Table des Matières

Table des Matières

Chapitre 1 Outils principaux

1.1

1.1.1 Définitions basiques ………. 2

1.1.2 Formule de Poisson-Jensen ………... 4

1.1.3 Reformulation de la formule de Jensen : La naissance de la théorie de Nevanlinna ….. 6

1.1.4 Propriétés de la fonction caractéristique de Nevanlinna et son Premier Théorème ……. 9

1.1.5 Ordre de croissance, exposant de convergence d’une fonction méromorphe ………….. 14

1.1.6 Indice de défaut de Nevanlinna ……….. 20

1.1.7 Mesure et densité ………. 21

1.2 Théorie de Wiman-Valiron ………. 22

1.2.1 Définitions ……….. 22

1.2.2 L’ordre de croissance selon Wiman-Valiron ……… 25

1.2.3 Le théorème principal de Wiman-Valiron ……… 26 1.3 L.univers p-adique………..……… . 26

1.3.1 Les valeurs absolues de Q ………

27

1.3.2 Le corps des nombres p-adiques ………

28

1.3.3 Le corps Cp ……….

32

1.3.4 Les fonctions analytiques p-adiques………..

34

1.3.5 Zéros des fonctions entières ……….

41

Chapitre 2

Sur l’unicité des fonctions entières

2.1 Historique du problème ………. 46

2.1.1 Les fameux théorèmes de Rolf Nevanlinna ………. 46

2.1.2 Les améliorations de Gundersen ……….. 48

2.1.3 Unicité des fonctions entières et leurs dérivées ………. 49

2.2 Nos Résultats ………. 52

2.2.1 Conjecture de Rainer Brück ……….. 52

2.2.2 Article 1 : Résultats sur les valeurs partagées des fonctions entières et leurs polynômes différentiels homogènes ……….. 53

2.2.3 Article 2 : Théorèmes d’unicité des fonctions entières et polynômes différentiels ………… 62

2.2.4 Article 3 : Sur la conjecture de Brück et les polynômes différentiels ……….. 69

Chapitre 3 Sur les équations différentielles complexes

3.2 Article 2 : Sur l’exposant de convergence itératif des solutions d’une équation différentielle linéaire à coefficients fonctions entières et méromorphes ……… 97

Chapitre 4

Croissance et oscillation des équations différentielles linéaires à

coefficients méromorphes d’ordre

4.1 Croissance et oscillation des équations différentielles linéaires à coefficients méromorphes d’ordre [p , q]−φ

……….……. 115

Chapitre 5 Sur les équations p-adiques

5.2 Résultats ……….. 137

5.2.1 Opérateurs aux q-différences et q-Wronskien ………. 138

5.2.2 Le cas s=2 ………. 144 5.2.3 Cas général (s ≥ 1) ………

151

Bibliographie