C configuration initiale

(1)

(2)

( , ) x = Φ = Φ = Φ = Φ X t

C configuration initiale

description lagrangienne

C(t) configuration actuelle description eulérienne 0

(((( )))) ^, ^{d x}

v x t

==== dt

Y

X x

y

P₀ Q₀

C0

C(t)

x₁ x₃

x₂ X₁

X₃

X₂ Q_t

P_t QPt t

(3)

( , ) [ ( , )]

F X t = = = = grad Φ Φ Φ Φ X t

dx = F(X,t)dX E = - (F F - I) 1

2 T

==== ,

H grad U X t

Y

X x

y

P₀ Q₀

C0

C(t)

x₁ x₃

x₂ X₁

X₃

X₂ Q_t

P_t QPt t

YX

x y P₀ Q₀

C0 C(t)

x₁ x₃

x₂ X₁

X₃

X₂ Q_t

P_t ( )^X^,^t

U

( )^Y^,^t

U

1 H H T

ε = 2 +

ε = +

1 2

∂ ∂

= +

∂ ∂

i j

ij j i

U U

X X

εεεε

(4)

P₁

P₂

S₁ F_t₁

F_n₁

(((( ))))

_n

F ₁ n1

P₅ P₄

P₃ S₁

n1

−−−−

F₋₋₋₋_t₁ F₋₋₋₋_n₁

(((( ))))

n F

−−−−

₁

0 n t

S → → → →

(((( ))))

¹¹21 ¹²22 ¹³23 ¹2

31 32 33 3

n

T n n n n

n

σ σ σ

σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

= ⇔ = =

(5)

s ur S

imposé

T n ⁼ ⁼ ⁼ ⁼ σσσσ n ⁼ ⁼ ⁼ ⁼ T n ^σσσσ

e x

e y

e z _q

⁰ ⁰

0 0

1

xx xy xz xz

xy yy yz yz

xz yz zz zz

n

q

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σσσσ

σσσσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

= = =

−−−−

0 ?

?

xz xx

yz xy

zz q yy

σ σ

σ σ σ σ

σ σ

σ σ σ σ

σ σ

= =

= = = =

= =

= − =

(6)

σσσσ₁₁ σσσσ21

σσσσ31

σσσσ12

σσσσ13

σσσσ₂₂

σσσσ33

σσσσ23

σσσσ32

dx x2 ² 22++++∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ22

σσσσ dx x2 ² 12++++∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ12

σσσσ

dx x2 ² 32++++ ∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ32

σσσσ

dx x1 ¹ 11++++ ∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ11

σσσσ

dx x1 ¹ 21++++∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ21

σσσσ dx x1 ¹ 31++++∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ31

σσσσ

dx x3 ³ 33++++∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ33

σσσσ

dx x3 ³ 13++++∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ13

σσσσ

dx x3 ³ 23++++∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ23

σσσσ σσσσ₁₁

σσσσ21

σσσσ31

σσσσ12

σσσσ13

σσσσ₂₂

σσσσ33

σσσσ23

σσσσ32

dx x2 ² 22++++∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ22

σσσσ dx x2 ² 12++++∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ12

σσσσ

dx x2 ² 32++++ ∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ32

σσσσ

dx x1 ¹ 11++++ ∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ11

σσσσ

dx x1 ¹ 21++++∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ21

σσσσ dx x1 ¹ 31++++∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ31

σσσσ

dx x3 ³ 33++++∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ33

σσσσ

dx x3 ³ 13++++∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ13

σσσσ

dx x3 ³ 23++++∂∂∂∂∂∂∂∂σσσσ23

σσσσ

(((( ))))

1 1 1 3 1

1 2 3

1 2 2 3 2

1 2 3

1 3 3 3 3

1 2 3

0 0 0

0 x x x

d iv x x x

x x x

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

σσσσ

σ σ σ

2222

→

→ 2222

2222

∂ ∂ ∂

∂ + + + + ∂ + + + + ∂ = = = =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

= + + =

= = + + + + = =

= + + =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ + + + + ∂ + + + + ∂ = = = =

∂ ∂ ∂

(7)

P1

P₃ P₄

P₂

u₅

fondatio n

t est imposé Sσσσσ

u est imposé Su

f

f ==== ρρρρg par exemple

S S u

fdv tdS dv

σσσσ

ργ ργ ργ

Ω + Ω ργ

Ω + Ω

Ω + + + + + = = = = Ω

(8)

0 dans 0 dv

v f

f di

div

σ ργ σ σ ργ ργ σ ργ

Ω Ω Ω Ω

+ − = Ω

+ + − − = = Ω Ω

+ − = Ω

+ − =

(9)

lz 1

ly 1

lx 1 lx 1

ly 1 lz 1

σσσσ ^yy

ly 1 lz 1

lx 1

xx xx

yy xx xx

zz xx xx

E

E E

εεεε σσσσ

ν ν σσσσ

ν ν

ε ε

ε ε ε ε

ε ε

ν ν σσσσ

ν ν

ε ε

ε ε ε ε

ε ε

====

= − = −

xx yy yy

yy yy

zz yy yy

E E

E

ν ν σσσσ

ν ν ν ν

ν ν

ε ε

ε ε ε ε

ε ε

εεεε σσσσ

ν ν σσσσ

ν ν

ε ε

ε ε ε ε

ε ε

= − = −

====

= − = −

xx zz

yy zz

zz Ezz

ε νννν ε

ε ε ε ε

ε ε

ε νννν ε

ε ε ε ε

ε ε

εεεε σσσσ

= − = −

= −

====

(10)

yy zz xx xx

yy xx zz

yy

zz xx yy zz

E E E

σσσσ σσσσ

σσσσ ν ν ν ν ν ν ν ν εεεε

σσσσ ν ν ν ν σσσσ ν ν ν ν σσσσ εεεε

= − −

= = − − − −

= − −

Traction le long de trois axes orthogonaux

Sollicitation en cisaillement

F

_y

F

_y

x z

y S

₃

2 2 2

xy xy

xz xz

yz yz

G G G

εεεε σσσσ εεεε σσσσ εεεε σσσσ

====

2(1 ) G E

==== νννν

++++

(11)

1 0 0 0

1 *

1

1 1 0

0 0 1

xz xz

yz yz

xy

xx xx

yy yy

zz z

xy z

E

ε σ

ε ν ν ν ν ν ν ν ν σ

ε σ

ε ν ν ν ν ν ν ν ν σ

ε σ

υυυυ νννν

ε σ

ε υυυυ σ

ε σ

υυυυ νννν

ε σ

++++

====

− −

− − − −

− −

++++

(12)

La loi de Hooke complète pour un matériau anisotrope

kl kl

kl lk

ijkl

ij kl

kl kl

ij ij

ij ji

L L L

L L

σ ε

σ σ

ε ε

==== ====

====

(13)

ij ij

dW ⁼⁼⁼⁼ V σ ε σ ε σ ε σ ε ∆∆∆∆ dv

0 ij ij

V d

W ⁼⁼⁼⁼ ^εεεε σσσσ εεεε dv

0 ij

vol d ij

W ⁼⁼⁼⁼ ^εεεε σσσσ εεεε

0 vol T d

W ⁼⁼⁼⁼ ^εεεε σσσσ εεεε

(14)

0 ij

vol ij

ijkl

ij kl

ij ijkl kl

W d

M L

εεεε σσσσ εεεε

ε σ

σ ε

====

= →

====

1 : : 1 : : 2

2 vol M

W

L

σ σ

ε σ

====

IV. L’énergie de déformation

IV.1. Expression de l’énergie en fonction des contraintes et des déformations

(15)

1 0

1 2 0

2 vol T

vol T

M M est défini postif W

L Lest défini postif W

σ σ

ε ε ε ε ε ε ε ε

= ≥ →

IV. L’énergie de déformation

IV.1. Propriétés de M et L

(16)

(17)

I. Bilan

I.1. Nombre d’inconnus

(18)

I. Bilan

x y z

u

u u

u

Vecteur déplacement

====

3

(19)

xx yy zz xz yz xy

εεεε εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε

====

₁₂¹¹ ¹²₂₂ ¹³

13 3 3

3

2 3

2

ε ε ε

εεεε ε ε ε ε σ σ σ σ σ σ σ σ

ε σ σ

====

I. Bilan

x y z

u

u u

u

====

Tenseur petites déformations

Vecteur déplacement 3

6

(20)

xx yy zz xz yz xy

εεεε εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε

====

xx yy zz xz yz xy

σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ

σσσσ σσσσ σσσσ

====

¹¹₂₁ ¹²₂₂ ¹³

31 2 3

3

3 3

2

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

σσσσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

====

12 12

11

22

13

13 3 3

3

2 3

2

ε ε ε

εεεε ε ε ε ε σ σ σ σ σ σ σ σ

ε σ σ

====

I. Bilan

x y z

u

u u

u

====

Tenseur petites déformations

Vecteur déplacement

Tenseur contraintes de Cauchy

3

6

(21)

I. Bilan

I.2. Nombre d’équations en volume

(22)

/ 0

ij

x

j

f

i

σσσσ ⁺ ⁺ ⁺ ⁺ ⁼ ⁼ ⁼ ⁼

∂ ∂

I. Bilan

Équilibre : 3 équations scalaires

(23)

2 2 2

kk k k

0

k k ij k

i j i k j

j i

x x ^∂ ^∂ ^∂ ^∂ ε ε ε ε ⁺ ⁺ ⁺ ⁺ x x ^∂ ^∂ ^∂ ^∂ ε ε ε ε ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^∂ ^∂ ^∂ ^∂ x ^∂ ^∂ ^∂ ^∂ x ε ε ε ε ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ x x ^∂ ^∂ ^∂ ^∂ ε ε ε ε ⁼ ⁼ ⁼ ⁼

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

/ 0

ij

x

j

f

i

σσσσ ⁺ ⁺ ⁺ ⁺ ⁼ ⁼ ⁼ ⁼

∂ ∂

I. Bilan

Équilibre : 3 équations scalaires

Compatibilité : 6 équations scalaires

(24)

2 2 2

kk k k

0

k k ij k

i j i k j

j i

x x ^∂ ^∂ ^∂ ^∂ ε ε ε ε ⁺ ⁺ ⁺ ⁺ x x ^∂ ^∂ ^∂ ^∂ ε ε ε ε ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ^∂ ^∂ ^∂ ^∂ x ^∂ ^∂ ^∂ ^∂ x ε ε ε ε ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ x x ^∂ ^∂ ^∂ ^∂ ε ε ε ε ⁼ ⁼ ⁼ ⁼

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

/ 0

ij

x

j

f

i

σσσσ ⁺ ⁺ ⁺ ⁺ ⁼ ⁼ ⁼ ⁼

∂ ∂

(((( ))))

{{{{ }}}}

ij

E 1 1 ν ν ν ν

ij

υ υ υ υ

ll ij

ε σ σ δ

ε ε σ σ σ δ σ δ ε ⁼ ⁼ ⁼ ⁼ ⁺ ⁺ ⁺ ⁺ σ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ σ δ

I. Bilan

Équilibre : 3 équations scalaires

Compatibilité : 6 équations scalaires

Lois de Hooke : 6 équations scalaires

(25)

ij j n t i sur S ^σσσσ

σσσσ ⁼⁼⁼⁼

I. Bilan

I.2. Nombre de conditions limites

3 équations scalaires

i i sur u

u U ==== S

fondation Pièce à étudier

u

:

i i

S u U ====

:

_{ij j} _i

S

σσσσ

σσσσ n ⁼⁼⁼⁼ t

ou

(26)

II. Equations fondamentales de l’élasticité

II.1. Démarche

(((( ))))

{{{{ }}}}

3 équations différentielles scalaires du secon

sur (équations de Beltrami-Mitch

sur u (équati

el)

o d o dr re

ns

équilibre : / 0

compatibilité : 1

2 Hooke : 1 1

ou

i i

i j

ij j i

j j

ll

ij ij ij

x f u u

x x

E

σσσσ

σσσσ εεεε

ν υ

ε σ σ δ

ε ε σ σ σ δ σ δ

ε σ σ δ

+ = + = + = + =

∂ ∂

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

= +

∂ ∂

= + −

15 équations différentielles du premier or

de Nav

dre

ier)

↓↓↓↓

(27)

(((( ))))

{{{{ }}}}

(((( )))) (((( ))))

{{{{ }}}}

(((( ))))

1 1

0

ij

T

grad grad trace grad div grad div

trac div

e I

E

f

ε ν σ υ

ε ε ν σ υ ν σ υ

ε ν σ υ

εεεε

σσσσ

εεεε σσσσ εεεε

εεεε

∆ +

∆ + ∆ +

∆ +

− −

====

==== → → → →

++++ ====

+ −

(((( ))))

{{{{ }}}}

(((( ))))

{{{{ }}}}

1

0

T

f grad grad

grad

trac

grad div f

e

I

f σσσσ νννν

νννν σσσσ ++++

++++

+ + + + + +

+ + ++++

+ =

+ + = =

+ =

∆∆∆∆

II. Equations fondamentales de l’élasticité

II.2. Equation de Beltrami-Mitchell II.2.1. Cas général

(28)

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

role particu s

l er c

i e

1 1

dérivéesdu ordre de

T

dérivéesdu o

ond

premier rdre de f

f f f

grad grad

grad grad div

trace

σσσσ

σσσσ σσσσ

νννν νννν

∆∆∆∆

+ +

+ + + +

+ + + + I ==== 0

II. Equations fondamentales de l’élasticité

II.2. Equation de Beltrami-Mitchell II.2.1. Cas général

(29)

(((( ¹ ⁺ ⁺ ⁺ ⁺ ^νννν )))) ^∆∆∆∆ ^σσσσ ⁺⁺⁺⁺ ^{grad gra} ^d ^tra ^ce (((( )))) ^σσσσ ⁼ ⁼ ⁼ ⁼ ⁰

II. Equations fondamentales de l’élasticité

II.2. Equation de Beltrami-Mitchell

II.2.2. Forces de volume nulles ou constantes

mm

ij

(30)

II. Equations fondamentales de l’élasticité

II.2. Equation de Beltrami-Mitchell

II.2.3. Application : contraintes planes ou déformations planes

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

{{{{ }}}}

(((( ))))

2 2

2

2 2

0 1 2

2 1 2

xx

xy

yy

T

y

div x y

x grad u grad u

G trace I

σσσσ ϕϕϕϕ σσσσ σσσσ ϕϕϕϕ σσσσ ϕϕϕϕ

εεεε

σ ε υυυυ ε

σ σ ε ε ε ε

σ ε ε

υυυυ

==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂

= → = − ∂∂∂∂

= → = −

∂ ∂ ∂ ∂

==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂

= +

= = + +

= +

−−−−

0 0

0 0 0

xx xy

xy yy

σ σ

σσσσ ⁼⁼⁼⁼ σ σ σ σ σ σ σ σ

(31)

II. Equations fondamentales de l’élasticité

II.3. Equation de Navier II.3.1. Cas général

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

^{1 2}

1 2

2

T

trace

div f

grad u grad u

G ^υυυυ I

υυυυ

σσσσ

εεεε

σ ε θ

θ ε

θ θ ε ε

θ ε

−−−−

====

==== ++++

= +

= = + +

= +

====

→ →

(((( ))))

2 0 1

1

dépend du champ des déplacements

comportement du matériau

com forces vo

portement du matéria

lumiques

u

grad

f

v

u d u

G

νννν i

∆ + −−−−

∆ +

+ =

(32)

II. Equations fondamentales de l’élasticité

II.3. Equation de Navier II.3.1. Cas particuliers

a) Forces de volume nulles

(((( ))))

1 1 2 0

comportement du matériau

grad

u div u

∆ + νννν =

∆ + ∆ + = =

∆ + =

−−−−

. 0

1 1

2G G

la nouvelle inconnu

u gra X

e

d υυυυ

= +

∆∆∆∆

Φ −−−− Φ Φ Φ Φ Φ

Φ Φ

Φ Φ Φ Φ Φ = Φ = Φ = Φ =

====

(33)

II. Equations fondamentales de l’élasticité

II.3. Equation de Navier II.3.1. Cas particuliers

a) Forces de volume dérivant d’un potentiel

(((( ))))

f grad V ====

(((( ))))

2 0

1 1 grad di

u G

v f

u νννν

∆∆∆∆ + + + + −−−− + = + = + = + =

1 1

0 2 grad div u

G

grad V

νννν u

∆ +

∆ + −−−−

+ =

(34)

III. Principe de superposition et unicité de la solution

III.1. Principe de superposition Enoncé

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

,

^A ^B

,

A B

u u ε ε ε ε ε ε ε ε

σ σ

σ σ σ σ

σ σ

+ +

++++

( )A

T

( ) ( ) ( )^A

,

^A

,

^A

u ε ε ε ε σ σ σ σ

( )A

f

( )B

T

( ) ( ) ( )^B

,

^B

,

^B

u ε ε ε ε σ σ σ σ

( )B

f

( )A ( )B

f ++++ f

( )A

T

( )B

T

(35)

III. Principe de superposition et unicité de la solution

III.1. Principe de superposition

limitation : hypothèse des petites perturbations

( )A

F F

^{( )}^B

( )B ( )A

δδδδ

( )

(C) A ( )B

F F ==== F ++++

( ) ( )

( )C

δδδδ

A B

δδδδ <<<< ⁺⁺⁺⁺ δδδδ

(36)

III. Principe de superposition et unicité de la solution

III.2. Unicité de la solution

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0?

A B

u u

ε ε

σ σ

− =

− − = =

− =

− − = =

− =

T

( ) ( ) ( )^A

,

^A

,

^A

u ε ε ε ε σ σ σ σ

f

( ) ( ) ( )^B

,

^B

,

^B

u ε ε ε ε σ σ σ σ

T

(37)

III. Principe de superposition et unicité de la solution

III.2. Unicité de la solution

( ) ( )

' est solution du problème ' 0

' ' 0

'

A B

u u u

T T T

f f f

εεεε εεεε εεεε

σ σ σ

==== −−−−

= − =

==== −−−−

= − =

==== −−−−

' 0

'

^T

' '

^T

V

σ σ σ σ M σ σ σ σ dv ⁼ ⁼ ⁼ ⁼

S

T u dS ⁼ ⁼ ⁼ ⁼

' '

0 0

A B T

A B

V

M dv

M est défini positif

σσσσ σσσσ

σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ

−−−− − − − − = = = =

→ − =

C configuration initiale

( , ) x = Φ = Φ = Φ = Φ X t