A210 - Des congressistes multilingues

A210 - Des congressistes multilingues Solution

En 2003

Il y a quatre langues officielles A, B, C et D et chaque participant en parle au moins une. Il y a donc 15 configurations possibles décrites sous forme de quadruplets faits de 1 et de 0 selon que la langue est parlée ou non. Par exemple (1,0,0,1) désigne la configuration dans laquelle les participants pratiquent A et D et ignorent B et C.

D’où le tableau ci-après où figurent les effectifs a1, a₂, a₃, …correspondant à chaque configuration tels que ai = N qui est le nombre total de participants.

Les configurations n°12 à n°15 de couleur orange sont telles que si l’une d’elles existe, la langue unique qui est parlée sera nécessairement parlée dans les autres configurations figurant dans la liste sous les n° de 1 à 11.Dans ces conditions, il y aura une langue parlée à 100%.On peut donc les exclure dans la recherche du pourcentage minimum de la langue la plus parlée.

D’autre part, les configurations n°9,10, 11 sont incompatibles deux à deux avec les configurations n°8,7 et 6 car il n’y a aucune langue parlée en commun. Sans restreindre la généralité de la solution, on peut donc se limiter aux configurations n°1 à 8.

Enfin on observe que les quatre langues sont parlées dans la première configuration, trois langues dans les quatre suivantes n°2 à 5et deux langues dans les trois dernières n°6 à 8. On peut éliminer les quatre premières configurations et ne retenir que les configurations n°5,6,7 et 8 (en caractères gras dans le tableau ci-dessus). En effet dans ces quatre configurations il y a au moins une langue qui n’est pas parlée et dans trois d’entre elles on ne parle que deux langues. Les configurations n°5,6,7 et 8 constituent donc le noyau le plus réduit compatible avec les hypothèses initiales.

De plus, le pourcentage minimal de la langue la plus parlée est atteint quand toutes les langues sont pratiquées avec le même pourcentage. En effet si une langue X était plus parlée que les autres, il serait toujours possible avec le même total N de participants de réduire les effectifs d’une configuration où X est parlée au bénéfice d’une configuration où X n’est pas parlée. Il en résulte les équations a₆ + a₇ + a₈ = a₅ + a₆ = a₅ + a₇ = a₅ + a₈ et a₅ + a₆ + a₇ + a₈ = N d’où a₅

= 2*N/5 et a₆ = a₇ = a₈ = N/5. Le pourcentage minimal est donc égal à 3/5 = 60%.

En 2004

Le problème se présente de la même manière :il y a cinq langues A, B, C, D et E et le nombre de configurations possibles dans lesquelles deux langues au moins sont pratiquées passent à 26 mais comme ci-dessus on peut ramener l’analyse à 9 configurations : les configurations n°

17 à 26 où deux langues et deux seulement sont pratiquées ne peuvent coexister qu’avec des configurations où ces deux mêmes langues sont parlées. Dans ce cas le pourcentage de pratique de deux langues atteint 100%. S’agissant des configurations numérotées de 10 à 16,elles sont incompatibles avec les configurations n° 7 à 9 et sans restreindre la généralité du problème on peut faire l’hypothèse que les effectifs a₁₀ à a₁₆ sont nuls et a contrario les effectifs a7 à a9 sont > 0.

a₁ a₂ a₃ a₄ a5 a6 a7 a8 a₉ a₁₀ a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ a₁₅

A 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0

B 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0

C 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0

D 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1

Comme précédemment, on peut réduire l’analyse aux configurations n°5 à 9 qui constituent le noyau le plus réduit compatible avec les hypothèses initiales. Le pourcentage minimal de pratique d’une langue est obtenu quand toutes les langues seront pratiquées avec le même pourcentage. Supposons que la langue A et la langue B soient parlées l’une et l’autre dans la proportion p. Dès lors a₅ = (1-p)*N et a₆ = (1-p)*N.

Par ailleurs a7 = a8 = a9 = (N-a5 – a6 )/3 = (2*p – 1)*N/3. Dès lors le pourcentage de ceux qui parlent la langue C (ou D ou E) sera égal à 2*(1-p) + (2*p-1)/3  p = 2*(1-p) + (2*p – 1)/3 soit p = 5/7 = 71,4%

a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈ a₉ a₁₀ a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ a₁₅ a₁₆ a₁₇ a₁₈ a₁₉ a₂₀ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ a₂₅ a₂₆

A 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

B 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0

C 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0

D 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1

E 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1