Correction du test n ◦ 2 : calcul des propositions

Correction du test n ^◦ 2 : calcul des propositions

Cours

P Q P P∧Q P∨Q P =⇒Q P ⇐⇒ Q

0 0 1 0 0 1 1

0 1 1 0 1 1 0

1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 1 1

Exercices

E

1 : V

F

1)

P V F P∧ V P∨ V P∧ F P∧ F P∨ F

0 1 0 0 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0 0 0

P V F P P

2) On a indiqué sur la ligne supplémentaire du tableau ci-dessus une étiquette plus simple pour chaque colonne.

E

2 :

Dans cet exercice, on va souvent utiliser la propriété suivante :P =⇒Qest vrai si “P 6Q”, autrement dit si la valeur de vérité deP est “inférieure” à la valeur de vérité deQ(P = 0, ouP = 1etQ= 1).

1)

P Q P =⇒Q Q=⇒P (P =⇒Q)∧(Q=⇒P) P ⇐⇒ Q

0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

L’égalité des deux dernières colonnes prouve l’équivalence demandée.

2)

P Q P =⇒Q P P∨Q

0 0 1 1 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 1 1 0 1

Encore une fois, l’égalité des colonnes 3 et 5 prouve l’équivalence demandée.

3)

P Q P =⇒Q P∧(P =⇒Q) [P∧(P =⇒Q)] =⇒Q

0 0 1 0 1

0 1 1 0 1

1 0 0 0 1

1 1 1 1 1

Le fait que la dernière colonne ne contienne que des 1, ou bien que l’avant dernière colonne soit

“inférieure ou égale” à la colonneQ, prouve l’implication cherchée.

4)

A B C A=⇒B B=⇒C (A=⇒B)∧(B=⇒C) A=⇒C

0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0 1

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1

1 1 0 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

Encore une fois, le fait que l’avant dernière colonne soit “inférieure ou égale” à la dernière prouve l’implication. On peut aussi rajouter une dernière colonne (mais je n’avais pas la place !).

E

3 :

∨Q= P∧Q

∨Q= (P∨Q)∧ Q∨Q

= (P∨Q)∧ V =P∨Q.

2) P =⇒(Q=⇒Q) =P∨ Q∨Q

=P∨ V =V.

3) Si l’opérateur =⇒ était associatif, les deux calculs ci-dessus devraient donner le même résultat.

Comme ce n’est pas le cas, la réponse est non.

E

4 :

NotonsP la proposition “il y a un A d’un coté”, etQla proposition “il y a un3d’un coté”.

1) P =⇒Qest vrai sauf siP est vrai etQfaux. Donc il ne faut retourner que les cartes pour lesquelles P est vrai et celles pour lesquellesQest faux. Cela nous oblige à retourner les cartes5et A.

2) P ⇐⇒ Qest vrai si les valeurs de vérité deP etQsont égales. Cette simple constatation nous oblige à retourner les quatre cartes !

3) P ouQ est vrai sauf siP et Qsont fausses. Il suffit donc de retourner les cartes dont la valeur de vérité n’est pas claire : la carte5et la carteV.

E

B

:

’

P

Envisageons les trois possibilités successivement, et regardons les valeurs de vérité des affirmations portées sur les coffrets :

• Le portrait est dans le coffre en or :

Coffret en or Coffret en argent Coffret en plomb

F F V

F F V

• Le portrait est dans le coffre en argent :

Coffret en or Coffret en argent Coffret en plomb

V V V

V F F

• Le portrait est dans le coffre en plomb :

Coffret en or Coffret en argent Coffret en plomb

V V F

F V F

On voit que seule la troisième possibilité correspond aux hypothèses : sur un coffre les deux affirmations sont vraies, sur un autre elles sont toutes les deux fausses, sur le troisième l’une est vraie, l’autre est fausse.

Le portrait est donc dans le coffre en plomb.