Universit´e Lyon 1. Pr´eparation au C.A.P.E.S, ´epreuve d’Analyse
Devoir maison du 21 novembre 2006 (pour le 6 d´ecembre).
Probl` eme 1
Avant de traiter ce premier probl`eme r´evisez le cours portant sur le groupe sym´etrique, plus particuli`erement la notion de permutation circulaire, et la d´ecomposition de toute permutation en un produit de cycles de supports disjoints. Ce sera aussi l’occasion de r´eviser quelques notions de base de la th´eorie des probabilit´es. On consid`ere l’´enigme suivante, propos´ee dans la rubrique jeux du site de la pr´eparation.
Un directeur des ´etudes sadique, enferme les 400 ´el`eves de la promotion 2006 de l’Ecole polytechnique dans un cachot. Dans un moment il viendra chercher les ´el`eves, un `a un. Chacun d’entre eux sera conduit dans une salle o`u sont align´es 400 coffres num´erot´es de 1 `a 400. Chaque coffre contient un matricule et un seul parmi les 400 matricules des ´el`eves qui sont tous les entiers de 1
`
a 400. L’´el`eve a le droit d’ouvrir au maximum 200 coffres, de son choix, `a la recherche de celui qui contient son matricule. S’il r´eussit `a ouvrir le coffre contenant son matricule, il referme tous les coffres ouverts (y compris celui qui contient son matricule, qu’il ne touche pas), et quitte la salle d’examen, qui, apr`es son d´epart est exactement dans le mˆeme ´etat que lorsqu’il est entr´e.
Une fois sorti il est dans l’impossibilit´e absolue de communiquer avec les ´el`eves attendant leur tour dans le cachot.
Mais, ajoute le directeur, si jamais l’un d’entre vous ´echoue, toute la promotion sera recal´ee. La situation semble d´esesp´er´ee. On s’attend `a une probabilit´e de r´eussite de l’ordre de 2−400. Pourtant l’un des ´el`eves se l`eve et dit : « Non, j’ai une id´ee, on a au moins 3 chances sur 10 de s’en sortir » Quelle strat´egie peut-il envisager ?
Le nombre 400 ne joue aucun rˆole particulier dans ce probl`eme, rempla¸cons le par un entier pair N = 2n > 0. On note σ la permutation de l’ensemble {1, 2, 3, . . . , N } qui associe
`
a l’entier i le matricule contenu dans le coffre num´ero i. Dans un premier temps nous supposerons que le directeur, sadique mais moins malin que les ´el`eves, s’est content´e de r´epartir al´eatoirement et uniform´ement les matricules dans les diff´erents coffres ; autrement dit, σ est une permutation al´eatoire du groupe sym´etrique d’ordre N , avec ´equiprobabilit´e 1/N ! pour chacune des N ! permutations.
I. Etude de la strat´egie propos´ee par l’´el`eve astucieux
Cette strat´egie est la suivante : l’´el`eve num´ero i commence par ouvrir le coffre num´ero i.
Si ce coffre contient le matricule i, cet ´el`eve a r´eussi l’´epreuve, s’il contient un matricule j autre que i, l’´el`eve ouvre alors le coffre num´ero j, et ainsi de suite.
1. Reformulation du probl`eme.
(a) Avec cette strat´egie que pouvez vous dire du nombre de coffres ouverts par l’´el`eve num´ero i, pour atteindre celui qui contient son matricule ?
(b) Quelle condition doit satisfaire σ pour que tous les ´el`eves r´eussissent ? 2. Un probl`eme de d´enombrement.
(a) Soit F un sous-ensemble fini de cardinal k de N. Combien existe-t-il de permu- tations circulaires de F ?
(b) Soit F un sous-ensemble fini de cardinal k de l’ensemble {1, 2, . . . , N }. Combien existe-t-il de permutations de {1, 2, . . . , N } dont la d´ecomposition en cycles admet un cycle de support F ?
(c) Combien y a t’il de permuations de {1, 2, . . . , N = 2n} admettant un cycle de longueur plus grande que n ?
3. Montrez que la probabilit´e Pe de l’´ev`enement « L’un des ´el`eves ´echoue » c’est-`a-dire
« toute la promotion est recal´ee » est donn´ee par la formule Pe= 1
n + 1 + 1
n + 2+ · · · + 1 2n· 4. (a) Donnez un encadrement de Pe.
(b) Prouvez qu’avec une probabilit´e plus grande que 0.3, tous les ´el`eves r´eussissent.
(c) Quelle est la limite de Pe quand N tend vers l’infini ?
5. On suppose ici que le directeur a envisag´e la strat´egie pr´ec´edente. Il a donc r´eparti les matricules dans les coffres de sorte que la permutation σ ait un cycle de longueur plus grande que n. D´emontrez qu’en utilisant une permutation τ arbitraire de {1, 2, . . . N }, tir´ee au sort avec ´equiprobabilit´e, parmi les N ! permutations possibles, il est facile, moyennent une petite modification de la strat´egie pr´ec´edente, d’obtenir encore une strat´egie qui assure la mˆeme probabilit´e de gain.
II. Quelques compl´ements
On suppose que le directeur s’est content´e de choisir au hasard la permutation σ, avec
´
equiprobabilit´e, et que la strat´egie est celle pr´esent´ee au d´ebut de ce probl`eme (l’´el`eve i commence par le coffre i, et s’il trouve le num´ero j, va au coffre j etc.).
1. Montrez que la probabilit´e de l’´ev`enement « l’´el`eve de matricule i r´eussit son ´epreuve » est exactement 1/2.
2. Soit, pour 1 ≤ i ≤ N , la variable al´eatoire Xi qui prend la valeur 1 si l’´el`eve num´ero i r´eussit son ´epreuve, et 0 s’il ´echoue, et X la variable al´eatoire dont la valeur est le nombre des ´el`eves qui ont r´eussi leur ´epreuve. Quelle est l’esp´erance de X ?
3. Quelle serait la loi de probabilit´e de X si les Xi ´etaient ind´ependantes ?
4. Explicitez la loi de probabilit´e de X, c’est-`a-dire, donnez, pour chaque entier r, 0 ≤ r ≤ N , la probabilit´e de l’´ev`enement X = r.
5. Soit K la valeur m´ediane de X, c’est-`a-dire l’entier K d´efini par P (X ≤ K) ≤ 1
2, et P (X ≤ K + 1) > 1 2·
Combien vaut K lorsque N = 2 ? On suppose dans la suite de cette question que N ≥ 4.
(a) Donnez, pour 0 ≤ k ≤ n − 1 un encadrement de P (X ≤ k).
(b) Donnez un encadrement de K.
(c) Combien vaut K lorsque N = 400 ? (d) Explicitez limN →∞KN·
6. D´eterminez
(a) La loi de probabilit´e du couple (X1, X2).
(b) La probabilit´e conditionnelle P (X2= 1|X1 = 1).
(c) La covariance du couple (X1, X2).
2
Probl` eme 2 : Logarithmes et exponentielles
Ce probl`eme pr´esente une d´efinition tr`es ´el´ementaire du logarithme comme limite d’une suite. On ne suppose connues que les propri´et´es de base des suites r´eelles, des fonctions continues et de la d´erivation. Pour tout entier n ≥ 1, x 7→ xn est une bijection croissante de [0, +∞[ sur lui-mˆeme. On note √n
la bijection r´eciproque.
1 Le logarithme
Pour x > 0 et n entier, n ≥ 1, on note un(x) = n(√n x − 1).
1. Soit a la racine n(n + 1)`eme de x. En exprimant un(x) et un+1(x) au moyen de a, montrer que la suite (un(x))n≥1 est d´ecroissante, et qu’elle est convergente si x ≥ 1.
2. Montrer que, pour tout x, y > 0, un(xy) = un(x) + un(y) +un(x)un(y)
n .
3. En d´eduire que la suite (un(x))n≥1 est convegente pour tout x > 0. Soit f (x) sa limite.
4. D´emontrer que, ∀x, y > 0 f (xy) = f (x) + f (y).
5. D´emontrer que, pour tout x > 0, x − 1
x ≤ f (x) ≤ x − 1.
6. D´emontrer que la fonction f est d´erivable en 1 avec f0(1) = 1, puis partout d´erivable avec f0(x) = 1/x.
7. D´emontrer que limx→+∞f (x) = +∞, et que limx→+∞ f (x)x = limx→0xf (x) = 0.
2 La fonction exponentielle
On note ln la fonction f construite au paragraphe 1.
1. D´emontrer que ln est une application bijective de ]0, +∞[ sur R. On note exp la bijection r´eciproque exp : R 7→]0, +∞[.
2. Montrer que pour tous x, y ∈ R, exp(x + y) = exp(x) × exp(y).
3. Montrer que exp est d´erivable, et que exp0 = exp.
3 L’exponentielle de base a
Soit a > 0 r´eel. On d´efinit la fonction expa par expa(x) = exp(x ln a).
1. Montrer que expa est strictement croissante si a > 1, strictement d´ecroissante si 0 < a < 1.
2. Montrer que pour tout rationnel p/q (q > 0), expa(p/q) = √q
ap. Pour tout a > 0, et tout r´eel x, on emploiera dor´enavant la notation ax pour repr´esenter expa(x).
3. Soit e = exp(1). Montrer que exp(x) = ex.
3
