Présentation powerpoint : krigeage

V ar ia nc e d’ es tim at io n et K ri ge ag e H iv er 2 00 6

V ar ia nc e d’ es ti m at io n Z (x 5 ) Z v (x 0 ) Z (x 1 )

Z (x 2 ) Z (x 3 )

Z (x 4 ) ? v * i= 1

n i i Z =

Z

¦ λ * v v Z Z e − = V ar . d ’e st im at io n = V ar (e )

) , ( 2 ) ( ) ( ) ( * * v v v v Z Z C o v Z V a r Z V a r e V a r − + = ) Z , Z ( C o v 2 - ) Z , Z ( C o v + ) Z ( V a r = v i i i j i j i j i v

2 e

λ λ λ σ ¦ ¦ ¦ a b c a ) C e q u e l ’o n c h e rc h e à e s ti m e r e s t- il fo n c iè re m e n t v a ri a b le o u n o n ? b ) Q u e l e s t le d e g ré d e r e d o n d a n c e e n tr e l e s o b s e rv a ti o n s ? c ) L e s o b s e rv a ti o n s s o n t- e lle s b ie n p la c é e s p a r ra p p o rt à c e q u e l ’o n v e u t e s ti m e r ?

E xe m pl e vs a ) L e b lo c à e s ti m e r e s t le m ê m e b ) L a r e d o n d a n c e e s t b e a u c o u p p lu s f o rt e e n A c ) L a p o s it io n p a r ra p p o rt a u b lo c e s t la m ê m e

A B V a r( e ) + g ra n d e e n A

E xe m pl e vs a ) L e b lo c à e s ti m e r e n B e s t m o in s v a ri a b le b ) L a r e d o n d a n c e e s t la m ê m e c ) L a p o s it io n p a r ra p p o rt a u b lo c e s t lé g è re m e n t + f a v o ra b le e n B

B V a r( e ) + g ra n d e e n A

A

E xe m pl e vs a ) L e b lo c à e s ti m e r e s t le m ê m e b ) L a r e d o n d a n c e e s t u n p e u p lu s f o rt e e n B c ) L a p o s it io n p a r ra p p o rt a u b lo c e s t p lu s f a v o ra b le e n B

V a r( e ) + g ra n d e e n A

A B

E n te rm e du v ar io gr am m e ) Z , Z ( C o v 2 - ) Z , Z ( C o v + ) Z ( V a r = v i i i j i j i j i v 2 e

λ λ λ σ ¦ ¦ ¦ S i ¦ λ i = 1 (c om m e c’ es t l e ca s po ur la p lu pa rt d es e st im at eu rs ) v ) , x ( 2 ) x, x ( - v ) (v , - = i i i

j i j i j i

2 e γ λ + γ λ λ γ σ ¦ ¦ ¦ O n p e u t c a lc u le r V a r( e ) d è s q u e l ’o n c o n n a ît l e v a ri o g ra m m e Il n ’e s t p a s n é c e s s a ir e q u e l e v a ri o g ra m m e m o n tr e u n p a lie r V a r( e ) n e d é p e n d p a s d e s v a le u rs o b s e rv é e s , il n e d é p e n d q u e d e l a g é o m é tr ie d u p ro b lè m e e t d u v a ri o g ra m m e

In te rp ré ta ti on d e V ar (e ) • N e d é p e n d p a s d e s v a le u rs = > m e s u re n o n -c o n d it io n n e lle • R e p ré s e n te l a v a ri a n c e d e s e rr e u rs q u e l ’o n o b ti e n d ra it s i l’o n f a is a it g lis s e r le b lo c e t la c o n fi g u ra ti o n d e d o n n é e s s u r u n d o m a in e t rè s g ra n d

0102030400

1000

2000

3000

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,1) h

(h

γ

E xe m pl e S ph ér iq ue is ot ro pe , C 0= 0, C = 25 68 a = 25 .9 5

10203040506070

10 20 30 40 50 60 70

P ix el e st im é V ar (e ) th éo ri qu e = 6 01 V ar (e ) ex pé ri m en ta le = 6 39

10 20 30 40 50 60 70

Je m e se ns to ut ch os e

V ar io gr am m e sp hé ri qu e, C 0= 10 , C = 40 , a x= 10 0 ay = 25 ; z on e 30 0 x 30 0 10 0 ob se rv at io ns , 3 p at ro ns , l eq ue l p ro cu re la p lu s gr an de p ré ci si on po ur l’ es ti m at io n gl ob al e ? 24. 0 2 = σ 36. 0 2 = σ 19. 0 2 = σ

K ri ge ag e or di na ir e D an s le k ri ge ag e or di na ir e l’ es ti m at eu r pr en d al or s la f or m e : P ou r qu e l’ es ti m at eu r so it s an s bi ai s, il f au t i m po se r la co nt ra in te :

Z = Z i i

n 1= i

* v

λ ¦ 1 i

n 1= i = λ ¦

O n a un p ro bl èm e de m in im is at io n so us c on tr ai nt e = > m ét ho de d e L ag ra ng e, i. e. o n fo rm e le la gr an gi en . ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § λ µ + λ λ λ

¸ ¸ ¹

· ¨ ¨ ©

§ λ µ + σ µ λ ¦ ¦ ¦ ¦

¦ 1 2 ] Z, Z C ov [ 2 - ] Z, Z C ov [ ] Z v V ar [ =

1 2 = ) , L ( - + - i

n 1= i i v i

n 1= i j i j i

n 1=j

n 1= i

i

n 1= i

2 e

P os er le s dé ri vé es p ar ti el le s pa r ra pp or t à λ et µ ég al es à zé ro = > sy st èm e li né ai re d e n+ 1 éq ua ti on s à n+ 1 in co nn ue s

1. ..n =i ] Z , Z C ov [ = + ] Z , Z C ov [ i v j i j

n 1=j ∀ µ λ ¦ 1 = j

n 1=j λ ¦ S ou s fo rm e m at ri ci el le : o o o k K = λ o o

2 v

2 ko

k ' λ − σ = σ

À l’ op ti m um , l a va ri an ce d ’e st im at io n es t : µ λ σ ¦ - ] Z , Z C ov [ - ] Z V ar [ = i v i

n 1= i v

2 ko

» » » » » » ¼

º « « « « « « ¬

ª •

σ •

• • • • •

• σ

• σ 0 1 1 1 1 ) Z, Z( C ov ) Z, Z( C ov

1 ) Z, Z( C ov ) Z, Z( C ov 1 ) Z, Z( C ov ) Z, Z( C ov

n22 12

n1212

o K

» » » » » » ¼

º « « « « « « ¬

ª µ λ • λ

λ

o λ

= » » » » » » ¼

º « « « « « « ¬

ª • 1 ) Z, Z( C ov

) Z, Z( C ov ) Z, Z( C ov

v2

v1

o k L e kr ig ea ge p er m et d ’e st im er d ir ec te m en t u n bl oc ( Z v ) ou u n po in t ( Z 0 ) T ou t c e qu i c ha ng e c’ es t l e m em br e de d ro it e k 0. L e kr ig ea ge d ’u n bl oc e st é ga l à la m oy en ne d es k ri ge ag es p on ct ue ls d an s le b lo c.

E xe m pl e

00.2

0.4

0.6

0.8

1

k 0 k s P o id s λ

Po id λ s

2

V a ri a n c e d 'e s ti m a ti o n S p h (C 0 = 0 .5 ,C = 0 .5 ,a = 5 ) + x1 + x2 x0

h= 1 h= 2 O n a to uj ou rs : _{2 ks}

2 ko

σ ≥ σ

E xe m pl e nu m ér iq ue d ét ai llé h= 1 h= 1 h= 2

1 2 3 0

V ar io gr am m e sp hé ri qu e, C 0 = 1, C = 10 , a = 3 Z 1 = 9, Z 2 = 3, Z 3 = 4 0 3 3. 2 2 x3

3 0 1 1 x2

3. 2 1 0 1. 4 x1

2 1 1. 4 0 x0

X 3 X 2 X 1 X 0 0 11 11 9. 52 x3

11 0 5. 81 5. 81 x2

11 5. 81 0 7. 55 x1

9. 52 5. 81 7. 55 0 x0

X 3 X 2 X 1 X 0 h γ (h )

11 0 0 1. 48 x3

0 11 5. 19 5. 19 X 2

0 5. 19 11 3. 45 X 1

1. 48 5. 19 3. 45 11 X 0

X 3 X 2 X 1 X 0 C (h ) » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª µ λ λ λ » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª 1

1. 48

5. 19 45. 3 0 1 1 1

1 11 0 0

1 0 11 5. 19

1 0 5. 19 11 3 2 1 =

» » » » » » ¼

º « « « « « « ¬

ª » » » » » » ¼

º « « « « « « ¬

ª µ λ λ λ 5 1. 5 -

8 .2

.5 1

1 .2 3 2 1 = Z 0 * = Σ λ i Z i = ( .2 1) *9 + ( .5 1) *3 + ( .2 8) *4 = 4 .5 4 6 8. 7 1* ) 55. 1 ( 48. 1* 28. 0 19. 5 * 51. 0 45. 3 * 21. 0 11 = k - = 0 2

2 ko =

− − − − −

λ ′ σ σ

Pr op ri ét és d u kr ig ea ge i. L in é a ir e , s a n s b ia is , à v a ri a n c e m in im a le , p a r c o n s tr u c ti o n . ii. In te rp o la te u r e x a c t iii . E ff e t d 'é c ra n iv . T ie n t c o m p te d e la ta ill e d u c h a m p a e s ti m e r e t d e la p o s it io n d e s p o in ts e n tr e e u x . v . T ie n t c o m p te d e l a c o n ti n u it é s p a ti a le d u p h é n o m è n e é tu d ié v i. E ff e t d e l is s a g e v ii. P re s q u e s a n s b ia is c o n d it io n n e l. v iii . T ra n s it if ( c o h é re n c e d e s e s ti m é s )

In te rp ol at eu r ex ac t 0 5 1 0 0 5 1 0 0 5 1 0 0 5 1 0 0 5 1 0 0 5 1 0 0 5 1 0 0 5 1 0 P é p it e + S p h é ri q u e (. 7 5 , a = 1 0 ) P é p it e p u r

G a u s s ie n L in é a ir e E n pr és en ce d ’e ff et d e pé pi te , l es v al eu rs in te rp ol ée s so nt d is co nt in ue s = > é vi te r d’ es ti m er u n po in t o bs er vé

E xe m pl e

510

15

20

25

30Points coincidant 51015202530

510

15

20

25

30Points non-coincidant

E n d é c a la n t d ’u n e p s ilo n l a g ri lle d ’in te rp o la ti o n , o n é v it e l e s d is c o n ti n u it é s s u r la c a rt e i n te rp o lé e

-5 0 0 5 0

-5 0

0 5 0

l=0.25 l=0.25

V a ri o g ra m m e s p h é ri q u e ; C = 1 0 0 , a = 1 0 0 , C 0 = 0 V a r. k .= 2 9 .0 -5 0 0 5 0

-5 0

0 5 0

l= -0.01 l= 0.29 l= 0.29 l= -0.01

l= -0.01 l= 0.29 l= 0.29 l= -0.01

l= -0.02 l= -0.01 l= -0.01 l= -0.02

V a r. k .= 2 8 .0

E ff et d ’é cr an

N b. d e po in ts d an s le v oi si na ge N b. d e po in ts d an s le v oi si na ge

T ie nt c om pt e de la r ed on da nc e de s do nn ée s -6 0 -4 0 -2 0 0 2 0 4 0 -5 0 0

5 0

V a r. k . = 7 6 .5 4 -5 0 0 5 0 -5 0 0

5 0

V a r. k . = 2 5 .6

01020304050607080901001

2

3

4

5

6

7Variance de krigeage vs proportion relative de pépite Proportion relative de pépite

Va r.

k.

Modèle sphérique, a=100, C0+C=100; bloc de 133 x 133; grille centrée de 4x4 050100150200250300012345Variance de krigeage vs portée Portée (m)

Va r.

k.

Modèle sphérique, C0=0; C=100; bloc de 133 x 133; grille centrée de 4x4

T ie nt c om pt e de la c on ti nu it é sp at ia le E ff e t d e p é p it e P o rt é e

-5 0 0 5 0

-5 0

0 5 0

0.10.190.190.1

0.10.190.190.1

-0.01-0.02-0.02-0.01

va r. k . = 2 6 .5 -5 0 0 5 0

-5 0

0 5 0

0.17 0.04

0.04 0.04

0.04 0.04

0.04 0.04

0.04 0.17

0.17

va r. k . = 8 7 .1 -5 0 0 5 0

-5 0

0 5 0

0.010.01

0.260.26

0.260.26

0.010.01

-0.02-0.02

va r. k . = 1 2 .1

In fl u e n c e d ’a n is o tr o p ie s V a r. a n is o tr o p e

In fl ue nc e du m od èl e λ 1 λ 2 + + + + λ 3 + + + + • + + + + + + + +

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200Quatre modèles de variogrammes distance

va rio gra mm e

Sph(100,100)

Sph(150,150) Exp(150,290)

Lin(1.5)

27 .6 .2 8 -. 01 -. 01 L in éa ir e, p en te = 1

28 .2 .2 8 -. 01 -. 01 E xp . C = 15 0, a

= 29 0

27 .8 .2 9 -. 01 -. 01 S ph ér iq ue , C = 15 0, a = 15 0

28 .0 .2 9 -. 01 -. 02 S ph ér iq ue , C = 10 0, a = 10 0 λ 3 λ 2 λ 1

2 k σ

10 0 10 0 4 a ju st em en ts é q u iv a le n ts h < 3 0 = > m ê m es p o id s λλλλ = > m ê m e

2 k σ

Réalité isotrope 102030

5 10 15 20 25 30 réalité anisotrope 102030

5 10 15 20 25 30

réalité iso- vario iso 102030

5 10 15 20 25 30

réalité iso- vario aniso 102030

5 10 15 20 25 30 réalité aniso- vario iso 102030

5 10 15 20 25 30

réalité aniso- vario aniso 102030

5 10 15 20 25 30

E xe m pl es

5 10 15 20 25 30 réalité anisotrope 102030

5 10 15 20 25 30

réalité iso- vario iso 102030

5 10 15 20 25 30

réalité iso- vario aniso 102030

5 10 15 20 25 30 réalité aniso- vario iso 102030

5 10 15 20 25 30

réalité aniso- vario aniso 102030

5 10 15 20 25 30

L e kr ig ea ge e st tr an si ti f

10 x

Z(x )

Modèle gaussien (a=10) Z(x)* Donnée 1000*σ k 051002468

10 x

Z(x )

Modèle gaussien (a=10) Z(x)* Donnée 1000*σ k

À dr oi te , à x= 10 , o n ob se rv e un e do nn ée é ga le à la v al eu r kr ig ée à ga uc he . T ou te s le s va le ur s kr ig ée s de m eu re nt in ch an gé es . S eu le s le s va ri an ce s de kr ig ea ge s on t r éd ui te s.