Nombres relatifs : définition et comparaison
I) Définitions : a) Définition n°1 :
Un nombre relatif est un nombre écrit avec un signe + ou – suivi d’une valeur numérique appelée partie numérique du nombre relatif.
Exemples :
– 8 est un nombre relatif de signe – et de partie numérique 8.
+ 7,3 est un nombre relatif de signe + et de partie numérique 7,3.
b) Définition n°2 :
Les nombres relatifs écrits avec un signe :
• + sont appelés nombres relatifs positifs.
• – sont appelés nombres relatifs négatifs.
Exemples :
– 4 et – 2,7 sont par exemple des nombres relatifs négatifs.
+ 9,4 et + 15 sont par exemple des nombres relatifs positifs.
Remarques :
• 0 est le nombre qui sépare les nombres relatifs positifs des nombres relatifs négatifs : il est donc de ce fait le seul nombre relatif à la fois positif et négatif. Par convention, on ne met pas de signe devant le nombre 0, c'est-à-dire 0 = + 0 = – 0.
• Le signe + est facultatif : ainsi + 5 et 5 représentent le même nombre relatif.
c) Définition n°3 :
Deux nombres relatifs sont dits opposés s’ils ont la même partie numérique et des signes contraires.
Exemples :
– 8 et + 8 sont des nombres relatifs opposés.
L’opposé du nombre relatif – 15 est + 15.
L’opposé du nombre relatif + 12 est – 12.
On retient : on passe d’un nombre relatif à son opposé en changeant uniquement son signe.
II) Nombres relatifs et droite graduée : a) Définition :
Une droite graduée est une droite sur laquelle on positionne :
• Un point origine O.
• Un point unité I tel que OI = 1 unité.
• Un sens de parcours.
Exemple :
Le point A est repéré sur la droite graduée par le nombre relatif 2 : on dit que 2 est l’abscisse du point A et on note xA = 2 ou A(2).
Le point G est repéré sur la droite graduée par le nombre relatif -1 : l’abscisse du point G est donc -1 et on note xG = -1 ou G(-1).
De même :
L’abscisse du point B est 4.
L’abscisse du point F est -5.
III) Comparaison des nombres relatifs :
a) Partie numérique d’un nombre relatif et distance à 0 :
Le nombre relatif + 2 a pour partie numérique 2 et le point A d’abscisse 2 sur la droite graduée précédente est situé à une distance de 2 unités de l’origine O d’abscisse 0 => on dit alors que le nombre relatif + 2 est situé à une distance de 2 unités du nombre 0.
Le nombre relatif – 5 a pour partie numérique 5 et le point F d’abscisse – 5 sur la droite graduée précédente est situé à une distance de 5 unités de l’origine O d’abscisse 0 : => on dit alors que le nombre relatif – 5 est situé à une distance de 5 unités du nombre 0.
On retient : la partie numérique d’un nombre relatif correspond à sa distance à 0. C’est pour cette raison qu’elle est toujours positive.
b) Comparaison de 2 nombres relatifs :
1) Cas de deux nombres relatifs positifs :
Règle : lorsque deux nombres relatifs sont positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande partie numérique c'est-à-dire celui situé le plus loin de 0.
Exemples :
• 7 < 8 ( ou + 7 < + 8 )
• 12,8 > 5,4 ( ou + 12,8 > + 5,4 )
2) Cas de deux nombres relatifs négatifs :
Règle : lorsque deux nombres relatifs sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite partie numérique c'est-à-dire celui situé le plus près de 0.
Exemples :
• – 6 < – 4 car c’est – 4 qui est situé le plus près de 0.
• – 12 > – 40 car c’est – 12 qui est situé le plus près de 0.
3) Cas de deux nombres relatifs de signes contraires :
Règle : lorsque deux nombres relatifs sont de signes contraires, c’est toujours le nombre relatif négatif qui est le plus petit.
Exemples :
• – 1 < + 7 car c’est + 7 qui est le nombre relatif positif.
• + 3 > – 100 car c’est + 3 qui est le nombre relatif positif.
c) Comparaison de plusieurs nombres relatifs :
Exemple n°1 : Classer dans l’ordre croissant des nombres relatifs
Règle : On commence par classer dans l’ordre croissant les nombres relatifs négatifs puis on classe dans l’ordre croissant les nombres relatifs positifs.
Application :
Classer les nombres relatifs suivants dans l’ordre croissant :
– 7,5 ; 12,6 ; – 13,5 ; 43,6 ; – 4,7 ; 25,8 et – 80.
Liste des nombres relatifs négatifs : – 7,5 ; – 13,5 ; – 4,7 et – 80.
Liste des nombres relatifs positifs : 12,6 ; 43,6 et 25,8.
L’ordre croissant est :
– 80 < – 13,5 < – 7,5 < – 4,7 < 12,6 < 25,8 < 43,6
Exemple n°2 : Classer dans l’ordre décroissant des nombres relatifs
Règle : On commence par classer dans l’ordre décroissant les nombres relatifs positifs puis on classe dans l’ordre décroissant les nombres relatifs négatifs.
Application :
Classer les nombres relatifs suivants dans l’ordre décroissant : 15 ; 28,6 ; – 17,1 ; – 8,9 ; 5 ; – 49,2 et 56.
Liste des nombres relatifs négatifs : – 17,1 ; – 8,9 et – 49,2.
Liste des nombres relatifs positifs : 15 ; 28,6 ; 5 et 56.
L’ordre décroissant est :
56 > 28,6 > 15 > 5 > – 8,9 > – 17,1 > – 49,2
