Calcul des courants et de la répartition de potentiel dans un isolant. Cas d'un cristal pur

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Submitted on 1 Jan 1974

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Calcul des courants et de la répartition de potentiel dans un isolant. Cas d’un cristal pur

G. Ormancey, G. Godefroy

To cite this version:

G. Ormancey, G. Godefroy. Calcul des courants et de la répartition de potentiel dans un isolant. Cas d’un cristal pur. Journal de Physique, 1974, 35 (2), pp.135-140. �10.1051/jphys:01974003502013500�.

�jpa-00208136�

CALCUL DES COURANTS ^{ET DE LA} RÉPARTITION ^DE POTENTIEL

DANS UN ISOLANT. CAS D’UN CRISTAL PUR

G. ORMANCEY et G. GODEFROY

Laboratoire de

Diélectrique (*),

^{Faculté des Sciences}

(MIPC),

^Bâtiment

Mirande,

²¹⁰⁰⁰

Dijon,

^France

(Reçu

^le

17 juillet 1973)

Résumé. ²⁰¹⁴ Un

système d’équations

^{liant les} porteurs ^{et les}

champs

^{entre eux est} décrit ainsi _que les conditions aux limites. Une résolution

rigoureuse

^{de ce}

système

^sur ordinateur ^a montré trois

régions

^en fonction de la tension

appliquée :

^aux faibles tensions ^un

régime ohmique

^{i = kV,}

entre 1

V/cm

^{et 100}

V/cm

^un

régime d’injection

^{i =}

KV2,

^{au-delà une} saturation. Ces résultats sont en accord avec ceux obtenus _par

approximations (calculs

^de

Lampert)

pour les

régions

^d’in-

jection,

^{mais en diffèrent} pour les autres

régions

^{où les}

approximations

^{ne sont}

plus

valables. Une relation est trouvée entre les

caractéristiques

^{i =}

f(V)

^{et les}

répartitions

^des

charges

^en fonction de x.

Abstract. ²⁰¹⁴

Equations

between carriers and field with

boundary-conditions

^are described. A computer ^solution

points

^{out three} domains of

applied potential :

^{at low}

potential

^{an ohmic}

region

with i ⁼ kV, ^{between 1}

V/cm

^{and 100}

V/cm injected

conduction i =

KV2,

^{and a} saturation at

higher

fields. These results are in agreement with results obtained

by Lampert (with

^some

approxima- tions)

^{in the}

injected-conduction

domain, ^{but are} very different in other

regions

^where

approximations

are not available. A relation is found between the function i ⁼

f(V)

and the distributions of

charges along

^the

sample.

Classification

Physics ^Abstracts

8.220

1.

Introduction. - L’interprétation

^{des mesures}

expérimentales

faites dans notre laboratoire nécessite le calcul simultané des courants et des

répartitions

^de

potentiel

^{dans un isolant. Nos} mesures en effet se

composent ^de deux groupes

complémentaires :

- détermination de la

répartition

^de

potentiel

par la méthode du fil vibrant

[1]

dans des cristaux et des

céramiques

de titanate de

barvum ;

- mesure des courants sous une

polarisation

continue dans les mêmes matériaux

[2], [3].

Le

système d’équations correspondant

^{à ce} pro- blème a été résolu notamment par

Lampert [4], [5]

grâce

^{à une série}

d’approximations.

Les résultats

ont été utilisés _par

Benguigui [6]

^et par nous-mêmes pour

interpréter

^les

caractéristiques

^I

= , f ( v)

^{de nos}

mesures

expérimentales.

Toutefois ils ^ne rendent _pas compte d’un certain nombre de faits

expérimentaux (saturation...)

^{et donnent} peu de

renseignements

^sur

les

répartitions

^de

potentiel.

C’est

pourquoi

^{nous avons cherché une méthode}

de résolution

numérique qui

permette ^{d’obtenir une} solution exacte du

problème.

^{Nous nous sommes}

inspirés

^{de la}

technique

de résolution des

équations

de transport dans les semiconducteurs

[7], [8]

^en

l’adaptant

^{à notre}

problème,

^{notamment en ce}

qui

(*) Equipe ^de Physique des Solides Associée au CNRS.

concerne les conditions aux limites _que nous déve-

lopperons

~

largement.

L’interprétation complète

^{de nos résultats}

expé-

rimentaux nécessite un calcul

plus complexe

^tenant compte ^des

impuretés présentes

dans les cristaux.

Toutefois nous avons mis au

point

^notre

technique

de calcul dans le cas

simplifié

du cristal _{pur, que} nous

rapportons

ici,

^avant de traiter le

problème complet.

2. Problème

posé. Equations.

^{- 2.1 Le}

problème

consiste à déterminer la

répartition

^des

charges,

des

champs,

des courants, et leur évolution en fonction du temps, ^{dans un} échantillon

placé

^{entre deux élec-}

trodes

métalliques auquel

^on

applique

^{une différence}

de

potentiel

^continue.

Le

problème

^{est donc à une seule dimension.}

Nous avons choisi d’autre part d’utiliser un schéma de

bandes,

^{avec deux} types ^de porteurs : des électrons dans la bande de conduction et des trous dans la bande de valence. Les

échanges

d’électrons et de

trous sont

possibles

^{entre les} électrodes et l’isolant

(injection

^et extraction

d’électrons).

Nous pouvons écrire les ^courants de trous et

d’électrons :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01974003502013500

136

et la conservation des porteurs :

où 0

représente

^le nombre d’électrons et de trous apparus par unité de temps du fait de

l’agitation thermique.

^La loi d’action de masse

appliquée

^à

cette transformation réversible électron de conduc- tion + trou ~ électron de valence permet ^{d’écrire :}

où r

représente

^{la constante de}

recombinaison, l’énergie séparant

la bande de valence de la bande de conduction. On peut réduire le

système

aux

équations

suivantes :

Le

champ

^{E est donné} par

l’équation

^{de Poisson :}

Les

éq. (6)

^à

(9)

permettront ^{de trouver les distri-} butions en n, p, E ^et Y On en déduira ensuite le courant total effectivement mesuré dans le circuit extérieur :

2.2 Le

système

^des

éq. (6)

^à

(9)

^est constitué de deux

équations

différentielles du ler ordre et de deux

équations

différentielles du 2e ordre en x avec

quatre ^inconnues n, p,

E,

^{v Ce}

système

peut ^théori- quement ^{être résolu} si ^nous connaissons _par ailleurs 6 conditions aux limites sur x

(valables quel

que soit

t)

et l’état du cristal à un instant donné t

(pour

^toutes

les valeurs de

x).

La dernière condition se résout facilement. Il est

toujours possible

^{de se donner une}

répartition quel-

conque d’électrons et de trous. On en déduit une

répartition

^à

l’équilibre (temps infini) qui

^{sert de}

conditions initiales pour les calculs ultérieurs.

Restent les 6 conditions en x. Deux se déduisent directement du

problème

tel que ^nous l’avons

posé :

le

potentiel

^est

égal

^{à zéro sur une électrode et au}

potentiel appliqué

^{sur l’autre} électrode. Les quatre

autres conditions sont données _{par les}

expressions

des courants de trous et d’électrons aux deux extré-

mités,

^{entre le métal et le cristal. Ces}

expressions

seront étudiées en détail dans le

paragraphe

^suivant.

Nous avons ainsi l’état initial et les 6 conditions

aux bords : le

potentiel,

^{les courants} d’électrons et de trous aux

points

^{x = 0 et x = L.}

3. Conditions ^sur les courants aux bords. ^- Exami-

nons par

exemple

^{le courant} d’électrons à ^une extré-

mité,

^{au contact} métal isolant.

Nous écrirons ce courant comme étant la somme

algébrique

^{du courant}

injecté

^{du métal vers} le cristal et du courant extrait du cristal vers le métal.

3.1 1 Nous

appliquons

^{dans nos calculs} la statis-

tique

de Fermi-Dirac. La

probabilité

^{pour un électron}

d’avoir un vecteur d’onde k est, à

l’équilibre

^ther-

mique :

Wp énergie potentielle

^de

l’électron,

k2 - kx + kÿ

⁺

^kZ

^{module et}

composantes

^du

vecteur d’onde.

En

présence

^d’un

champ électrique

^et d’une distri- bution non uniforme de la densité d’électrons en

fonction

de x,

la fonction F est modifiée. Nous calcu- lerons cette fonction avec

l’équation

^de

Boltzmann,

en

écrivant, pendant

^un temps

dt, l’équilibre

^entre

les variations de F dues ^au

champ

^{et à}

8nj8x

^d’une

part, ^{et la} variation de F due aux collisions

dF dk

gradk

^{F - dx}

gradx

^F + - ⁰

dt dt dt

On peut

exprimer

g ^en fonction du temps de relaxation

avec

soit finalement :

(équation

^de

Boltzmann) .

Nous supposerons par la suite _que

gradx

^{F est}

suffisamment

petit

pour être

négligé

^{dans le calcul}

de F

(il

intervient seulement dans le calcul du

courant).

Nous aurons donc à

intégrer

et à calculer le courant dans la direction des x

positifs :

On peut ^{mettre en facteur}

exp( WF - W )/KT

^{et 2 résultat des deux}

premières intégrations :

On connait

également

^la densité d’électrons n

présents

^à l’abscisse x :

1 er terme ; courant

thermique,

2e terme : courant dû au

champ,

3e terme : courant de diffusion.

3.2 CÔTÉ MÉTAL. ^- Les calculs ci-dessus sont valables _pour tout niveau

d’énergie

situé loin du niveau de Fermi. Pour être

injectés

^{dans le}

cristal,

les électrons doivent avoir une

énergie

^{au moins}

égale

^à

W~,

^{niveau le}

plus

bas de la bande de conduc- tion du cristal. Cette

énergie

^{est très}

supérieure

^au

niveau de Fermi du métal. Les électrons

d’énergie

^W

entrent alors dans le cristal sans

énergie cinétique.

Les calculs ci-dessus sont donc valables ^{avec :}

WF

niveau de Fermi du

métal,

Wp

^{niveau le}

^plus

bas de la bande de conduc- tion de l’isolant.

Par ailleurs nous pouvons admettre dans le métal

un

champ électrique

^{nul ainsi} que

onjox.

Soit dans ce cas :

(formule

^de

Dushman) .

3 . 3 CÔTÉ CRISTAL. - Nous utiliserons les calculs du

paragraphe

^{3.1 1 avec :}

WF

^{niveau de Fermi du}

cristal,

Wp

⁼

^Wc

^{niveau le}

^plus

bas de la bande de conduc- tion.

Le calcul

complet

^{doit être} utilisé ici. Toutefois

l’éq. (12)

n’est pas

intégrable simplement.

^Aussi

nous avons eu recours à une résolution

numérique

conduisant à une série de valeurs de i en fonction de E.

Pour utiliser commodément ces

résultats,

^{nous avons} cherché une formule

empirique qui

^les

représente

au mieux : des

expressions

^{tendant vers les mêmes}

limites _{que les}

équations

^exactes

quand

^{E tend vers}

zéro ou

l’infini,

^et différent de 1

%

pour les autres

valeurs.

Soit

respectivement

pour les extrémités droite ^et

gauche

^{du cristal :}

138

avec

(formules empiriques) .

Au sein du cristal on retrouve le courant de conduc- tion :

Des

expressions analogues

^{sont valables} pour les trous.

4.

Technique

de calcul. ^- Le

système, proposé

^au

paragraphe

^{2 avec les} conditions aux limites

précisées ci-dessus,

^est

théoriquement

soluble. Toutefois il n’existe _pas de méthode

mathématique

pour

l’intégrer.

D’où la nécessité de faire des

approximations

^rendant

le

système intégrable [4]

^ou d’utiliser une méthode

numérique.

Nous nous sommes

inspirés

^des

techniques

^de

résolution des

équations

^de transport ^{dans les semi-} conducteurs

[7], [8].

4.1 EXPRESSION

NUMÉRIQUE

^DES

ÉQUATIONS.

^- Le cristal a été

partagé

^{en 100}

tranches,

^{les tranches} du bord étant

plus

^étroites que les tranches centrales.

Les concentrations de porteurs p et n sont définies

au centre de

chaque tranche,

les courants, les

champs,

les

potentiels (expressions ponctuelles)

^{sont définies}

au bord de

chaque

^tranche.

Les

équations

^{à résoudre}

(éq. (6))

^peuvent

^s’écrire,

^en

^indiçant

^{x en i et le}

^{temps t} en j :

(a compris

^{entre zéro et}

un).

4.2 RÉSOLUTION DE

L’ÉQUATION.

^- Soit

l’expression

^{sous la forme du} rapport ^{= avec}

Le

système

n’est pas linéaire : il reste des termes en

j

^{+ 1 au} dénominateur. Il ne pourra donc être résolu que par itérations successives :

1. Les valeurs au

temps j

^{+ 1 sont}

prises égales

aux valeurs au temps

précédent j.

2. Ces valeurs permettent de calculer E.

3. On en déduit

4. Sans

changer dt,

^on porte ^{cette nouvelle valeur} dans

l’équation (après

^avoir calculé le nouveau

1

champ) jusqu’à

^{ce que} les valeurs de ¹ trouvées soient stables.

5.

Quand p~ +

^{1 n’est}

plus

^modifié d’un passage à l’autre

l’équation

^est vérifiée. On peut passer

au temps ^suivant.

Le calcul ainsi

présenté

^est relativement

long

(1

^{000 à 2 000}

itérations).

^On peut ^{toutefois se ramener} à une centaine d’itérations en résolvant directement le

système complet

^{des 100}

équations

^en p.

5. Résultats obtenus. ^- Ce calcul sur cristal _pur

a été

programmé

essentiellement _pour tester la méthode avant d’être étendu au cristal avec

impuretés.

De ce fait les résultats ne peuvent pas être

comparés

valablement aux résultats

expérimentaux.

^{Il est toute-}

fois intéressant de les confronter avec les résultats

précédemment

obtenus par

approximations.

5.1 1 Nous avons en

premier

lieu retrouvé les résultats obtenus _par

Lampert [4]

^{dans les domaines}

où ses

approximations

étaient valables

(Fig. 1) :

le courant dans ces

régions

^est de la forme

Nous avons vérifié l’influence des différents facteurs

sur i et la valeur du

coefficient 9 8 (Fig. 1 a, b, c).

FIG. l. ^- Courants en fonction de la tension appliquée.

a) WFM - ^{Wc = 0,5 eV,} bande interdite = 3 eV, L = 10-2 m,

Er = 227. b) WF M - Wc ⁼ 0,5 eV, bande interdite ⁼ 3 eV, L = 2 x 10-3 m, er ⁼ 227. c) WFM - Wr ^{= 0,5 eV,} bande inter- dite = 3 eV, ^{L =} 10- Z _{in, er} ⁼ 1 000. d ) WFM - Wc ^{= 0,5 eV}

bande interdite = 3 eV, L =10- 2 m, s, =227. e) ^eV

bande interdite = 3 eV, L=10-2 m, Br = 227. ^(Trait interrompu :

résultats obtenus par la théorie de Lampert).

5.2 Toutefois aux basses

tensions,

^{nous n’avons}

pas retrouvé la conduction

ohmique correspondant

aux

porteurs libres,

^{mais une}

région

^{où le courant}

répondrait

^{à une formule}

empirique

de la forme :

correspondant

^{à une valeur très}

supérieure

^{à la}

conduction

intrinsèque (celle-ci

^{ne serait} apparente que pour ^un cristal dont la

largeur

de bande interdite serait relativement

faible).

5.3 Aux valeurs élevées de la tension

appliquée apparaît

^une

région

^de saturation

(courant indépen-

dant de V

appliqué, égal

^{au courant maximum}

injecté

par

l’électrode), précédée

^d’une

région pratiquement

linéaire en V.

5.4 Ce type ^{de courbe}

caractéristique (Fig. 1 d)

n’a pu être observé que pour des niveaux de Fermi du métal _pas trop

éloignés

^{de la bande de conduction}

(écart

de l’ordre de 0,5

eV).

^Sinon

l’injection

^d’élec-

trons est très faible et le courant est linéaire en V

quelle

que soit la tension

appliquée (en

^{dessous de}

la

saturation) (Fig. 1 e).

5.5 Une

correspondance

étroite existe entre les

répartitions

^de

potentiel

^{et de}

charges

^{et la}

région

^de

la

caractéristique

^I

= f ( v).

Pour des tensions

appliquées

^{entre 0 et}

0,1 V (région

^{où 7 est}

proportionnel

^à

V)

^{on trouve}

toujours

la même distribution de

charges (Fig. 2a)

^{avec des}

électrons

injectés proches

des électrodes. La distri- bution de

potentiel (Fig. 3a)

^reste sensiblement

stable,

avec la

caractéristique

^d’un

champ

^{nul au centre de}

l’échantillon. La

répartition

^des

charges

^étant

approxi-

mativement la même _pour toutes ces

tensions,

^on

comprend

^la

proportionnalité

^{de I}

avec

^{mais avec}

un courant

correspondant

^{à la}

charge injectée

^dans

la masse de l’échantillon

(de

^{l’ordre de}

¹⁰¹⁴

^élec-

trons/m’),

^très

supérieur

^{au courant}

intrinsèque.

Entre 1 et 100 V la conduction se fait en

régime d’injection

^{i =}

^Kh2.

^{On constate} que cela

correspond

à un entraînement

progressif

^{de la}

charge injectée

vers le centre de l’échantillon

(Fig. 2b,

c,

d).

^{Sur la}

FIG. 2. ^- Répartitions des électrons en fonction de x.

a) ^{V = 0 à 10-1 V} régime ohmique ⁽¹⁼ kV).

b) V = 1 V

régime

d’injection ⁽¹ KV 2).

c) ^{V = 10 V}

regime d’

injection (f ^{= .} d) ^{V= 100V}

e) ^{V =} 105 V régime ^de saturation.

140

1

FIG. 3. ^- Répartitions ^de potentiel.

a) ^V

= 0

^V régime ohmique.

b) V

⁼

⁰ VI

b) ^{v = 10- 1 V } régime}

oh mique.

c) ^{V =}

1 v régime

d’injection.

d) ^{V = 10 V}

}

e) ^{V = 100 V.}

distribution de

potentiel

^{on vérifie}

l’hypothèse

^fonda-

mentale de la théorie de

Lampert :

l’existence d’un

champ

^{nul dans une}

région

^très

proche

^de l’électrode

négative. (Fig. 3c, d,

^e la tension

appliquée

^{de 100 V}

étant

juste

^{à la limite de la}

région

^en

V2.)

^{De ce fait}

les calculs

approchés

^{fondés sur cette}

hypothèse

^sont

valables et coïncident ^avec nos résultats comme nous

l’avons

précisé plus

^haut.

Au-delà de 100 V

apparaît

la saturation caractérisée par ^une

répartition quasi

uniforme de la

charge

^dans

l’échantillon avec

épuisement

par

rapport

^{à la}

charge injectée près

d’une électrode

(Fig. 2).

^Le

potentiel

est alors linéaire et il n’existe

plus

^de

champ

^{nul dans}

l’échantillon.

6. Conclusions. ^- Ce calcul ^sur cristal _pur nous a

permis

^{de vérifier} l’exactitude du _programme.

La concordance des résultats avec ceux de

Lampert

est bonne dans les

régions

^{où ce calcul est valable.}

Mais nous voyons aussi l’intérêt du calcul

rigoureux qui

permet ^{de se} libérer des limites de validité des

approximations.

Ces résultats ne concordent _pas exactement avec les résultats

expérimentaux,

^{notamment en ce}

qui

concerne les

régions

de transition entre les différents

régimes

^{de courant.} Ceci confirme la nécessité d’étendre ce calcul au cas d’un cristal avec

impuretés.

.

Bibliographie

[1] ORMANCEY, G., ^J. Physique ³³ (1972) ^{C 2 113.}

[2] GODEFROY, G., ^J. Physique ³³ (1972) ^{C 2 117.}

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[6] BENGUIGUI, L., ^L’onde elect. 49 (1969) ^1087.

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