Relations entre l'état angulaire d'une vapeur atomique soumise au pompage optique et ses propriétés d'absorption et de dispersion - Seconde Partie

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Relations entre l’état angulaire d’une vapeur atomique

soumise au pompage optique et ses propriétés

d’absorption et de dispersion - Seconde Partie

F. Laloë, M. Leduc, P. Minguzzi

To cite this version:

F. Laloë, M. Leduc, P. Minguzzi. Relations entre l’état angulaire d’une vapeur atomique soumise au

pompage optique et ses propriétés d’absorption et de dispersion - Seconde Partie. Journal de Physique,

1969, 30 (4), pp.341-349. �10.1051/jphys:01969003004034100�. �jpa-00206792�

RELATIONS

ENTRE

L’ÉTAT

ANGULAIRE

D’UNE VAPEUR

_ATOMIQUE

SOUMISE AU POMPAGE

_OPTIQUE

ET SES

PROPRIÉTÉS D’ABSORPTION

ET DE DISPERSION

Seconde

Partie

₍₁₎

Par F.

LALOË,

M. LEDUC et P. MINGUZZI

_(2),

Faculté des Sciences de Paris, Laboratoire de _{Spectroscopie} Hertzienne de l’E.N.S., associé au C.N.R.S.

(Reçu

le 31 octobre

_1968.)

Résumé. 2014 On étudie dans cet article le lien

_qui

existe entre

_{l’anisotropie}

des

_propriétés

optiques

d’une vapeur

atomique

et les

_{propriétés angulaires}

des atomes dans l’état fondamental. La direction du faisceau lumineux

_qui

se _propage dans la _{vapeur, ainsi que} l’orientation et

l’alignement

des atomes sont

_{quelconques ;}

l’influence de

_chaque

observable de l’état

fonda-mental est discutée de manière détaillée à

_partir

d’un modèle

_{géométrique.}

Ce dernier fait intervenir d’une manière

_qui

est

_précisée

au cours de l’article un vecteur _{pour caractériser}

l’orientation, un

_ellipsoïde

_pour

_{l’alignement.}

On retrouve ainsi un certain nombre de

_prévisions

théoriques

établies de manière différente dans un

_précédent

article.

Abstract. 2014 In

this paper, we

_study

the relation between the

anisotropic optical properties

of an atomic _vapour and the

_angular

characteristics of the atomic

_ground

state. The direction

of the

_light

beam

_{travelling through}

the _vapour, as well as the orientation and

_alignment

of

the atoms are set at no

_particular

value. The influence of every

ground

state observable

is discussed in detail within the frame of a

_geometrical

model. It involves a vector and an

ellipsoid

to describe

_respectively

the atomic orientation and

_alignment.

One establishes in

this _way a number of results

_which

are identical to those obtained

_previously

from a different

view-point.

II.

INTERPRÉTATION

GÉOMÉTRIQUE

Dans la

_{premiere partie}

de cette 6tude

_{[1], l’influence}

sur le

_{signal optique}

des diverses

_{grandeurs atomiques}

dans 1’etat fondamental

_{(orientation, alignement)}

a

ete 6tudi6e a

_partir

d’un calcul

_qui

fait intervenir le

formalisme des

_op6rateurs

tensoriels irréductibles.

Cependant,

dans un certain nombre de

publications

ant6rieures

_{[2], [3], [4], 1’interpretation}

de certains

signaux

de detection

_optique

est faite de maniere toute

differente : elle utilise une

_{representation geometrique}

de la

_polarisation

des atomes dans 1’6tat

_fondamental;

cette

_polarisation

est notamment caract6ris6e _par un

vecteur,

qui

d6finit l’orientation des atomes et

_qui

se

comporte dans un

_{champ Ho}

comme un

_dipole

magn6tique.

Or,

dans le cas

_general,

1’etat

_angulaire

de _{la vapeur} ne _peut etre caractérisé _par la seule

donnee des trois composantes d’un vecteur; on voit

donc _que les

_{representations g6om6triques qui}

viennent

d’etre cit6es ne sont _pas

_toujours

suffisantes

_(elles

le

sont

_lorsque

1’6tat fondamental ne

_comprend

_que deux

sous-niveaux;

c’est par

exemple

le cas de

_l9sHg),

C’est

pourquoi

nous allons montrer, dans la deuxieme

_partie

de ce

_travail,

comment on _peut donner une

interpr6-tation

_g6om6trique

utilisable dans le cas

_general

des

propri6t6s optiques

d’une vapeur. Nous verrons

qu’aux

trois

_param6tres

_qui

définissent l’orientation on

_peut

associer un _{vecteur, alors que les}

cinq parametres

dont

depend 1’alignement

conduisent a introduire un

ellipsoide.

Les

_{equations qui}

sont donnees dans la

_premiere

partie

ne _{permettent pas} d’introduire ais6ment de

telles considerations

_{g6om6triques.}

C’est

_pourquoi

nous

consacrons le

_paragraphe

suivant a mettre les resultats

alg6briques

dej a

obtenus sous une forme

légèrement

differente,

dans

_laquelle

la direction du faisceau

lumi-neux d6tecteur ne

_{joue plus}

un role

privil6gi6.

A. Introduction de la mattice M. - Introduisons

un

systeme

d’axes

Oxyz,

independants

du faisceau

lumineux,

et lies _par

_exemple

au

_{champ magn6tique}

statique.

L’état

_angulaire

de la _vapeur

_atomique

est

alors defini par les valeurs moyennes dans 1’etat

fonda-mental d’un certain nombre

_{d’operateurs}

tensoriels

342

Uq(k)

dont les composantes standards relatives aux axes

Oxyz

ont _pour

_{expression :}

Les

_op6rateurs

_Uq(k)

s’obtiennent _par rotation a

_partir

des

_op6rateurs

_{T q (k)}

d6finis en

_(I.

A.

_11).

La matrice

_B(t)

utilis6e dans la

_{premiere partie}

agit

dans le _sous-espace

_{F(2) XY}

des vecteurs

_polarisation

contenus dans le

_plan

XOY. Par

_{generalisation}

de

_B(t),

on introduit un

_operateur

_M,

_agissant

dans

_1’espace

a trois dimensions de toutes les

_{polarisations}

lumi-neuses

_possibles,

dont les elements de matrice sont

d6finis _{par :}

M est une matrice

hermitique,

d6finie

positive.

Consid6rons une direction

_quelconque

OZ de

pro-pagation

du faisceau lumineux

_détecteur,

a

_laquelle

correspond l’op6rateur PXY

de

_projection

sur les

vec-teurs

_polarisation

du

_plan

XOY. B et M sont relies

par

1’egalite :

B est la restriction de M au _sous-espace

utilisant

_{( I . A .1 )}

et

_{(II. A. 3),}

on obtient :

Par

_comparaison

avec

_{(I. A.1),}

on voit _que

_{M joue}

ici

un role

analogue

a celui de B dans la

premiere partie.

I1 est

_possible

de calculer les elements de la

ma-trice M en fonction des valeurs _{moyennes :}

des

_operateurs

_Uq(k)

définis

_plus

haut.

_Soient

_{I ex ),}

I

ey )

et

I e z )

les trois vecteurs de F(3)

_{correspondant}

aux

_{polarisations planes}

_paralleles

à

Ox,

Oy

et

_Oz;

on _{pose :}

le+),

e 0 >

et

e- >

correspondent,

dans les axes

_Oxyz,

aux

_{polarisations}

_0’+, 1t et a_. On

_peut

d6composer

M

en trois

_parties

en _{posant :}

ou les trois matrices

_{hermitiques M(O),}

M(1) et M(2) ont

pour

expression,

dans la

base

e, >,

e°

>,

e- ) :

(1

est la matrice unite a trois

_dimensions)

M(O) ne

_depend

_que de la

_population

totale de 1’etat

_fondamental,

M(1) _que de son orientation et

M(2) _que de son

_alignement.

Nous allons 6tudier

suc-cessivement l’influence de ces trois matrices sur la

modification de la matrice

_polarisation

lumineuse. B.

Influence

de la

population

totale de Ildtat

fonda-mental. - M(O) est d6finie

par

1’equation (II . A . 7) ,

of (

U(O) >

est une _constante,

_{égale à}

c(O). Si l’on pose :

M(O) est donc une matrice

_scalaire,

constante et

posi-tive. On voit alors sur

_{(II. A. 4)}

_que M(O)

correspond

a une

_absorption

_isotrope

de la

_lumiere,

ind6pen-dante de la direction de

_propagation

du faisceau

lu-mineux,

de sa

_polarisation

et de 1’6tat

_angulaire

de la vapeur.

C. Influence de l’orientation. -

L’expression

de la matrice M(1) est donnee en

(II . A . 8),

, dans la base

I

e+

>,

eo >,

I e- ); il

est commode d’6crire M(1) dans la

_base

_{ex >,}

_{e,, >, ez ),}

en fonction des _composantes

du moment

_cin6tique

₁₎

dans 1’6tat fondamental.

On

_obtient,

en utilisant

_{l’égalité (I.}

A.

_{12) :}

On voit que 1’action de

l’op6rateur

M(1) sur un

vecteur

_polarisation

_{I e,,, >}

_quelconque

s’écrit :

où I >

est le vecteur de F(3) _{defini par :}

La formule

_(II.

C .

₂₎

_permet

de

_calculer

ais6ment l’action sur

Pour

_interpreter

cette

_égalité,

il est utile de

_rappeler

la

_{signification}

_physique

du

_{vecteur B}

_{I ex,, >,}

dans le

cas des

_{6paisseurs optiques}

faibles : on montre dans

JP3

et

_JP4

_que la modification de la matrice

polarisa-tion du faisceau

_lumineux,

lors de la travers6e de la

vapeur

atomique,

peut etre obtenue en

_ajoutant

au

champ 6lectrique

de l’onde incidente le

_{champ rayonn6}

en avant _par les _atomes, ce

_qui

revient a

_ajouter

au

vecteur

_polarisation

_{I e,,, >}

un

vecteur

I e R >,

tres

petit devant

I e,,, >,

et donne par :

(II . C . 4)

nous _permet donc de calculer la contri-bution de l’orientation au

_{champ 6lectrique}

_rayonn6

par la vapeur,

qui correspond

a :

Nous retrouvons donc un

_résultat,

6tabli dans

JP4 [5],

que nous avons utilise dans la

_premiere

partie :

les _composantes de l’orientation dans le

plan

XOY ne contribuent _pas au

_{signal optique.}

De

plus,

on voit sur

_{(II. C. 5)}

_que 1’effet de B(1) sur le

vecteur

_{I e,(, >}

correspond

a une rotation infinitésimale

autour de

_OZ;

les

_{polarisations}

_principales

de la

vapeur orientee sont donc les deux

_{polarisations}

cir-culaires droite et

_gauche

_{par rapport} a OZ : nous

retrouvons le lien entre

_{l’orientation (}

_{Iz )}

et les

pro-pri6t6s

de dichroisme et de

_{birefringence}

circulaires de la _vapeur.

Enfin,

lorsque

I e,(, >

correspond

a une

_polarisation

lin6aire,

nous _pouvons retrouver

_{géométriquement}

un

certain nombre de resultats de la

_partie

I.

L’expres-sion

_(II.

C.

₅₎

montre

_qu’alors

le

_{champ rayonn6}

_par la _vapeur a une

_polarisation

_lin6aire,

_{perpendiculaire}

a la

_polarisation

du faisceau incident

_(nous

retrouvons

ainsi un resultat 6tabli _par

_Happer

et Mathur

_[6]).

Si le faisceau lumineux d6tecteur est

_r6sonnant,

le

champ rayonn6

est en

_quadrature

de

_phase

avec le

champ

incident : la

_polarisation

transmise est donc

16g6rement

elliptique,

mais la

_projection

du

_champ

total

_sur

_{I e.. >}

ne varie _pas au

_premier

ordre : la

quantite

de lumiere absorb6e _par la _vapeur ne

_depend

donc _pas

_{de I z}

_>.

Pour detecter cette

_observable,

il serait n6cessaire d’utiliser un

_analyseur

_pour me-surer le

_degr6

de

_polarisation

circulaire du faisceau

transmis.

Si le faisceau d6tecteur est non

_r6sonnant,

le

_champ

rayonn6

est en

_phase

avec le

_champ

incident. Nous voyons donc

qu’au premier

ordre 1’effet de la vapeur sur la lumiere se traduit _par une rotation du

_plan

de

polarisation

(effet

Faraday).

D. Influence de

1’alignements.

-1. MATRICE M(2).

-

L’expression

de la matrice M(2) dans la

_base

_{e+ >,}

eo >,

e- )

est donnee en

_{(II. A. 9).}

Comme dans le cas de

_{l’orientation,}

calculons cette matrice dans la

344

ou encore :

avec :

Dans cette

_base,

M(2) et M(2) sont des matrices

sym6triques

r6elles : leurs valeurs propres et leurs

vecteurs _propres sont donc

reels,

et les

_{polarisations}

propres

correspondant

a

1’alignement

sont lin6aires.

Dans le

_paragraphe

_precedent,

nous avons

repr6-sent6

_{géométriquement}

1’action de l’orientation sur

les

_{polarisations}

lumineuses en introduisant un

vec-teur

I >.

Nous allons voir

_qu’il

est commode de faire intervenir dans le cas de

_{I’alignement}

une

repr6senta-tion

_g6om6trique

utilisant un

ellipsoide.

2. ELLIPSOIDE DES ALIGNEMENTS. -

a) Définition.

-Consid6rons comme donnee la matrice densite des

atomes dans 1’etat fondamental. Nous cherchons à connaitre

_{1’alignement 3 I’ð )}

-

I(I + 1)

des

ato-mes dans une direction Q

_quelconque.

Dans ce

but,

nous introduisons un

_point

_P,

de coordonn6es x, y, z,

tel _que OP soit

_parallele

a la direction

Q,

et d6fini _{par :}

et

/’fJ >

est donc donne _{par :}

En _portant

_{( Ifi ) = I jr}

dans

_(II.

D.

_6),

on

obtient :

qui

est

_1’6quation

d’un

_ellipsoide

de centre 0. On

_peut

encore Fecrire :

ou 1(2) est la matrice d6finie en

(II.

D.

3).

Le

_point

P est donc astreint a se

d6placer

sur un

ellipsoide f!fal,

défini _par une forme

_quadratique

dont

la matrice est M(2)

_(on

_{peut remarquer}

_l’analogie

6troite entre

_{1’ellipsoide}

des

_alignements

et

_{1’ellipsoide}

d’inertie d’un _corps

_solide,

introduit en

_m6canique

rationnelle).

La direction du

_grand

axe est celle

_qui

rend

_{J2 >}

_minimum,

celle du

_petit

_axe

_{I >}

maxi-mum. On

_peut

calculer a

partir

de

_(II.

D.

5)

la valeur

moyenne

de

Ih )

dans toutes les directions de

Fespace;

on obtient :

L’ellipsoide

al

est donc en

partie intérieur,

en

_partie

ext6rieur a la

_sphere

de centre 0 et _{de rayon}

Notons _que, dans le cas

general l’ellipsoide

n’est pas de

revolution,

de sorte

_qu’il

n’existe pas d’axe

autour

_{duquel I’alignement}

soit invariant _par rotation

(contrairement

a

_{l’orientation).}

Dans le

_systeme

des

axes

_principaux

de

_{l’ellipsoide,}

on a :

On montre _que ces conditions sont

_6quivalentes

a :

Pour _que

_{l’ellipsoide}

soit de

_revolution,

il faudrait en

plus

que, dans le

systeme

de ses axes

_principaux,

U(2) >

soit nul.

Lorsque

le

_{spin I a}

une valeur

entiere,

l’ellipsoïde

Eal

peut,

dans certains cas, subir une

dégénérescence

et

devenir un

_cylindre

de revolution

_{(voir appendice II).}

b)

Section de

_{l’ellipsoide}

par

un

_plan

XOY

_quelconque

contenant 0. - Cette section est _une

ellipse.

Consid6rons

un

point Q

quelconque

de cette

_ellipse,

d6fini _par

l’angle polaire cp

=

(OX, OQ),

et

_{appelons I,}

la

projection

de I sur

_{OQ ;}

on a :

Les axes de

1’ellipse correspondent

aux directions pour

lesquelles

J2 >

est

_{stationnaire,}

c’est-a-dire aux

valeurs de cp donnees par :

ou encore :

Soient a et b les

longueurs

du

grand

et du

_petit

axe

de

_1’ellipse;

on a :

On _peut construire

_{géométriquement}

les deux axes

(voir fig. 3) :

on sait

_{qu’en general}

on _peut faire _passer par 0 deux

plans P,

et

_P2

de section circulaire de

_6.1,

qui

contiennent tous _{deux 1’axe moyen de}

_{1’ellipsolde;}

soient

_D1

et

_D2

les droites d’intersection de

_Pi

et

_P2

avec le

_plan

XOY : les axes de

_1’ellipse

sont les bissec-trices de

_Di

et

_D2.

c) Propriétés

diverses de

_{l’ellipsoïde.}

-

Lorsque

l’on donne des valeurs

_{particulieres}

aux

_quantités

_{U(k) >,}

l’ellipsoide

peut

presenter

diverses

_propri6t6s

geome-triques simples.

Un certain nombre de cas

_{particuliers,}

qui

nous seront utiles dans la

_suite,

sont rassemblés

sur le tableau IV.

346

FIG. 3.

3. LUMIERE ABSORBEE

_LA(ex,,)

POUR UNE POLARI-SATION

_eÀo

LINÉAIRE

(3).

-

Lorsque

le faisceau

détec-teur a une

_polarisation

_ex.

lin6aire,

on

_peut

connaitre

la lumiere absorb6e

_LA(eÀJ

en utilisant

_uniquement

1’ellipsoide Eal.

En

_effet,

_LA(eÀJ

_comprend

trois par-ties : la

_{premiere qui}

_correspond

à la

_population

totale de 1’etat

_fondamental,

_qui

ne

_depend

ni de

_eao,

ni

de _af, et

_qui

est donc une constante

_{(cf. §}

_{I I . B) ;}

la seconde

_{qui correspond}

a

_{l’orientation,}

_qui

est nulle

(cf. §

II.

_C);

_enfin,

la derniere

_{qui depend}

de

1’aligne-ment, que nous allons

_étudier,

et

_qui

est

propor-tionnelle a :

Si nous choisissons comme axe OX la direction de

la

_{polarisation incidente}

_{I eÀo >,}

nous avons donc :

L,(ex.) ne

depend

donc _que de

_{l’alignement}

dans la

direction de la

_polarisation

lumineuse.

_{L’ellipsoide}

des

alignements

permet ainsi de voir tres

_rapidement

comment varie la lumiere absorb6e _pour une

polari-sation

_plane

_quelconque.

Par

_exemple,

le

_grand

axe

et le

_petit

axe

_{correspondent}

aux

_{polarisations}

_qui

sont

le

_plus

et le moins absorbees. Le dichroisme lin6aire de la vapeur est donc maximum _pour la direction de

propagation

du faisceau lumineux

_qui

est

_parallele

à

1’axe moyen de

Eal.

4. POLARISATIONS PRINCIPALES, DICHROISME ET BIRE-FRINGENCE _{D’UNE VAPEUR,} DANS LE CAS OU

L’ORIENTA-TION EST NULLE. - Consid6rons

une direction de

(3)

On montre dans

_JP1

et

_{JP2 [8]}

_qu’il

existe une

grande sym6trie

entre

_{1’expression}

de

_LA(eÀo),

lumiere

absorb6e

_{par la}

_vapeur, et celle de

LF(eÀ),

lumiere de fluorescence emise par la _{vapeur. Cette}

_{sym6trie permet}

de

_transposer

imm6diatement la

_plupart

des resultats

de cette

_partie

a 1’etude de la

_polarisation

de la lumiere de

fluorescence 6mise par des atomes

_alignes

dans 1’6tat excite.

propagation

OZ

_quelconque.

Les

_{polarisations}

prin-cipales

de _{la vapeur}

_{correspondent}

aux vecteurs

propres de

l’op6rateur B

=

PXyMPXY. Lorsque

l’orientation est

_nulle,

la matrice M(1) 1’est

_aussi;

M(O) 6tant

_{proportionnelle}

a la matrice

_unite,

les

polarisations

principales

sont donc

_simplement

les

vecteurs _{propres de}

_{l’op6rateur}

B(2) =

PXY M(2) P XY.

On voit sur

_{(II . D .16)}

_que B(2) est une matrice

sym6-trique

r6elle;

les

_{polarisations}

_propres sont donc des

polarisations

lin6aires

a > et

b >

orthogonales

entre

elles.

Si nous choisissons comme axes OX et OY les directions

_de

_{a > et}

b

>,

nous

obtenons,

en 6crivant que la matrice B(2) donnee en

_{(II . D .16)}

est

_{diagonale :}

On voit donc

_{(cf. égalité (II . D .13) )}

_que

a >

et

b >

sont

_port6s

par les axes de

1’ellipse

intersection de

l’ellipsoide

des

_alignements

avec le

plan

XOY. Le dichroisme et la

_{birefringence}

de la vapeur,

c’est-a-dire la

_{différence na}

_{- nb} entre les deux indices

principaux,

sont

_{proportionnels}

a la difference des

alignements

dans les deux

_directions

_{a > et}

_b

_>;

si a et b sont les

_longueurs

des deux axes de

1’ellipse,

li6es _par la relation

_{(II. D. 15),}

on a :

La

_regle

_pour construire les

_{polarisations principales}

d’une _vapeur

_alignee

est donc

_{simple :}

on considere

l’intersection de

_{l’ellipsoïde}

des

_alignements

avec le

plan

passant

par

0,

perpendiculaire

a la direction de

propagation

du faisceau

_lumineux;

les

_{polarisations}

principales

sont

_port6es

_par les axes de

_l’ellipse

ainsi

obtenue ;

la difference relative des deux indices

principaux

augmente avec l’excentricité de

_1’ellipse.

Pour determiner

_{géométriquement}

les

_{polarisations}

principales,

on

_peut

utiliser la construction

_rappelee

au §

D.2.b.

Si le

_plan

XOY est confondu avec un des deux

plans

de section circulaire

_Pl

ou

P2,

c’est-a-dire si

(if +

ijy) 2 >

= 0

(cf. § D. 2. c),

la

vapeur se

com-porte

optiquement

comme un milieu

isotrope.

Il existe

donc deux directions de

_{propagation OZ,}

et

_OZ2

_pour

lesquelles

la _vapeur

_alignee

ne

_pr6sente

ni

dichroisme,

ni

_{birefringence ; OZ,}

et

_OZ2

sont contenues dans le

plan

du

_grand

axe et du

_petit

axe de

Eal.

S’il existe un axe autour

_{duquel Eal}

est de

_revolution,

_OZ,

et

OZ2

sont confondues avec cet axe.

5. APPLICATION AUX CAS PARTICULIERS ETUDIES DANS

LA PREMIERE PARTIE. - Nous allons revenir _sur les

deux cas

_particuliers

etudies

_{au §}

I.

_C,

et montrer que

les resultats obtenus alors _pour les

_signaux

corres-pondant

a

_{1’alignement}

_peuvent

etre retrouv6s

geome-triquement,

en utilisant

l’ellipsoide Eal.

Nous

consi-d6rons donc une _vapeur soumise au _pompage

optique

dans les conditions

_qui

ont ete d6finies en I. C. On

densite

_{af (t) correspond}

a une rotation uniforme de vitesse

angulaire m

autour de

_Ho.

L’6volution de

l’ellipsoïde Eal

est donc tres

_{simple :}

il tourne sans se

d6former,

avec une vitesse _constante, autour de

_Ho.

a) Lorsque

le

_faisceau

lumineux se

_propage

_{parallèlement}

au

_champ

magnitique

_{Ho., I’axe}

de rotation est

_parallèle

à la

direction du faisceau

_lumineux,

de sorte _que l’inter-section de

_d’al

avec le

_plan

XOY est une

ellipse qui

tourne, sans se

_d6former,

a la

_pulsation

w autour de

son centre 0. Les

_{polarisations principales}

se

d6placent

de la meme

_maniere,

et la _vapeur est

_6quivalente

à une lame

_{birefringente}

et

_dichroique,

dont les indices

principaux

sont _constants, et

_qui

tourne autour de

_Ho

a la vitesse

_angulaire

w.

11 est clair _que,

_lorsque

cette lame a tourne de

_1800,

elle se trouve dans une

_{position 6quivalente,}

du

_point

de vue

_optique,

a sa

_position

de

_{depart :}

les

_signaux

modules ont donc la

_pulsation

2w. De

_plus,

on voit

qu’une

modification de

_1’angle

_’F1

_qui

d6finit la

pola-risation

_plane

incidente revient a un

_simple

change-ment de

_l’origine

des _{temps :} les

_{signaux dependent}

donc de t et

_’F1

_par l’interm6diaire de la

_quantite

2(ot-’F1).

Enfin,

on _{remarque que les}

_signaux

dus aux transitions r6elles sont maximaux

_(ou

_minimaux)

au moment ou les axes de la lame

_{birefringente}

sont

paralleles

a la direction

_Tl;

au

contraire,

ceux

qui

sont dus aux transitions

virtuelles,

obtenus en mesurant

le

_degr6

de

_polarisation

circulaire du faisceau lumineux

transmis,

sont maximals

_{(ou minimals)}

au moment

ou les axes de la lame font un

angle

de 450 avec la

direction

_Tl.

L’ensemble de ces _{remarques permet} de

conclure

_qu’avec

un faisceau r6sonnant le

signal

module est

_{proportionnel}

a cos

(2wt

-

2’F1),

et avec un faisceau non r6sonnant a sin

(2wt

-

2TB);

nous

retrouvons donc bien tous les resultats

_{du §}

I . C .1 de Particle

_{precedent [1].}

b)

Lorsque

le

_faisceau

lumineux se

_propage

perpendiculai-rement au

_{champ magnitique}

_Ho,

_{l’interprétation}

géomé-trique

est en

_general

moins

_simple

_que dans le cas

precedent.

Les

_plans

_P,

et

_P2

tournent autour de 1’axe

_Oz,

contenu dans le

_plan

XOY

_{(cf. fig. 2),}

de

sorte _que les droites

_Di

et

_D2

effectuent un mouvement

oscillant

_compliqu6

dans ce

_plan.

Les axes de

_1’ellipse,

ainsi _que sa

_forme,

varient donc au cours du _temps.

Nous allons voir toutefois _que,

_lorsque

l’on _suppose

que seules certaines composantes de

Falignement

sont

non

_nulles,

on _peut obtenir

géométriquement quelques

résultats

_simples.

Modulations lumineuses a la

_pulsation

2co. - Ces

modu-lations sont dues aux oscillations des valeurs moyennes

U(2) >; il

est donc

_possible

de les 6tudier en

_supposant

que les valeurs

moyennes

+ 1 >

sont nulles

_(4).

Dans ce cas

(cf.

tableau

IV,

propriete 7),

Oz est un des trois

(4)

Rappelons

que dans tout cet article nous _supposons que

1’6paisseur

optique

de la _vapeur est faible ; les

_signaux

optiques

dependent

donc lin6airement des

_grandeurs

uq (k)

axes de

Eal;

les axes de

_l’ellipse

sont alors OX et OY

(voir fig. 4).

La

_longueur

a de 1’axe

port6

_par OX est

constante, alors que la

longueur b

de l’axe

port6

par OY varie

périodiquement

dans le temps avec la

FIG. 4.

pulsation

2w

_(en

effet,

tffal

est invariant dans une

rotation de 1800 autour de

_Oz).

Nous sommes donc

dans un cas

complémentaire

de celui

qui

vient d’etre

6tudi6 : les

_{polarisations principales}

_{de la vapeur} sont

fixes

_(parallele

et

_{perpendiculaire}

a

_Ho)

et c’est la difference des deux indices

_principaux

_qui

évolue à

la

_pulsation

2m

_(1’un

des deux indices restant

_constant)

Avec un faisceau r6sonnant

polarise

lin6airement,

1’amplitude

de la modulation a 2w observ6e est

pro-portionnelle

a la variation de

_{1’alignement}

dans la direction

_Tl,

_qui

est li6e a la variation Ar du rayon

vecteur

_{correspondant}

de

_1’ellipse

_{(cf. fig. 4).}

Or

1’equation

de cette

_ellipse

est :

La variation de

_{1’alignement}

est

_{proportionnelle}

a :

ð(1/r2)

=

sin2T,A(l/b 2) .

L’amplitude

de la

modu-lation a 2w varie donc en fonction de

T,

comme

sin2 Tl.

Avec un faisceau non r6sonnant

polarise

lin6aire-ment et un

analyseur

circulaire,

on d6tecte un

signal

proportionnel

aux taux de

_polarisation

circulaire de la lumiere transmise. On voit _que,

_lorsque

_T,

= 0 _ou

Tc/2,

ce taux est

_nul;

on montre ais6ment que,

lorsque

T,

est

_quelconque,

il est

_{proportionnel}

a sin

_2T,,.

Nous retrouvons donc tous les resultats

_{du §}

I. C. 2. a

de la

_{premiere partie}

de cette 6tude

_[1].

Modulations lumineuses a

_{la pulsation}

(0. - Pour 6tudier

ces

_modulations,

nous allons _{supposer que} les seules

composantes de

1’alignement

non nulles sont les

com-posantes

U)l).

Dans ce cas

(cf.

tableau

IV,

pro-pri6t6

5),

1’un des

_plans

de section circulaire de

_4’al

est

_xOy,

tandis _que 1’autre contient Oz. Les droites

_D1

et

_D2

sont donc confondues avec OX et

_OY,

de sorte

348

FIG. 5.

de OX et OY

_{(voir fig. 5).}

Les

_{polarisations principales}

sont donc dans ce cas a 450 du

_champ

magn6-tique Ho

(5).

Les _quatre

_points

de

_1’ellipse

sur les axes OX et OY

sont

_fixes;

on montre ais6ment _que ceci _{entraine que} les

_longueurs

a et b des deux axes de

_1’ellipse

sont reli6es

par la relation

1/a2

+

1/b2

= _constante. La _somme

des deux indices

_principaux

est _{constante; c’est leur}

difference

_qui

est modul6e a la

_pulsation

m.

Comme

_plus

_haut,

on calcule la variation de

1’ali-gnement dans la direction

_’¥1

en utilisant

1’equation

de

_{1’ellipse :}

On a donc :

et

_{l’amplitude}

des

_signaux

modules a la

_pulsation

(ù,

obtenus avec un faisceau r6sonnant

polarise

lin6aire-ment, est

_{proportionnelle}

a sin

_2T,.

On _peut

_6galement

6tudier le cas ou le faisceau

d6tecteur est non r6sonnant et

_polarise

lin6airement. On constate _{alors que la}

_disposition

des axes de la

lame

_{birefringente 6quivalente}

est telle que les

modu-lations lumineuses de

_pulsation

w sont

_{proportionnelles}

a cos

2T,.

Nous retrouvons donc bien tous les resultats du

§

I. C. 2. b de la

_{premiere partie [1].}

E. Cas

general.

- Dans le _cas

general,

la vapeur

possede

a la fois de l’orientation et de

_{l’alignement}

(5)

Nous retrouvons ici un _{resultat d6montr6 par} ailleurs par Pancharatnam

[9].

dans 1’etat fondamental. Nous nous _{proposons dans} ce

_paragraphe

de montrer comment on _peut alors construire les

_{polarisations principales}

de la vapeur, pour une direction de

_propagation

OZ

_quelconque.

Nous choisissons comme axes OX et OY les axes de

1’ellipse

intersection de

_Eal

_par le

_{plan perpendiculaire}

a

_OZ,

_paralleles

_a

_{a > et}

_{I b),}

de

_faqon

a avoir

(cf. II . D .13) :

En

_reportant

_{(11. E. 1)}

dans

_{1’equation (III.14)}

de

_{JP4 qui}

_permet

de calculer les

_{polarisations}

prin-cipales

sous la forme e-ïe cos

_cp

_{ex )}

+ eia sin

_p

_{ey >,}

on obtient :

ou encore :

Ces resultats montrent _que les deux

_{polarisations}

principales

de la _vapeur sont en

_{general elliptiques.}

Les axes des deux

_{ellipses correspondantes}

sont

paral-lèles aux directions

_de

_{a > et}

_b

_>,

obtenues a

_partir

de

_6a,

_seul;

le _rapport entre les

_longueurs

des axes

est

_6gal

a _{tg cp,}

_{qui depend}

a la fois de l’orientation et

de

_{1’alignement.}

La difference entre les indices

_principaux

se calcule a l’aide de

_1’egalite

_(111.13)

de

_JP4;

on obtient :

Les relations

_qui

viennent d’etre 6crites _peuvent

s’interpréter physiquement

de la maniere suivante : consid6rons un faisceau lumineux

_qui

traverse

succes-sivement un

_polariseur

lin6aire faisant avec la direction

du

vecteur

a >

un

_{angle (p}

d6fini a

7/2 pres

_par la

seconde des relations

_(II.

E.

_3),

_puis

une lame _quart

d’onde,

d’axes

_paralleles

_a

_{a > et}

_{b >}

_{(axe rapide}

I

a

_>);

la

_polarisation

du faisceau ainsi obtenue est une

des

_{polarisations}

_principales

de la _vapeur, de sorte

qu’elle

n’est pas modifi6e lors de la travers6e de la

cellule.

Lorsque Iz >

=

0,

les relations

(II.

E.

3)

donnent

cp =

0,

Tc/2;

nous retrouvons bien comme

polarisations

principales

deux

_{polarisations}

_{planes paralleles}

aux

vecteurs

a > et

b

>.

Pour toutes les directions de

propagation perpendiculaires

à

I >,

les

_{polarisations}

principales

sont

_planes.

Lorsque ( I2X >=

I}),

on _{a cp} =

1t/4, 3rc/4;

les

polariseurs

que nous avons decrits

correspondent

aux

polarisations

circulaires. 11 existe en

g6n6ral

deux

directions de

_propagation

pour

lesquelles

la vapeur

pr6sente

un dichroisme et une

_{birefringence}

cir-culaires : ce sont les directions

_OZ1

et

_OZ2

définies

au §

II.D.4.

La relation

_(II.

E.

₄₎

montre

_{qu’en g6n6ral}

il n’existe

pas de direction de

propagation

pour

laquelle

la vapeur ne

_pr6sente

aucune

_{anisotropie optique.}

Ce cas ne

_peut

se

produire

_{que si} l’on _a, a la fois :

c’est-a-dire si l’orientation dans 1’etat fondamental est

soit

nulle,

soit contenue dans l’un des deux

_{plans P,}

ou

P2

de section circulaire de

_{1’ellipsoide}

des

_alignements.

Conclusion. - Nous _avons

6tudi6 de maniere

pra-tique

et d6taill6e les divers

_signaux

_que l’on peut

obtenir avec un faisceau lumineux auxiliaire dans une

experience

de pompage

optique,

en nous limitant au cas de 1’effet

paramagnétique.

Cette 6tude a mis en

evidence la maniere dont on _peut isoler dans le

_signal

optique

ainsi obtenu l’influence de

_chaque

observable de 1’etat

_fondamental,

au _moyen d’un

_analyseur

et

d’un

_polariseur

convenables. Nous avons montre _que

1’ensemble des

_signaux,

_qui

a

_{priori dependent}

de

maniere

_complexe

des

₍₂₁

+

1)2

elements de la

ma-trice densite af, peut etre

ramen6,

quelle

que soit la

valeur de

_I,

a un nombre relativement restreint de

signaux

correspondant

soit a

_{1’alignement,}

soit a

l’orientation,

et dont les variations en fonction de la

nature du

_polariseur

et de

_{1’analyseur}

sont tres

_simples.

Deux m6thodes ont ete utilis6es dans ce but : la

pre-mi6re consiste en un calcul

_qui

est base sur le

for-malisme des

_op6rateurs

tensoriels

_{irréductibles;}

la

deuxieme,

plus

concrete,

fait intervenir diverses

repr6-sentations

_{g6om6triques,}

et _permet d’aboutir aux

resultats

_pratiquement

sans calculs. Cette derniere

m6thode devrait

_pouvoir

etre

_appliqu6e

avec succes à

1’etude d’autres

_problemes

_que ceux

_qui

ont ete abor-des dans cet article.

Remerciements. - Les auteurs tiennent a remercier

vivement M. C.

_{Cohen-Tannoudji}

_pour son aide et

ses conseils

_qui

ont ete tres utiles a 1’elaboration de ces

articles. Ils remercient

_6galement

le

_rapporteur

de la Commission des Publications du

_Journal

de

_Physique

pour les diverses remarques utiles faites lors de la

lecture du manuscrit.

APPENDICE II

Ddgdndrescences

de

Ilellipsolde

Eal.

- Soient

p,(Q) >

les vecteurs _propres de

_IQ.

Les elements de la

matrice densite sf

s’6crivent,

dans la base

corres-pondante :

af est un

_{operateur hermitique,}

d6fini

_positif;

on

montre ais6ment que ces

_propri6t6s

entrainent

l’in6galit6 :

L’alignement

dans la direction Q est donne _{par :}

avec :

On a donc :

On voit sur

_{(III. 9) que}

J2 >

ne

_peut

etre _{nul que}

lorsque

I a une valeur

_entiere,

et _que toutes les popu-lations

_{0"(1.!J. (.0)}

sont

_nulles,

sauf

_aoo(Q).

_{L’in6galit6}

(III .8)

entraine alors _que toutes les coh6rences

9,,, (Q)

(y

#-

u’)

sont nulles.

En

_g6n6ral,

_{il n’existe pas de direction}

_Qo

_pour

laquelle

J2 " >

soit nul. Si toutefois cette direction

existe,

elle

_correspond

a un vecteur _propre de M(2)

dont la valeur _propre est

_{nulle ;}

_{1’ellipsolde}

_Cal

est donc

d6g6n6r6

en un

_cylindre

_ayant

_Qo

_pour axe.

La nullit6 des coherences

_{a,,,, (Qo)}

_{entraine que O"f}

est invariante _par rotation autour

_{de.oo :}

le

_cylindre

est donc de r6volution autour de son axe; son _rayon

est

y2/1(I

₊

_1).

La

_{dégénérescence}

de

_6’al

ne _peut etre

plus

6lev6e que celle

qui

vient d’etre

d6crite;

en

effet,

si deux valeurs propres de M(2) etaient

nulles,

la troisieme aurait _pour valeur

_{Tr {M2}}

_{= I(I + 1)}

>

12,

ce

qui

est contradictoire avec la deuxieme

_in6galit6

de

_{(III .10).}

BIBLIOGRAPHIE

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