Économétrie des Données de Panel Ch 2. Modèles Linéaires Dynamiques

(1)

Pr. Philippe Polomé, Université Lumière Lyon 2

M1 APE Analyse des Politiques Économiques M1 RISE Gouvernance des Risques Environnementaux

2016 – 2017

(2)

Introduction

I

Le Ch. précédent a présenté des variantes du MRL avec

I des EF ou des EA et

I des régressuersstrictement exogènes

E[e_it|a_i,x_i1, ...,x_iT] =0, t =1, ...,T

I

Ce Ch. : Modèles linéaires en relaxant cette hyp.

I RégresseursendogènesE[e_it|x_ijt]6=0 pour au moins unj

(3)

Plan

I

Tous les estimateurs de ce Ch. sont des applications de la Méthode Généralisée des Moments (GMM)

I

Cas général linéaire

I Rappel en coupe transversale

I Disponibilité des instruments en panel

I

2 applications

I Hausman-Taylor

I Essayer de récupérer des régresseurs invariants dans le temps

I Arrellano-Bond

I p.e.variable dépendante retardée

I endogène en panel puisque autocorrélation

(4)

Économétrie des Données de Panel Ch 2. Modèles Linéaires Dynamiques Théorie GMM en coupes transversales

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales

GMM linéaire en panel

Estimateur Variable Instrumentale Modèle Hausman–Taylor

Modèle dynamique

(5)

Le principe d’analogie

I

Les estimateurs GMM sont basés sur le principe d’analogie

I On suppose une ou pls conditions sur des moments de la population

I On trouve des valeurs des paramètres t.q. ces conditions se réalisent dans l’échantillon

(6)

Exemples classiques de MM

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales

Exemples classiques de MM

GMM

GMM linéaire en panel

Estimateur Variable Instrumentale Modèle Hausman–Taylor

Modèle dynamique

Estimateurs inconsistants ou ineﬃcients Arellano–Bond

(7)

Estimation de la moyenne de la population (espérance)

I

lorsque

y

est iid d’espérance

µ

I

Dans la population

E[y µ] =

0 par définition

I ReplacerE[·]pour la population parN ¹PN

i=1(·)pour l’échantillon définit le moment empirique correspondant :

1

N

XN i=1

(yi µ) =

0

I

Résoudre pour

µ

définit l’estimateur MM

ˆ

µ_MM =N ¹PN

i=1yi = ¯y

I L’estimateur MM de l’espérance est la moyenne de l’échantillon

(8)

Régression linéaire en coupe transversale

I

MRL

y =x⁰ +u

I x & sont des vecteursK⇥1

I

Supposons

E[u|x] =

0

I Par la loi des espérances itérées (law of iterated expectations)

I K conditions de moment inconditionnelE[xu] =0

I Donc, quand l’erreur a zéro moyenne conditionnalle / est

“exogène” / orthogonale Eh

x⇣

y x⁰ ⌘i

=0

I

Estimateur MM de = solution de ces mêmes conditions dans l’échantillon

1

N

XN i=1

xi

⇣yi x_i⁰ ⌘

=0

I Ça donne ˆ_MM =⇣P

ix_i⁰x_i⌘ 1P

ix_i⁰y_i

(9)

Estimateur Variable Instrumentale (VI) linéaire

I

Imaginons qu’il y ait endogénéité :

E[u|x]6=

0

I

Si on a des instruments

z

t.q.

E[u|z] =

0 et

I Que ces instruments sontbons

I fortement corrélés avec les régresseurs

I Quedim(z) =dim(x): exactement un instrument par régresseur

I modèle dit “exactement identifié”

I

Alors

ˆ_MM =⇣P

iz_i⁰xi

⌘ ₁P

iz_i⁰yi

est consistant

I alors que ˆ_OLS =⇣P

ix_i⁰x_i⌘ 1P

ix_i⁰y_i est inconsistant

I ˆ_MM estl’estimateur Variable Instrumentale VI

I une application du principe MM

(10)

GMM

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales Exemples classiques de MM

GMM

GMM linéaire en panel

Estimateur Variable Instrumentale Modèle Hausman–Taylor

Modèle dynamique

Estimateurs inconsistants ou ineﬃcients Arellano–Bond

(11)

GMM

Conditions de Moments supplémentaires

I

Des moments/instruments additionels peuvent améliorer l’eﬃcience

I mais demande une adaptation de MM

I

Considérons que

dim(z)>dim(x)

I plus d’instruments que de régresseurs

I

Quels instruments prend-t-on ? Toute sélection est arbitraire

I soitz₁etz₂deux sous-ensembles dez t.q.

dim(z₁) =dim(z₂) =dim(x)

I Alors, ˆ_MM1=⇣

Z₁⁰X⌘ 1

Z₁⁰Y 6=⇣

Z₂⁰X⌘ 1

Z₂⁰Y = ˆMM2

(12)

GMM

Définition GMM

I

Si on écrit les conditions de moment

Eh

Z⇣

y X⁰ ⌘i

I Donc : plus de conditions que de paramètres à estimer

I

L’estimateur GMM choisit

ˆ

de sorte à ce que le vecteur de conditions de moments dans l’échantillon

1

N

X

i

zi

⇣yi x_i⁰ ⌘

soit aussi petit que possible en termes quadratiques

I

C’est-à-dire

ˆ_GMM

minimise :

QN( ) =

"

1

N

X

i

zi

⇣yi x_i⁰ ⌘#⁰

W

N

"

1

N

X

i

zi

⇣yi x_i⁰ ⌘#

où W

N

est une matrice de poids dépendant de l’application

(13)

GMM

Comment choisir W

N

?

I

Soit

dim(z) =r

; W

N

est

r⇥r

, sdp et ne dépend pas de

I

Essentiellement,

WN

est un choix de pondération des instruments

I Pour retrouverk instruments pondérés

I

Tout choix de W

N

définit un estimateur consistant

I mais avec diﬀérentes variances (quandr>k)

I

GMM spécifie le choix optimal de la matrice de poids W

N

I selon chaque cas particulier (autocorrélation, hétérocédasticité)

I t.q. ˆ_GMM a la pluspetite variance asymptotique

I 3 cas en panel

(14)

Économétrie des Données de Panel Ch 2. Modèles Linéaires Dynamiques GMM linéaire en panel

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales

GMM linéaire en panel

Estimateur Variable Instrumentale Modèle Hausman–Taylor

Modèle dynamique

(15)

Hypothèses Panel

I

Soit le modèle linéaire en panel

yit =xit +uit

(1)

xit

peut contenir des régresseurs invariants dans le temps et un intercept

I

Pour le modèle de cette section, simplification :

I pas d’eﬀet individuel ↵_i

I xit comprendseulementdes variables de la période courante

I Pas de retard

I On peut voir cette simplification comme si les données étaient transformées

I comme dans le Ch. 1 avec les lestimateurs˜

I

En gras on empile les T observations pour le

i^eme^`

agent

y

i =

X

i +

u

i

(2)

(16)

EF et EA avec endogénéité

I

Temporairement on remet les

↵_i

I le modèle (1)y_it =x_it +u_it devient

yit =↵_i +

x

⁰_it +✏_it

(3)

I

Certains régresseurs dans

xit

sont supposés endogène, donc

E[xit(↵i +✏_it)]6=

0

I On appelleEAsi9instrumentsZ_i t.q. Eh

Z⁰_i(↵_i+✏_it)i

=0

I Alors on applique GMM selon les formules présentées + loin

I On appelleEFs’il estseulementpossible de trouver des instruments t.q.Eh

Z⁰_i✏it

i=0, maisEh Z⁰_i↵i

i6=0

I Dans ce cas, il faut éliminer les EF↵i par diﬀérentiation comme dans le Ch. 1

I et seuls les coeﬃcients des régresseurs variables dans le temps sont identifiés

I C’est la même discussion qu’au Ch. 1

(17)

Conditions de moment GMM en panel

I

On revient au modèle sans les

↵i

I Donc on est soit en EA, soit en EF après élimination des↵i I

On suppose une matrice

T ⇥r

d’instruments

Zi

I r K est le nbr d’instruments / conditions de moment t.q.

Eh

Z

⁰_i

u

i

i=

0 (4)

I

L’estimateur GMM basé sur ces conditions minimise une forme quadratique :

ˆ_PGMM =

"

X

i

X

⁰_i

Z

i

!

W

N

X

i

Z

⁰_i

X

i

!# ₁ X

i

X

⁰_i

Z

i

!

W

N

X

i

Z

⁰_i

y

i

!

I

Cet estimateur est consistant pour autant que les conditions de moment (4) tiennent

I 3 cas

(18)

Cas 1. Panel GMM juste identifié

I

Dans ce cas

r =K

, donc

dim(z) =dim(x)

I alors ˆ_PGMM se simplifieen l’estimateur VIquel que soitWN

ˆ_VI =

"

X

i

X⁰iZi

!# 1

X

i

Z⁰iyi

!

I On voit bien que c’est la version panel de ˆ_VI =⇣

X⁰Z⌘ 1

Z⁰Y

I

S’il y a des régresseurs exogènes

I Ils sont leurs propres instruments

I

Si

r>K

: plus d’instruments que de régresseurs

I Il faut utiliser la formule avec la matrice de poidsW_N

I Il y a 2 cas (diapo suivante)

(19)

Cas 2 & 3. estimateurs PGMM suridentifiés optimaux

I

Hyp. pas d’hétéroscédasticité & pas d’autocorrélation

I ˆ_2SLS =

 X⁰Z⇣

Z⁰Z⌘ 1

Z⁰X

1

X⁰Z⇣ Z⁰Z⌘ 1

Z⁰y

I C’est le cas équivalent à MC en 2 étapes (MC2E / 2SLS) I

Pas de telle hyp. (robust)

I ˆ_2SGMM =h

X⁰ZˆS ¹Z⁰Xi 1

X⁰ZˆS ¹Z⁰y

I ^S= _N¹P

iZ⁰i^ui^u⁰iZi est un estimateur robuste de type White

I Sˆest consistant pour la matricer⇥r S=plim_N¹P

iZ⁰iuiu⁰iZi I C’est l’estimateur GMM en 2 étapes (2-Step GMM)

I Premier pas est un estimateur consistant de comme ˆ_2SLS

I Ensuite on utilise les résidus^ui=yi Xiˆ_2SLSpour calculer^S

(20)

Panel GMM suridentifié

I

Dans beaucoup d’applications Z

i

est composé de valeurs retardées des régresseurs

I endogènes &/ou exogènes

I

Imaginons qu’on dispose de

r

instruments

I On peut souvent supposer que le premier retard de chaque régresseur est non-corrélé avec l’erreur courante

I doncxit 1 est disponible comme instrumentadditionelpourxit I appeléexogénéité faible/instruments prédéterminés

I On peut souvent poursuivre ainsi avec 2 retards, 3 retards...

I On perd chaque fois une période d’observation, l’eﬃcience baisse...

I mais on augmente le nombre d’instruments, l’eﬃcience augmente

I Le modèle est alors très facilementsuridentifié

I Cela fait que même si on n’a pas d’endogénéité, panel GMM peut être plus eﬃcient que MC

(21)

Inférence Panel-robuste

I ˆ_PGMM

est asymptotiquement normal

I avec une matrice de var-cov asymptotique compliquée

I

Un estimateur consistant de cette matrice existe

I conditionnellement à un choix deWN I et on peut supposer l’indépendance entrei

I

Un estimateur robuste de type White existe

I Il permet de calculer des et robustes à l’Het. et l’Autoc.

I Mais ça n’est pas généralement implémenté dans les logiciels

I Sauf pour des cas particuliers (+ loin) I

Alternativement, Bootstrap est faisable

I

C’est comme dans le Ch. 1

(22)

Économétrie des Données de Panel Ch 2. Modèles Linéaires Dynamiques Estimateur Variable Instrumentale

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales GMM linéaire en panel

Estimateur Variable Instrumentale

Modèle Hausman–Taylor

Modèle dynamique

(23)

Estimateur Variable Instrumentale

I

Tous les modèles du Ch. 1 peuvent être estimés en ajoutant des VI

I Les instruments sont spécifiés à la fin de la formule

I Après un signe|

I Séparés par des+

I Dans la commandeplm

I

On écrit, si p.e., le modèle est y ~ x1 + x2 + x3

I avec x1 & x2 endogène et z1 & z2 des instruments externes

I formula=y~x1+x2+x3 | x3+z1+z2

I OU bien

I formula=y~x1+x2+x3 | .-x1-x2+z1+z2

(24)

Estimateur Variable Instrumentale

I

Chaque instrument est conceptuellement associé à son régresseur spécifique

I Mais en pratique, tous les instruments sont utilisés pour toutes les régresseurs

I Les variables exogènes du modèle sont leurs propres instruments

I La commande accepte plus d’instrument que de régresseurs, mais n’indique pas comment elle procède

I

Deux estimateurs sont disponibles avec l’arg.

inst.method

I bvk, Balestra & Varadharajan-Krishnakumar (1987), le défaut

I baltagi, Baltagi (1981)

(25)

Application : déforestation amazonienne

Rappel

I

Le fichier de données est en ligne sur le site du cours

I

Données de 1988 à 2015 - on laisse tomber 1988 ama3

I États de l’Amazone légale (un état n’a pas 1988)

I 9 états du bassin brézilien de l’Amazone

I

Modèle CKE

yit =↵_i + ₁

PIBh

it+ ₂

PIBh

²_it+ xit+✏_it

I On regarde dans x le PPCDAm

I Plano para Prevenção e Controle do Desmatamento na Amazônia legal

(26)

PPCDAm

I

Le Plan est actif à partir de 2004

I On pourrait imaginer le représenter par une dichotomique

I

On a le budget 2004-2015 complet pour 3 états

I Amapá, Mato Grosso, Pará

I Parmi lesquels Mato Grosso et Pará sont les 2 gros déforesteurs

I On a donc le principal

I PP <- c("Amapá"","Mato Grosso","Pará")

I ama4 <- ama3[ama3$Etat %in% PP,]

I

Ce plan est en réaction à la déforestation

I Donc, c’est un régresseur endogène

I On peut imaginer l’instrumenter par sa valeur passée

I Mais il faut tenir compte de la structure panel

I On passe ama4 en pama4

I Defor_km2~PIBh2010R+PIBSQR+PPCDAm2010R

|PIBh2010R+PIBSQR+lag(PPCDAm2010R)

(27)

Économétrie des Données de Panel Ch 2. Modèles Linéaires Dynamiques Modèle Hausman–Taylor

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales GMM linéaire en panel

Estimateur Variable Instrumentale

Modèle Hausman–Taylor

Modèle dynamique

(28)

Motivation

I

Habituellement, en panel, l’endogénéité

I vient de régresseurs corrélés avec les eﬀets individuels↵i I amène à l’inconsistance des estimateurs EA

I

L’estimateur within est consistant

I mais alors les coeﬃcients des régresseurs invariants dans le temps ne peuvent être estimés

I alors qu’il y a beaucoup d’études dont ce serait précisément le but

(29)

Spécification

I

Modèle Hausman & Taylor

yit =

x

⁰_1it 1+

x

⁰_2it 2+

w

⁰_1i 1+

w

⁰_2i 2+↵_i+✏_it

(5) où x

_1it

& w

_1i

ne sont pas corrélés avec

↵_i

mais x

_2it

& w

_2i

le sont

w

indique les régresseurs invariants dans le temps

I

C’est le modèle panel classique

I sauf qu’on précise quels régresseurs sont corrélés avec↵i et lesquels sont invariants

I Tous les régresseurs sontnon-corrélésavec"it

I

La transformation Within

z¨it =zit z¯i

élimine la corrélation avec

↵_i

¨

yit = ¨

x

⁰_1it 1+ ¨

x

⁰_2it 2+ ¨✏_it

I

Mais aussi les régresseurs invariants dans le temps

(30)

Estimateur Hausman–Taylor consistant

I

x

_2i

corrélé avec

↵_i

I mais pas avec la transformation withinx¨_2it=x_2it x¯_2i

I Puisque la corrélation avec↵i ne peut être qu’avec la partie dex2it8t invariante au temps

I Doncx¨_2it peut être utilisé comme instrumentpour x_2it endogène

I

On prend pareillement

x¨_1it

comme instrument pour

x_1it

I plutôt quex_1it lui-même comme on ferait d’habitude

I Donc, mêmex1it exogène est instrumenté

I car cela séparex1it de sa partie invariante au tempsx¯1i I Celle-ci (¯x_1i) est utilisée comme instrument pourw_2i endogène

I pourrait être un instrument faible

I w_1i

exogène est utilisé comme instrument pour lui-même

(31)

Estimateur Hausman–Taylor

yit =

x

⁰_1it ₁+ x⁰_2it ₂+

w

_1i⁰ ₁+ w⁰_2i ₂+ ↵_i +✏_it

# # # #

¨x1it ¨

x

2it

w

₁⁰_i ¯x1i

I

Identification des coef. des régresseurs invariants dans le temps

I si # régresseurs exogènes variant dans le temps # régresseursendogènes invariants dans le temps

I c’est-à-dire si # dex₁ # dew₂

I C’est-à-dire si # instruments est au moins égal au # de régresseursw₂

I

Ineﬃcient puisque cet estimateur ignore la structure de

corrélation panel de

(↵i+✏it)

(32)

Exemple : Baltagi and Khanti-Akom (1990)

I

595 obs. d’individus sur 1976–1982

I Du Panel Study of Income Dynamics (PSID)

lwage log-salaire, supposé fonction de : y

Inst

ed IT années d’éducation w₂ ¯x₁

wks VT le temps que la personne a tavaillé pour la firme

x2 ¨

x

2 exp VT expérience de travail

si la personne (0/1)

smsa VT ... vit dans une grande agglomération

x₁ ¨x₁

bluecol VT ... est ouvrier south VT ... vit dans le sud ind VT ... est dans l’industrie ms VT ... est mariée

x₂ ¨

x

₂

union VT ... est syndiquée sex IT ... est un homme

w₁ w₁

black IT ... est African-American

(33)

Endogénéité

I

Les IT

sex

,

black

sont exogènes :

w1 I

Les VT

exp,exp²

,

wks

,

ms,union

I Peuvent tous être corrélés avec les eﬀets individuels inobservés

I = sont endogènes

I Ces variables présentent-elles suﬃsamment de variation within-panel pour être leurs propres instruments ?

¨

x_2it=x_2it x¯_2i

I Il faudrait regarder les variations within / between, mais on manque d’une commande dans R

I

On suppose que les VT

bluecol

,

south,smsa,ind

sont toutes exogènes :

x₁

I x¯₁est utilisé comme instrument pour l’endogène ITed :w₂

I L’instrument pourx1is¨x1

I Corrélation suﬃsante pour identifier le coeﬃcient deed?

(34)

Régression

I pht(lwage~wks+south+smsa+married+exp+I(exp^2) +bluecol+ind+union+sex+black+ed

| sex+black+bluecol+south+smsa+ind , data=Wages,index=595)

I Donc endog : exp exp2 wks ms union ed

I

Décomposition de la varience en

µ

et

✏

: 0.975 et 0.025, respectivement

I indiquant qu’une large fraction de la variance totale de l’erreur est attribuée àµi

I

Les variables IT

sex

et

black

ne sont pas signif

(35)

Économétrie des Données de Panel Ch 2. Modèles Linéaires Dynamiques Modèle dynamique

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales GMM linéaire en panel

Estimateur Variable Instrumentale Modèle Hausman–Taylor

Modèle dynamique

(36)

Dynamique

I

Les régresseurs comprennent un retard de la variable dépendante

yit = yi,t 1+

x

⁰_it +↵i+✏it, i =

1, . . . ,

N, t=

1, . . . ,

T

(6)

I

On suppose

| |<

1

I Dans les applications, cela peut être testé en utilisant des tests de racines unitaires panel

I ¬R racine unitaire, alorsy_it est une marche aléatoire (random walk)

I L’inférence n’est pas valide

I Pas dans ce cours

(37)

Corrélation entre y

it

& y

i,t 1

I

On a à présent une corrélation sérielle dans

yit

I directement viay_i,t ₁

I en plus d’indirectement via la persistence donnée par↵_i

I Ces 2 causes amènent àdiﬀérentes interprétationsde la corrélation dans le temps

I

Du modèle précédent (6) avec

=

0

I y_it= y_i,t ₁+↵_i+✏_it, on a

Cor[yit,yi,t 1] =Cor[ yi,t 1+↵i+✏it,yi,t 1]

= Cor[yi,t 1,yi,t 1] +Cor[↵i,yi,t 1]

= +

1

+ (1 ) ²_✏/(1+ ) ²_↵

I

La 2º égalité suppose

Cor[✏it,yi,t 1] =

0

I

La 3º égalité s’obtient dans le cas particulier des EA

I avec✏_it ⇠iid⇥ 0, ✏²

⇤& ↵_it ⇠iid⇥ 0, ↵²

⇤

(38)

2 raisons possible de corrélation entre y

it

& y

i,t 1

1.

Véritable dépendance à l’état (True state dependence)

I Quand la corrélation dans le temps est due au mécanisme causal quey_i,t ₁ déterminey_it

I Cette dépendance est relativement grande si

I l’eﬀet individuel est relativement petit↵i'0

I ou lorsque ↵² est petit par rapport à ✏²car alors Cor[yit,yi,t 1]'

2.

Corrélation spurieuse entre

yit

&

yi,t 1

, sans mécanisme causal,

I due à del’hétérogénéité inobservée↵i I donc =0

I maisˆOLS6=0 carCor[yit,yi,t 1] = ²↵/ _↵²+ ✏² comme dans le Ch. 1

I due à des questions deséries temporelles:y_it is I(1)

I Pas dans ce cours

(39)

Véritable dépendance à l’état vs. hétérogénéité inobservée

I

Les 2 cas permettent une corrélation arbitrairement proche de 1 (100%)

I parce que soit !1 ou _↵²/ ²_✏ !0

I Mais ces 2 explications ont des implications politiques radicalement diﬀérentes

I On prend l’exemple des revenusyit

I

Explication “Véritable dépendance à l’état”

I Les revenusyit sont toujours au-dessus de la moyenne (ou en-dessous)

I même après avoir contrôlé pour les régresseursxit

I car les revenus futurs sont déterminés par les revenus passés I

Expication hétérogénéité inobservée

I est en réalité petit mais des régresseurs important ont été omisde x_it,

I ce qui amène à un↵i élevé

I qui fait queˆLS semble élevé (facteurs confondants)

(40)

Véritable dépendance à l’état vs. hétérogénéité inobservée

I

C’est-à-dire, les gens sont-ils pauvres (ou riches) parce que

I Ils ont été pauvres (ou riches) ?

I Dans ce cas, il faut traiter la pauvreté en transférant de l’argent

I Ou bien ont-ils des caractéristiques individuelles qui font qu’ils sont pauvres ?

I Dans ce cas, la pauvreté pourrait être traitée par exemple en améliorant l’éducation ou la discrimination, selon les régresseurs significatifs

(41)

Estimateurs inconsistants ou ineﬃcients

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales

Exemples classiques de MM GMM

GMM linéaire en panel

Estimateur Variable Instrumentale Modèle Hausman–Taylor

Modèle dynamique

Estimateurs inconsistants ou ineﬃcients

Arellano–Bond

(42)

Inconsistance des estimateurs du Ch. 1

I

Tous les estimateurs du Ch.1 sont inconsistants lorsqu’on inclut un retard de la variable dependante

I

p.e. MCO de

yit

sur

yi,t 1

et x

it

I Erreur(↵_i+✏_it), corrélée avecy_i,t ₁par↵_i

I

Estimateur Within :

yit y¯i

sur

(yi,t 1 y¯i)

et

(xit

x

¯i)

avec erreur

(✏it ✏¯_i)

I yi,t 1 correlée avec✏i,t 1et donc avec¯✏i I

Inconsistance aussi pour l’estimateur EA du Ch 1

I puisqu’il s’agit d’une combinaison linéaire de within et between

(43)

Modèle diﬀérences premières

I

Le modèle dyn. (6) en diﬀ. premières,

t=

2, . . . ,

T

:

yit yi,t 1 = (yi,t 1 yi,t 2) + (xit

x

i,t 1)⁰ + (✏it ✏_i,t ₁)

I

MCO sur ce modèle est inconsistant parce que

yi,t 1

corrélé avec

✏_i,t ₁

I donc le régresseur(yi,t 1 yi,t 2)corrélé avec l’erreur (✏it ✏i,t 1)

I

Donc l’estimateur D1 du modèle dyn, est aussi inconsistant

I

Par contre, on peut utiliser VI

I avecyi,t 2comme instrument pour(yi,t 1 yi,t 2)

I y_i,t ₂ instrument valide puisque non-corrélé avec(✏_it ✏_i,t ₁)

I Ça pourrait encore dépendre de la corrélation sérielle des erreurs✏it

I y_i,t ₂ est un “bon” instrument puisque corrélé à (y_i,t ₁ y_i,t ₂)

(44)

Estimation plus eﬃciente du modèle en diﬀérences premières

I

L’estimateur VI précédent est juste identifié

I il demande qu’au moins3 périodes de données soient disponibles pour chaque individu

I

Une estimation plus eﬃciente est possible

I En utilisant des retardssupplémentairesde la variable dépendante comme instruments

I L’estimateur devient alorssur-identifié

I estimation par 2SLS ou 2SGMM

(45)

Arellano–Bond

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales

Exemples classiques de MM GMM

GMM linéaire en panel

Estimateur Variable Instrumentale Modèle Hausman–Taylor

Modèle dynamique

Arellano–Bond

(46)

Arellano–Bond

Estimateur Arellano–Bond

I

L’estimateur panel GMM qui fait ça est appelé

Arellano–Bond ˆ_AB =

" _N X

i=1

X

˜⁰i

Z

i

!

W

N

XN i=1

Z

⁰i

X

˜i

!# 1 XN i=1

X

˜⁰i

Z

i

!

W

N

XN i=1

Z

⁰i

y

˜i

!

I

avec

I X⇣˜i est une matrice (T 2)⇥(K +1)avect^eme^` ligne y_i,t ₁, x⁰_it⌘

, T =3, . . . ,T

I ˜yi est un vecteur(T 2)⇥1 avect^eme^` ligne y_it

I On est bien dans le modèle diﬀérences premières

I Zest défini à la prochaine diapo

(47)

Arellano–Bond

Estimateur Arellano–Bond

I

Z

i

est une matrice

(T

2)

⇥r

d’instruments :

Z

i = 2 66 66 4

z

⁰_i3

0

· · ·

0 0 z

⁰_i4

...

... ... 0

0

· · ·

0 z

⁰_iT

3 77 77 5

avec souvent z

⁰_it =h

yi,t 2,yi,t 3, . . . ,yi1,

x

⁰_iti

I

Donc on rajoute un instrument à chaque période

(48)

Arellano–Bond

Estimateur Arellano–Bond

I

Des retards de x

it

ou de x

it

peuvent de plus être utilisé comme instruments

I et pourT suﬃsamment grand, on peut limiter le nombre de retards dey_it qui sont utilisés comme instrument

I p.e. pas plus queyi,t 5

I

2SLS (“une” étape) et 2SGMM (“deux” étapes) correspondent à diﬀérentes matrices de poids

WN

I selon le traitement de l’hétéroscédasticité et de l’autocorrélation

I Voir section précédente

(49)

Arellano–Bond

Exemple : données Arrellano-Bond

I

firm = firm index (index, devrait être un facteur)

I

year = t

I

emp = employment

I

wage = real wage

I

capital = gross capital

I

output = industry output

I

sector de 1 à 9 (devrait être un facteur)

(50)

Arellano–Bond

Exemple : Estimateur Arellano-Bond

I

commande pgmm

I pgmm(log(emp)~lag(log(emp), 1 :2)+lag(log(wage), 0 :1)+log(capital) +lag(log(output), 0 :1) | lag(log(emp), 2 :99),...)

I lag

I Dans une commande plm, lag a une signification panel

I lag(log(emp), 1 :2)= les deux 1ºlags de log(emp) :empi,t 1

etempi,t 2 I Instruments

I Dans gmm estimation, il y a des instruments “normaux” et des instruments “gmm” instruments

I Les instruments gmm sont indiqués en 2ºpartie de formule

I lag(log(emp), 2 :99)veut dire que l’estimateur peut utiliser tous retards de l’endogène – mais 3 :99 ?

I Par défaut, toutes les variables du modèles qui ne sont pas des intruments gmm sont des instruments normaux, avec la même structure de retard

I Des instruments normaux peuvent être rajoutés dans une 3º partie de la formule (après un nouveau | )

(51)

Arellano–Bond

Exemple : Estimateur Arellano-Bond

I

commande pgmm

I eﬀect

I Par défaut "twoways", mais peut être aussi "individual" et

“null”

I Si "null", le modèle est estimé en niveaux (permet d’estimer une modèle avec des données en diﬀérences 1º, sinon on imposerait des trends)

I Si “individual”, le modèle est estimé en diﬀérences 1ºpour éliminer les↵i

I Si "twoways", le modèle est estimé en diﬀérences 1ºet on rajoute des trends

I modelpeut être "onestep" (défaut 2SLS) ou "twosteps"

(2SGMM)

I “2SLS” assume pas autocorrélation & homoscé.

I