Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de quelques problèmes aux dérivées partielles multi-échelles

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partielles multi-échelles

Amélie Rambaud

To cite this version:

Thèsede do torat N d'ordre : 317-2011

Université ClaudeBernard Lyon 1

InstitutCamille Jordan

UMR 5208 CNRS-UCBL

Modélisation, analyse mathématique et

simulations numériques de quelques

problèmes aux dérivées partielles

multi-é helles

THÈSE

présentéeetsoutenue publiquement le

5

dé embre

2011

pourl'obtentiondudiplmede

Do torat de L'Université Claude Bernard Lyon1

(Spé ialité Mathématiques)

par

Amélie Rambaud

Sousladire tion de: Fran is FILBET et Pas al NOBLE

Devant lejury omposé de:

SylvieBENZONI-GAVAGE Examinatri e

Fran isFILBET Dire teur de thèse

ThierryGOUDON Rapporteur

Fréderi LAGOUTIERE Examinateur

Roberto NATALINI Rapporteur

Pas al NOBLE Dire teur de thèse

Nous étudions dans ette thèse plusieurs aspe ts d'équations aux dérivées partielles

multi-é helles. Pour trois exemples distin ts, la présen e de multiples é helles, spatiales

outemporelles,motive untravail demodélisation mathématiqueou onstitueun enjeude

dis rétisation.

La premièrepartie est onsa réeà la onstru tion et l'étude d'unsystèmemulti ou he de

typeSaint-Venantpourdé rireunuideàsurfa elibre(o éan). Sonobtentions'appuiesur

une analysedesé helles spatialesmises en jeu,en parti ulier surl'hypothèse diteeau peu

profonde, lassiquement utiliséedansle asdesuides géophysiques. Nousjustionsdon

noséquations,etmontronsunrésultatd'existen elo aledesolution. Puisnousproposons

uns héma volumesnis etdessimulationsnumériques envue devalidernotre modèle.

Dans la deuxième partie, nous étudions un problème hyperbolique de relaxation, inspiré

de la théorie inétique des gaz. La diéren e entre l'é helle temporelle du mé anisme de

transportet eluidelarelaxation onstitueunenjeunumérique ru ial. Nous onstruisons

don un s hémanumérique via une stratégie préservant l'asymptotique : nous montrons

sa onvergen epourtoutevaleurduparamètrederelaxation, ainsiquesa onsistan eave

le problème à l'équilibre lo al. Des estimations d'erreurs sont établies et des simulations

numériques sont présentées.

La dernière partie traite un problème d'é oulement sanguin dans une artère ave stent,

modélisé par un système de Stokes dans un domaine ontenant une petite rugosité

péri-odique, i.e. une géométrie double é helle. Pour éviter une dis rétisation oûteuse du

domaine rugueux (l'artère stentée), nous formulons un ansatz de développement de la

solution type Chapman-Enskog, etobtenons une loi de paroi impli ite sur lebord du

do-maine lisse (l'artère seule) ainsi que des estimations d'erreurs. Puis nous présentons des

simulationsnumériques.

Mots lés : analyse d'é helles, modèle multi ou he de Saint-Venant, systèmes

hyper-boliques,loisde onservation,volumesnis,relaxation,termesour eraide,uxàvariation

Thisworkis on ernedwithdierentaspe tsofmultis alepartialdierentialequations.

For three distin t problems, we address questions of modelling and dis retization thanks

to theobservationof themultipli ity ofs ales, time orspa e.

Weproposeinthe rstpartamodelofapproximationofauidwithafreesurfa e,sayan

o ean. Thederivationofourmultilayershallowwatertypemodelisbasedonananalysisof

thedierentspa es alesgenerallyobservedingeophysi alows,inparti ulartheso- alled

shallow water assumption. We obtain anexisten e and uniquenessresult of lo al intime

solution. Next we propose a nite volume s heme and numeri al simulations in order to

validateour model.

In the se ond part, we study a hyperboli relaxation problem, initially motivated by the

kineti theory of gaz. Dierent time s ales appear through the ompetition between a

transportphenomenon and a relaxationone, to a lo alequilibrium. Adopting an

Asymp-toti Preserving strategy of dis retization, webuild andanalyze anumeri al s heme. The

onvergen eisproved foranyvalueofthe relaxationparameter, aswellasthe onsisten y

withtheequilibriumproblem,thankstoerror estimates. Thenwepresentsomenumeri al

simulations.

The last part deals with a blood ow model in a stented artery. We onsider a Stokes

problemstated ina multis ale spa edomain, that isa ma ros opi box(the artery)

on-tainingami ros opi roughness(the stent). Inordertoavoidexpensivesimulations when

dis retizingthe wholeroughdomain,weperformaChapman-Enskogtype developmentof

thesolutionand deriveanimpli itwall lawontheboundaryofthesmoothdomain. Error

estimatesareshownandnumeri al illustrations oftheresults arepresented.

Key words: multilayer shallow water model, hyperboli systems, onservation laws,

-nite volumes, relaxation, sour e term, sti, total variation diminishing, asymptoti

M

er i!

Je souhaiteremer ierles(nombreuses!) personnesquim'ont a ompagnéeetsoutenue

tout au long de ma thèse. Entre inspirations s ientiques et ellules de soutien

psy- hologique, 'est grâ e à beau oup de monde autour de moi que e travail se on rétise

aujourd'hui. Par avan e je demande pardon aux oubliés de ette note, veuillez ex user

monétourderie!

J'adresse mes premiers remer iements à mes deux dire teurs de thèse, Fran is Filbet

et Pas al Noble : mer i à vous de m'avoir fait entrer dans le monde de la re her he, et

de m'y avoir guidée patiemment durant es trois années! Mer i pour votre disponibilité,

vos onseils etlefoisonnement d'idées! Vousavez toujours attisé ma uriosité etdansles

moments di iles, m'avez poussée à me dépasser. Grâ e à vous, j'ai pu parti iper à de

nombreuses onféren es, ren ontrer des her heurs du monde entier, élargir mes

onnais-san es. Pour tout ela,pour larigueur, lapersévéran e etl'autonomie dansletravail que

vousm'avez in ulquées, etplusen ore,mer i!

Un grand mer i à Thierry Goudon qui a a epté de rapporter ette thèse, pour ses

ommentaires et onseils avisés pour améliorer le manus rit. Mer i à mon autre

rappor-teur Roberto Natalini, pour ses remarques pertinentes sur ma thèse,mais aussipour nos

é hanges mathématiques, si enri hissants pour moi! Quant aux autres membres de mon

jury,MmeSylvieBenzoni-Gavage,M.Frédéri LagoutièreetM.Jean-PaulVila,jeleursuis

vivementre onnaissanted'avoira eptédefairepartiedemonjury! Jeremer ieégalement

tous les her heurs que j'ai eu l'honneur de ren ontrer es trois dernières année, ave qui

j'aieuplaisiràtravailler ousimplementàdis utermathématiques. Unmer iparti ulierà

KirillP.Gostaf, VukMilisi , DidierBres hetEri Bonnetier,duprojetau Cemra s,ainsi

qu'à Laurent Boudin et Frédéri Lagoutière. Mer i aux NumHyp, Emmanuel Audusse,

EnriqueFernandez-Nieto, FabienMar he,CarlosParès... Mer i aux inéti iens ren ontrés

ré emment, enparti ulier àVin ent Calvez, Laurent Desvillettes, Dave Levermore etShi

Jin. Et biensûrmer iàFlorentChazel, Jean-Mi helRoquejore,Jean-PaulVila ettoute

l'équipes'apprêtant à mere evoirà Toulouse!

C'est à l'ICJ que j'ai passé le plus lair de mon temps es dernières années (oui oui

quandmême!) : j'aieula han ed'yren ontrerdespersonnesremarquables. Alorsdufond

du ÷ur mer i d'avoir rendules murs de Bra onnier moins gris! À tous mes enseignants

d'abord, spé ialement Christophe Delaunay, Emmanuel Fri ain, Petru Mirones u; et ma

gratitude parti ulière à Isabelle Chalendar! Mer i à Daniel Le Roux pour ses

en ourage-ments. Mer i Pierre pour nos dis ussions, de Jean le Rond à Mélu he, 'est toujours un

plaisir! Mer i Monique pour votre e a ité et votre gentillesse. Mer i à Laurent Azéma

etThierryDumont detoujours répondreà mes questionsinformesAtiques!

Non,non, je ne vousoublie pas mes hers ollègues de la même galère do torale! Fini ou

pasde purgervotrepeine,je suisheureuse devousavoir ren ontrés,émue devousquitter,

mais ertaine de vousre roiser, mer i à tous! Mention spé iale àValérie magrande s÷ur

... et le Rubis Bar bien sûr! Mer i Yoann mister Gossip toujours au taquet! Mer i Ni o

pour talégèreté etton optimisme,àquandta nouvelle théoriesurlesrelations humaines?

De mon Crou ( ra ra) : mer i Mi kaël, attends j't'explique (la supra ondu tivité), 'est

l'tru métaphysique qui pique ommeun aspi ! Mer i mon frère Thomas etFred, mer i

ma s÷ur Marianne et Steph, pour votre amitié, votre générosité, les apéros, le singstar,

lesbarbe ', l'a ordéon ... breftout Koi! BigUp au

111

b : Romain l'é oloà vélo, etpuis Erwan (bon,lamusiqueesttropforte etça olle par terre,m****!) etJulien (elleest pas

nietonhistoire, là?) : ouais,mer ilesme spourtoutlerêvequevousmevendez haque

jour! Mes petits padawan du

219

, mer i Alain, Alexis, JB et Lin, d'avoir supporté mes humeurs ettedernièreannéeetdem'avoirfaitrire! Etma oOopineÉlodie,ma o-bureau

ave quij'aipartagéstress, risesderiresoudelarmes: millemer ispourtagénérosité et

tafantaisie,les pauses afé,les soirées etles onversations téléphoniques! Un grandmer i

à toi Julien, même de loin tu as toujours été là pour m'é outer et me ré onforter, pour

faire des maths ou refaire le monde ave moi! Thomas, mer i voisin pour ta gentillesse

ettes onseils, sansoublier tes blagues pasdrles :-). J'en prote pour remer ierle reste

du rew Cemra s : Anne, mer i pour ta joie de vivre (et labière lilloise ;), Cristiana, ma

roomateitalienne, etSéverine (aah.. laChartreuse!).

Et les an iens, mes amis de près de

10

ans (déjà?), eux qui m'ont é outée lorsque j'en avais besoin, fait rire lorsque je pleurais et supportée lorsque je me plaignais! À

vous aussi je dois beau oup. Les Zamis de fa : mer i Geneviève, mon héroïne

super-maman/prof de math, Raph, ave tes blagues toujours de bon goût, mais aussi Dom et

Gillou,Amandine,CharlotteetLaurent: laL

3

ave vousamarquépré ieusementledébut demavieuniversitaire! Mer iJulien,Matthieu,Pa o etPatri e,sansvousje n'auraispas

survé u au blues de la Mathésis : Big Up yoYo! Mer i Vin ent et Lauriane de m'avoir

nourrie de mets déli ieux et de ourage lorsque j'avais faim ou peur, et mon petit Filou

parizi

1

f

0

rmati ien, mer ipour tout, tousles troisje vouslike!

Ah, 'est le tour des allergiques aux maths, oui vous qui avez souri en lisant mon

résumé, auprèsde vousaussi les oupains j'ai puisé monénergie pour terminer e travail,

alors mer i! À Baptiste, Raph et Sylvain, et puis à mon Amélie fofolle, mer i pour les

rhums etles fraisestagada à

2

hdu mat', pour ta for e etton soutien! Mes hou housles Zar his (ou pas) : mer i à vous de m'avoir a ueillie dans la bande! Spé iale a e-dédi

à Audrey, Joanne, Nikie et Mim's, pour les bols d'air et de marrade que vous me faites

respirer! Et puisl'abRiko,j't'yjure, mer ipour tout e quetu fais!

Je remer ie enn toute ma famille, qui m'a épaulée ave for e et solli itude dans e

voyage,mêmesi ertainsontquittélenavireprématurément. Unepenséeparti ulièrepour

Mam,Véro, Pap,Steph,Taz,Mouti,et ousins,on lesettantes! Mer imamand'avoir ru

enmoi etde toujoursme rassurer,même lorsque tuesloin! Çayest, llenit l'é ole,et

n'auraitjamais pule faire sanstoi! Mer ipapa pour ta présen e parfoissilen ieuse,pour

tes onseils etta onan e! Etpuis mas÷ur hérie, monidole etmaplusgrande fan,ma

Co o Liko afri aine! Mer i d'avoir traversé ave moi, même de loin, les tempêtes et les

a almies,lesjoiesetlespeines,mesmonologues mathématiques,mesdoutesetmes oups

Avant-propos xiii

1 Introdu tion générale et présentation des travaux 1

1 Partie I :modélisationde uidesgéophysiques àsurfa e libre . . . 1

1.1 Une hiérar hiede modèles . . . 1

1.2 Travauxee tués :unautre modèlemulti ou he deSaint-Venant . . 15

2 Partie II:analysed'uns hémapréservant l'asymptotique . . . 19

2.1 Motivation etétatde l'art . . . 20

2.2 Travauxee tués :résultatsde onvergen es pour un modèlesimple 25 3 Partie III:un modèled'é oulement sanguin . . . 27

3.1 Motivation médi ale . . . 28

3.2 Modélisationmathématique :étatde l'art . . . 30

3.3 Présentation des résultats . . . 34

4 Con lusions,perspe tivesettravauxen ours . . . 36

4.1 Sur l'analysedu s hémaAP pour lesystème deBroadwell . . . 36

4.2 Autourdesmodèlesde uides géophysiquesà surfa elibre . . . 40

I Modélisation de uides géophysiques à surfa e libre 41 2 A dynami multilayer model : derivation and existen e result 43 2.1 Introdu tion and MainResult . . . 43

2.2 Derivationof the modeland omparison withothermultilayer models . . . 49

2.2.1 Derivation . . . 49

2.2.2 Comparisonwithother multilayer models . . . 51

2.3 Well-posedness ofthe multilayermodel . . . 52

2.3.1 Estimateson thesour e terms. . . 54

2.3.2 Studyof the linearizedproblem . . . 56

2.3.3 Iteratives heme . . . 61

3 Finite Volume dis retization and numeri al simulations 65 3.1 Numeri als heme. . . 65

3.2 Numeri alexperiments . . . 70

3.2.2 Comparison withthefull Eulerhydrostati model, at bottom . . . 71

3.2.3 Perturbation ofrest invelo ity, atbottom . . . 73

3.2.4 Periodi bottom, dynami behavior . . . 76

3.2.5 Sub riti alowovera bump . . . 76

3.3 Con lusion. . . 77

Annexe A Compléments surle modèlemulti ou he 81 A.1 Sur l'énergie dusystèmemulti ou he en

1

D . . . 81

A.1.1 Une estimation d'énergie naturelle . . . 82

A.1.2 Estimations supplémentaires? Existen ede solutions faibles? . . . . 84

A.2 D'autres simulations numériques . . . 85

A.2.1 Perturbation dula aureposen vitesse, fondplat . . . 86

A.2.2 Perturbation dula aureposen hauteur, fond plat . . . 87

II Un s héma préservant l'asymptotique 89 4 An Asymptoti Preserving s heme for relaxation systems 91 4.1 Introdu tion . . . 91

4.2 Numeri al s hemes andmain results . . . 94

4.2.1 An Asymptoti Preservings heme for therelaxationsystem . . . . 96

4.2.2 Convergen e results . . . 98

4.3 A priori estimates . . . 99

4.3.1 A priori estimateontherelaxation operator . . . 99

4.3.2

L

∞

estimates. . . 101 4.3.3

BV

estimates . . . 104 4.4 Trendto equilibrium. . . 104 4.4.1 Asymptoti behavior . . . 104 4.4.2 Proof of Theorem2.4. . . 106 4.5 Proofof Theorem 2.5 . . . 108 4.5.1 Consisten y error . . . 109 4.5.2 Convergen e proof. . . 115

4.6 Numeri al simulationsfor theBroadwell system . . . 116

4.6.1 The Riemann problem . . . 117

4.6.2 Approximation of smooth solutions . . . 118

Annexe B Compléments surle système ontinu 125 B.1 Introdu tion . . . 125

B.1.1 Rappeldesnotations ethypothèses . . . 125

B.1.2 Rappels surlessystèmes semi-linéaires . . . 127

B.2 Estimations a priori . . . 129

B.2.1 Estimations

L

∞

. . . 129

B.2.4 Déviationpar rapportà l'équilibre . . . 139

B.3 Convergen e forte. . . 140

III Un modèle d'é oulement sanguin dans des artères ave stents 141 5 Asymptoti analysis of blood owin stented arteries 143 5.1 Introdu tion . . . 143

5.2 Notationsand problemsetting. . . 145

5.3 TimeFourier analysis andboundarylayerapproximations . . . 146

5.3.1 Thezeroorder approximation . . . 146

5.3.2 Zeroordererror estimates . . . 147

5.3.3 Firstorder orre tion. . . 151

5.3.4 Firstorder estimates . . . 152

5.4 Derivationof Wall-laws. . . 153

5.4.1 Averaging the ansatz . . . 153

5.4.2 Impli it wall-law . . . 154

5.5 Numeri alresults . . . 156

5.5.1 Dis retization . . . 156

5.5.2 Errorestimates . . . 157

Silestroisproblématiquesadresséesdans etravail(modélisationmathématique,étude

théorique, analyse et simulations numériques) onstituent séparément un travail en soi,

ellesn'ensontpasmoinsintimementliéeslorsquel'onsouhaite omprendreunphénomène

naturel.

La modélisationmathématique onsisteà traduireunphénomène réel(don omplexe)

àl'aided'outils mathématiques. L'obje tifde etexer i e s ientiqueestdouble:il s'agit

d'unepart d'obtenir un modèle qui dé rive autant quepossible laréalité et d'autre part,

de pouvoir faire des prévisions, par exemple météorologiques dans le as d'un modèle

d'atmosphère.Evidemment, etravailn'ariendesystématiqueetreposesurunesu ession

d'observations et de simpli ations. Le mathémati ien doit faire des on essions an de

satisfaire sesdeux ambitions. Eneet, plus lemodèle mathématique prenden ompte de

paramètres physiques, plus il ore une des ription pro he de la réalité, mais plus il est

omplexe etde e faitsonétude théoriqueetsamiseen oeuvre prédi tive (numérique)en

deviennent plusdi iles.

Une fois le modèle mathématique établi, il reste de nombreuses questions auxquelles il

fauttenterderépondre.Peut-onlejustier,formellement ourigoureusement?Possède-t-il

une ou plusieurs solutions? Cette ou es solutions fournissent-elles un bonne des ription

de la physique observée? Peut-on les appro her en dis rétisant le problème? Comment?

Les résultats obtenus sont ils onformes à la réalité? Peuvent-il être utilisés de manière

prédi tive?...

Cettelistedequestions,loind'êtreexhaustive,metdéjàenlumièrelesmultiples di ultés

mathématiques auxquelles nous devons nous onfronter pour omprendre un phénomène

issu de la physique ou de labiologie. C'est à travers trois exemples distin ts (un modèle

deuideàsurfa elibre,unsystèmehyperboliquederelaxationetunmodèled'é oulement

sanguin) que nous tentons i i d'apporter quelques éléments de réponses sur les aspe ts

modélisation, analyse théorique et simulations numériques. Les trois exemples abordés

s'ins rivent dansdes ontextes très diérents, mais sont néanmoins liés par une

ara té-ristique ommune :ils ontiennent de multiples é helles, d'espa e ou de temps,et e sont

pré isément es diérentes é helles qui permettent et motivent les travaux ee tués au

Lapremièrepartieestainsi onsa réeàlamodélisationd'unuidegéophysiqueàsurfa e

libre(typiquement uno éan)pour lequel esont desé hellesspatiales ara téristiquesqui

sonttrèsdiérentes.En eet,en s'appuyantsurdesobservationsphysiques,nouspouvons

mettreenéviden eunnombresansdimension

ε > 0

trèspetit,àsavoirlerapportentredeux grandeurs ara téristiques du problème : la profondeur typique du uide et la longueur

d'onde moyenne des mouvements horizontaux. Grâ e à ette hypothèse, dite de shallow

water, nous dérivons un nouveau modèle multi ou he de type Saint-Venant à partir des

équationsprimitives, quenousétudions ensuite[165℄.

Dans ladeuxième partie de e manus rit, en ollaboration ave F. Filbet[94 ℄, nous nous

intéressons à un problème hyperbolique de relaxation. Motivés par la théorie inétique

desgaz, nous présentons i i un modèle jouet dans lequel les diversesé helles s'arontant

sont desé helles de temps :un phénomène de transport esta ompagné d'un mé anisme

de retour vers un équilibre lo al matérialisé par un terme sour e dans les équations. La

vitesse de e mé anisme de relaxation, représentée dans les équations par un oe ient

sansdimension

1

ε

> 0

, peutêtre très rapide (

ε

→ 0

). Le termesour e devient alors raide et onstitue un enjeu important dans son traitement numérique : 'est la préo upation

majeure de notre travail, ee tué dans le adre des s hémas préservant l'asymptotique

(Asymptoti Preserving).

Enn,latroisièmepartieestissued'untravailen ollaborationave V.Mili²i¢etK.Pi hon

Gostaf[150 ℄, initiéauCEMRACS

2009

et on erne unmodèled'é oulement sanguin dans desartères ave stents. Dans e as, les diérentes é helles apparaissent dans le domaine

géométriquesur lequel sont posées les équations.En eet,si l'on symbolisegrossièrement

l'artère par un ylindre droit

Ω

,le stent forme alors une rugosité périodique et de petite taille

ε > 0

au bord du domaine lisse : les équations sont don posées dans un domaine rugueux

Ω

ε

,dont le maillagedire t est peu envisageable artrès oûteux sil'on souhaite rendre ompte de l'inuen e ee tive du stent sur l'é oulement du sang dans l'artère.

L'obje tif estdon desurmonter ette di ulténumérique enmodiant les équationsan

d'obtenir un système posé dans le domaine lisse, les informations de la rugosité étant

Introdu tion générale et présentation

des travaux

Dans ette introdu tion générale, nous motivons les travaux ee tués au ours de la

thèse. Les troisparties s'ins rivent dans des ontextes de re her he très diérents ettrès

ri hes. C'est pourquoi nous établissons d'abord un bref et non exhaustif état de l'art de

haque partie, avant de présenter les résultats obtenus en les onfrontant (autant que

possible)aux re her hesa tuelles.

1 Partie I : modélisation de uides géophysiques à surfa e

libre

Cettese tionviseàmotiveretdé rirelestravauxdelaPartie I,quisontréunisausein

des Chapitres 2 et 3 [165℄. Nous ommençons par présenter plusieurs modèles lassiques

de uides à surfa e libre (typiquement les o éans) : de Navier-Stokes à Saint-Venant, en

passant par les équations primitives. Nous évoquons les liens qui les unissent, leur

justi- ation mathématique (méthodes d'analyse dimensionnelle), les résultats d'existen e de

solutions, ainsi que leur traitement numérique. Puis nous situons notre nouveau modèle

multi ou he de type Saint-Venant au sein de ette hiérar hie et le omparons aux autres

modèlesmulti ou hesexistants.Enn,nousrésumonslesrésultatsobtenus sur esystème,

à savoir sa dérivation à partir des équations primitives etun théorème d'existen e de

so-lution forte lo ale (Chapitre 2), une étudede l'énergiedu système (AnnexeA),ainsi que

la onstru tion d'uns héma volumesnis etdessimulationsnumériques(Chapitre 3 ).

1.1 Une hiérar hie de modèles

Lorsquel'on adresselaquestionde lades riptiond'unuide,plusieurs appro hessont

possibles. A l'é helle mi ros opique, on onsidère des parti ules dont on suit les

tra-je toiresau oursdutemps (visionLagrangienne). Al'opposé,onpeutadopterunevision

ma ros opique (Eulerienne) et onsidérer l'évolution de quantités hydrodynamiquestelles

danslaPartie Ipourétudierunuidegéophysique telquel'eaud'uno éan,d'unemer,ou

d'uneuve.Nousaborderons uneautreé helle dedes riptionàlaPartie II,plusadéquate

pour traiter lesgaz raréés.

Con ernantlades riptionma ros opique desuides géophysiques,ilexiste unelittérature

très ri he. Citons par exemple les ouvrages lassiques de P.L. Lions [137 ℄, de R.

Lewan-dowski [136 ℄, ou de J. Pedlosky [159 ℄. Pré isons les hypothèses que nous faisons dans le

présent travail, tant sur les ara téristiques du uidequesur ellesde l'é oulement. Nous

onsidérons i iun uideà surfa elibreaux propriétés suivantes:

 ilestin ompressible(sonvolumerestein hangésousl'a tiond'unepressionexterne);

 il esthomogène de densité

ρ

≡ 1

(1)

;

 il estvisqueux,de vis osité dynamique onstante

µ

(voir par exemple [75 ℄pour une vis osité variable), et newtonien (son taux de déformation est proportionnel aux

for es de isaillementsappliquéesetilpossèdeuntenseur des ontraintes visqueuses

Σ

µ

,déni i-après);

 nous adoptonsune des ription eulérienne duuide, 'est-à-dire qu'il est ara térisé

par sa vitesse lo ale

U

(2)

et sa pression lo ale

p

. Pré isément, nous nous plaçons dans unrepèrelo al

(x

1

, x

2

, z) = (x, z)

∈ R

3

tournant à lasurfa e de la Terre à la

vitesseangulaire derotation delaTerre

Ω

.Lavitesseetlapression autemps

t

età laposition

(x, z)

s'é rivent alors :







U(t, x, z) = (u

1

, u

2

, w)

T

(t, x, z) = (u, w)

T

(t, x, z)

∈ R

3

,

p(t, x, z)

_{∈ R ,}

où l'on a distingué les omposantes horizontale et verti ale de la vitesse. Les for es

s'appliquant auuide sont :

 l'a élération deCoriolis

2 Ω

× U

,

 lafor edegravité

g

(ennégligeantl'a élération entripète,approximation lassique [159 ℄),

 les for es liées aux ontraintes du uide (for es internes)

div Σ

T

,où

Σ

T

désigne le tenseur total des ontraintes, omposé desfor es de pressionset de vis osité,

'est-à-dire :

Σ

T

=

−p I

3

+ Σ

µ

,

où

Σ

µ

,letenseur des ontraintes visqueusesestdéni par:

Σ

µ

= µ



∇ ⊗ U + (∇ ⊗ U)

T



.

(1.1)

Avant d'é rire le système, nous simplions le terme de Coriolis :nous négligeons la

om-posante radiale de l'a élération de Coriolis (très petite devant la for e de gravitation)

1

C'est unehypothèseplus restri tive quel'approximation lassique deBoussinesq [159℄, qui onsiste àsupposer la densité

ρ

onstantedans l'équation sur laquantitéde mouvement sauf dansle terme de ottabilité.

et nous plaçons à une latitude onstante de la Terre. Ainsi nous pouvons onsidérer le

repère omme xe et la for e de gravité dirigée selon la dire tion verti ale

z

, tandis que l'a élérationde Coriolis devient :

2 Ω

_{× U =}



f u

⊥

; 0



T

,

où la onstante

f > 0

est ommunément appelée leparamètre de Coriolis. Enn, nousne onsidéronsqueleséquationsde onservationdelamasseetdelaquantitédemouvement.

Pour desmodèlesplusgénéraux(équationssupplémentairessurlatempérature,lasalinité,

et ), nous renvoyons à nouveau à [136 , 137, 159 ℄. Nous pouvons maintenant présenter le

systèmequi sera lepoint de départ à nos approximations su essivesvia

l'adimensionne-ment.

Les équations de Navier-Stokes in ompressibles à surfa e libre

Leséquations surlavitesse

U

etlapression

p

sont données, sousforme onservativepar :







div U

= 0 ,

∂

t

U

+ div(U

⊗ U) + ∇p = −2 Ω × U − g + div Σ

µ

,

(1.2) satisfaites pour

t > 0 , (x, z)

_{∈ Ω}

t

=

(x, z) ∈ R × R

+

| z

b

(x) 6 z 6 η(t, x) ,

où

z

b

désigne la bathymétrie (supposée indépendante du temps) et

η(t, x)

représente la surfa e libre.La hauteurdu uideest don donnée par

H(t, x) = η(t, x)

_{− z}

b

(x) .

Le systèmeest omplété par des onditions auxbords. Notons

(u

b

, w

b

)

(resp.

(u

s

, w

s

)

) la vitesse du uide au fond (resp. à la surfa e libre) . De plus,

n

s

et

n

b

désignent respe -tivement les normales unitaires extérieure à la surfa e libre et intérieure au fond. Nous

supposonsd'une partla ontinuité des ontraintes à lasurfa e libre,traduite par

Σ

T

n

s

= 0,

(1.3)

en onsidérant omme nulle la pression atmosphérique. D'autre part, nous imposons au

fond la non pénétration, ainsi qu'une loi de type Navier, ave un oe ient de fri tion

κ

onstant :







u

b

· ∇

x

z

b

= w

b

,

κ u

b

= µ ∂

z

u

b

.

(1.4)

Le terme de fri tion onsidéré estsimplement linéaire; nousne prenons pasen ompte la

Mêmedans ette formulationassez simple dusystèmede Navier-Stokes (1.2 ),l'étude

ma-thématiquereste omplexe etles simulationsnumériques oûteuses, notamment en raison

de la non-linéarité des équations et de la dépendan e en temps du domaine spatial

Ω

t

. C'est pourquoi ingénieurs etmathémati iens ont établi toute une hiérar hie de systèmes

simpliéspour modéliser lesuides géophysiques, ave deux obje tifsprin ipaux :

 omprendre etdé rire plus pré isément lesmultiples dynamiques,

 etêtre apable defournir desprévisions ables de es dynamiques.

La dérivation de modèles plus simples s'appuie sur l'analyse dimensionnelle, 'est-à-dire

uneétudedes é helles typiques duproblème. Nousintroduisons don desquantités

ara -téristiques:

 la profondeur ara téristique de l'o éan

H

0

et une longueur d'onde horizontale ty-pique

λ

0

(voirlaFigure1.1 ),

 les variations d'amplitudes typiques de la surfa e libre

a

s

et de la bathymétrie

a

b

(voirlaFigure 1.1),

 desvitesses ara téristiqueshorizontales etverti ales

U

et

W

.

λ

0

H

0

a

b

x

z

a

s

Fig. 1.1 E helles spatiales ara téristiques.

En pro édant à un adimensionnement des équations (voir par exemple [159℄ pour la

des- ription pré ise de ette analyse d'é helles), il apparaît en parti ulier deux nombres sans

dimension,lenombre deReynolds

Re =

U λ

0

µ

,

etlerapportd'aspe t

ε =

H

0

λ

0

.

Ainsi,en étudiant diérentes asymptotiques de es nombres (3)

,nouspouvonsdériverune

multitude de modèles de omplexité réduitepar rapportaux équations de Navier-Stokes.

Pour arriver au modèle de la Partie I, nous hoisissons un régime d'é oulement à

Re

intermédiaire,etnousintéressonsplutt à l'asymptotique

ε

≪ 1 ,

(1.5)

appelée hypothèse shallow water (eau peu profonde). Cette hypothèse nous onduira à

deux systèmes aujourd'hui largement validés mathématiquement et expérimentalement :

les équations primitives, très souvent utilisées pour dé rire l'atmosphère ou les o éans, et

les équations deSaint-Venant, parti ulièrement bien adaptées à lasimulation de ruptures

debarrage (enhydraulique) età l'o éanographie tière.Notre nouveau modèlesesituera

entrelesdeux.

Approximation hydrostatique

Cettesimpli ation lassiquedeséquationsde Navier-Stokes,aussiappeléemodèle des

équations primitives, est historiquement due à des observations physiques. En eet, dans

sonTraitédel'équilibredesliqueurs(paruàtitreposthumeen

1663

),BlaisePas alénonçait uneloidepressionhydrostatiquepourlesliquides:lapressionduuidedé roîtlinéairement

ave l'altitude. Cette hypothèse, aujourd'hui validée par les ingénieurs et les

mathémati- iens, se justie grâ e à une observation du rapport d'aspe t

ε

: il satisfait l'hypothèse shallow water (1.5)

(4)

.Cette ondition, ave l'in ompressibilité, onduit à négliger dans

leséquationslestermesd'ordressupérieursà

1

en

ε

.Enparti ulier,dansla onservationde laquantité de mouvement verti ale, tous les termes sont négligés,le gradient de pression

etlagravité.Onobtient ainsi,aprèsretourauxvariablesave dimensions,l'approximation

hydrostatique, aussiappeléesystèmedes équations primitives :pour

t > 0

et

(x, z)

∈ Ω

t

,























div

_x

u

+ ∂

z

w

= 0 ,

∂

t

u

+ div

x

(u

⊗ u) + ∂

z

(w u) +

∇

x

p =

−f u

⊥

+ µ ∆u ,

∂

z

p

=

−g ,

(1.6)

oùl'onadistinguéles omposanteshorizontaleetverti aledelavitesse.Nousajoutonsles

onditions auxbords. Àla surfa e libre,l'adve tion de lasurfa e libreetla ontinuité du

tenseur des ontraintes seré rivent :







∂

t

η + u

s

· ∇

x

η = w

s

,

∂

z

u

s

=

∇

x

u

s

· ∇

x

η ,

(1.7)

tandisqueles onditionsau fond,nonpénétrationet loideparoidetypeNavier[41℄(ave

oe ient defri tion laminaire

κ

) sonttoujours données par :







u

b

· ∇

x

z

b

= w

b

,

κ u

b

= µ ∂

z

u

b

.

(1.8) 4

Dessiè lesaprèsBlaisePas al,onattribueàL.F.Ri hardsonen

1922

dans[166℄ l'introdu -tiondeséquations primitivesde l'atmosphère,modèle quel'auteurétablit ave l'ambition

defournirdesprévisionsmétéorologiques.Maislespremiersordinateursdumilieudu

20

ème

siè len'avaientpaslapuissan ede al ul a tuelle;leséquations primitivesfurent don un

tempsmisesde téauprotdel'étudedesmodèles,plussimples,géostrophiqueet

quasi-géostrophique (voir par exemple [159 ℄). Les équations primitives reviennent au goût du

jourave l'amélioration desordinateurs, dansladernièrepartie du XXème siè le.

Con ernant leur justi ation mathématique, basée sur des développements

asympto-tiques des équations de Navier-Stokes adimensionnées lorsque

ε

tend vers

0

(voir (1.5 )), nouspouvons iterquelquestravaux. Parexemple,les arti lespionniersde J.-L.Lions,R.

Temam et S. Wang [138, 139 , 140 ℄ établissent formellement les équations primitives (ils

étudient également lalimite géostrophique) entre

1992

et

1995

. Cette dérivation formelle est également dé rite dans les ouvrages pré édemment ités [136 , 137 , 159℄. Par ailleurs,

P.Azerad etF.Guillén [19, 20℄prouvent rigoureusement entre

1999

et

2001

lavalidité de l'approximation hydrostatique pour les o éans sous l'hypothèse d'une vis osité

anisotro-piqueetdes onditionsde Diri hlet homogènesau fond.

Remarque1. Surlesétudesthéoriquesdeséquationsprimitives,nousrenvoyonslele teur

une fois de plus aux arti les [138, 139 ℄, où les auteurs établissent les premiers résultats

d'existen eglobale desolutions faibles. Enn, une revue pré isedesrésultatsd'existen es

pourles équationsprimitives(etd'autresmodèlesdeuidesgéophysiques) estréunie dans

l'arti lede R.Temam etM. Zianeparu en

2004

[176 ℄.

Enn, les équations primitives sont largement utilisées en météorologie et

o éanogra-phie : elles interviennent dans plusieurs odes opérationnels aujourd'hui. Néanmoins, les

simulations des équations primitives sont relativement oûteuses :deux di ultés

numé-riquesdeNavier-Stokes, àsavoirnonlinéaritéetdomainespatialdépendant dutemps,sont

toujoursprésentes.C'estpourquoiuneautrefamilledemodèles d'approximationdes

équa-tions de Navier-Stokes a également onnu un fort su ès dès la n desannées

1970

: les modèles de Saint-Venant (ou shallow water). La for eprin ipale de es systèmes est leur

e a iténumérique,due essentiellement auxdeuxraisons suivantes:

 leur stru ture(partiellement)hyperbolique, quel'on pré isera ultérieurement,

 larédu tionmanifestede omplexiténumériqueparrapportauxéquationsde

Navier-Stokes:lesystèmeestposédansundomaine spatialxe (etnonplusvariable)etsa

Modèles lassiques de Saint-Venant

Le système de Saint-Venant homogène (sans termesour e) unidimensionnel est

intro-duit grâ e à des observations physiques par A.J.C. Barré de Saint-Venant en

1871

[167 ℄. Mais e n'est que dans la deuxième moitié du XXème siè le que les mathémati iens ont

étudiélesliensentre eséquationsetlesautresmodèleshydrodynamiques.Lesmodèlesde

Saint-Venant proviennent essentiellement d'une intégrationdans ladire tion verti ale des

équations de Navier-Stokes, et dé rivent l'évolution de lahauteur totaledu uide

H(t, x)

etde lamoyenne surla olonne d'eaude lavitessehorizontale

U(t, x) =

1

H(t, x)

Z

η(t,x)

z

b

(x)

u(t, x, z)

d

z .

Dansnotre as,laprésen ed'unebathymétrienontrivialeetd'untermedefri tionlinéaire

fournit laformulationsuivante :







∂

t

H + div

x

(H U)

= 0 ,

∂

t

(H U) + div

x

H U

⊗ U
+ g H ∇

x

H =

−g H ∇

x

z

b

− κ U .

(1.9)

Justi ation des équations de Saint-Venant. D'une part, l'obtention formelle du

système lassiquedeSaint-Venantàpartirdeséquationsd'Euler, 'est-à-diresansvis osité,

estbien onnue(voirparexempleStoker[171 ℄en

1958

ouWhitham[179℄en

1999

).D'autre part, les travaux plus ré ents de J.-F. Gerbeau et B. Perthame [101 ℄ (

2001

) dérivent une version visqueuse des équations de shallow water

1

D à partir des équations de Navier-Stokes

2

Ddansle asd'unfondplat,ave uneloidefri tiondetypeNavieraufond.Cette versionétendue dusystèmede Saint-Venant s'é rit :







∂

t

H + div

x

(H U)

= 0 ,

∂

t

(H U) + div

x

H U

⊗ U
+ g H ∇

x

H =

−g H ∇

x

z

b

+ 4 µ div

x

(H

∇

x

U)

− ˜κ U ,

(1.10)

où

κ

˜

est le oe ient de fri tionmodié, dénipar :

˜

κ =

κ

1 +

_{3 µ}

κ

H

.

Cependant,ilestànoterquel'obtentionde esystèmené essite,pourêtrerigoureuse,des

hypothèses supplémentaires. En parti ulier, dans [101 ℄, les auteurs requièrent

l'asympto-tiquesuivante pour les oe ients defri tion etde vis osité:

µ = ε µ

0

,

κ = ε κ

0

.

(1.11)

Alors,sous eshypothèses,les systèmes(1.9 )et(1.10 )sont desapproximations de

Navier-Stokesen

O(ε)

et

O ε

2

respe tivement. Plustard,S.FerrarietF.Saleri[87 ℄(2004), puis

F.Mar he [143 ℄ (2007) généralisent le résultatde [101 ℄ :ils dérivent unsystème de

une topographie non triviale,soumise ependant à une autrerestri tion mathématique, à

savoirlafaible variationde labathymétrie:

∇

x

z

b

= O(ε).

(1.12)

Notons que dans [143 ℄, l'auteur onsidère également un terme de fri tion turbulente, et

obtient unterme visqueuxdiérent de elui de[87℄.Dans untravail plusré ent,L.

Bona-ventura, A. De oene etF. Saleri [75 ℄ (

2007

) dérivent un autre modèle, ave une nouvelle orre tiondestermesdefri tion.CitonségalementlestravauxdeJ.F.Bou hutetM.W

est-di kenberg en

2004

[35℄,puis eux de M. Boutounet, L. Chupin, P.Noble et J.P. Vila en

2008

[37 ℄ où les auteurs s'aran hissent de l'hypothèse surle gradient de la bathymétrie. Mentionnons enn l'arti le de

2007

de D. Bres h et P.Noble [44℄ dans lequel les auteurs proposent unejusti ation mathématique rigoureuse de ladérivation formelle du système

deSaint-Venant

1

DàpartirdeséquationsdeNavier-Stokesin ompressibles

2

Dsurunplan in liné.

Energies,résultatsd'existen es. Beau oupd'étudesthéoriquesont été onduitessur

les équations de Saint-Venant, en raison notamment de leur stru ture mathématique

hy-perbolique (nous yreviendrons un peu plus loin). Nous nousintéressons i i aux résultats

d'existen ede solutions, quipourront être onfrontésau théorèmedu Chapitre 2.

Rappelons d'abord l'énergie naturelledu systèmede Saint-Venant, qui fournit les

estima-tionsa priori de baselorsque l'on her he dessolutions faibles. Elle s'é rit :

E =

1

2

H

|U|

2

₊

1

2

g H

2

_{+ g H z}

b

.

L'inégalité d'énergie s'obtient de manière lassique (voir par exemple les ouvrages de

D. Serre [169℄ sur les lois de onservation) et varie suivant le terme de vis osité hoisi.

Nous verrons à l'Annexe A que notre système Saint-Venant multi ou he possède

égale-ment une énergie onsistante ave elle du modèle lassique à une ou he. Cependant,

ette estimation n'est pas susante pour établir l'existen e de solutions faibles. La

di- ulté majeure provient du manque de ontrle sur la hauteur

H

, pour les passages à la limitedans les termes non linéaires. Plusieurs solutions ont été trouvées, en ajoutant des

termesdefri tionquadratique,de apillarité,en onsidérant diérentstermesvisqueux;le

prin ipe est d'établir des estimations a priori supplémentaires, ontrlant

log H

dans un espa eadéquat. Citonsdeux résultatsd'existen e desolutions faibles ainsiobtenus.

 Par exemple, P. Orenga [157℄ (

1995

) établit un théorème d'existen e de solutions faibles, pouruntermedevis osité

µ H

△ U

,ave desdonnéesinitialessusamment petites etdes onditionsde Diri hlet au bord dudomaine. La majoration essentielle

est un ontrle de

H log H

dans

L

∞

_{0, T ; L}

1

.

 En onsidérantletermevisqueux

div H

∇U

,plus onsistant ave Navier-Stokes

( 'est le as que nous onsidèrerons dans la suite), il n'est pas possible de diviser

l'équation delaquantitéde mouvement par lahauteur, il faut don pro éder

estimations né essaires.Ainsi, D.Bres h etB. Desjardinsmontrent dans [43℄

l'exis-ten eglobaledesolutions faiblespoursystèmede Saint-Venant bidimensionnel ave

onditions aux bords périodiques, ainsique des termes de apillarité et de fri tions

linéaire et quadratique. Le point ru ial i i est l'introdu tion d'une énergie

parti- ulière pour le système, la BD-entropie, qui permet de ompléter les estimations a

priori etd'obtenirsusamment de ompa ité surlahauteur. Cettenouvelle énergie

faitapparaître unenouvelle vitesse

V := U + µ

∇ (log H) .

Remarquons qu'unélément lédansl'obtention de esestimations estd'utiliser la

onser-vationde la massepour é rireune équation surlafon tion

log H

,sous laforme bidimen-sionnelle :

∂

t

(H

∇ log H) + div H ∇U
+ div H U ⊗ ∇ log H
= 0 .

Ainsi, siles te hniques de P.Orenga, omme elles de D. Bres h etB. Desjardinsont été

ensuiteadaptées à desproblèmes multi ou hes(voir i-après),nous verrons à l'AnnexeA

qu'il est di ile de les appliquer à notre système multi ou he qui ne possède pas de lois

de onservations pour haque ou he séparément.

Con ernantl'étudedessolutions fortes,nousrenvoyonsauxréféren esbibliographiquesdu

Chapitre2p.48.Retenonssimplement quelesestimationsa priori sontplus lassiques

etque la restri tion fondamentale dans es résultats est de onsidérer des onditions

ini-tialesendehorsdeszonessè hes, 'est-à-direunehauteurinitialeduuide

H

0

minoréepar

une onstante stri tement positive.CettehypothèseaurasonanaloguedansleThéorème 5

oùnous établissonsl'existen elo alede solutionforte pour notre modèlemulti ou he.

Dis rétisation. Abordonsennlaproblématique de ladis rétisation etdessimulations

numériquesdumodèledeSaint-Venant.Lavaliditéetl'e a iténumériquesde esystème

sont largement re onnues et vont au-delà des onnaissan es théoriques du système. En

eet,dess hémassimplespeuventtraiter demanièreréalistedesproblèmesde rupturede

barrage dans lesquels la ondition de stri te positivitéde lahauteur n'est plus satisfaite.

Historiquement, les premières méthodes de dis rétisation utilisées pour les équations de

Saint-Venant sont leséléments nis (voirpar exemple lathèse deJ.Proft[163 ℄). Eneet,

sous leur formulation non onservative (hauteur-vitesse), leur lien ave les équations de

Navier-Stokesestmis enéviden eetladis rétisation parélémentsnisestdon naturelle.

Cependant, nous privilégions i i une autre famille de méthodes, plus adéquates pour le

traitement de solutions dis ontinues, et liées à la formulation onservative du système :

les Volumes Finis. C'est la méthode que nous emploierons pour onstruire les s hémas

numériquesduChapitre3,maiségalementdanslaPartieIIdelathèse.Nousdonnonsdon

maintenant quelquesdétailssursamiseenoeuvre dansle ontextedumodèle lassiquede

Saint-Venant, puisquelesystème introduitau Chapitre 2auraune stru ture omparable.

Initialement utilisée pour ladis rétisation deséquations d'Euler, la méthode des volumes

nis est parti ulièrement bienadaptée au système de Saint-Venant en raison de sa

d'espa e:















∂

t

H + ∂

x

(H U ) = 0 ,

∂

t

(H U ) + ∂

x



H U

2

+ g

H

2

2



= 0 ,

estunsystèmestri tementhyperbolique dedeuxloisde onservation,pourvuquelahauteur

H

reste stri tement positive.Sesvaleurspropres réelles distin tessont alors

U

₋

pgH

et

U +

pgH .

Nousrenvoyons aux ouvrages de D. Serre [169℄ pour l'étude théorique desproblèmes

hy-perboliques. Ce qui nous intéresse i i, e sont des parti ularités de es systèmes utiles à

la onstru tion dus héma, àsavoirlaformulation onservative,etlapropagation àvitesse

nie de l'information (qui permet l'utilisation de s hémas expli ites). Pour une

des rip-tion pré ise des méthodes volumes nis en général, nous renvoyons le le teur à quelques

ouvrages lassiques : eux de R. J. LeVeque [133 , 134 ℄, de R. Eymard, T. Gallouët et

R.Herbin [84℄, ou en ore d'E. Godlewski et P.A. Raviart [102 ℄. Nous présentons

su in-tement i i le prin ipe général de laméthodepour une loi de onservations alaire (pasde

termesour e):

∂

t

V + ∂

x

F (V ) = 0 .

(1.13) Nous onsidérons un s héma aux diéren es nies expli ite en temps (typiquement

Eu-ler)et nousdonnonsun maillagedu domaine spatial

(x

j+1/2

)

j∈Z

:les noeudsdu maillage

x

j+1/2

sontlesinterfa esdes ellulesde ontrleoumailles

C

j

= x

j−1/2

; x

j+1/2

.En

inté-grant l'équation(1.13 ) sur haque maille,nous appro hons lasolution non pasen valeurs

pon tuelles aux noeuds du maillage, mais en valeurs moyennes sur haque maille (d'où

l'obtention d'une solution numérique onstante par mor eaux, fon ièrement dis ontinue).

Pour l'équation (1.13 ),les héma s'é rit :

V

_j

n+1

− V

j

n

+

∆t

n

∆x

j



F

_j+1/2

n

− F

_j−1/2

n



= 0 ,

où

V

n

j

désigneuneapproximationdelamoyennede

V

surla ellule

C

j

autemps

t

n

.Enn,

le ux numérique

F

n

j+1/2

représente une approximation du ux

F

à l'interfa e entre les

ellules

C

j

et

C

j+1

au temps

t

n

.Par e quel'on n'a pasd'information sur la solution aux

interfa esdesmailles, lapremière di ulté dans la onstru tion du s hémarésidedans le

hoix du uxnumérique. C'est lamultipli ité de hoix possiblespour e ux, en fon tion

delaphysique duproblème, qui faitladiversité dess hémas volumesnis.

Dans ettethèse(auChapitre3,maiségalementdanslaPartieII),nousnousrestreindrons

auxs hémas ditsà trois points, pour lesquelsle uxnumérique s'é rit :

F

_j+1/2

n

=

_{F V}

_j

n

, V

_j+1

n

,

où

F

est onsistant ave leux ontinu, 'est-à-dire

Pluspré isément,nousutiliseronsessentiellementdesuxdeLax-Friedri hs.Ceuxs'é rit, pour l'équation (1.13) :

F V

j

n

, V

j+1

n

=

1

2



F V

_j

n

+ F V

n

j+1

−

∆x

j

∆t

n

V

n

j+1

− V

j

n



.

Outre la onsistan e, le s héma doit également satisfaire des propriétés de stabilité. Un

ritère primordial est la ondition

CF L

, ondition né essaire (mais pas susante!) de stabilité. Elle s'é rit pour (1.13 )etdansle asd'un s hémaexpli ite àtroispoints:

λ := a

_∞

∆t

∆x

6

1 ,

(CFL) où

a

∞

= max

v∈R

|F

′

_(v)

_|

. Pour le ux de Lax-Friedri hs, ette ondition satisfaite entraîne

que pour tout temps

n

,la valeur

V

n+1

j

peut s'é rire ommeune ombinaison onvexe de

V

_j−1

n

et

V

n

j+1

, ondition ru iale pour obtenir la stabilité du s héma. Cependant, e ux provoquant de la diusion numérique, nous pouvons en utiliser des versions modiées. Il

s'agitderempla erle oe ientdevis ositénumérique

∆x

j

/∆t

n

parunevaleurinférieure

µ

n

_j+1/2

.Par exemple,dèsquela ondition(CFL ) estsatisfaite,nouspouvons hoisir :

 leuxdeLax-Friedri hslo al(Rusanov),où

µ

n

j+1/2

= max

|F

′

(v)

| : v ∈ V

j

n

; V

j+1

n

,

 ouleuxde Lax-Friedri hs global (Roe), où

µ

n

j+1/2

= a

∞

.

Nous appliquerons ette dernière méthode dans les Chapitres 3 (ave des limiteurs de

pentes) et4.

Remarque2. Cesdeux onditionsde onsistan eetdestabiliténesusentpasengénéral

pour démontrer la onvergen e d'un s héma volumes nis, mais nousn'étudierons pas la

onvergen emathématiquedess hémasdanslaPartieI.Nousverrons ependantàlaPartie

II une autre propriété du ux numérique qui sera utile dans la preuve de onvergen e,

elle d'être TVD (pour Total Variation Diminishing) (voir la Se tion 2 de l'introdu tion

générale).

Evidemment, toutes les équations ne ressemblent pasà (1.13 ) et laquestion du hoix du

uxn'estpaslaseuledi ulté.Parexemple,dansle asdeSaint-Venant,ilyadestermes

sour es etdes termes non onservatifs. Ainsi, en général, dansl'élaboration d'uns héma

volumesnis, nousdevonsrépondreauxinterrogations suivantes :

 quel hoix pour leux numérique?Est-il onsistant?

 quefairelorsqu'il yadesproduits non onservatifs?

 omment dis rétiser lestermes sour es?

Pourrépondreà esquestions,nousnousbasonssurla onnaissan equel'onaduproblème

ontinu, 'est-à-dire ses propriétés de stabilité. Dans le as de Saint-Venant, les enjeux

dis rets majeurs sont :

 la onservationde lapositivité dela hauteur,

 lapréservationdesétatsstationnaires,notammentdula aurepos (onparlealors

AuChapitre 3 ,nousnousintéresseronsessentiellement auxdeuxpremiers points,laissant

de té la question d'une entropie dis rète. Evoquons par exemple deux arti les qui

pro-posentdess hémaswell-balan ed pourlesystèmeunidimensionnelave leseultermesour e

topographique. Dans[98 ℄,T. Gallouët,J-M. HérardetN.Seguinproposent un s hémade

type VFRoe-n v, où le traitement du terme sour e se fait en ajoutant une équation au

système, de façon à garder un problème homogène, mais non onservatif. Dans [10℄, E.

Audusse,F.Bou hut,M.O.Bristeau, R.Klein etB.Perthame adoptent unestratégie

dif-férente:il s'agit de partirdu solveurstable pour leproblème homogène, etde dis rétiser

leterme sour e en s'appuyant sur l'état d'équilibre du la au repos , i.e.pour lequel

ona l'équilibresuivant:

∂

x



g

H

2

2



=

_{−g H ∂}

x

z

b

.

AuChapitre 3,nouséviteronsladi ulté liée àladis rétisationdutermede topographie

en utilisant une topographie régulière. Par ailleurs nous onsidèrerons des s hémas tout

expli ites et à une seule étape en temps dans ette partie, même si la ondition

CF L

devient ontraignante dansles asoù lavis osité

µ

est nonnulle.

Remarque 3. Pourtant, les s hémas expli itesetà une seule étapene sont pastoujours

adéquats, notamment pour traiter les problèmes hyperboliques d'ordre

1

possédant un termesour eraide (sti). Cetypede problèmenousintéresseraà laPartie II, 'est

pour-quoi nous adopterons alors une stratégie de splitting (voir la Se tion 2 de l'introdu tion

générale).

Enn, il existe de multiples autres stratégies volumes nis de résolution numérique des

équationsdeSaint-Venant, ommeless hémas inétiques (voir parexemple l'arti ledeB.

PerthameetC. Simeoni[160 ℄). Nousrenvoyonségalement lele teur auxétats del'art sur

lesystèmede Saint-Venant présentésdans lesthèsesd'E. Audusse [9℄etF. Mar he [144 ℄.

Terminons ette partie sur les systèmes lassiquesde Saint-Venant par quelques

om-mentaires.Ilestdorénavantétabliqu'ilssonttrèse a esnumériquement,robustesetpeu

oûteux, notamment pour simuler des problèmes hydrauliques ou tiers. Ils présentent

néanmoins quelques faiblesses. D'une part, le bon omportement numérique de es

équationsn'estpastotalement omprisnijustiéauniveauthéorique.Eneet,lesystème

est mal posé dans le vide (lorsque

H

atteint

0

, perte de l'hyperboli ité), sondomaine de validitéest restreint auxeauxpeuprofondes etnousavonsvuquesafermeturerigoureuse

dans le as visqueux né essite des hypothèses bien parti ulières (1.11 ). D'autre part, la

formulationmême du système, en hauteuretvitesse moyenne surlaprofondeur, entraîne

uneperted'information surleprol verti al de lavitessedansleuide.

An,d'un té,depallierà emanqued'informationsurlavitesseàl'intérieurduuide,et

del'autre, de préserverlaformulation Saint-Venant à l'e a iténumérique re onnue,

des modèles intermédiaires entre les équations primitives et le système de Saint-Venant

Modèles lassiques multi ou hes de type Saint-Venant

Dans les modèles lassiquesmulti ou hes, l'obje tif prin ipal est de ré upérer de

l'in-formationsur leprolverti al desvitesses dansla ou he de uide,maissans s'aran hir

des restri tions physiques du problème de Saint-Venant. Le prin ipe général d'obtention

d'untel systèmeest, omme pour lemodèle lassique de Saint-Venant, d'intégrer

l'équa-tion de onservation de la quantité de mouvement dans ladire tion verti ale, mais ette

intégration s'ee tue après une dis rétisation verti ale du volume de uide. En d'autres

termes, ils'agit dedé ouperlahauteurtotale du uide

H

en

N

ou hes:

H(t, x) =

N

X

i=1

h

i

.

Lamanière lassiquedepro éderà edé oupage,illustréeàlaFigure1.2(pour

N = 4

), onsisteàsuivre la surfa e libre, 'est-à-direé rirelahauteur

h

i

dela ou he

i

ommeune fra tionde lahauteurtotale:

h

i

(t, x) = l

i

H(t, x),

ave

0 6 l

i

6

1,

N

X

i=1

l

i

= 1 .

C'est ave etteappro he- i queles premiers modèles multi ou hes (à unseul uide) ont

x

z

z

4+1/2

= η(t, x)

0

h

1

(t, x)

h

2

(t, x)

h

3

(t, x)

h

4

(t, x)

H

(t, x)

Freesurfa e Bottom

z

1/2

= z

b

(x)

z

1+1/2

(t, x)

z

2+1/2

(t, x)

z

3+1/2

(t, x)

_u

4

(t, x)

u

3

(t, x)

u

2

(t, x)

u

1

(t, x)

Fig. 1.2 Appro he multi ou he lassique.

été introduits. D'abord, E. Audusse propose en

2005

dans [12 ℄ une version sans é hange demasseentreles ou hes, 'est-à-direque,pour haque ou he

i

,nousdisposonsdelaloi de onservation :

où

u

i

représente lavitessedu uidedansla ou he

i

,i.e.lamoyenne surla ou he

i

de la vitessehorizontale :

u

i

(t, x) =

1

h

i

Z

z

_i+1/2

z

i−1/2

u(t, x, z)

d

z , 1 6 i 6 N .

(1.14)

Ilapparaît quelesystèmemulti ou he de[12℄ perdlapropriétéd'hyperboli ité,et

s'appa-rente davantage à un modèle de

N

uides immis ibles plutt qu'à elui d'unseul uide. C'est pourquoi E. Audusse, M.O. Bristeau, B. Perthame et J. Sainte-Marie introduisent

en

2010

dans [15℄ un autre modèle multi ou he basé sur la même dis rétisation verti ale (voirlaFigure 1.2), maisave un termed'é hange demasse entre les ou hes

i

et

i + 1

,à savoir:

∂

t

h

i

+ ∂

x

(h

i

u

i

) = w

i+1/2

− w

i−1/2

.

Cenouveau système s'avère êtrehyperbolique etplus onsistant ave laphysique du

pro-blème.La stratégie pour l'obtenir est baséesur les mêmeshypothèses que[101 ℄ et [87 ℄ et

s'applique rigoureusement (formellement) dans le as non visqueux.Pourtant, il subsiste

quelqu'in ertitude dansle as ave vis osité : ave lamême hypothèse (1.11 )que dans le

asà une ou he [101℄, on retrouve dansles modèles [12, 15℄le terme visqueuxde (1.10 )

dans haque ou he, maislajusti ationmathématique de e hoix est plusdéli ate ave

plusieurs ou hes qu'ave uneseule.

Outre ladérivation formelle dessystèmes multi ou hes de [12 ℄ et[15 ℄, lesauteurs en

pro-posent également une étude théorique :la question de l'hyperboli ité est soulevée et une

inégalitéd'entropie similaireàl'estimationd'énergie dusystèmedeSaint-Venant lassique

estétablie.

Enn, letraitement numériqueproposéest uns héma inétiqueetplusieurs propriétésdu

s héma sont démontrées. Mais itons également d'autres travaux, essentiellement

numé-riques, qui démontrent l'e a ité de es systèmes (en version bi ou hes au moins) pour

modéliserdes zones tières ou dedétroits [14 , 13,11,59 ,104 ℄.

Si les auteurs de [12, 15℄ n'étudient pas pré isément l'existen e de solutions, il existe

ependant plusieurs résultatsd'existen e desolutions faibles pourdessystèmesbi ou hes.

Commeévoqué pré édemment, es résultatssont basés surles te hniques de P.Orenga si

le termevisqueux est sous la forme

µh

i

△ u

i

ou elles de D. Bres h et B. Desjardinss'il estde laforme

µ div (h

i

∇u

i

)

. Citonspar exemple les arti les[64, 95 ,151 , 161℄ de

2003

à

2006

pour lepremier as, et l'arti le de

2009

[76 ℄ qui adapte laBD-entropie àun modèle bi ou he.Ilestimportantderetenirque estravaux on ernentdesmodèlesdedeuxuides

immis ibles,quipossèdent don deuxloisde onservations dela masse,à savoir

∂

t

h

i

+ div (h

i

u

i

) = 0 ,

e qui est ru ial pour l'obtention des estimations d'énergies supplémentaires. Mais nous

nousintéressonsi i àun modèle multi ou he pour un seuluide :nousne disposonsplus

Nousvenonsainsid'évoquertroismodèles largement utilisés eno éanographie, plutt

profonde pour lemodèleprimitifet tièrepour lesmodèlesdeSaint-Venant,àuneou

plusieurs ou hes. Le modèle que nous onstruisons dansla Partie I s'ins rit plutt dans

le ontexte eaux profondes, bienqu'il ressemble, dans saformulation, aux pré édents

modèles multi ou hes.

1.2 Travaux ee tués : un autre modèle multi ou he de Saint-Venant

Dans la Partie I, nous introduisons un nouveau modèle multi ou he de type

Saint-Venant, àpartir deséquationsprimitivesde l'o éan(ave dimension)(1.6 ).Ainsi, omme

nousallonslevoir i-après,laformulation du systèmeadespoints ommuns ave euxde

[12,15 ℄maisledomained'appli ationestfondamentalement diérentpuisquenousrestons

i iloindeszones tières.Defaitlesmodèlesnesontpasvraiment omparables,si en'est

surlaforme,laméthodologieemployée pour la onstru tion.

Voyons d'abord omment la stratégie que nous adoptons pour obtenir notre modèle est

similaireà ellede[12, 15 ℄. Nousdé ouponsaussilahauteur duuideen ou hesmin es,

mais edé oupage n'estpasfaitdelamêmemanière:nousnesuivonspasi ilasurfa e

libre,maisdé ouponsleuideenimposantleshauteursdes ou hesintermédiaires, omme

illustréà laFigure1.3(pour

4

ou hes).

H

(t, x)

u

1

(t, x)

h

4

(t, x)

h

3

h

2

h

1

(x)

x

Bottom Freesurfa e

z

1+1/2

z

2+1/2

z

3+1/2

u

4

(t, x)

u

3

(t, x)

u

2

(t, x)

0

z

4+1/2

= η(t, x)

z

z

1/2

= z

b

(x)

Fig. 1.3Une autre appro he multi ou he.

Pré isément,la hauteurtotaleest divisée omme suit.

η

_{− z}

b

= H :=

N

X

i=1

h

i

,

ave

h

i

= z

i+1/2

− z

i−1/2

= O(h),

1 6 i 6 N,

(1.15)

par(voirlaFigure 1.3):























z

1/2

= z

b

(x),

z

_i+1/2

= i h,

1 6 i 6 N

_{− 1,}

z

_{N +1/2}

= η(t, x).

(1.16)

Le modèle multi ou he que nous dérivons au Chapitre 2 s'é rit, pour tout

(t, x)

dans

R

+

_{× R}

2

:



















































































































∂

t

H + div

x

N

X

i=1

h

i

u

i

!

= 0 ,

∂

t

(h

N

u

N

) + div

x



h

n

u

N

⊗ u

N

+ g

h

2

_N

2



= µ



div

_x

(h

N

∇

x

u

N

) + DU

z

N +1/2

− DU

z

N −1/2



−g h

N

∇

x

z

b

+ w

N −1/2

u

N −1/2

− w

N +1/2

u

N +1/2

−f (h

N

u

N

)

⊥

,

∂

t

(h

i

u

i

) + div

x

(h

i

u

i

⊗ u

i

) + g h

i

∇

x

h

N

= µ



h

i

∆

x

u

i

+ DU

z

i+1/2

− DU

z

i−1/2



−g h

i

∇

x

z

b

+ w

i−1/2

u

i−1/2

− w

i+1/2

u

i+1/2

−f (h

i

u

i

)

⊥

,

1 6 i 6 N

− 1 .

(1.17)

Dans e système, leterme d'é hange de masse

w

i+1/2

désigne simplement lavaleur de la vitesseverti ale à l'interfa e entre les ou hes

i

et

i + 1

,i.e. au point

z

i+1/2

.Il estdéni par:







w

1/2

= u

1

· ∇

x

z

b

,

w

_i+1/2

_{− w}

_i−1/2

=

_−h

i

div

x

u

i

,

1 6 i 6 N

− 1.

(1.18)

Demême,

u

i+1/2

(notation identique à elle de [15℄) représenteune approximation de la

vitessehorizontale àl'interfa e

z

i+1/2

.Silesauteurs de[15 ℄ hoisissent unere onstru tion upwind de e terme,nous onsidérons i i une moyenne :

u

_i+1/2

=







0

si

i = 0 , N ,

(h

i

u

i+1

+ h

i+1

u

i

) / (h

i+1

+ h

i

)

si

1 6 i 6 N

− 1.

(1.19)

Lestermes

DU

z