I / Quelques définitions a) Avec un tableau
On dit qu’il y a proportionnalité dans un tableau lorsque l’on peut passer d’une ligne à l’autre en multipliant par un même nombre.
Exemples :
2 3 5 10 ×××× 2 ×××× 0,1 10 5 0,3 1
4 6 10 20 1 0,5 0,03 0,1
Les nombres 2 et 0,1 sont des coefficients de proportionnalité.
b) Proportionnalité et représentation graphique
Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite passant par l’origine des axes.
Exemple : Voici un tableau de proportionnalité concernant le prix du raisin.
Poids x(en kg) 1 3 4 5
Prix y (en €) 3,50 10,50 14 17,50
La représentation graphique de ce tableau est une droite passant par l’origine.
Attention : La lecture d’un graphique ne donne qu’un ordre de grandeur. Seul un calcul donne avec certitude la valeur exacte.
2 II /Quatrième proportionnelle
Exemple : On suppose que dans une coopérative le volume et le prix du vin sont proportionnels.
15 l de vin coûtent 24 € ; combien coûtent 23 L ?
Méthode 1 : tableau de proportionnalité Volume de vin ( en
litres )
15 23 Produit en croix : 15x = 23 × 24 ( = 552 ) Prix ( en euros ) 24 xx xx
x = 552
15 = 36,8
23 L de vin coûtent 36,8 €.
Méthode 2 : « passage à l’unité »
15 L coûtent 24 €, donc 1 L coûte 24 : 15 = 1,6 € Donc 23 L coûtent : 23 × 1,6 = 36,8 €.
Cela s’appelle rechercher une quatrième proportionnelle.
III / Pourcentages
Rappel : Appliquer un pourcentage à une quantité revient à la multiplier par une fraction.
Exemple : 40 % de 600 € : 600 × 40
100 = 600 × 0,4 = 240 Exemples d’utilisation :
La classe de 4ème A est composée de 26 élèves : 4 garçons et 22 filles.
Le pourcentage de garçons est : nombre de garçons
nombre d'élèves total = 4 26
≈ 0,154 soit 15,4 %.
18 filles sont nées en 1996 ; le pourcentage de filles nées en 1985 est donc : nombre de filles nées en 96
nombre total de filles soit 18
22 ≈ 0,820 soit 82 %.
Il est important de savoir par rapport à quoi on calcule un pourcentage ! !
Un CD passe de 16 € à 18 €. Quel est le pourcentage d’augmentation ? Ecart de prix : 18 – 16 = 2
On calcule écart de prix
prix initial = 2
16 = 0,125 soit 12,5 % d’augmentation.
Remarque : Les pourcentages ne s’additionnent pas ni ne se soustraient !
Exemples : Une TV coûte 150 €. On augmente son prix de 20% puis on le baisse de 20%.
Son prix est : 150 × 20
100 = 30 donc 180 € après l’augmentation, puis : 180 ×20
100 = 36 d’où 180 – 36 = 144 € après la baisse.
Finalement, on ne retrouve pas le prix de départ !
Cette même TV augmente d’abord de 10% puis de 20%. A-t-elle augmenté de 30% ? 150 × 10
100 = 15 donc 165 €, puis : 165 × 20
100 = 33 d’où 165 + 33 = 198 € ( prix définitif )
150 × 30
100 = 45 d’où 195 € après augmentation de 30%.
L’augmentation totale est de 48
150 = 0,32 soit 32 % .
4 IV / Vitesse moyenne
1) Définition
La vitesse d’un voiture, par exemple, n’est pas toujours la même tout au long d’un trajet. Mais si cette voiture parcourt 240 km en 3 h, elle parcourt en moyenne 80 km durant chaque heure.
On dit que sa vitesse moyenne est 80 km/h.
La vitesse moyenne v d’un mobile parcourant une distance d pendant une durée t est le quotient de d par t :
v = d t On a aussi d = vt et t = d
v
Cette vitesse s’exprime généralement en kilomètres par heure que l’on note km/h (km.h-1) ou en mètres par seconde que l’on note m/s (ou m.s-1)
2) Représentation graphique
Nous avons le tableau suivant donnant la distance parcourue en fonction du temps pour le train Paris – Berlin.
t (en heures) 1 3 3,5 5 6,5
distance (en kilomètres)
130 390 455 650 845
Représenter graphiquement ce tableau avec l’échelle suivante :
1 cm en abscisse représente 1 heure, 1 cm en ordonnée représente 100 kilomètres.
Lire sur le graphique et calculer :
- Distance parcourue en 4h et 30 minutes ? ( 585 km )
- Temps mis pour parcourir 300 km ? ( ≈ 2,3 h soit 2h et 18 min environ ) - Temps mis pour parcourir 450 km ? ( ≈ 3,5 h) , …..
Remarque : on a également t = d
v et d = vt 3) Exemples: conversion km/h en m/s.
a) exprimer la vitesse 30 km/h en m/s :
En 1h, on parcourt 30 km soit 30000 m , 1 h = 3600 s Donc la vitesse est : 30000
3600 ≈ 8,33 m/s.
b) Un avion de chasse vole à la vitesse constante de 500 m/s.
Quelle distance aura-t-il parcouru ( en km ) en 2 heures ?
En 1 s, il parcourt 500 m ; en 3600 s, 500 × 3600 = 1 800 000 m en 1 heure soit 1800 km.
Il parcourt donc 3600 km en 2 heures.
