1.2. Série géométrique

Séries

Dans ce chapitre nous allons nous intéresser à des sommes ayant une infinité de termes. Par exemple que peut bien valoir la somme infinie suivante :

1+1 2+1

4+1 8+ 1

16+· · · = ?

2

1 ¹

2 1 4

Cette question a été popularisée sous le nom duparadoxe de Zénon. On tire une flèche à 2 mètres d’une cible. Elle met un certain laps de temps pour parcourir la moitié de la distance, à savoir un mètre. Puis il lui faut encore du temps pour parcourir la moitié de la distance restante, et de nouveau un certain temps pour la moitié de la distance encore restante. On ajoute ainsi une infinité de durées non nulles, et Zénon en conclut que la flèche n’atteint jamais sa cible ! Zénon ne concevait pas qu’une infinité de distances finies puisse être parcourue en un temps fini. Et pourtant nous allons voir dans ce chapitre que la somme d’une infinité de termes peut être une valeur finie.

1. Définitions – Série géométrique

1.1. Définitions

Définition 1.

Soit(u_k)k>0une suite de nombres réels (ou de nombres complexes). On pose S_n=u₀+u₁+u₂+· · ·+u_n=

n

X

k=0

u_k. La suite(S_n)n>0s’appelle lasériede terme généralu_k.

Cette série est notée par la somme infinieX

k>0

u_k. La suite(S_n)s’appelle aussi lasuite des sommes partielles.

Exemple 1.

Fixonsq∈C. Définissons la suite(u_k)k>0paru_k=q^k; c’est une suite géométrique. Lasérie géométriqueX

k>0

q^kest la suite des sommes partielles :

S₀=1 S₁=1+q S₂=1+q+q² . . . S_n=1+q+q²+· · ·+qⁿ . . . Définition 2.

SÉRIES 1. DÉFINITIONS– SÉRIE GÉOMÉTRIQUE

2

Si la suite(S_n)n>0admet une limite finie dansR(ou dansC), on note S=

+∞X

k=0

u_k= lim

n→+∞S_n. On appelle alorsS=P_+∞

k=0u_klasommede la sérieP

k>0u_k, et on dit que la série estconvergente. Sinon, on dit qu’elle estdivergente.

Notations.On peut noter une série de différentes façons, et bien sûr avec différents symboles pour l’indice :

+∞X

i=0

u_i X

n∈N

u_n P

k>0u_k X

u_k.

Pour notre part, on fera la distinction entre une série quelconqueX

k>0

u_k, et on réservera la notation

+∞X

k=0

u_kà une série convergente ou à sa somme.

1.2. Série géométrique

Proposition 1.

Soit q∈C. La série géométriqueP

k>0q^kest convergente si et seulement si|q|<1. On a alors

+∞X

k=0

q^k=1+q+q²+q³+· · ·= 1 1−q

Démonstration. Considérons

S_n=1+q+q²+q³+· · ·+qⁿ.

• Écartons tout de suite le casq=1, pour lequelS_n=n+1. Dans ce casS_n→+∞, et la série diverge.

• Soitq6=1 et multiplionsS_npar 1−q:

(1−q)S_n= (1+q+q²+q³+· · ·+qⁿ)−(q+q²+q³+· · ·+qⁿ⁺¹) =1−qⁿ⁺¹ Donc

S_n=1−qⁿ⁺¹ 1−q

Si|q|<1, alorsqⁿ→0, doncqⁿ⁺¹→0 et ainsiS_n→₁₋¹q. Dans ce cas la sérieP

k>0q^kconverge.

Si|q|>1, alors la suite(qⁿ)n’a pas de limite finie (elle peut tendre vers+∞, par exemple siq=2 ; ou bien être divergente, par exemple siq=−1). Donc si|q|>1,(S_n)n’a pas de limite finie, donc la sérieP

k>0q^kdiverge.

Exemple 2.1. Série géométrique de raisonq =¹₂ :

+∞X

k=0

1 2^k = 1

1−¹₂ =2. Cela résout le paradoxe de Zénon : la flèche arrive bien jusqu’au mur !

2. Série géométrique de raisonq= ¹₃, avec premier terme ₃¹3. On se ramène à la série géométrique commençant à k=0 en ajoutant et retranchant les premiers termes :

+∞X

k=3

1 3^k =

+∞X

k=0

1

3^k −1−1 3− 1

3²= 1 1−¹₃−13

9 =3 2−13

9 = 1 18. 3. Le fait de calculer la somme d’une série à partir dek=0 est purement conventionnel. On peut toujours effectuer

un changement d’indice pour se ramener à une somme à partir de 0. Une autre façon pour calculer la même série

+∞X

k=3

1

3^k que précédemment est de faire le changement d’indicen=k−3 (et donck=n+3) :

+∞X

k=3

1 3^k =

+∞X

n=0

1 3ⁿ⁺³=

+∞X

n=0

1 3³

1 3ⁿ= 1

3³

+∞X

n=0

1 3ⁿ = 1

27 1 1−¹₃ = 1

18 4.

+∞X

k=0

(−1)^k1 2

‹2k

=

+∞X

k=0



−1 4

‹k

= 1 1−⁻¹₄ = 4

5.

SÉRIES 1. DÉFINITIONS– SÉRIE GÉOMÉTRIQUE

3

1.3. Séries convergentes

La convergence d’une série ne dépend pas de ses premiers termes : changer un nombre fini de termes d’une série ne change pas sa nature, convergente ou divergente. Par contre, si elle est convergente, sa somme est évidemment modifiée.

Une façon pratique d’étudier la convergence d’une série est d’étudier son reste : le reste d’ordre nd’une série convergenteP+∞

k=0u_k est :

R_n=u_n+1+u_n+2+· · ·=

+∞X

k=n+1

u_k Proposition 2.

Si une série est convergente, alors S=S_n+R_n(pour tout n>0) etlimn→+∞R_n=0.

Démonstration. • S=P+∞

k=0u_k=Pn

k=0u_k+P+∞

k=n+1u_k=S_n+R_n.

• DoncR_n=S−S_n→S−S=0 lorsquen→+∞.

1.4. Suites et séries

Il n’y a pas de différence entre l’étude des suites et des séries. On passe de l’une à l’autre très facilement.

Tout d’abord rappelons qu’à une sérieP

k>0u_k, on associe la somme partielleS_n=Pn

k=0u_ket que par définition la série est convergente si la suite(S_n)n>0converge.

Réciproquement si on veut étudier une suite(a_k)k>0on peut utiliser le résultat suivant : Proposition 3.

Unesomme télescopiqueest une série de la forme X

k>0

(a_k+1−a_k).

Cette série est convergente si et seulement si`:=lim_k→+∞a_kexiste et dans ce cas on a :

+∞X

k=0

(a_k+1−a_k) =`−a₀.

Démonstration.

S_n =

n

X

k=0

(a_k+1−a_k)

= (a₁−a₀) + (a₂−a₁) + (a₃−a₂) +· · ·+ (a_n+1−a_n)

= −a₀+a₁−a₁+a₂−a₂+· · ·+a_n−a_n+a_n+1

= a_n+1−a₀

Voici un exemple très important pour la suite.

Exemple 3.

La série

+∞X

k=0

1

(k+1)(k+2)= 1 1·2+ 1

2·3+ 1 3·4+· · ·

est convergente et a la valeur 1. En effet, elle peut être écrite comme somme télescopique, et plus précisément la somme partielle vérifie :

S_n=

n

X

k=0

1

(k+1)(k+2)=

n

X

k=0

 1

k+1− 1 k+2

‹

=1− 1

n+2→1 lorsquen→+∞

Par changement d’indice, on a aussi que les sériesP+∞

k=1 1

k(k+1) etP+∞

k=2 1

k(k−1) sont convergentes et de même somme 1.

SÉRIES 1. DÉFINITIONS– SÉRIE GÉOMÉTRIQUE

4

1.5. Le terme d’une série convergente tend vers 0

Théorème 1.

Si la sérieP

k>0u_kconverge, alors la suite des termes généraux(u_k)k>0tend vers0.

Le point clé est que l’on retrouve le terme général à partir des sommes partielles par la formule u_n=S_n−S_n−1.

Démonstration. Pour toutn>0, posonsS_n=Pn

k=0u_k. Pour toutn>1,u_n=S_n−S_n−1. SiP

k>0u_kconverge, la suite

(S_n)n>0converge vers la sommeSde la série. Il en est de même de la suite(S_n−1)n>1. Par linéarité de la limite, la

suite(u_n)tend versS−S=0.

La contraposée de ce résultat est souvent utilisée :

Une série dont le terme général ne tend pas vers 0 ne peut pas converger.

Par exemple les sériesP

k>1(1+¹k)etP

k>1k²sont divergentes.

Plus intéressant, la sérieP

u_kde terme général u_k=

1 sik=2<sup>`</sup> pour un certain`>0 0 sinon

diverge. En effet, même si les termes valant 1 sont très rares, il y en a quand même une infinité !

1.6. Linéarité

Proposition 4.

SoientP+∞

k=0a_ketP+∞

k=0b_kdeux séries convergentes de sommes respectives A et B, et soientλ,µ∈R(ouC). Alors la sérieP+∞

k=0(λa_k+µb_k)est convergente et de sommeλA+µB. On a donc

+∞X

k=0

(λa_k+µb_k) =λ

+∞X

k=0

a_k+µ

+∞X

k=0

b_k.

Démonstration. A_n=Pn

k=0a_k→A∈C,B_n=Pn

k=0b_k→B∈C. DoncPn

k=0(λa_k+µb_k) =λPn

k=0a_k+µPn k=0b_k= λA_n+µB_n→λA+µB.

Par exemple :

+∞X

k=0

1 2^k + 5

3^k

‹

=

+∞X

k=0

1 2^k +5

+∞X

k=0

1 3^k = 1

1−¹₂ +5 1

1−¹₃ =2+53 2=19

2 .

Comme application pour les séries à termes complexes, la convergence équivaut à celle des parties réelle et imaginaire : Proposition 5.

Soit(u_k)k>0une suite de nombres complexes. Pour tout k, notons u_k=a_k+ib_k, avec a_kla partie réelle de u_ket b_k la partie imaginaire. La sérieP

u_kconverge si et seulement si les deux sériesP a_ketP

b_kconvergent. Si c’est le cas, on

a : +∞

X

k=0

u_k=

+∞X

k=0

a_k+i

+∞X

k=0

b_k.

Exemple 4.

Considérons par exemple la série géométriqueP

k>0r^k, oùr=ρe^iθ est un complexe de moduleρ <1 et d’argument

θ.

Comme le module derest strictement inférieur à 1, alors la série converge et

+∞X

k=0

r^k= 1 1−r.

SÉRIES 1. DÉFINITIONS– SÉRIE GÉOMÉTRIQUE

5

D’autre part,r^k=ρ^ke^ikθ par la formule de Moivre. Les parties réelle et imaginaire der^ksont a_k=ρ^kcos(kθ) et b_k=ρ^ksin(kθ).

On déduit de la proposition précédente que :

+∞X

k=0

a_k=Re

‚_+∞

X

k=0

r^k

Œ

=Re

 1 1−r

‹ et

+∞X

k=0

b_k=Im

‚_+∞

X

k=0

r^k

Œ

=Im

 1 1−r

‹ . Le calcul donne :

+∞X

k=0

ρ^kcos(kθ) = 1−ρcosθ

1+ρ²−2ρcosθ et

+∞X

k=0

ρ^ksin(kθ) = ρsinθ 1+ρ²−2ρcosθ .

1.7. Sommes de séries

Pour l’instant, il n’y a pas beaucoup de séries dont vous connaissez la somme, à part les séries géométriques. Il faudra attendre d’autres chapitres et d’autres techniques pour calculer des sommes de séries. Dans ce chapitre on s’intéressera essentiellement à savoir si une série converge ou diverge.

Voici cependant une exception ! Exemple 5.

Soitq∈Ctel que|q|<1. Que vaut la somme

+∞X

k=0

kq^k ? Admettons un moment que cette série converge et notonsS=P_+∞

k=0kq^k. Écrivons :

S=

+∞X

k=0

kq^k=

+∞X

k=1

kq^k=q

+∞X

k=1

kq^k−1

=q

+∞X

k=1

q^k−1+q

+∞X

k=1

(k−1)q^k−1

=q

+∞X

k=1

q^k−1+q

+∞X

k⁰=0

k⁰q^k0 en posantk⁰=k−1

=q

+∞X

k=1

q^k−1+q·S

En résolvant cette équation enS, on trouve que

(1−q)S=q

+∞X

k=1

q^k−1.

Cette dernière série est une série géométrique de raisonqavec|q|<1 donc converge. Cela justifie la convergence de S.

Ainsi

(1−q)S=q· 1 1−q . Conclusion :

S=

+∞X

k=0

kq^k= q (1−q)².

1.8. Critère de Cauchy

Attention !Il existe des sériesP

k>0u_ktelles que lim_k→+∞u_k=0, maisP

k>0u_kdiverge. L’exemple le plus classique

est lasérie harmonique:

La série X

k>1

1

k =1+1 2+1

3+1

4+· · · diverge

SÉRIES 1. DÉFINITIONS– SÉRIE GÉOMÉTRIQUE

6

Plus précisément, on a lim_n→+∞S_n= +∞. Cependant on au_k= ¹_k →0 (lorsquek→+∞).

Pour montrer que la série diverge nous allons utiliser le critère de Cauchy.

Rappel.Une suite(s_n)de nombres réels (ou complexes) converge si et seulement si elle est une suite de Cauchy, c’est-à-dire :

∀ε >0 ∃n₀∈N ∀m,n>n₀ |s_n−s_m|< ε Pour les séries cela nous donne :

Théorème 2(Critère de Cauchy).

Une série

+∞X

k=0

u_kconverge si et seulement si

∀ε >0 ∃n₀∈N ∀m,n>n₀

u_n+· · ·+u_m < ε. On le formule aussi de la façon suivante :

∀ε >0 ∃n₀∈N ∀m,n>n₀

m

X

k=n

u_k

< ε ou encore

∀ε >0 ∃n₀∈N ∀n>n₀ ∀p∈N

u_n+· · ·+u_n+p < ε

Démonstration. La preuve est simplement de dire que la suite(S_n)des sommes partielles converge si et seulement si c’est une suite de Cauchy. Ensuite il suffit de remarquer que

S_m−S_n−1 =

u_n+· · ·+u_m .

Revenons à la série harmoniqueP

k>1 1

k. La somme partielle estS_n=Pn k=11

k. Calculons la différence de deux sommes partielles, afin de conserver les termes entren+1 (qui joue le rôle den) et 2n(qui joue le rôle dem) :

S_2n−S_n= 1

n+1+· · ·+ 1 2n > n

2n=1 2

La suite des sommes partielles n’est pas de Cauchy (car ¹₂n’est pas inférieur àε= ¹₄par exemple), donc la série ne converge pas.

Si on souhaite terminer la démonstration sans utiliser directement le critère de Cauchy alors on raisonne par l’absurde.

Supposons queS_n→`∈R(lorsquen→+∞). Alors on a aussiS<sub>2n</sub>→`(lorsquen→+∞) et doncS_2n−S_n→`−`=0.

Ce qui entre en contradiction avec l’inégalitéS_2n−S_n>¹₂. On termine par une étude plus poussée de la série harmonique.

Proposition 6.

Pour la série harmoniqueX

k>1

1

k et sa somme partielle S_n=

n

X

k=1

1 k, on a

n→+∞lim S_n= +∞.

Démonstration. SoitM>0. On choisitm∈Ntel quem>2M. Alors pourn>2^mon a : S_n = 1+1

2+1

3+· · ·+ 1

2^m+· · ·+1 n

> 1+1 2+1

3+· · ·+ 1 2^m

= 1+1 2+1

3+1 4

‹ +1

5+1 6+1

7+1 8

‹ +1

9+· · ·+ 1 16

‹

+· · ·+ 1

2^m−1+1+· · ·+ 1 2^m

‹

> 1+1 2+21

4+41 8+81

16+· · ·+2^m−1 1 2^m

= 1+m1 2>M

L’astuce consiste à regrouper les termes. Entre chaque parenthèses il y a successivement 2, 4, 8, ... termes jusqu’à 2^m−(2^m−1+1) +1=2^m−2^m−1=2^m−1 termes.

SÉRIES 2. SÉRIES À TERMES POSITIFS

7

Ainsi pour toutM >0 il existe n₀>0 tel que, pour tout n>n₀, on aitS_n>M; ainsi(S_n)tend vers+∞. Cela reprouve bien sûr que la série harmonique diverge.

Mini-exercices.1. Calculer les sommes partiellesS_nde la série dont le terme général est ₄¹k, commençant àk=1.

Cette série est-elle convergente ? Si c’est possible, calculer la sommeSet les restesR_n. 2. Mêmes questions avecP

k>0(−1)^k,P

k>03^k,P

k>1 1 10^k,P

k>2exp(−k).

3. Pourquoi les séries suivantes sont-elles divergentes ?P

k>1 1

k+ (−1)^k

;P

k>0 k k+1;P

k>1 1 2k;P

k>1kcos(k);

P

k>1exp(¹_k).

4. Calculer les sommes partielles de la sérieP

k>1ln 1− _k+1¹

. Cette série est-elle convergente ? 5. Montrer que

+∞X

k=0

k²q^k= q²+q (1−q)³.

2. Séries à termes positifs

Les séries à termes positifs ou nuls se comportent comme les suites croissantes et sont donc plus faciles à étudier.

2.1. Convergence par les sommes partielles

Rappels.Soit(s_n)n>0une suite croissante de nombres réels.

• Si la suite est majorée, alors la suite(s_n)converge, c’est-à-dire qu’elle admet une limite finie.

• Sinon la suite(s_n)tend vers+∞. Appliquons ceci aux sériesP

u_kàtermes positifs, c’est-à-direu_k>0 pour toutk. Dans ce cas la suite(S_n)des sommes partielles, définie parS_n=Pn

k=0u_k, est une suite croissante. En effet S_n−S_n−1=u_n>0.

Par les rappels sur les suites, nous avons donc : Proposition 7.

Une série à termes positifs est une série convergente si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée.

Autrement dit, si et seulement s’il existe M>0tel que, pour tout n>0, S_n6M .

De plus, dans le cas de convergence, la somme de la sérieSvérifie bien sûr limS_n=S, mais aussiS_n6S, pour toutn.

Les deux situations convergence/divergence sont possibles :P

k>0q^kconverge si 0<q<1, et diverge siq>1.

2.2. Théorème de comparaison

Quelle est la méthode générale pour trouver la nature d’une série à termes positifs ? On la compare avec des séries classiques simples au moyen du théorème de comparaison suivant.

Théorème 3(Théorème de comparaison).

SoientP

u_k etP

v_kdeux séries à termes positifs ou nuls. On suppose qu’il existe k₀>0tel que, pour tout k>k₀, u_k6v_k.

• SiP

v_kconverge alorsP

u_kconverge.

• SiP

u_kdiverge alorsP

v_kdiverge.

Démonstration. Comme nous l’avons observé, la convergence ne dépend pas des premiers termes. Sans perte de généralité on peut donc supposerk₀=0. NotonsS_n=u₀+· · ·+u_netS_n⁰ =v₀+· · ·+v_n. Les suites(S_n)et(S_n⁰)sont croissantes, et de plus, pour toutn>0,S_n6S⁰_n. Si la sérieP

v_kconverge, alors la suite(S_n⁰)converge. SoitS⁰sa limite.

La suite(S_n)est croissante et majorée parS⁰, donc elle converge, et ainsi la sérieP

u_k converge aussi. Inversement, si la sérieP

u_kdiverge, alors la suite(S_n)tend vers+∞, et il en est de même pour la suite(S⁰_n)et ainsi la sérieP v_k diverge.

SÉRIES 2. SÉRIES À TERMES POSITIFS

8

2.3. Exemples

Exemple 6.

Nous avons déjà vu dans l’exemple3que la série

+∞X

k=0

1

(k+1)(k+2) converge.

Nous allons en déduire que

+∞X

k=1

1

k² converge.

En effet, on a :

k→+∞lim

1 2k² (k+1)(k+2)1

= 1 2. En particulier, il existek₀tel que pourk>k₀:

1

2k² 6 1

(k+1)(k+2)

En fait c’est vrai pourk>4, mais il est inutile de calculer une valeur précise dek₀. On en déduit que la série de terme général_2k¹2 converge, d’où le résultat par linéarité.

Exemple 7.

Voici un exemple fondamental, lasérie exponentielle.

La série X

k>0

1

k! converge.

Notons que 0!=1 et que pourk>1,k!=1·2·3· · · ·k.

En effet _k!¹ 6k(k−1)¹ pourk>2, maisP

k>2 1 k(k−1)=P

k>0 1

(k+1)(k+2)(par changement d’indice) est une série conver- gente. Donc la série exponentielleP

k>0 1

k! converge.

En fait, par définition, la sommeP_+∞

k=0 1

k! vaut le nombre d’Eulere=exp(1). Exemple 8.

Inversement, nous avons vu que la sérieP

k>1 1

k diverge. On en déduit facilement que les sériesP

k>1 ln(k)

k etP

k>1 p1

k

divergent également.

Terminons avec une application intéressante : le développement décimal d’un réel.

Exemple 9.

Soit(a_k)k>1une suite d’entiers tous compris entre 0 et 9. La série

+∞X

k=1

a_k

10^k converge.

En effet, son terme généralu_k=₁₀^akk est majoré par ₁₀⁹k. Mais la série géométriqueP ₁

10^k converge, car ₁₀¹ <1. La sérieP ₉

10^k converge aussi par linéarité, d’où le résultat.

Une telle sommeP+∞

k=1 a_k

10^k est une écriture décimale d’un réel x, avec ici 06x61.

Par exemple, sia_k=3 pour toutk:

+∞X

k=1

3 10^k = 3

10+ 3 100+ 3

1000+· · ·=0, 3+0, 03+0, 003+· · ·=0, 333 . . .=1 3 On retrouve bien sûr le même résultat à l’aide de la série géométrique :

+∞X

k=1

3 10^k = 3

10

+∞X

k=0

1 10^k = 3

10· 1 1−₁₀¹ = 3

10·10 9 =1

3

2.4. Théorème des équivalents

Nous allons améliorer le théorème de comparaison avec la notion de suites équivalentes.

SÉRIES 2. SÉRIES À TERMES POSITIFS

9

Soient(u_k)et(v_k)deux suitesstrictement positives. Alors les suites(u_k)et(v_k)sontéquivalentessi

k→+∞lim u_k v_k =1.

On note alors

u_k∼v_k. Théorème 4(Théorème des équivalents).

Soient(u_k)et(v_k)deux suites à termes strictement positifs. Si u_k∼v_kalors les sériesP

u_ketP

v_k sont de même nature.

Autrement dit, si les suites sont équivalentes alors elles sont soit toutes les deux convergentes, soit toutes les deux divergentes. Bien sûr, en cas de convergence, il n’y a aucune raison que les sommes soient égales. Enfin, si les suites sont toutes les deux strictement négatives, la conclusion reste valable.

Revenons sur un exemple qui montre que ce théorème est très pratique : les suites _k¹2 et _(k+1)(¹_k+2) =k²+3k¹+2 sont équivalentes. Comme la sérieP ₁

(k+1)(k+2) converge (exemple3), alors cela implique queP ₁

k² converge.

Démonstration. Par hypothèse, pour toutε >0, il existek₀tel que, pour toutk>k₀,

u_k v_k −1

< ε, ou autrement dit

(1−ε)v_k<u_k<(1+ε)v_k. Fixons unε <1. SiP

u_kconverge, alors par le théorème3de comparaison,P

(1−ε)v_kconverge, doncP

v_kégalement.

Réciproquement, siP

u_kdiverge, alorsP

(1+ε)v_kdiverge, etP

v_kaussi.

2.5. Exemples

Exemple 10.

Les deux séries

X k²+3k+1

k⁴+2k³+4 et Xk+ln(k)

k³ convergent.

Dans les deux cas, le terme général est équivalent à _k¹2, et nous savons que la sérieP ₁

k² converge.

Exemple 11.

Par contre

X k²+3k+1

k³+2k²+4 et Xk+ln(k)

k² divergent.

Dans les deux cas, le terme général est équivalent à ¹_k, et nous avons vu que la sérieP₁

k diverge.

Voyons un exemple plus sophistiqué.

Exemple 12.

Est-ce que la série

X

k>1

ln thk

converge ? La méthode est de chercher un équivalent simple du terme général.

• Remarquons tout d’abord que, pourk>0, 0<thk<1.

• Puis évaluons thk:

thk= shk

chk =e^k−e^−k

e^k+e^−k =1+ −2e^−k

e^k+e^−k =1+ −2e^−2k 1+e^−2k

• Comme limx→0ln(1+x)

x =1, alors, siu_k→0, ln(1+u_k)∼u_k. Ainsi ln(thk) =ln

1+ −2e^−2k 1+e^−2k

∼ −2e^−2k

1+e^−2k ∼ −2e^−2k

• La sérieP

e^−2k=P

(e⁻²)^kconverge car c’est une série géométrique de raison _e¹2 <1.

• Les suites ln(thk) et−2e^−2k sont deux suites strictement négatives et on a vu que ln(thk) ∼ −2e^−2k. Par le théorème4des équivalents, comme la sérieP

−2e^−2kconverge, alors la sérieP

ln(thk)converge également. (Si vous préférez, vous pouvez appliquer le théorème aux suites strictement positives−ln(thk)et 2e^−2k.)

SÉRIES 3. SÉRIES ALTERNÉES

10

Mini-exercices.1. Montrer que la série

+∞X

k=1

(lnk)^α

k³ converge, quel que soitα∈R.

2. Montrer que, si la série à termes positifsP+∞

k=0u_kconverge, alors la sérieP+∞

k=0u²_k converge aussi.

3. SoientP

k>0u_ketP

k>0v_kdeux séries vérifiantu_k>0,v_k>0 et pour toutk>0 : 0<m6^uv^k_k 6M. Montrer

que les deux séries sont de même nature.

4. Par comparaison ou recherche d’équivalent, déterminer la nature de la sérieP

k>1 lnk

k . Même question avec les séries de terme général sin€ ₁

(k−1)(k+1)

Š;q

1+k¹²−q

1−_k¹2; ln r

1− p3¹

k²

.

5. Écrire la série associée au développement décimal 0, 99999 . . . NotonsSla somme de cette série. Calculer la série correspondant à 10·S. Simplifier 10·S−S. En déduireS. Retrouver cette valeurSà l’aide d’une série géométrique.

6. Justifier que la sérieP+∞

k=2 1

k²−1 est convergente. Décomposer _k2¹−1en éléments simples. Déterminer une expres- sion des sommes partiellesS_n. En déduire queP+∞

k=2 1 k²−1= ³₄. 7. Nous admettons ici queP+∞

k=0 1

k!=e. Sans calculs, déterminer les sommes :

+∞X

k=0

k k!

+∞X

k=0

k(k−1) k!

+∞X

k=0

k² k!

3. Séries alternées

Il existe un autre type de série facile à étudier : les séries alternées. Ce sont celles où le signe du terme général change à chaque rang.

3.1. Critère de Leibniz

Soit(u_k)k>0une suite qui vérifieu_k>0. La sérieP

k>0(−1)^ku_ks’appelle unesérie alternée.

On a le critère de convergence suivant, extrêmement facile à vérifier : Théorème 5(Critère de Leibniz).

Supposons que(u_k)k>0soit une suite qui vérifie : 1. u_k>0pour tout k>0,

2. la suite(u_k)est une suite décroissante, 3. etlim_k→+∞u_k=0.

Alors la série alternée

+∞X

k=0

(−1)^ku_kconverge.

Démonstration. Nous allons nous ramener à deux suites adjacentes.

• La suite(S_2n+1)est croissante carS_2n+1−S_2n−1=u_2n−u_2n+1>0.

• La suite(S_2n)est décroissante carS_2n−S_2n−2=u_2n−u_2n−160.

• S_2n>S_2n+1carS_2n+1−S_2n=−u_2n+160.

• EnfinS_2n+1−S_2ntend vers 0 carS_2n+1−S_2n=−u_2n+1→0 (lorsquen→+∞).

En conséquence(S_2n+1)et(S_2n)convergent et en plus convergent vers la même limiteS. On conclut que(S_n)converge versS.

En plus on a montré queS_2n+16S6S_2npour toutn.

Enfin on a aussi

0>R_2n=S−S_2n>S_2n+1−S_2n=−u_2n+1 et

06R_2n+1=S−S_2n+16S_2n+2−S_2n+1=u_2n+2. Ainsi, quelle que soit la parité den, on a|R_n|=|S−S_n|6u_n+1.

SÉRIES 3. SÉRIES ALTERNÉES

11

Exemple 13.

Lasérie harmonique alternée

+∞X

k=0

(−1)^k 1

k+1=1−1 2+1

3−1 4+· · · converge. En effet, en posantu_k= k¹+1, alors

1. u_k>0,

2. (u_k)est une suite décroissante, 3. la suite(u_k)tend vers 0.

Par le critère de Leibniz (théorème5), la série alternéeP_+∞

k=0(−1)^kk+1¹ converge.

3.2. Reste

Non seulement le critère de Leibniz prouve la convergence de la sérieP_+∞

k=0(−1)^ku_k, mais la preuve nous fournit deux résultats importants supplémentaires : un encadrement de la somme et une majoration du reste.

Corollaire 1.

Soit une série alternée

+∞X

k=0

(−1)^ku_kvérifiant les hypothèses du théorème5. Soit S la somme de cette série et soit(S_n)la suite des sommes partielles.

1. La somme S vérifie les encadrements :

S₁6S₃6S₅6· · ·6S_2n+16· · ·6S6· · ·6S_2n6· · ·6S₄6S₂6S₀. 2. En plus, si R_n=S−S_n=

+∞X

k=n+1

(−1)^ku_kest le reste d’ordre n, alors on a R_n

6u_n+1.

Pour une série alternée, la vitesse de convergence est donc dictée par la décroissance vers 0 de la suite(u_k). Celle-ci peut être assez lente.

Exemple 14.

Par exemple, on a vu que la série harmonique alternéeP_+∞

k=0 (−1)^k

k+1 converge ; notonsSsa somme. Les sommes partielles sontS₀=1,S₁=1−¹₂,S₂=1−¹₂+¹₃,S₃=1−¹₂+¹₃−¹₄,S₄=1−¹₂+¹₃−¹₄+¹₅,. . . L’encadrement du corollaire s’écrit

1−1

261−1 2+1

3−1

46· · ·6S_2n+16· · ·6S6· · ·6S_2n6· · ·61−1 2+1

3−1 4+1

561−1 2+1

361 On en déduit

S₃=35

60 '0, 58333 . . .6S6S₄= 47

60'0, 78333 . . . Si on pousse les calculs plus loin, alors pourn=200 on obtient

S₂₀₁'0, 69067 . . .6S6S₂₀₀'0, 69562 . . . Ce qui nous donne les deux premières décimales deS'0, 69 . . .

En plus nous avons une majoration de l’erreur commise, en utilisant l’inégalité|R_n|6u_n+1. On trouve que l’erreur commise en approchantSparS₂₀₀est :|S−S₂₀₀|=|R₂₀₀|6u₂₀₁=₂₀₂¹ <5·10⁻³.

En fait, vous verrez plus tard queS=ln 2'0, 69314 . . .

3.3. Contre-exemple

Terminons par deux mises en garde :

1. On ne peut pas laisser tomber la condition de décroissance de la suite(u_k)dans le critère de Leibniz.

2. Il n’est pas possible de remplaceru_k par un équivalent à l’infini dans le théorème5, car la décroissance n’est pas conservée par équivalence.

SÉRIES 4. SÉRIES ABSOLUMENT CONVERGENTES– RÈGLE DE D’ALEMBERT

12

Exemple 15.

Voici deux séries alternées : X

k>2

(−1)^k

pk converge, X

k>2

(−1)^k

pk+ (−1)^k diverge.

Le critère de Leibniz (théorème5) s’applique à la première : la suiteu_k=^p1_k est une suite positive, décroissante, qui tend vers 0. Conséquence, la série alternéeP

k>2 (−1)p ^k

k converge.

Par contre le critère de Leibniz ne s’applique pas à la seconde, car si la suitev_k =^p_k+(−1)¹ k est bien positive (pour k>2) et tend vers 0, elle n’est pas décroissante.

Cependant, on a bien :

v_k= 1

pk+ (−1)^k ∼ 1 pk =u_k Pour montrer queP

k>2p(−1)^k

k+(−1)^k diverge, calculons la différence : (−1)^ku_k−(−1)^kv_k= (−1)^k

pk − (−1)^k

pk+ (−1)^k = (−1)^k

pk+ (−1)^k−p k k+ (−1)^kp

k = 1

k+ (−1)^kp k ∼ 1

k

Ainsi la série de terme généralw_k= (−1)^ku_k−(−1)^kv_k diverge, car son terme général est équivalent à celui de la série harmoniqueP₁

k qui diverge.

Supposons maintenant par l’absurde que la sérieP

k>2(−1)^kv_ksoit convergente. On sait aussi que la sérieP

k>2(−1)^ku_k est convergente. Donc par linéarité la sérieP

k>2w_k=P

k>2(−1)^ku_k−P

k>2(−1)^kv_kserait convergente. Ce qui est

une contradiction.

Conclusion : la sérieP

k>2p(−1)^k

k+(−1)^k diverge.

Mini-exercices.1. Est-ce que le critère de Leibniz s’applique aux séries suivantes ? X

k>2

(−1)^k pk+lnk

X

k>2

(−1)^k

k+1 k

X

k>2

1 (−1)^k+1(p

k−lnk) X

k>2

(−1)^k ln(k+1)−ln(k) X

k>2

p 1

k+ (−1)^klnk

X

k>2

(−1)^k 3k+ (−1)^k 2. À partir de quel rang la somme partielleS_nde la sérieP+∞

k=1 (−1)^k

k² est-elle une approximation à 0, 1 près de sa sommeS? Et à 0, 001 près ? À l’aide d’une calculatrice ou d’un ordinateur, déterminer deux décimales exactes après la virgule deS. Mêmes questions avec ⁽⁻¹⁾₂k^k;⁽⁻¹⁾p ^k

k ;⁽⁻¹⁾_k!^k.

4. Séries absolument convergentes – Règle de d’Alembert

4.1. Séries absolument convergentes

Définition 3.

On dit qu’une sérieP

k>0u_kde nombres réels (ou complexes) estabsolument convergentesi la sérieP

k>0|u_k| est convergente.

Exemple 16.1. Par exemple la sérieP

k>1 cosk

k² est absolument convergente. Car pouru_k=^coskk² on a|u_k|6k¹². Comme la sérieP

k>1 1

k² converge alorsP

k>1|u_k|converge aussi.

2. La série harmonique alternéeP+∞

k=0 (−1)^k

k+1 n’est pas absolument convergente. Car pourv_k=⁽⁻¹⁾k+1^k, la sérieP

k>0|v_k|= P

k>0 1

k+1 diverge.

Une série, telle que la série harmonique alternée, qui est convergente, mais pas absolument convergente, s’appelle une sériesemi-convergente.

Être absolument convergent est plus fort qu’être convergent : Théorème 6.

Toute série absolument convergente est convergente.