mathématiques - S2
TD 3 : Différentielles
département Mesures Physiques - IUT1 - Grenobleexercices théoriques
1. Calculer les différentielles des fonctions suivantes : (a) r(x, y) = p
x2 +y2 (b) f(x, y) = arctan(y/x)
(c) p(V, T) = nRT /V (d) P(U, I, ϕ) =UIcos(ϕ)
2. Les formes différentielles suivantes sont-elles exactes ?
Si oui, déterminer une fonction dont elles sont la différentielle totale.
(a) ω= 2xdx+ 3ydy+zdz (b) ω= (1 +y)dx+xdy
(c) ω= ydx+xdy 1 +x2y2
(d) ω=uv2ewdu+u2vewdv+uv2wdw (e) ω= (y−x)dx+xdy
(f) ω=dx−xdy
3. On considère une relationf(x, y, z) = 0.
(a) En considérant z comme fonction dex et y, calculer dz puis en déduire dyen fonction de dxet dz.
(b) En considérantycomme fonction dexetz, exprimer dy.
(c) En combinant les deux expressions de dyobtenues, montrer que : ∂z
∂y
x
= ∂y
∂z
x
et
∂z
∂y
x
∂x
∂z
y
∂y
∂x
z
=−1
(d) Appliquer ce qui précède àf(p, V, T) =pV −nRT,netR étant des constantes.
exercices pratiques
1. Si la longueur de chacun des trois côtés d’un pavé augmente de 1%, de combien augmente son volume ? Sa surface ?
2. Les variables d’étatp, V, T d’un quantité de gaz parfait sont liées par l’équationpV =nRT.
(a) Montrer queδQrev =Cv(T)dT +pdV n’est pas une forme diffé- rentielle exacte.
(Cv(T)est une fonction ne dépendant que deT) (b) Montrer queδQrev/T est une différentielle exacte.
