G256 : Les diviseurs non divisibles
Trouver le plus grand nombre possible n de nombres entiers positifs qui sont des diviseurs de 20107 tels que chacun d’eux ne divise pas les n – 1 autres.
2010 a 4 facteurs premiers simples, 2, 3, 5 et 67 : tout diviseur de 20107 est donc de la forme f(a,b,c,d)=2a*3b*5c*67d, avec a, b, c, d entiers compris entre 0 et 7 et posons s=a+b+c+d(somme des exposants); f(a1,b1,c1,d1) divise f(a2,b2,c2,d2) si et seulement si a1≤a2, b1≤b2, c1≤c2, d1≤d2. Deux diviseurs de même somme des exposants ne se divisent pas l’un l’autre, sauf identité; si deux diviseurs f(a1,b1,c1,d1) et f(a2,b2,c2,d2) ayant des sommes d’exposants différentes (par exemple s1<s2), ne se divisent pas l’un l’autre, il existe des entiers a’2, b’2, c’2, d’2 tels que a’2≤a2, b’2≤b2, c’2≤c2, d’2<d2 et a’2+b’2+c’2+d’2=s1, tels que f(a1,b1,c1,d1) et f(a2,b’2,c’2,d’2) ne se divisent pas l’un l’autre. Le nombre maximum de diviseurs non divisibles sera donc égal au nombre maximum de diviseurs non divisibles de même somme des exposants.
Notons u(i,s) le nombre de façons de composer la somme s avec i termes compris entre 0 et 7; nous avons u(1,s)=1 pour 0≤s≤7, et 0 pour s>7, puis la relation de récurrence u(i+1,s)=∑u(i,k) pour k≥0 variant de s-7 à s.
Pour i=4, le maximum est atteint pour s=14, et vaut 344 qui est le plus grand nombre cherché.
