Économétrie des Données de Panel Ch 2. Modèles Linéaires Dynamiques

(1)

Pr. Philippe Polomé, Université Lumière Lyon 2

M1 APE Analyse des Politiques Économiques M1 RISE Gouvernance des Risques Environnementaux

2020 – 2021

(2)

Introduction

I

Le Ch. précédent a présenté des variantes du MRL avec

I des EF ou des EA et

I des régresseursstrictement exogènes

E[ε_it|α_i,xi1, ...,x_iT] =0, t =1, ...,T I

Ce Ch. : Modèles linéaires en relaxant cette hyp.

I RégresseursendogènesE[εit|xijt]6=0 pour au moins unj

(3)

Plan

I

Tous les estimateurs de ce Ch. sont des applications de la Méthode Généralisée des Moments (GMM)

I

Cas général linéaire

I Rappel en coupe transversale

I Disponibilité des instruments en panel I

2 applications

I Hausman-Taylor

I Essayer de récupérer des régresseurs invariants dans le temps I Arrellano-Bond

I p.e.variable dépendante retardée

I endogène en panel puisque autocorrélation

(4)

Économétrie des Données de Panel Ch 2. Modèles Linéaires Dynamiques Théorie GMM en coupes transversales

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales

GMM linéaire en panel

Application Variable Instrumentale

Application Modèle Hausman–Taylor

Application Modèle dynamique

(5)

Le principe d’analogie

I

Les estimateurs GMM sont basés sur le principe d’analogie

I On suppose une ou plusieurs conditions sur desmoments de

la population

I On trouve des valeurs des paramètres t.q. ces conditions se réalisent dans l’échantillon

(6)

Exemples classiques de MM

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales Exemples classiques de MM

GMM

GMM linéaire en panel

Application Variable Instrumentale Application Modèle Hausman–Taylor Application Modèle dynamique

Estimateurs inconsistants ou inefficients Arellano–Bond

(7)

Estimation de la moyenne de la population (espérance)

I

Soit

y

d’espérance

µ

I

Dans la population

E[y−µ] =

0 par définition

I Il s’agit d’une condition sur la population I

Soit un échantillon iid

{y_i}

- non panel

I RemplacerE[·]pour la population parN⁻¹PN

i=1(·)pour l’échantillon définit le moment empirique correspondant :

1

N

X

i=1

(yi −µ) =

0

I

Résoudre pour

µ

définit l’estimateur MM

ˆ

µ_MM =N⁻¹

N

X

i=1

y_i = ¯y

I L’estimateur MM de l’espérance est la moyenne de l’échantillon

(8)

Régression linéaire en coupe transversale

I

MRL

y =x⁰β+u

;

x

&

β

sont des vecteurs

K ×

1

I

Supposons

E[u|x] =

0

I Par la loi des espérances itérées :E[u|x] =E[xu]

I =⇒ K conditions de moment inconditionnelE[xu] =0 I Donc, quand l’erreur a zéro moyenne conditionnelle / est

“exogène” / orthogonale Eh

x

y−x⁰βi

=0

I

Estimateur MM de

β

= solution de ces mêmes conditions dans l’échantillon

1

N

X

i=1

x_i

y_i−x_i⁰β

=0

I Ça donneβˆ_MM = P

ix_i⁰x_i−1

P

ix_i⁰y_i comme MCO

(9)

Estimateur Variable Instrumentale (VI) linéaire

I

Imaginons qu’il y ait endogénéité :

E[u|x]6=

0

I

Si on a des instruments

z

t.q.

E[u|z] =

0 et

I Que ces instruments sontbons

I fortement corrélés avec les régresseurs

I Quedim(z) =dim(x): autant d’instruments que de régresseurs

I modèle dit “exactement identifié”

I

Alors

βˆ_MM = P

iz_i⁰x_i−1

P

iz_i⁰y_i = (Z⁰X)⁻¹Z⁰y

est consistant

I alors queβˆ_OLS = P

ix_i⁰x_i⁻¹ P

ix_i⁰y_i = (X⁰X)⁻¹X⁰y est inconsistant

I βˆ_MM estl’estimateur Variable Instrumentale VI I une application du principe MM

(10)

GMM

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales

GMM

GMM linéaire en panel

Application Variable Instrumentale Application Modèle Hausman–Taylor Application Modèle dynamique

Estimateurs inconsistants ou inefficients Arellano–Bond

(11)

GMM

Conditions de Moments supplémentaires

I

Des moments/instruments additionels peuvent améliorer l’efficience

I mais demande une adaptation de MM I

Considérons que

dim(z)>dim(x)

I plus d’instruments que de régresseurs

I Note : lorsquedim(z)<dim(x)“sous-identifié” : on n’a pas d’estimateur consistant

I

Quels instruments prend-t-on ? Toute sélection est arbitraire

I soitz1etz2deux sous-ensembles dez t.q.

dim(z1) =dim(z2) =dim(x) I Alors,βˆ_MM1=

Z₁⁰X⁻¹

Z₁⁰Y 6=

Z₂⁰X⁻¹

Z₂⁰Y = ˆβ_MM₂

(12)

Définition GMM

I

Si on écrit les conditions de moment

E

h Z

y−X⁰β i

I Commedim(z)>dim(x): plus de conditions que de paramètres à estimer

I

L’estimateur GMM choisit

βˆ

de sorte à ce que le vecteur de conditions de moments dans l’échantillon

1

N

X

i

z_i

y_i −x_i⁰β

soit aussi petit que possible en termes quadratiques

I

C’est-à-dire

βˆ_GMM

minimise :

Q_N(β) =

"

1

N

X

i

z_i

y_i −x_i⁰β

#⁰

W

N

"

1

N

X

i

z_i

y_i−x_i⁰β

#

où W

N

est une matrice de poids dépendant de l’application

(13)

GMM

Comment choisir W

N

?

I

Soit

dim(z) =r

; W

N

est

r×r

, semi-définie positive et ne dépend pas de

β

I

Essentiellement,

W_N

est un choix de pondération des instruments dans une combinaison linéaire pour retrouver

k

instruments pondérés

I

Tout choix de W

N

définit un estimateur consistant

I mais avec différentes variances (quandr>k)

I

GMM spécifie le choix optimal de la matrice de poids W

N

I selon chaque cas particulier (autocorrélation, hétérocédasticité) I t.q.βˆGMM a la pluspetite variance asymptotique

I 3 cas en panel, qu’on voit dans la section suivante

(14)

Économétrie des Données de Panel Ch 2. Modèles Linéaires Dynamiques GMM linéaire en panel

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales GMM linéaire en panel

Application Variable Instrumentale

Application Modèle Hausman–Taylor

Application Modèle dynamique

(15)

Hypothèses Panel

I

Soit le modèle linéaire en panel

y_it =x_itβ+u_it

(1)

x_it

peut contenir des régresseurs invariants dans le temps et un intercept

I

Pour le modèle de cette section, simplification :

I pas d’effet individuel αi

I x_it comprendseulementdes variables de la période courante I Pas de retard

I On peut voir cette simplification comme si les données étaient transformées

I comme dans le Ch. 1 avec les estimateurs˜

I

En gras on empile les T observations pour le

i^eme^`

agent

y_i =X_iβ+u_i

(2)

(16)

EF et EA avec endogénéité

I

Pour cette définition, temporairement on remet les

αi

I le modèle (1)yit =xitβ+uit devient

yit =αi+

x

⁰_itβ+it

(3)

I

Des régresseurs de

xit

sont endogènes :

E[xit(αi +it)]6=

0

I On appelleEAsi∃instrumentsZ_i t.q. Eh

Z⁰_i(α_i+_it)i

=0 I Alors on applique GMM selon les formules présentées + loin I On appelleEFs’il estseulementpossible de trouver des

instruments t.q.Eh Z⁰_iit

i

=0, maisEh Z⁰_iαi

i6=0 I Dans ce cas, il faut éliminer les EFαi par différentiation

comme dans le Ch. 1

I et seuls les coefficients des régresseurs variables dans le temps sont identifiés

I C’est la même discussion qu’au Ch. 1

(17)

Conditions de moment GMM en panel

I

On revient au modèle sans les

αi

I Donc on est soit en EA, soit en EF après élimination desαi

I

On suppose une matrice

T ×r

d’instruments

Z_i

I r ≥K est le nbr d’instruments / conditions de moment t.q.

E h

Z⁰_iu_ii

=

0 (4)

I

L’estimateur panel GMM basé sur ces conditions minimise une forme quadratique :

βˆ_PGMM =

"

X

i

X⁰_iZ_i

!

W_N X

i

Z⁰_iX_i

!#−1

X

i

X⁰_iZ_i

!

W_N X

i

Z⁰_iy_i

!

I

Cet estimateur est consistant pour autant que les conditions de moment (4) tiennent

I 3 cas

(18)

Cas 1. Panel GMM juste identifié

I

Dans ce cas

r =K

, donc

dim(z) =dim(x)

I alorsβˆ_PGMM se simplifieen l’estimateur VIquel que soit WN

βˆVI =

"

X

i

Z⁰_iXi

!#−1

X

i

Z⁰_iy_i

!

I On voit bien que c’est la version panel de βˆ_VI =

Z⁰X−1

Z⁰Y en coupe transversale

I S’il y a des régresseurs exogènes, ils sont leurs propres instruments

I

Si

r>K

: plus d’instruments que de régresseurs

I Il faut utiliser la formule avec la matrice de poidsWN

I Il y a 2 cas (diapos suivantes)

(19)

Cas 2. estimateur 2SLS – MC2E

2SLS “2-Stage Least Squares” – MC2E “MC en 2 étapes”

I

Hyp. pas d’hétéroscédasticité & pas d’autocorrélation

I βˆ2SLS =

X⁰Z

Z⁰Z−1

Z⁰X −1

X⁰Z

Z⁰Z−1

Z⁰y I Un estimateur PGMM suridentifié optimal

I

Pourquoi MC en 2 étapes ?

I Étape 1. Éq. d’instrumentation

I Chaque régresseurendogènexj est régressé surtousles instrumentsZ et tous les régresseurs exogènesX−j :

xj=Zγj+X−jδj+µj

I Les valeurs ajustéesxˆj=Zγˆj+X−jδˆjsont des instrumens valides pour lesxj endogènes

I Étape 2.y est régressé sur les valeurs ajustéesxˆj

I La formule deβˆ2SLS exprime cela

(20)

Cas 3. estimateur “2-Step GMM”

I

Possible hétéroscédasticité et/ou autocorrélation

I Estimateurrobuste“à la White”

I βˆ_2SGMM =h

X⁰ZSˆ⁻¹Z⁰Xi−1

X⁰ZSˆ⁻¹Z⁰y I Sˆ =_N¹P

iZ⁰_iuˆiuˆ⁰_iZi est un estimateur robuste de type White I Sˆest consistant pour la matricer×r S=plim_N¹ P

iZ⁰_iuiu⁰_iZi

I C’est l’estimateur GMM en 2 étapes (2-Step GMM) I Première étape est un estimateur consistant deβcomme

βˆ2SLS

I Ensuite on utilise les résidusuˆi =y_i−Xiβˆ2SLS pour calculerSˆ I Un estimateur Panel GMM suridentifié optimal

I Sera aussi consistant commeβˆ2SLS, mais plus efficient

(21)

Panel GMM suridentifié

I

Dans beaucoup d’applications,

Z_i

est composé de valeurs retardées des régresseurs

I endogènes &/ou exogènes

I

Imaginons qu’on dispose de

r

instruments

I On peut souvent supposer que le premier retard de chaque régresseur est non-corrélé avec l’erreur courante

I doncxit−1 est disponible comme instrumentadditionelpourxit

I appeléexogénéité faible/instruments prédéterminés I On peut souvent poursuivre ainsi avec 2 retards, 3 retards...

I On perd chaque fois une période d’observation, l’efficience baisse...

I mais on augmente le nombre d’instruments, l’efficience augmente

I Le modèle est alors très facilementsuridentifié

I Cela fait que même si on n’a pas d’endogénéité, panel GMM peut être plus efficient que panel MC

(22)

Inférence Panel-robuste

I βˆ_PGMM

est asymptotiquement normal

I avec une matrice de var-cov asymptotique compliquée I

Un estimateur consistant de cette matrice existe

I conditionnellement à un choix deWN

I et l’indépendance entrei est une hypothèse correcte I

Un estimateur robuste de type White existe

I Il permet de calculer des et robustes à l’Het. et l’Autoc.

I Mais ça n’est pas généralement implémenté dans les logiciels I Sauf pour des cas particuliers (+ loin)

I

Alternativement, Bootstrap est faisable

I

C’est comme dans le Ch. 1

(23)

Économétrie des Données de Panel Ch 2. Modèles Linéaires Dynamiques Application Variable Instrumentale

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales GMM linéaire en panel

Application Variable Instrumentale

Application Modèle Hausman–Taylor

Application Modèle dynamique

(24)

Estimateur Variable Instrumentale

I

Tous les modèles du Ch. 1 peuvent être estimés en ajoutant des VI

I Dans Rplm, les instruments sont spécifiés à la fin de la formule

I Après un signe| I Séparés par des+

I

Si p.e., le modèle est y ~ x1 + x2 + x3

I avec x1 & x2 endogène et z1 & z2 des instruments externes, on écrit

I formula=y~x1+x2+x3 | x3+z1+z2 I OU bien

I formula=y~x1+x2+x3 | .-x1-x2+z1+z2(attention au point .)

(25)

Estimateur Variable Instrumentale

I

Chaque instrument est conceptuellement associé à son régresseur spécifique

I Mais en réalité, dans les formules, tous les instruments sont utilisés pour tous les régresseurs

I Les variables exogènes du modèle sont leurs propres instruments

I La commande accepte plus d’instruments que de régresseurs, mais n’indique pas comment elle procède

I Cfr MC2E

I

Deux estimateurs sont disponibles avec l’arg.

inst.method I bvk, Balestra & Varadharajan-Krishnakumar (1987), le défaut I baltagi, Baltagi (1981)

(26)

Application : déforestation amazonienne

Rappel

I

Le fichier de données est en ligne sur le site du cours

I

Données de 1988 à 2015 - on laisse tomber 1988 ama3

I États de l’Amazone légale (un état n’a pas 1988) I 9 états du bassin brézilien de l’Amazone

I

Modèle CKE

y_it =α_i +β1

PIBh

it+β2

PIBh

²it+γx_it+_it I On regarde dans x le PPCDAm

I Plano para Prevenção e Controle do Desmatamento na Amazônia legal

(27)

PPCDAm

I

Le Plan est actif à partir de 2004

I On pourrait imaginer le représenter par une dichotomique I

On a le budget 2004-2015 complet pour 3 états

I Amapá, Mato Grosso, Pará

I Parmi lesquels Mato Grosso et Pará sont les 2 gros déforesteurs

I On a donc le principal

I PP <- c("Amapá"","Mato Grosso","Pará") I ama4 <- ama3[ama3$Etat %in% PP,]

I

Ce plan est en réaction à la déforestation

I Donc, c’est un régresseur endogène

I On peut imaginer l’instrumenter par sa valeur passée I Mais il faut tenir compte de la structure panel I On passe ama4 en pama4

I Defor_km2~PIBh2010R+PIBSQR+PPCDAm2010R

|PIBh2010R+PIBSQR+lag(PPCDAm2010R)

(28)

Économétrie des Données de Panel Ch 2. Modèles Linéaires Dynamiques Application Modèle Hausman–Taylor

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales GMM linéaire en panel

Application Variable Instrumentale

Application Modèle Hausman–Taylor

Application Modèle dynamique

(29)

Motivation

I

Habituellement, en panel, l’endogénéité

I vient de régresseurs corrélés avec les effets individuelsαi

I amène à l’inconsistance des estimateurs EA I

L’estimateur within est consistant

I mais alors les coefficients des régresseurs invariants dans le temps ne peuvent être estimés

I alors qu’il y a beaucoup d’études dont ce serait précisément le but

I Par xemple : discrimination(s) dans l’équation de salaire

(30)

Spécification

I

Modèle Hausman & Taylor

y_it =x⁰_1itβ₁+x⁰_2itβ₂+w⁰_1iγ₁+w⁰_2iγ₂+α_i+_it

(5) où

x_1it

&

w_1i

ne sont pas corrélés avec

α_i

mais

x_2it

&

w_2i

le sont

w

indique les régresseurs invariants dans le temps

I

C’est le modèle panel classique

I sauf qu’on précise quels régresseurs sont corrélés avecαi et lesquels sont invariants

I Tous les régresseurs sontnon-corrélésavecεit

I

La transformation Within

z¨_it =z_it−z¯_i

élimine la corrélation avec

αi

¨

yit = ¨x⁰_1itβ1+ ¨x⁰_2itβ2+ ¨it

I

Mais aussi les régresseurs invariants dans le temps

(31)

Estimateur Hausman–Taylor consistant

I x_2i

corrélé avec

αi

I mais la transformation withinx¨_2it=x_2it−x¯_2i ne l’est pas I Puisque la corrélation avecαi ne peut être qu’avec la partie

dex2it∀t invariante au temps

I Doncx¨2it peut être utilisé comme instrumentpour x2it

endogène

I

On prend pareillement

x¨_1it

comme instrument pour

x_1it I plutôt quex1it lui-même comme on ferait d’habitude

I Donc, mêmex1it exogène est instrumenté

I car cela séparex1it de sa partie invariante au tempsx¯1i

I Celle-ci (¯x1i) est utilisée comme instrument pourw2i endogène I pourrait être un instrument faible, ça dépend des cas

I w_1i

exogène est utilisé comme instrument pour lui-même

(32)

Estimateur Hausman–Taylor

y_it= x⁰_1itβ₁+ x⁰_2itβ₂+ w⁰_1iγ₁+ w⁰_2iγ₂+ α_i+_it

↓ ↓ ↓ ↓

instrument x¨1it x¨2it w⁰_1i x¯1i

I

Identification des coef. des régresseurs invariants dans le temps

γ

I si # régresseurs exogènes variant dans le tempsx₁ ≥# régresseursendogènes invariants dans le temps w₂ I c’est-à-dire si # dex1≥# dew2

I C’est-à-dire si # instruments est au moins égal au # de régresseursw2

I

Inefficient car cet estimateur ignore la structure de corrélation

panel de

(α_i +_it)

(33)

Exemple : Baltagi and Khanti-Akom (1990)

I

595 obs. d’individus sur 1976–1982 du Panel Study of Income Dynamics (PSID) – enquête annuelle US sur les reven

lwage log-salaire, supposé fonction de : y

Inst

ed IT années d’éducation w2 x¯1

wks VT le temps que la personne a tavaillé pour la firme

x2 x¨₂

exp VT expérience de travail si la personne (0/1)

smsa VT ... vit dans une grande agglomération

x1 x¨1 bluecol VT ... est ouvrier

south VT ... vit dans le sud ind VT ... est dans l’industrie ms VT ... est mariée

x2 x¨2 union VT ... est syndiquée

sex IT ... est un homme

w1 w1 black IT ... est African-American

(34)

Endogénéité

I

Les IT

sex

,

black

sont exogènes :

w1

I

Les VT

exp

,

exp²

,

wks

,

ms

,

union

I Peuvent tous être corrélés avec les effets individuels inobservés I = sont endogènes

I Ces variables présentent-elles suffisamment de variation within-panel pour être leurs propres instruments ?

¨

x2it=x2it−x¯2i

I Il faudrait regarder les variations within / between, mais on manque d’une commande dans R

I

On suppose que les VT

bluecol

,

south

,

smsa

,

ind

sont toutes exogènes :

x₁

I x¯1est utilisé (un vesteur de 4 variables) comme instrument pour l’endogène ITed :w2

I L’instrument pourx1is¨x1

I Corrélation suffisante pour identifier le coefficient deed?

(35)

Régression

I pht(lwage~wks+south+smsa+married+exp+I(exp^2) +bluecol+ind+union+sex+black+ed

| sex+black+bluecol+south+smsa+ind , data=Wages,index=595)

I Donc endog : exp exp2 wks ms union ed

I

Décomposition de la varience en

σ_µ

et

σ

: 0.975 et 0.025, respectivement

I indiquant qu’une large fraction de la variance totale de l’erreur est attribuée àµi

I

Les variables IT

sex

et

black

ne sont pas signif

(36)

Économétrie des Données de Panel Ch 2. Modèles Linéaires Dynamiques Application Modèle dynamique

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales GMM linéaire en panel

Application Variable Instrumentale

Application Modèle Hausman–Taylor

Application Modèle dynamique

(37)

Dynamique

I

Les régresseurs comprennent un retard de la variable dépendante

y_it =γyi,t−1+x⁰_itβ+α_i +_it, i =

1

, . . . ,N, t=

1

, . . . ,T

(6)

I

On suppose

|γ|<

1

I Dans les applications, cela peut être testé en utilisant des tests de racines unitaires panel

I Si on ne rejette pas l’hypothèse de racine unitaire, alorsyit est une marche aléatoire (random walk)

I L’inférence n’est pas valide I Pas dans ce cours

(38)

Corrélation entre y

_it

& y

_i,t−1

I

On a à présent une corrélation sérielle dans

y_it I directement viay_i,t−1

I en plus d’indirectement via la persistence donnée parα_i I Ces 2 causes amènent àdifférentes interprétationsde la

corrélation dans le temps

I

Du modèle précédent (6) s’il n’y a pas de régresseur

x I y_it=γy_i,t−1+α_i+_it, on a

Cor[yit,yi,t−1] =Cor[γyi,t−1+αi+it,yi,t−1]

=γCor[yi,t−1,yi,t−1] +Cor[α_i,yi,t−1]

=γ+

1

−γ

1

+ (

1

−γ)σ²/(

1

+γ)σ²_α I

La 2º égalité suppose

Cor[_it,yi,t−1] =

0

I

La 3º égalité s’obtient dans le cas particulier des EA

I avecit ∼iid

0, σ²

& αit ∼iid 0, σ_α²

(39)

2 raisons possibles de corrélation entre y

_it

& y

_i,t−1

1. Véritable dépendance à l’état (True state dependence)

I Quand la corrélation dans le temps est due au mécanisme

causal quey_i,t−1 déterminey_it

I Cette dépendance est relativement grande si I l’effet individuel est relativement petitαi'0 I ou lorsqueσα² est petit par rapport àσ²car alors

Cor[yit,yi,t−1]'γ

2. Corrélation spurieuse entre

y_it

&

y_i,t−1

, sans mécanisme causal,

I due à del’hétérogénéité inobservéeαi

I doncγ=0

I maisˆγOLS6=0 carCor[yit,yi,t−1] =σ²α/ σα²+σ²

comme dans le Ch. 1

I due à des questions deséries temporelles:yit is I(1) I Pas dans ce cours

(40)

Véritable dépendance à l’état vs. hétérogénéité inobservée

I

Les 2 cas permettent une corrélation arbitrairement proche de 1 (100%)

I parce que soitγ→1 ouσ_α²/σ² →0

I Mais ces 2 explications ont des implications politiques radicalement différentes

I On prend l’exemple des revenusyit

I

Explication “Véritable dépendance à l’état”

I Les revenusy_it sont toujours au-dessus de la moyenne (ou en-dessous)

I même après avoir contrôlé pour les régresseursxit

I car les revenus futurs sont déterminés par les revenus passés

I

Explication hétérogénéité inobservée

I γ est en réalité petit mais des régresseurs important ont été omisde xit,

I ce qui amène à unαi “élevé”

I qui fait queˆγLS semble élevé (facteurs confondants)

(41)

Véritable dépendance à l’état vs. hétérogénéité inobservée

I

C’est-à-dire, les gens sont-ils pauvres (ou riches) parce que

I Ils ont été pauvres (ou riches) ?

I Dans ce cas, il faut traiter la pauvreté en transférant de l’argent

I Ou bien ont-ils des caractéristiques individuelles qui font qu’ils sont pauvres ?

I Dans ce cas, la pauvreté pourrait être traitée par exemple en améliorant l’éducation ou la discrimination, selon les régresseurs significatifs

(42)

Estimateurs inconsistants ou inefficients

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales

Exemples classiques de MM GMM

GMM linéaire en panel

Application Variable Instrumentale Application Modèle Hausman–Taylor Application Modèle dynamique

Estimateurs inconsistants ou inefficients

Arellano–Bond

(43)

Inconsistance des estimateurs du Ch. 1

I

Tous les estimateurs du Ch.1 sont inconsistants lorsqu’on inclut un retard de la variable dependante

I

p.e. MCO de

y_it

sur

y_i,t−1

et

x_it

I Erreur(αi+it), corrélée avecy_i,t−1parαi

I

Estimateur Within :

yit−y¯i

sur

(yi,t−1−y¯i)

et

(x_it−x¯_i)

avec erreur

(_it−¯_i)

I y_i,t−1 correlée avec_i,t−1et donc avec¯i

I

Inconsistance aussi pour l’estimateur EA du Ch 1

I puisqu’il s’agit d’une combinaison linéaire de within et between

(44)

Modèle différences premières

I

Le modèle dyn. (6) en diff. premières,

t=

2

, . . . ,T

:

y_it−yi,t−1 =γ(yi,t−1−yi,t−2) + (x_it−xi,t−1)⁰β+ (_it−i,t−1) I

MCO sur ce modèle est inconsistant parce que

y_i,t−1

corrélé

avec

i,t−1

I donc le régresseur(yi,t−1−yi,t−2)corrélé avec l’erreur (it−i,t−1)

I

Donc l’estimateur D1 du modèle dyn, est aussi inconsistant

I

Par contre, on peut utiliser VI

I avecy_i,t−2comme instrument pour(y_i,t−1−y_i,t−2)

I y_i,t−2 instrument valide puisque non-corrélé avec(_it−_i,t−1) I Ça pourrait encore dépendre de la corrélation sérielle des

erreursit, mais en principe on l’a “éteinte” par diff. 1º I y_i,t−2 est un “bon” instrument puisque corrélé à

(y_i,t−1−y_i,t−2)

(45)

Estimation plus efficiente du modèle en différences premières

I

L’estimateur VI précédent est juste identifié

I il demande qu’au moins3 périodes de données soient disponibles pour chaque individu

I

Une estimation plus efficiente est possible

I En utilisant des retardssupplémentairesde la variable dépendante comme instruments

I L’estimateur devient alorssur-identifié I estimation par 2SLS ou 2SGMM

(46)

Arellano–Bond

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversales

Exemples classiques de MM GMM

GMM linéaire en panel

Application Variable Instrumentale Application Modèle Hausman–Taylor Application Modèle dynamique

Arellano–Bond

(47)

Arellano–Bond

Estimateur Arellano–Bond

I

L’estimateur panel GMM qui fait ça est appelé

Arellano–Bondβˆ_AB =

" _N X

i=1

X˜

0

iZ_i

! W_N

N

X

i=1

Z⁰_iX˜_i

!#⁻¹ _N X

i=1

X˜

0

iZ_i

! W_N

N

X

i=1

Z⁰_iy˜_i

!

I

avec (

∆

est l’opérateur diff. 1º, p. e.

∆y_it =y_it−yi,t−1

) :

I X˜i est une matrice(T −2)×(K +1)avect^`^eme ligne

∆y_i,t−1,∆x⁰_it

, T =3, . . . ,T

I ˜yi est un vecteur(T −2)×1 avect^eme^` ligne∆yit

I On est bien dans le modèle différences premières I Zi est défini à la prochaine diapo

(48)

Arellano–Bond

Estimateur Arellano–Bond

I Z_i

est une matrice

(T −

2)

×r

d’instruments :

Z_i =







z⁰_i3

0

· · ·

0 0

z⁰_i4

...

... ... 0

0

· · ·

0

z⁰_iT







avec souvent

z⁰_it=h

yi,t−2,yi,t−3, . . . ,y_i1,∆x⁰_iti

I

Donc, un instrument pour chaque période, sauf la 1 et la 2

(49)

Arellano–Bond

Estimateur Arellano–Bond

I

Des retards de

x_it

ou de

∆x_it

peuvent de plus être utilisés comme instruments

I et pourT suffisamment grand, on peut limiter le nombre de retards deyit qui sont utilisés comme instruments

I p.e. pas plus queyi,t−5

I

2SLS (“une” étape) et 2SGMM (“deux” étapes) correspondent à différentes matrices de poids

W_N

I selon le traitement de l’hétéroscédasticité et de l’autocorrélation

I Voir section précédente

(50)

Arellano–Bond

Exemple : données Arellano-Bond

I

firm = firm index (index, devrait être un facteur)

I

year = t

I

emp = employment

I

wage = real wage

I

capital = gross capital

I

output = industry output

I

sector de 1 à 9 (devrait être un facteur)

I très très connu

(51)

Exemple : Estimateur Arellano-Bond

I

commande pgmm

I pgmm(log(emp)~lag(log(emp), 1 :2)+lag(log(wage), 0 :1)+log(capital) +lag(log(output), 0 :1) | lag(log(emp), 2 :99),...)

I lag

I Dans une commande plm, lag a une signification panel I lag(log(emp), 1 :2)= les deux 1º lags de log(emp) :empi,t−1

etempi,t−2

I

Dans gmm estimation, il y a des instruments

I “gmm” : les lag de y, on précise combien

I Ces instruments gmm sont indiqués en 2º partie de formule, après une|

I lag(log(emp), 2 :99)veut dire que l’estimateur peut utiliser tous retards de l’endogène

I “normaux” qui sont des instruments qu’on aurait pour desx endogènes, s’il y a en a

I On les écrit après une seconde|, en 3º partie de formule I Par défaut, toutes les variables du modèles qui ne sont pas des

intruments gmm sont des instruments normaux - il n’y a pas besoin de les écrire explicitement

(52)

Arellano–Bond

Exemple : Estimateur Arellano-Bond

I

commande pgmm

I effect

I Par défaut "twoways", mais peut être aussi "individual" et

“null”

I Si "null", le modèle est estimé en niveaux (permet d’estimer un modèle avec des données qui sont déjà en diff. 1º, sinon on imposerait des trends)

I Si “individual”, le modèle est estimé en différences 1º pour éliminer lesαi

I Si "twoways", le modèle est estimé en différences 1º et on rajoute des trends

I modelpeut être "onestep" (défaut 2SLS) ou "twosteps"

(2SGMM)

I “2SLS” assume pas autocorrélation & homoscé.

I