Détermination du champ électromagnétique dans un résonateur linéaire supraconducteur à HTC

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Submitted on 1 Jan 1994

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Détermination du champ électromagnétique dans un résonateur linéaire supraconducteur à HTC

A. Trotel, S. Sautrot, M. Pyee

To cite this version:

A. Trotel, S. Sautrot, M. Pyee. Détermination du champ électromagnétique dans un résonateur linéaire supraconducteur à HTC. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1994, 4 (11), pp.2271-2279.

�10.1051/jp3:1994277�. �jpa-00249261�

classification Ph_vsics Abstracts

02.60 41.10H 74.60

Ddtermination du champ dlectromagndtique dans _un rdsonateur lindaire supraconducteur h HTC

A. Trotel ('), S. Sautrot (2) et M. Pyee (2)

1') Alcatel Alsthom Recherche, route de Nozay, 91460 Marcoussis, France

(~) LDIM, Universitd Paris 6, Tour 12, 4 Place Jussieu, 75256 Paris (EA DRED 253-DS4), France (Re~,u le 3 fJi,tier J994, r£vis£ le ?6 ai,nil J994, acceptd le 6 mai J994)

Rdsumd. cet article ddcrit la configuration du champ dlectromagndtique dans _un rdsonateur lindaire SHTC. Deux domaines sont considdrds _: I) dans le ruban supraconducteur, 2) dans le milieu didlectrique entourant le ruban. ce calcui s'appuie sur la densitd de courant donnde par Bowers [1, 2] _{pour une} ligne infinie supraconductrice. La densitd de _courant dans le rdsonateur est ddfinie par ces relations _et [es conditions de r6sonance.

Abstract. In this paper, the electromagnetic field configuration in _a linear SHTC resonator is

described. Two _{areas are} considered I) the superconducting strip, 2) the dielectric around the strip. The calculation is based _on the _current density given by Bowers [1, 2] for _an infinite

superconducting line. The current density in the resonator is defined by these relations and the

resonance conditions.

Introduction.

Les rdsonateurs planaires permettent ^la mesure en microonde des impddances de surface des matdriaux h haute tempdrature critique (SHTC).

La moddlisation de ces rdsonateurs est abordde de plusieurs manibres

. par des schdmas Equivalents h composants discrets [3, 4]

. par des techniques numdriques

des mdthodes modales [5, 6] _;

= des mdthodes d'dldments finis [7, 8] _;

des mdthodes des moments [9].

Nous prdsentons ici le calcul du champ dlectromagndtique darts _un rdsonateur lindaire

supraconducteur _{par une} mdthode intdgrale. Le calcul que nous proposons, a l'avantage de dormer des expressions analytiques du champ dlectromagndtique, h partir d'une densitd de

courant connue. La ddfinition de la densitd de _courant repose sur la relation donnde par Bowers

[1, 2] _pour une ligne supraconductrice infinie et _sur les conditions de rdsonance. Rdcemment,

2272 JOURNAL DE PHYSIQUE III N° 11

ces expressions de la densitd de _{courant ont} dtd utilisdes pour obtenir des longueurs de

pdndtration effectives h partir de _mesures de variation d'inductance cindtique h _une excitation lumineuse [10]. Le champ h l'intdrieur du ruban _se ddduit alors des dquations de London. Le

champ h l'extdrieur du ruban, darts le milieu didlectrique, est obtenu _au prix de deux

approximations _par la determination du potentiel vecteur.

Dkfinition de la densitk de courant.

Contrairement _aux ddveloppements classiques de la mdthode intdgrale, qui dchantillonne la

densitd de courant au moyen de distributions et qui ddtermine ensuite les champs et (es

courants par des mdthodes numdriques (Galerkin _par exemple) II Ii, nous aliens supposer ici

cette densitd _connue.

La configuration du circuit analysd est reprdsentde figure 1.

y

b

x

~, ~~ h

Fig. I. Schdma _en coupe du rdsonateur.

[cross section of the resonator.]

Le rdsonateur est constitud d'un ruban supraconducteur de largeur _w, de longueur

L _et d'dpaisseur d, sdpard du plan de _masse par une distance h. Le milieu _entourant le ruban _est

supposd homogdne et isotrope, de constante didlectrique _E, et de permdabilitd _~o.

La distribution de la densitd de courant dans le rdsonateur s'dcrit J(x,y,z). Nous

supposerons que l'on peut sdparer les variables, d'ob J(x, _{y, z})

= J(~)J(y)J(z)

. pour J(x) et J~y), _nous utilisons les expressions approchdes donnde par Bowers II, 2]

pour une ligne supraconductrice infinie _;

. pour J(z), la rdsonance impose les conditions _aux limites.

Bowers _se place darts le _cas oh l'dpaisseur d du film supraconducteur est comparable h la longueur ^de pdndtration de London A~ et la largeur _w' du ruban est trbs grande devant A~, ⁱⁱ suppose alors J(y) Constant et ddfinit J(,t) _par

pour )x) _< ^~ ~~~, _J(x)

=

~~~~ (la)

2 2d

jl

w )~

oh a _est de l'ordre _de l'unitd.

Darts le cas du rdsonateur et suivant la

direction

de propagation

~

~~ ~

~

2 _ar

~~~~j~(p[z+)j)j+Be~P[J~~~~~i~~~ (2a)

~

oh A _et B _sort des constantes.

Les conditions _aux limites imposent h J(z) d'dtre nut _aux extrdmitds. On _en ddduit alors _: J(z i

=

sin (p cos (pz) off p ₌ k

(2b)

Champ h l'intkrieur du ruban supraconducteur.

D'aprbs les Equations de London

dJ~ j

=

~

E et rot J~ ₌

~

B j3)

~~ llo Al _~o AL

La densitd de _courant telle que l'a ddfinie towers ^{(relations la) et (16)), n'est pas ddrivable}

aux points de raccordement )x) ₌ ^~ ~~j.

2 2

Pour satisfaire les conditions de continuitd de J(.r) et de _sa ddrivde, on positionne les

~

aA/ aA/

nouveaux points de raccordement _en j-r, =

2 2 d 2 dw

Cette modification entraine _une variation de

J ^~ _en J 1' ⁼

~~~

exp

~

~ x,

2 j 2 A

l ~' ^~ ~

w,

Les Equations (3) _se rdduisent h _: E-

=

jw~o A/J (4a)

B,

= ~o Al ~ (4b)

?Y

B,, _{= ~o} Al ^~ (4c)

suit: B,

=

0

w

Pour ).~ " j ^x< '

j(o) 4x

~i~ p ^~ cos (pz)

.

B, _{= llo} Al (~~~

3 w~ ~

2 _x

2j

(l _$ ~

2274 JOURNAL DE PHYSIQUE III N° 11

w' w'

Pour § ^{x< " l'~) "} §'

E- est directement proportionnel h la dcnsitd de courant.

Champ h l'extkrieur du ruban supraconducteur

Le calcul du champ dlectromagndtique _se rambne ici h la ddtermination du potentiel vecteur en tout point _{xo, j-o, co h} l'extdrieur du ruban

A(.vo, yo, zo) ₌ )

l~~" ^{~' ~~ dV (6)}

" 1'

oh _r

= ~/(,ro x)~ ₊ (yo _{y )~} + (=o z)~ et dV

= d~i~dy dz

Le point de coordonndes.r, _{y, z} appartient au ruban.

A l'extdrieur (Fig. 2), dans la limite du champ lointain, on ndglige l'dpaisseur du ruban _{et on} assimile le supraconducteur h _une couche trbs mince parcourue par un courant. Seule la rdgion

oh y d _ne rdpond _pas h cette hypothkse.

° (X0,y0,20)

Rdsonateur

x

J

Ml

Plan de _masse

Plan de symdtrie

-2h z

Image ^{du r£sonateur}

par rapport au plan de _masse

Fig. 2. Schdma du rdsonateur microstrip et de _son image _{par rapport au} plan de _masse.

jmicrostrip resonator and its image towards the ground plane.]

On prend en compte ^la presence d'un plan de _masse mdtallique, considdrd _comme infini, _par la contribution de l'image du rdsonateur dans _ce plan [12]. La densitd de courant totale

s'exprime alors par la difference des contributions du ruban _{en y}

= 0 et de _son image en

y =

2h soil

J(>., _{y, z})

= J(.r, _y

=

0, _z J(.v, _y

=

2 h, _z (6) devient donc _:

A(x<>, yo. =o)

=

~° J(.I) J(z)

~, ~=

~ _" ~/(.;~ ^-,r)2 ₊ jj _{+ (z~} z)2

~ ₀ J(,i J(=

~ " ,/(-io _{~i)~ + (j',, +} 2 h)~ + (=jj zj2

~ ~~ ~~~

La valeur constante de J iv) en 0 _et 2 h est prise agate ^h I.

L'intdgration directe de cette expression n'est pas connue. Ann d'obtenir _une solution

analytique du problkme, ii _a dtd ndcessaire de recourir h deux approximations.

Piemi@ie appio,,imation. La composante ^{de la densitd} de courant suivant.,, ddfinie _au

paragraphe prdcddent, a did apodisde en utilisant [es valeurs suivantes (Fig. 3)

pour ),)

<

) ;~ J(.;)

= n J(0) (8a)

~, ~, w,

pour -.;~ < , < _, J (.;)

= J j8b)

2 2 2

n est compris entre et 2 §b de telle _sane que J(.;~) i'-J ^"~ et que le courant total soil conserve.

J(xj J(w/2)

-w/2+xr 0 _xa x

Fig. ^3. Distribution de la densitd de courant, dilatde _au~ extrdmitds. _~uivant la largeur du rd~onateur,

avant et aprks apodisation.

[current den~ity di,tribution. not to scale, _accros~ the width oi the ~trip, before and after apodi,ation.]

JOURNAL DEPHhSIQUEII -T 4 N'II NO"EMBER lW4 ~~

2276 _{JOURNAL DE} PHYSIQUE III N° 11

Seconde apple.<iniation. ^Le terme J(z) (relation (2b)) _est remplacd _par un polyn6me de

degrd _quatre

c-ii ⁺ ;j ^v + c.~ vi ₊

;~ L~ ⁺ <.~v4 off _t,

= p (z ^{+ ~}₂ ⁽⁹⁾

avec c.,, =

0.00112745

, c-j =

0,983435 c.~ =

0,0534058 _c~

= 0,233285 c~ =

0,0371284

Aprks intdgration suivant.v, le potentiel vecteur s'dcrit alors

4

A

= ~j a,, I,, 10a)

,, =11

oh 1,, ₌ ^{~ In} (,/(.vn X _{)~ +} (vii ^Y)~ + (=,j z)~ (.ro Xi)=" dz (10b)

-L

~

X prend [es valeurs ± w,/2 et ±.v~ ^{et Y vaut} 0 _ou 2 h.

I,, se calcule _en utilisant _une intdgration _par partie aprks avoir effectud deux changements de variables. Le champ dlectromagndtique _se ddduit alors des Equations de Maxwell, dans la

jauge de Lorentz

E=-jwA+~,~~'~~

et B=rotA. (ll)

JWF~

Rksultats.

Le~ rdsultats du calcul du champ rdcapitulds sun [es courbes suivantes _se rapportent ^h une

configuration reprdsentde figure I. lls ont did normalisds _par rapport aux valeurs maximales des champs trouvde,.

Les valeurs numdriques employdes sont _w>

= h 500 _~Lm, L

=

5 _mm, d

= 3 0001, A~ ² 0001,

F, = 9,6 (MgO).

A l'intdrieur du ruban (Fig. 4), la prdponddrance des bords, comparde aux valeurs centrales, pour [es champs H~ et E= ^est fortement marqude.

Les courbes des figure~ 5 h 9 _montrent la variation des champs B,, B, et E,,

E~ et E- h l'extdrieur du ruban supraconducteur, dans des plans situds

. au voisinage du ruban, _ii>

= h/100

=

5 ~Lm ), respectant d « h/100

. h mi-chemin _entre le ruban _et le plan de _masse (j'= h/?

=

250 _{~Lm ;}

. au niveau du plan de _masse (y ^h = 500 _~Lm ).

Les courbes 6 et 8 font apparaitre, en particulier h proximitd du ruban, la dominance de la composante B~ au centre du r6sonateur et de B~ sur [es bords. De mdme, la composante E~ ^est importante sur les bords alors que E~ ^est maximale _{au centre.}

Suivant la longueur du rdsonateur (axe ?), ^le champ magndtique est maximum _{au centre} et

quasiment nut _aux extrdmitds. Les composantes E, et E~, du champ dlectrique (courbes 5 et 7),

sont nulles _{au centre et aux} extrdmitd~. L'ensemble de _ces rdsultats est conforme _aux

configurations de champ classiques.

II existe une composante ^E- non nulle due h la distribution _non uniforme de la densitd de

courant. Cette composante E=, ^suivant = (Fig. 9), est maximale _aux extrdmitds du rdsonateur.

Ce r6sultat traduit le rayonnement ^h l'extrdmitd du ruban.

By/Bmax ^Ex/Emax

I,I t,ti

z=0

o,sss

y=-h/2

0

y=-h ,_, i i

0,555

Ruban

0 1,11

248 248,5 249 249,5 250 3,75 2,5 1,25 0 1,25 2,5 3,75

X (Pm) _{z (mm)}

Fig. 4. Fig. 5.

Fig. 4. champ B, _en fonction de _-i h l'intdrieur du ruban.

[Field B, i,e/.s~i.v.,. inside the strip.]

Fig. 5. champ E, _en fonction de _z h l'extdrieur du ruban.

[Field E, _{i'ei.v~ii =,} outside the strip.]

Ey/Emax

Bx/Bmax

o,888 z=0 x=o

0,87

0,444 0,725

0,58 ^{~ '~}

i i

Y"~h _~~444

0 0,888

500 300 100 0 100 300 500 3,75 2,5 1,25 0 1,25 2,5 3,75

X (Pm) _{z (mm)}

Fig. 6. Fig. 7.

Fig. ^6. champ B, en fonction de _; h l'ext6rieur du ruban.

[Field B, i>eis~is <, outside the strip.]

Fig. 7. champ E, _en fonction de ₌ h l'extdneur du ruban.

[Fief _{E~ i,eis~is =,} outside the strip.]

2278 JOURNAL DE PHYSIQUE III N° I1

By/Bmax Ez/Emax

z=0 x=0

y=-h/loo y*-h

0

~

0,ill

,

i _i

,

i

,

I I

,

I I

,

I

0,ill ^W2

500 300 100 0 100 300 500 3,75 2,5 1,25 0 25 2 5 3 75

~ ~~~~

z (mm)

Fig. 8. Fig. 9.

Fig. 8. champ B, en fonction de _i h l'extdrieur du ruban.

[Field B, _{versus x,} outside the strip.]

Fig. 9. champ E.

en ffinction de

z h l'ext6rieur du ruban.

[Field E, _{iers~is =,} outside the strip.]

La comparaison _avec des rdsultats obtenus pour une valeur de A~ plus petite _que prdcddemment (A

~ ⁼ l 500 1), _montrent

que les composantes ^{de B h} l'extdrieur augmentent ^si A

~ diminue.

L'hypothbse consistant h ndgliger l'dpaisseur du supraconducteur dans le calcul du potentiel

vecteur _ne permet _pas ^d'dtablir la continuitd des champs h la surface du ruban.

Par _contre, le calcul des expressions analytiques laisse la possibilitd de _remonter h la

puissance rayonnde.

Conclusion.

En supposant connues les caractdristiques de la densitd de _courant d'un rdsonateur lindaire supraconducteur en structure microbande, _{nous avons} obtenu _une expression analytique du champ dlectromagndtique h l'intdrieur _et h l'extdrieur du ruban supraconducteur. Ces r6sultats,

en prdsence d'un didlectrique homogdne, _sont valables dans la quasi-totalitd du volume. Leur

analyse a mis _en Evidence _une structure de modes hybrides. Cependant, selon l'axe de

propagation, la composante E~ reste toujours infdrieure _aux composantes E~ et E~. ^Dans ces

conditions, le milieu didlectrique homog6ne _peut dtre consid6rd, _{pour une} frdquence fixde,

comme un milieu h _constante didlectrique effective, rdsultant d'une configuration classique de

ligne microbande [13]. Un modble de guide Equivalent [14] _permettra d'obtenir J(0) _et les valeurs du coefficient de qualitd II 5], si l'on accepte un modble de penes, h la fois pour le

didlectrique et pour le supraconducteur.

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