
ai=uk−p=n.
Lorsque les ncerises sont r´eparties dans des paniers P1, P2, ...Pk de fa¸con que pour 16i6k, le panierPi contienneai cerises.
Comme, pour 16i6k, on a :
iai6i k
i
6ik i =k,
1
chacun des choix de paniers donne au plus k cerises et le choix du premier panier est optimal. Il permet d’obtenirk cerises.
• Pour toute r´epartition desn cerises, la meilleure strat´egie donne au moins k cerises.
Si lesncerises sont r´eparties dans des paniersP1, P2, ..., on notebi le nombre de cerises contenues dans le panierPi et on posebi= 0 siiest sup´erieur au nombre de paniers. En permutant au besoin les paniers, on peut supposer que la suite (bi)i>1 est d´ecroissante.
– Si b1>k, en choisissant le premier panier on obtientk cerises.
– S’il existei>2 tel quebi> ai, alors :
∗ siai= k
i
, on abi>
k i
+ 1> k
i, doncibi> k. On obtient donc au moinsk+ 1 cerises en choisissant lesipremiers paniers.
∗ si ai 6=
k i
, alors i divise k et on a bi >
k i
= k
i, donc ibi > k. On obtient donc au moinsk cerises en choisissant lesipremiers paniers.
– Si b1< ket pour 26i6k, bi6ai, alors
k
X
i=1
bi<
k
X
i=1
ai=n.
doncbk+1>1. En choisissant lesk premiers paniers, on a donc au moinskcerises.
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