E420-NIM et ses deux versions Solution
Que le vainqueur soit celui qui ramasse le dernier jeton (version anglo-saxone) ou au contraire laisse ce dernier jeton à son adversaire (version de Marienbad), les stratégies de gain du joueur A qui joue le premier sont très proches l’une de l’autre.
Version anglo-saxonne
La stratégie de A est bien connu. Avant de commencer à jouer, il convertit dans le système binaire tous les nombres n de jetons dénombrés dans les k tas puis il calcule la somme S des k formes binaires de ces nombres sans effectuer de retenue. Cette somme, appelée NIM- addition, est constituée d’une suite de nombres a1,a2,...,ai avec i = nombre de chiffres du plus grand des n en forme binaire . k
Si l’un au moins de ces termes a1,a2,...,ai est impair, on dit par convention que la NIM- addition est impaire. A a une position dite G qui est gagnante pour lui et donc p (perdante) pour B. Si au contraire tous les termes a1,a2,...,ai sont pairs, la NIM-addition est dite paire et A une position P qui est perdante pour lui et donc g pour B.
Si au départ A a une Nim-addition impaire, il peut toujours prélever d’un tas un certain nombre de jetons de telle sorte que la NIM-addition de la nouvelle configuration soit paire. B au 2ème tour quel que soit le tas qu’il choisit et quel que soit le nombre de jetons prélevé dans ce tas, laisse nécessairement à A une NIM-addition impaire et A au 3ème tour peut toujours reconstituer une configuration dont la NIM-addition est paire. Et ainsi de suite….
Comme la situation finale où il n’y a plus de jeton sur la table de jeu est une NIM-addition paire, c’est bien A qui est sûr de gagner si à chaque tour il ne commet aucune erreur en laissant à son adversaire une NIM-addition paire.
Exemple k=3, n18,n2 11et n3 15
La NIM-addition se présente comme suit :
i=4 avec a =3 et 1 a =1. C’est donc une NIM-addition impaire qui est une position G pour A. 2 Celui-ci réduit le tas n°3 à 3 jetons de telle sorte que la configuration laissée à B se présente comme suit :
Quel que soit le tas choisi et le nombre de jetons qu’il y prélève B ne peut éviter de laisser une NIM-addition impaire. Par exemple B prend 5 jetons du 2ème tas. D’où la configuration ci- après :
formes binaires
tas 1 8 1 0 0 0
tas 2 11 1 0 1 1
tas 3 15 1 1 1 1
somme S 3 1 2 2
formes binaires
tas 1 8 1 0 0 0
tas 2 11 1 0 1 1
tas 3 3 1 1
somme S 2 0 2 2
Au tour suivant, A enlève 3 jetons du tas n°1 et obtient ainsi une NIM-addition à nouveau paire avec 5,6 et 3 jetons:
Au tour suivant, B enlève tous les jetons du tas n°2. D’où la nouvelle configuration qui est toujours NIM-addition impaire :
Au tour suivant, A enlève 2 jetons du 1er tas et laisse une configuration dont la NIM-addition est évidemment paire. Aux tours suivants A fera en sorte de laisser à B une configuration où il y a toujours le même nombre de jetons dans les deux tas….et c’est bien lui qui prendra le ou les derniers jetons du dernier tas.
Si au départ A a une Nim-addition paire, cette fois-ci les positions sont inversées et si B ne commet pas d’erreur, c’est B qui est certain de gagner la partie.
Version française (L’année dernière à Marienbad)
On va voir que la conversion en système binaire des nombres de jetons reste utile mais elle ne définit pas de façon exhaustive la stratégie gagnante car la configuration où les tas comportent un seul jeton mérite un traitement spécifique.
Pour définir la stratégie gagnante, il est utile de remonter à partir de la configuration finale où il ne reste plus qu’un seul jeton : 1,0,0,0,… qui est perdante pour celui qui doit jouer.
Le tour précédent, le joueur que l’on désigne par A et qui va donc gagner la partie a devant lui les configurations suivantes que B lui a laissées:
a,0,0,0,0,… et il retire (a-1) jetons du 1er tas ou
1,b,0,0,0,… avec b1 et il retire les b jetons du 2ème tas.
Au tour précédent, le joueur B a devant lui les seules configurations possibles que A lui a laissées et qui sont p (perdantes) pour B:
a,a,0,0,0,… et B retire a jetons du 2ème tas.
ou
1,c,c+1,0,0,… avec c pair 2 et B retire soit les c jetons du 2ème tas soit les c+1 jetons du 3ème tas. Ce sont les configurations bien connues du jeu de Marienbad du type 1,2,3 ou 1,4,5 ou 1,5,6 etc…qui sont gagnantes pour A et donc perdantes pour B. Si B retire le jeton du 1er tas, on retrouve une configuration du type a,b,0,0,0,.. avec ba qui est perdante pour B car A égalise les deux tas au tour suivant.
ou
1,1,1,0,0,… et il retire un jeton du 3ème tas.
formes binaires
tas 1 8 1 0 0 0
tas 2 6 1 1 0
tas 3 3 1 1
somme S 1 1 2 1
formes binaires
tas 1 5 1 0 1
tas 2 6 1 1 0
tas 3 3 1 1
somme S 2 2 2
formes binaires
tas 1 5 1 0 1
tas 2 0
tas 3 3 1 1
somme S 1 1 2
On vérifie aisément que dans les deux premières configurations a,a,0,0,0,… et 1,c,c+1,0,0,…
,si B retire un nombre de jetons différent de celui qui a été mentionné, il laisse à A une position toujours gagnante pour ce dernier.
Par ailleurs on constate que pour ces deux configurations, la NIM-addition est paire mais qu’à l’inverse pour la dernière elle est impaire.
La stratégie gagnante de A est donc déterminée : A laisse à B des configurations dont la NIM-addition est paire à l’exception de la configuration 1,1,..,1,1,0,0,0.. dans laquelle il y a un nombre pair de chiffres 1 et qui est perdante bien que sa NIM-addition soit paire. A doit laisser une configuration où il y a un nombre impair de 1.
Exemple k=4 n13,n26,n38et n414 La NIM-addition se présente comme suit :
C’est donc une NIM-addition impaire et il y a au moins un tas qui a plus de 1 jeton. La stratégie de A le premier joueur peut donc être gagnante pour lui. Il enlève 1 jeton du 4ème tas et la configuration laissée à B se présente comme suit :
Au tour suivant quels que soient le tas choisi et le nombre de jetons enlevés, B laisse à A une configuration de NIM-addition impaire. On suppose qu’il enlève les 12 jetons du tas n°4. Il en résulte la configuration ci-après :
Au tour suivant, A enlève 4 jetons du tas n°3 et laisse à B la configuration suivante dont la NIM-addition est à nouveau paire :
Au tour suivant, on suppose que B enlève 5 jetons du tas n°2. Il en découle la configuration suivante :
formes binaires
tas 1 3 1 1
tas 2 6 1 1 0
tas 3 8 1 0 0 0
tas 4 14 1 1 1 0
somme S 2 2 3 1
formes binaires
tas 1 3 1 1
tas 2 6 1 1 0
tas 3 8 1 0 0 0
tas 4 13 1 1 0 1
somme S 2 2 2 2
formes binaires
tas 1 3 1 1
tas 2 6 1 1 0
tas 3 8 1 0 0 0
tas 4 1 1
somme S 1 1 2 2
formes binaires
tas 1 3 1 1
tas 2 6 1 1 0
tas 3 4 1 0 0
tas 4 1 1
somme S 2 2 2
Au tour suivant, A enlève un seul jeton du tas n°3. Notons au passage que sa marge de manœuvre est étroite et que, comme pour les tours précédents, ses tirages de jetons sont pratiquement forcés.
Au tour suivant, B enlève 2 jetons du tas n°1 avec l’idée d’obtenir une configuration n’ayant que des 1 et qui pousserait A à la faute. D’où la configuration résultante :
A ce stade, si A commet l’erreur de prendre 2 jetons du tas n°3 afin de laisser à B une
configuration de NIM-addition paire, il a perdu. En effet il laisse 4 tas de 1 jeton chacun et ce sera lui qui prendra le dernier et perdra. Il lui faut donc prendre les 3 jetons du tas n°3 afin de laisser 3 tas de 1 jeton chacun…
PS Dans le film de « L’année dernière à Marienbad », il y avait 4 tas de 1,3,5 et 7 allumettes.
La NIM-addition de cette configuration est au départ égale à 224. La personne qui joue la première a donc perdu…
formes binaires
tas 1 1 1
tas 2 1 1
tas 3 0 0
tas 4 1 1
somme S 3
formes binaires
tas 1 1 1
tas 2 1 1
tas 3 3 1 1
tas 4 1 1
somme S 1 4
formes binaires
tas 1 3 1 1
tas 2 1 1
tas 3 3 1 1
tas 4 1 1
somme S 2 2
formes binaires
tas 1 3 1 1
tas 2 1 1
tas 3 4 1 0 0
tas 4 1 1
somme S 1 1 3
