Séquence 9 : Fonction exponentielle

Séquence 9 : Fonction exponentielle

Introduction

Dans ce chapitre nous étudierons une des fonctions mathématiques les plus importantes. Présente dans toutes les sciences, sa construction se fait à partir d’une équation différentielle.

1. La fonction exponentielle

•

Définition et théorèmes

Théorème 1 : Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que : 𝑓

^!

= 𝑓 et 𝑓(0) = 1

Cette fonction est appelée fonction exponentielle.

Démonstration :

L’existence de cette fonction est admise.

Montrons que cette fonction ne s’annule pas sur R et qu’elle est unique.

• La fonction exponentielle ne s’annule pas sur R Soit la fonction ϕ définie sur R par : ϕ(x) = f (x) f (−x).

Comme f est dérivable sur R, la fonction ϕ est dérivable sur R par produit : 𝜙^!(𝑥) = 𝑓^!(𝑥)𝑓(−𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑓′(−𝑥) Comme f’=f, il vient

𝜙^!(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑓(−𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑓(−𝑥) = 0 Comme ϕ′ = 0 alors la fonction ϕ est constante. Donc :

∀x ∈ R ϕ(x) = ϕ(0) = f ²(0) = 1

On en déduit alors : f (x) f (−x) = 1, donc la fonction f ne peut s’annuler.

• Unicité de la fonction exponentielle.

On suppose que deux fonctions f et g vérifient les conditions : +𝑓 = 𝑓^!𝑒𝑡 𝑓(0) = 1 𝑔 = 𝑔^!𝑒𝑡 𝑔(0) = 1 On pose h=^"

# définie sur R car g ne s’annule pas.

La fonction h est dérivable sur R par quotient de fonctions dérivables : ℎ^!(𝑥) =𝑓^!(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

𝑔^$(𝑥) =𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑔^$(𝑥) = 0 La fonction h est donc constante et ℎ(𝑥) ="(&)

#(&)= 1 On a donc : ∀x ∈ R, ^"(()_#(()= 1 ó f(x)=g(x)

On en déduit que f = g. La fonction exponentielle est unique.

•

Approche graphique : méthode d’Euler

Problème posé : Déterminer un algorithme permettant de visualiser la fonction

exponentielle à partir de sa définition sur l’intervalle [−a ; a].

Réponse : On utilise l’approximation affine de f en (x0 + p)

f (x

0

+ p) ≈ f (x

0

) + p f ′ (x

0

)

Or la fonction exponentielle est telle que f=f’, donc :

f (x

0

+ p) ≈ f (x

0

) + p f (x

0

) ⇔ f (x

0

+ p) ≈ f (x

0

)(1 + p)

L’approximation sera d’autant meilleure que p sera petit.

On commence à tracer le point (0 ; 1) car f (0) = 1, puis avec un pas p, on trace de proche

en proche les points à droite (x ; y) et les points à gauche (−x ; z) du point (0 ; 1) dans

l’intervalle [−a ; a].

Cette courbe a été obtenue à l’aide du programme Python donné plus loin :

•

Relation fonctionnelle Notation temporaire :

En attendant mieux, on utilisera exp pour désigner la fonction exponentielle.

Théorème 2 :

Pour tous a, b ∈ R : exp(a + b) = exp(a) × exp(b)

Remarque : Cette relation s’appelle "relation fonctionnelle" car on pourrait définir l’exponentielle à partir de cette propriété puis montrer qu’alors la fonction exponentielle est égale à sa dérivée.

Démonstration : Posons la fonction h définie sur R par : ℎ(𝑥) =^{)*+ ((-.)}_{)*+ (.)}

h est dérivable sur R par composition de fonctions dérivables : ℎ^!(𝑥) =𝑒𝑥𝑝′(𝑥 + 𝑏)

exp (𝑏) =exp (𝑥 + 𝑏)

exp (𝑏) = ℎ(𝑥)

De plus

ℎ(0) =exp (0 + 𝑏) exp (𝑏) = 1

La fonction h correspond alors à la définition de la fonction exponentielle.

On a alors : ^{)*+ ((-.)}_{)*+ (.)} = exp (𝑥) ó exp(𝑥 + 𝑏) = exp (𝑥) × exp (𝑏) En prenant x = a on a alors : exp(a + b) = exp(a) × exp(b)

•

Autres opérations Théorème 3 :

Pour tous a, b ∈ R et pour tous n ∈ N :

•

𝑒𝑥𝑝(−𝑎) =

_{#$% (()}^"

•

𝑒𝑥𝑝(𝑎 − 𝑏) =

^{#$% (()}

#$% (*)

•

𝑒𝑥𝑝(𝑛𝑎) = [𝑒𝑥𝑝(𝑎)]

⁺

Démonstration :

1. On a vu au 1.1 que : f (x) f (−x) = 1

2. On remplace dans la relation fonctionnelle b par (−b) puis relation 1.

3. Raisonnement de proche en proche à l’aide de la relation fonctionnelle.

•

Notation

D’après la similitude des propriétés de la fonction exponentielle et de la fonction puissance, on pose :

e

^x

= exp(x) avec e = exp(1) ≈ 2, 718

On a ainsi les propriétés :

•

𝑒

^(,*

= 𝑒

⁽

× 𝑒

^*

•

𝑒

^(-*

=

^#!

#^"

•

𝑒

^-*

=

^"

#^"

•

𝑒

⁺⁽

= (𝑒

⁽

)

⁺

Remarque :

On obtient une approximation affine du nombre e en remarquant que : exp (𝑛 × 𝑝) ≈ (1 + 𝑝)^/ , approximation d’autant plus précise que p est petit.

En prenant 𝑝 =_/⁰ avec n très grand, il vient :

e = exp(1) = exp (𝑛 × 1

𝑛 ) ≈ (1 + 1 𝑛 )

⁺ Pour n = 100 , 𝑒 ≈ 2,77048

Pour n= 10 000 , e≈ 2,718146 Exercices

Exercices en autocorrection :

Cours

2. Étude de la fonction exponentielle

•

Signe Théorème 4 :

La fonction exponentielle est strictement positive sur R.

Démonstration : Pour tout réel x, 𝑒⁽ = 𝑒^!"× 𝑒^!" = A𝑒^!"B^$

Or la fonction exponentielle ne s’annule pas sur R, donc𝑒⁽ > 0.

Exercices

Cours

•

Variations

Rappel :

Par définition, la fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée :

Pour tout x réel :

(𝑒

^$

)

^!

= 𝑒

^$

Théorème 5 :

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

Démonstration :

La fonction exponentielle est strictement positive et égale à sa dérivée.

•

Représentation graphique

D’après les résultats précédents :

T0 : 𝑦 = 𝑒^&(𝑥 − 0) + 𝑒^& = 𝑥 + 1 et T1 : 𝑦 = 𝑒⁰(𝑥 − 1) + 𝑒⁰ = 𝑒𝑥 Exercices

Exercice en autocorrection :

33 b

33 c

Cours

•

Propriétés

Conséquence de la stricte croissance de la fonction exponentielle :

Pour tous réels a et b :

•

𝑒

⁽

= 𝑒

^*

⟺ 𝑎 = 𝑏

•

𝑒

⁽

< 𝑒

^*

⟺ 𝑎 < 𝑏

Application : Résolution d’équations, inéquations…

• 𝑒^1(-2= 𝑒^(-$ ó 3𝑥 + 8 = 𝑥 + 2 ó 𝑥 = −3

• 𝑒^3(-4< 𝑒^$(-0 ó 5𝑥 + 7 < 2𝑥 + 1 ó 𝑥 < −2 Exercices en autocorrection

Exercices

Cours

•

Dérivée de la fonction 𝒆

^𝒖

Théorème 6 :

Pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I, la fonction 𝑒

^/

est dérivable sur I et : (𝑒

^/

)

^!

= 𝑢

^!

𝑒

^/

Exemples :

• 𝑓(𝑥) = 𝑒^1(-0 => 𝑓^!(𝑥) = 3𝑒^1(-0

• 𝑔(𝑥) = 𝑒^("-1(-5 => 𝑔^!(𝑥) = (2𝑥 + 3)𝑒^("-1(-5

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Exercices

Cours

3. Croissance et décroissance exponentielle

•

Le modèle continu Définition :

Soit un réel k > 0, on définit les fonctions fk et gk sur R par : 𝑓₆(𝑡) = 𝑒⁶⁷ et 𝑔₆(𝑡) = 𝑒⁸⁶⁷ Les fonctions fk correspondent à une croissance exponentielle.

Les fonctions gk correspondent à une décroissance exponentielle ou atténuation.

• 𝑓^!₆(𝑡) = 𝑘𝑒⁶⁷ > 0 donc f est strictement croissante sur R.

• 𝑔^!₆(𝑡) = −𝑘𝑒⁸⁶⁷ < 0 donc g est strictement décroissante sur R.

Remarque :

Ces deux types de fonctions servent à modéliser des évolutions en fonction du temps.

Par exemple, une croissance exponentielle peut décrire le développement de micro-organismes (cellules, bactéries) ou la réaction en chaîne dans une bombe atomique.

Une atténuation décrit de nombreux phénomènes physiques comme la désintégration radioactive, ou l’intensité de décharge d’un condensateur.

Exercice en autocorrection

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Cours

•

Le modèle discret

Un modèle discret est un échantillonnage d’une fonction continue dont on ne considère que des valeurs en certains instants : t =0, t =1, t =2, . . .

Les modèles continus sont souvent préférés car on dispose de nombreux outils pour étudier les fonctions.

Définition :

Un phénomène discret se modélise par une croissance ou une décroissance exponentielle s’il peut être modélisé par une suite géométrique.

Cette suite se visualise par un nuage de points se situant sur la courbe d’une fonction exponentielle 𝑡 → 𝑎𝑒^.7 , a > 0 et b ∈ R

Le coefficient a correspond au premier terme de la suite.

Pour déterminer le coefficient b en fonction de la raison q de la suite, il faut résoudre l’équation 𝑞 = 𝑒^.

La suite (𝑒^./)est une suite géométrique de raison 𝑞 = 𝑒^.et de premier terme 1.

Remarques :

• Si b>0 alors q>1 et la suite est croissante.

• Si b<0 alors 0<q<1 et la suite est décroissante.

Exercice résolu

La population d’une ville, initialement de 1 000 habitants, augmente de 8 % chaque année.

1. On note un la population au bout de n années.

a. Quelle est la nature de la suite (un). Donner ses éléments caractéristiques.

b. Déterminer l’expression de un en fonction de n.

2. On cherche à déterminer un modèle continu pour la population en fonction du temps t exprimé en années. Soit f la fonction correspondante.

a. Déterminer l’expression de f en fonction de t.

b. Déterminer la population de la ville au bout de 6,25 années Réponses :

1.a : La suite (un) est une suite géométrique de raison q=1,08.

1.b : Le terme général d’une suite géométrique est 𝑢_/ = 𝑢_&× 𝑞^/ D’où : 𝑢_/ = 1000 × 1,08^/

2.a

𝑓(𝑡) = 1000𝑒^.7 avec 𝑒^. = 1,08

A l’aide de la calculatrice (intersection de la courbe de la fonction exponentielle et de la droite d’équation y=1,08) on trouve 𝑏 ≈ 0,077 à 10^-3 près.

Par conséquent : 𝑓(𝑡) = 1000𝑒&,&447.

2.b : 𝑓(6,25) ≈ 1618 . Au bout de 6,25 années, la population atteindra 1618 habitants.

Exercice en autocorrection

Exercice 99