Estimation du volume des ensembles d'excursion d'un processus Gaussien par Krigeage intrinsèque

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Estimation du volume des ensembles d’excursion d’un

processus Gaussien par Krigeage intrinsèque

Emmanuel Vazquez, Miguel Piera-Martinez

To cite this version:

Emmanuel Vazquez, Miguel Piera-Martinez. Estimation du volume des ensembles d’excursion d’un

processus Gaussien par Krigeage intrinsèque. Conférence Journée de Statistiques, Jun 2007, Angers,

France. pp.CD-ROM Proceedings. �hal-00256148�

pro essus gaussien par krigeage intrinsèque

Emmanuel Vazquez &Miguel Piera-Martinez

Supéle , Département Signaux et Systèmes Éle troniques, 91192 Gif-sur-Yvette, Fran e

Résumé  Estimeruneprobabilitédedéfaillan ed'unsystèmeentrée-sortieàpartird'obser-

vationspon tuellesde elui- iestunproblèmeimportantpourlemondeindustriel.Uneappro he

possible onsiste àmodéliserlesystème ommelaréalisationd'unpro essusaléatoireetde s'in-

téresser auvolume d'ex ursionde e pro essus.Soit

ξ

^{unpro essusaléatoiregaussien et}

|A _u (ξ)|

levolumedel'ensembled'ex ursionde

ξ

^{audessusd'unseuil}

u

^{sousunemesurede}probabilité

µ

^.

L'obje tifde etarti leestd'estimerlevolumed'ex ursionàpartirde

n

observationspon tuelles dupro essus.Nousproposonsd'approximer levolumed'ex ursionde

ξ

^{par elui d'unprédi teur}

ξ _n

^{obtenu par krigeage} intrinsèqueà partir des

n

observations. Nous étudions les propriétés de onvergen e de ette approximation. Dans un deuxième temps, nous proposons un algorithme

visant à hoisir lespointsd'observationpour a élérer la onvergen e del'estimateur.

Abstra t  Theestimationofthevolumeofanex ursionsetisahighlyrelevantproblemfor

theindustrial worldsin e it orrespondsto theestimation ofthefailureprobability ofa system

thatisknownonlythroughsampledobservations.AssumethataGaussianpro ess

ξ

^{ispredi ted}

from

n

^{pointwise observations byintrinsi Kriging and thatthe volume of the ex ursion set of}

ξ

^{above a given threshold}

u

^is approximated by the volume of the predi tor. The rst part of this papergivesa bound onthe onvergen e rate oftheapproximated volume. These ond part

des ribes an algorithm that onstru ts a sequen e of points to yield a fast onvergen e of the

approximation.

Mots- lés prin ipaux:Plans d'expérien e,Statistique despro essus

Mots- lés se ondaires:Quantiles, Qualité -abilité

1 Introdu tion

Considéronsunpro essusaléatoire gaussien

ξ

^{àvaleursréellesdénisurunensemble}

X

^muni

d'une probabilité

µ

^{.Dénissonsl'ensemble} d'ex ursionde

ξ

^{audessusd'unniveau}

u

^par

A _u (ξ) := {x ∈ X : ξ(x) ≥ u} .

⁽¹⁾

Le volume

µ(A _u (ξ))

^{sera par la suite noté}

|A _u (ξ)|

^{. En} ingénierie,

|A _u (ξ)|

^peut orrespondre à la probabilité de défaillan e d'unsystème (la probabilité que la sortie du système dépasse une

valeur ritique lorsqu'ilestsoumis àdesentrées aléatoires).

Notons

ξ n

l'estimateurde

ξ

^parkrigeageintrinsèque(Matheron,1973)àpartir d'unensemble de

n

observations dis rètes

ξ(x _i )

^,

1 ≤ i ≤ n

^{.Lase tion 2étudie la} onvergen e de

|A _u (ξ _n )|

^vers

de points

(x _i )

^{quiminimise à haqueétapelamoyenne} quadratique del'erreur d'approximation

|A u (ξ)| − |A _u (ξ _n )|

onditionnée par les variables aléatoires

ξ(x _i )

^,

i ≤ n

^{. L'obje tif de et algo-}

rithmeestd'a élérerla onvergen ede

|A u (ξ n )|

^vers

|A u (ξ)|

^{.Lase tion4illustre et}algorithme.

2 Estimation du volume d'ex ursion par krigeage intrinsèque

Une première façon d'estimer le volume d'ex ursion

|A u (ξ)|

^{est d'utiliser un estimateur de}

type Monte Carlo, tel quepar exemple

|A u (ξ)| _l := 1

l

l

X

i=1

1 {ξ(X i )≥u} → l |A u (ξ)|

^{p.s. (2)}

où les

X _i

^{sont des variables aléatoires} indépendantes de loi

µ

^{(en pratique, il est préférable}

d'utiliser desestimateurs ave é hantillonage d'importan e).

Dans et arti le, nous proposons d'estimer

|A u (ξ)|

^{en utilisant un prédi teur}

ξ n

^de

ξ

^{et en}

approximant

|A _u (ξ)|

^par

|A _u (ξ _n )| _l

^,ave

l

^{grand.Ce iaunintérêt pratiquelorsque}l'observation du pro essus

ξ

^{est oûteuse. Ons'attend en eet à e que}

ξ _n

^{onverge susamment vite vers}

ξ

(quand

n → ∞

^{) pour que} l'approximation proposée soit satisfaisante pour des

n

relativement petits.Dans lesparagraphes suivants, nousnousintéresserons àla onvergen e de

|A _u (ξ _n )|

^vers

|A u (ξ)|

^.

Nous utilisons le krigeage intrinsèque (Matheron, 1973) pour obtenir un prédi teur linéaire

de

ξ

^{à partir d'un ensemble ni} d'observations

ξ(x _i )

^,

1 ≤ i ≤ n

^{. Rappelons que le krigeage}

intrinsèqueétendle on eptdeprédi tionlinéaire nonbiaiséed'unpro essusaléatoireau asoù

lamoyenne dupro essusest in onnue.

Lathéoriedel'approximationdefon tions(voirpar exempleWuand S haba k, 1993;Light

and Wayne, 1998 ; Nar owi h et al., 2003 ; Wendland, 2005) permet d'établir la vitesse de

dé roissan e de la varian e

σ ² _n (x)

^{de l'erreur de prédi tion par krigeage} intrinsèque lorsque la densitédesobservations dupro essusau voisinagede

x

^{augmente. Plus}pré isément, si

ξ

^estun

pro essusstationnairede ovarian e

k(h)

^,

h ∈ R ^d

^,

X

^{undomainebornéde}

R ^d

^,etsilatransformée de Fourier de

k(h)

^satisfait

c ₁ (1 + kωk ² ₂ ) ^−ν ≤ ˜ k(ω) ≤ c ₂ (1 + kωk ² ₂ ) ^−ν .

ave

ν > d/2

^,alors

kσ n (.)k _∞ ≤ Ch ^ν−d/2 _n ,

⁽³⁾

où

h _n = sup _y∈X min _i ky − x i k 2

^{mesureladensitéde}

(x ₁ , . . . , x _n )

^dans

X

^.

La proposition suivante permet d'établir un résultat similaire pour le pro essus seuillé au

niveau

u

^.

Proposition 1. Soit

ξ n (x)

^{le prédi teur de}

ξ

^{par krigeage} intrinsèque onstruit à partir des observations

ξ(x _i )

^,

i = 1, . . . , n

^.Posons

σ _n (x) := var [ξ(x) − ξ _n (x)] ^1/2

^{. Alors,}

E h

(1 ξ(x)≥u − 1 ξ n (x)≥u ) ² i

= O(σ n (x)|log(σ n (x))| ^1/2 )

^quand

σ n (x) → 0 .

Par onséquent, pour un domaine

X

^borné:

E h

(|A u (ξ)| − |A u (ξ n )|) ² i

= E

 Z

X

1 ξ(x)≥u − 1 ξ n (x)≥u dµ

 2 

≤

Z

X

E (1 ξ(x)≥u − 1 ξ ⁿ (x)≥u ) ² dµ

≤ Ckσ _n (.)k _∞ |logkσ _n (.)k _∞ | ^1/2

⁽⁴⁾

quand

n → ∞

^et

kσ n (.)k _∞ → 0

^.

Ce résultat simple montre que la vitesse de onvergen e de

|A u (ξ n )|

^vers

|A u (ξ)|

^{est liée}

à la vitesse de onvergen e de

ξ _n

^vers

ξ

^{, et don à la régularité de la} ovarian e, f. (3). En hoisissant lespoints

x _i

^{surunegrille régulière,onobtient}

h _n = O(n ^−1/d )

^,où

d

^{estladimension}

de

X

^{. Supposons que les points}

x _i

remplissent

X

^{selon une telle grille. Dans e as, la vitesse}

de onvergen e de

|A _u (ξ _n )|

^vers

|A _u (ξ)|

^{sera plus rapide que elle de} l'estimateur (2) dès que

ν > 3d/2

^{(voirVazquez and} Piera-Martinez,2006).

3 A élération de onvergen e

3.1 Contrle de la onvergen e

Soit

f : X → R

^une traje toire de

ξ

^{,observée en une suite de points}

(x _n ) _n∈N

^{.Cette se tion}

propose un algorithme de onstru tion de la suite

(x n )

^{en vue} d'optimiser la dé roissan e de l'erreur d'approximation

|A _u (ξ)| − |A _u (ξ _n )|

onditionnée par les observations

ξ(x _i ) = f (x _i )

^,

i = 1, . . . , n

^{.Nousproposonsunestratégiede ontrleàunpas onsistantà hoisir}itérativement les

x n

^{tels que}

x _n = argmin

x n ∈X

Υ _n (x _n ) := E (|A _u (ξ)| − |A _u (ξ _n )|) ² | Z _n−1  ,

⁽⁵⁾

où pour tout

n

^,

Z _n = (ξ(x ₁ ), . . . , ξ(x _n ))

^{.Notons que}

Υ _n (x _n )

^{peutseréé rire}

Υ _n (x _n ) = E  E (|A _u (ξ)| − |A _u (ξ _n )|) ² | Z _n  | Z _n−1  .

⁽⁶⁾

La loi de

|A _u (ξ)|

onditionnée par les observations est généralement in onnue (voir Adler, 2000, se tion 4.4) et par onséquent,

E (|A u (ξ)| − |A _u (ξ _n )|) ² | Z n 

ne peut pas être déterminé

analytiquement. Une première solution serait d'utiliser une approximation MonteCarlo de (5),

en simulant le pro essus

ξ

onditionnellement aux observations. Formellement, il s'agirait de résoudre

x _n = argmin

x n ∈X

Υ _n,m (x _n ) :=

E



m ⁻¹

m

X

i=1

(|A _u (ξ _n + ζ _n ⁱ )| − |A _u (ξ _n )|) ² 

 Z _n−1 , {ζ _n ⁱ , i ≤ m}



,

(7)

oùles pro essusaléatoires

ζ _n ⁱ

^sont

m

^opies indépendantes de

ξ

onditionnépar

Z _n = (0, . . . , 0)

^.

|A _u (·)| l

^{. S'il est en prin ipe possible de simuler les pro essus} onditionnés

ζ _n ⁱ

^{(voir Chilès and}

Delner,1999, hap.7), essimulationssontnéanmoins oûteuses(lenombred'opérationsestde

l'ordrede

O(l ³ )

^poursimuler

ξ

^auxpoints

x 1 , . . . , x _l

^).Comme

l

^{doitêtregrandand'obtenirune}

estimation susamment pré ise duvolume d'ex ursion, l'utilisation de simulationsest àéviter.

Nous proposons l'appro he alternative suivante. Tout d'abord, appro hons

E (|A u (ξ)| −

|A u (ξ _n )|) ² | Z n 

par

E (|A u (ξ)| _l − |A u (ξ _n )| _l ) ² | Z n , {X _i , i ≤ l} 

, ave

l

^{susamment grand.}

D'après l'inégalité de Minkowski,nousobtenons lamajoration

E (|A _u (ξ)| _l −|A u (ξ _n )| _l ) ² | Z n , {X _i , i ≤ l}  1/2

≤ 1

l

l

X

i=1

E (1 ξ(X i )>u − 1 ξ n (X i )>u ) ² | Z n , {X _i , i ≤ l}  1/2

.

(8)

3.2 Algorithme proposé

Soit

S = {y ₁ , . . . , y _l }

^{un ensemble de}

l

^pointsde

X

^générés indépendamment selon la loi

µ

^.

Étantdonnéunesuitenie

(x _i ) _{1≤i≤n−1}

^depointsd'observation, her honslepointd'observation

x _n

^{qui minimise labornede l'erreur} d'approximationdu volume obtenue dans(8):

x _n = argmin

x ⁿ ∈S

Υ ^′ _n (x _n ) := 1

l

l

X

i=1

E (1 ξ(y i )>u − 1 ξ n (y i )>u ) ² | B n−1  1/2

,

⁽⁹⁾

où

B _n

^estl'évènement

{ξ(x ₁ ) = f (x ₁ ), . . . , ξ(x _n ) = f (x _n )}

^,

n > 0

^.

Quelquesétapessonten orené essairespourmettreen÷uvrenumériquementleprogramme(9).

Notons d'abord que

E (1 ξ(y i )>u −1 ξ ⁿ (y i )>u ) ² | B n−1 

=

Z

z∈R

E (1 ξ(y i )>u − 1 ξ n (y i )>u ) ² | ξ(x _n ) = z, B _n−1 

× p _ξ(x n )|B n −1 (z)dz , ∀i ∈ {1, . . . , l},

(10)

où

p _ξ(x)|B n

−1

est la densitéde

ξ(x)

onditionné par

B _n−1

^{. Le krigeage} intrinsèque suppose que lamoyenne de

ξ

^{est in onnue etpar} onséquent,pour

x ∈ X

^,

E (1 ξ(x)>u − 1 ξ ⁿ (x)>u ) ² | ξ(x n ) =

z, B n−1 

ne peut pas être déterminé exa tement. Cependant, on peut é rire l'approximation

suivante(voirVazquez and Piera-Martinez,2006):

E (1 ξ(x)>u − 1 ξ n (x)>u ) ² | ξ _n (x) ≈ υ _n (x) := Ψ









u − ξ _n (x)

σ _n (x)











,

⁽¹¹⁾

où

Ψ

^{estlaqueue de} distributiongaussienne.

Ensuite,soit l'opérateur dequanti ationdéni par

∀h ∈ R , ∆ _Q h = z ₁ +

Q

X

i=2

(z _i − z i−1 )1 ]z i ,+∞[ (h)

ave

z ₁ < z ₂ < · · · < z _Q

^{.Onpeutalors réé rire (9)souslaforme :}

x n = argmin

x ⁿ ∈S

Υ ^′′ _n (x n ) :=

1

l

l

X

i=1

 ^Q

X

j=1

P{∆ Q ξ(x _n ) = z _j | B n−1 } E υ _n (y _i ) | ξ(x _n ) = z _j , B _n−1 

 1/2

.

⁽¹²⁾

Le programme (12)est dire tement transposable en langage informatique.

4 Exemple

Cette se tion illustre l'algorithme proposé (voir la gure 1). Considérons une fon tion

f

dénie sur

R

^{et prenons}

µ = N (0, σ ² )

^.Modélisons

f

^{omme une} traje toire de

ξ

^{et her hons}

à déterminer le volume d'ex ursion

|A _u (f )|

^{. Dans et exemple, la ovarian e de}

ξ

^{est estimée}

à haque étape par maximumde vraisemblan e (voir par exemple Stein, 1999). Après quelques

itérations,on onstatequelafon tion

f

^aétéé hantillonnéedefaçonàdéterminerave unebonne pré ision l'ensemble d'ex ursion de

f

^{au dessus du seuil hoisi, dans larégion où la densité de}

probabilitéest élevée.

Référen es

R.J.Adler. Onex ursionsets,tubeformulasandmaximaofrandomelds. Ann.Appl.Probab.,

10(1) :174, 2000.

J.-P. Chilès and P. Delner. Geostatisti s : Modeling Spatial Un ertainty. Wiley, New York,

1999.

W. Light and H. Wayne. On power fun tions and error estimates for radial basis fun tions

interpolation. J. Approx. Theory, 92(2):245266,1998.

G. Matheron. The intrinsi random fun tions, and their appli ations. Adv. Appl. Prob., 5 :

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F.J.Nar owi h,J.D.Ward,andH.Wendland. Rened errorestimatesforradial basisfun tion

interpolation. Constr. Approx., 19(4):541564, 2003.

M.L.Stein. InterpolationofSpatialData :SomeTheoryforKriging. Springer,NewYork,1999.

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H. Wendland. S attered Data Approximation. Monographs on Applied and Computational

Mathemati s. Cambridge Univ.Press, Cambridge, 2005.

Z.WuandR.S haba k. Lo alerrorestimatesforradial basisfun tioninterpolationofs attered

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

−2 0 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

0.5

1

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

0.06

0.07

0.08

Fig. 1. Haut : Seuil

u

^(ligne horizontale), fon tion

f

^{(en trait n), n=10} évaluations de

f

onstruites d'aprèsl'algorithme proposé en utilisant

l = 800

^et

Q = 20

^{( arrés), approximation}

f _n

^parkrigeageintrinsèque(entraitépais),intervallesde onan esà95% al ulésenutilisantla varian e de l'erreur deprédi tion du krigeageintrinsèque (entrait interrompu). Milieu:Proba-

bilitéd'ex ursion

E[1 ξ(x)>u | B _n ]

^{(entrait plein),densitéde} probabilitéde

µ

^(entrait pointillé).

Bas :Graphe de

Υ ^′′ _n (y _i )

^,

i = 1, . . . , l = 800

^{.Le minimum de e grapheindique laposition de la}

pro haineévaluation de

f

^{(à environ0.75).}