Modélisation et Simulation Aléatoires (45 heures) 2005-2006
Méthodes de Monte-Carlo (24 h hors mise à niveau)
Commun avec le Master de Physique MédicaleLes trois cours de mise à niveau (du 21 au 23 septembre) sont conçus spécialement pour les étudiants de physique médicale. Ils seront suivis avec profit par les étudiants de Rayonnement Energie. Les deux cours de Marie-Geneviève Porquet (du 3 et 10 octobre) sont communs à l’UE6.
19 septembre : (Michel Roger)
Introduction aux méthodes de Monte-Carlo..
Bref historique de ces méthodes
Calcul d’intégrales multidimensionnelles.
Génération de nombres pseudo-aléatoires
21 septembre : Mise à niveau (Michel Roger)
Rappel de notions essentielles de la théorie des probabilités
Expérience aléatoire, événement aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle
Variable aléatoire, loi de probabilité d’une variable aléatoire, densité de probabilité
Espérance d’une variable aléatoire, moment d’ordre n, fonction caractéristique
22 septembre : Mise à niveau (Michel Roger)
Rappel de notions essentielles de la théorie des probabilités
Variables aléatoires indépendantes, somme de variables aléatoires indépendantes
Loi des grands nombres, théorème de la limite centrale.
Suites de variables aléatoires, notions élémentaires sur les chaines de Markov.
23 septembre : Mise à niveau (Michel Roger) Rappels de thermodynamique statistique (classique)
Entropie statistique de Shannon et entropie Thermodynamique.
Ensembles microcanonique, canonique et grand-canonique.
Valeurs moyennes de grandeurs physiques.
Systèmes hors d’équilibre et tendant vers l’équilibre, équation maitresse, principe du bilan détaillé.
26 septembre : (Michel Roger)
Calcul d’intégrales multiples par Monte-Carlo :
Réduction de la variance, échantillonnage suivant l’importance, application pour le calcul d’une intégrale.
Techniques d’échantillonnage (méthode de Von Neuman, changement de variable)
Calcul de moyennes thermodynamiques, algorithme de Métropolis.
3 octobre : (Marie-Geneviève Porquet) Traitement de données expérimentales (I)
Distributions de probabilités – généralités : échantillon, distribution-parent, moyenne expérimentale, variance
Distributions théoriques : loi binomiale, loi de Poisson, loi de Gauss.
10 octobre : (Marie-Geneviève Porquet) Traitement de données expérimentales (II)
Propagation des erreurs
Estimation des moyennes et des erreurs
Méthode des moindres carrés : exemple de la droite
Méthode du maximum de vraisemblance
17 octobre : (Michel Roger) Travaux dirigés sur ordinateur.
Application de l’algorithme de Métropolis à l’étude de la transition fluide-solide de particules sur un réseau bidimensionnel.
Etude pratique de la convergence, temps de corrélation.
Etude de la courbe de chaleur spécifique en fonction de la température
Observation du « ralentissement critique »
24 octobre : (Michel Roger)
Simulation d’équations stochastiques par Monte Carlo.
Equation de Langevin.
Différences entre méthodes de Monte-Carlo et Dynamique Moléculaire
7 novembre : (Michel Roger)
Introduction de biais : Etude sur un exemple
Problèmes d’optimisation : Méthode du recuit simulé
14 novembre : (Michel Roger)
Méthodes de Monte-Carlo en Physique Médicale
Simulation de transport de photons dans la matière
Imagerie Médicale 22 novembre : Examen
Equations et algorithmes stochastiques pour la physique (21 h)
28 novembre : (Pierre Desesquelles) Analyse multidimensionnelle
Sondages et expériences multiparamétriques
Visualisation de l'information globale
Classification
Le problème inverse
29 novembre : (Pierre Desesquelles) Chaînes de Markov
Processus en évolution
La matrice de Markov
Prédiction de l'état final
5 décembre : (Pierre Desesquelles) – Cours annulé Les relations de cause à effet
Corrélations et causalités
L'analyse de chemin
La logique floue
6 décembre : (Franck Jedrzejewski) Introduction au calcul stochastique
Notion de bruit blanc, bruit coloré
Mouvement brownien. Formule d’Itô
Simulation. Introduction à Maple.
12 décembre (matin) : (Franck Jedrzejewski) Equations différentielles stochastiques
Processus de diffusion. Pont brownien
Equation de Fokker-Planck. Formule de Feynman-Kac
Simulations sous Maple.
12 décembre (après-midi) : (Franck Jedrzejewski) Méthodes numériques pour l’aléatoire
Schémas numériques.
Equation de Bolzman. Equation de Korteweg de Vries stochastique.
Simulations sous Maple
13 décembre : (Franck Jedrzejewski) Simulations. Techniques récentes
Méthodes particulaires. Linéarisation stochastique
Stabilité stochastique. Coefficients de Lyapunov.
Simulations sous Maple.
17 janvier : Examen
