Nombres transcendants

(1)

Nombres transcendants

Antoine Chambert-Loir

Institut de recherche mathématique de Rennes, Université de Rennes 1

Mathematic Park à Chateaubriand 15 novembre 2011

(2)

La surface du cercle

On sait aujourd’hui que la surfaceS d’un cercle de rayonr estπr², où π est une constante fondamentale :

π'3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884. . .

(3)

Gimme a slice of π !

(4)

La surface du cercle, dans l’Antiquité

Bible(Livre des Rois, 723) : « Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d’un bord à l’autre, une forme

entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une

circonférence que mesurait un cordon de trente coudées. » Papyrus Rhind(1800 av. J.C.) :π∼ ²⁵⁶₈₁ '3,16

Archimède(250 av. J.C.) : 3+10 71

< π <3+1 7 Meilleure approximation : ¹³⁵¹₃₉₀ < π < ⁵³⁰

153

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La surface du cercle, dans l’Antiquité

Archimède(250 av. J.C.) : 3+10 71

< π <3+1 7 Meilleure approximation : ¹³⁵¹₃₉₀ < π < ⁵³⁰

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La surface du cercle, dans l’Antiquité

Archimède(250 av. J.C.) : 3+10 71

< π <3+1 7

Meilleure approximation : ¹³⁵¹₃₉₀ < π < ⁵³⁰

153

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La quadrature du cercle

Pour les Grecs, les nombres n’avaient pas le statut qu’ils ont aujourd’hui : seuls existaient des rapports de

longueurs, des rapports de surfaces.

Au V^e siècle av. J.C., apparaît le problème deconstruction géométrique d’un carré ayant même aire qu’un cercle de rayon unité : c’est laquadrature du cercle, ou, en grec : ὸ τετραγωνισμός.

(8)

Rectifications et quadratures

Pour les Grecs, une surface était mesurée si l’on montrait qu’elle était équivalente à une surface formée de petits carrés. Le mot « quadrature » signifie doncmesurer une surface.

Hippocrate a pu quarrer deslunules, zone délimitée par certains arcs de cercle.

Dans le même genre : « rectifier », rendre droite, signifie mesurer une longueur — la rectification des ellipses sera un sujet fondamental des mathématiciens du XIX^e siècle.

Mais tout ceci ne prendra sa figure moderne qu’avec l’invention ducalcul infinitésimalpar Newton et Leibniz au XVIIê siècle, le développement de l’analyse (Cauchy, Heine, Weierstrass) au XIXê siècle, l’intégrale de Lebesgue (XXê siècle).

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Irrationalité de e

1737. LeonhardEulerprouve quee est irrationnel.

e= ^X^∞

n=0

1 n! e^π+1=0

(10)

Irrationalité de e

le nombree, base des logarithmes néperiens, est donné comme somme de la série infinie

1+ 1 1! + 1

2! + 1 3! + 1

4! +. . .

(11)

Irrationalité de e

1+ 1 1 + 1

1·2 + 1

1·2·3 + 1

1·2·3·4 +. . .

(12)

Irrationalité de e

1+ 1 1! + 1

2! + 1 3! + 1

4! +. . .

(13)

Irrationalité de e

1+ 1 1! + 1

2! + 1 3! + 1

4! +. . . + 1 n!+. . .

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Irrationalité de e

1+ 1 1! + 1

2! + 1 3! + 1

4! +. . . + 1 n!+. . .

La somme desn premiers termes est de la formeA/ n!, où A=n!+ ⁿ₂^!+· · ·+n+1 est un entier.

De plus,

A n!

< e <

A

n!+ R (n+1)!

avec

R=1+ 1

(n+2)+ 1

(n+2)(n+3)+. . .

<1+ 1 2+ 1

3!+. . . < e.

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Irrationalité de e (fin)

Conclusion :

A < n!e < A+ e n+1

.

Supposonspar l’absurdequee=p/ qet prenons n_¾mx(q,2).

Alors,n!eest un nombre entier, de même queA. Mais commee≈2,718<3¶n+1, il n’y a pas de nombre entier entreA et A+e/(n+1).Contradiction.

Slogan :e est très bien approché par la somme desn premiers termes de la série d’Euler. Mais un nombre rationnel est très mal approché par un autre nombre rationnel (sauf par lui-même).

(16)

Irrationalité de e (fin)

Conclusion :

A < n!e < A+ e n+1

.

(17)

Irrationalité de e (fin)

Conclusion :

A < n!e < A+ e n+1

.

(18)

Irrationalité et transcendance de π

1768. Johann HeinrichLambertprouve queπ est

irrationnel et conjecture qu’il est transcendant :il n’est racine d’aucun polynôme non nul à coefficients entiers.

1837. Pierre-LaurentWantzel établit une propriété des nombres que l’on peut construire à la règle et au compas.

Ils sont tous algébriques (racine d’un polynôme à coefficients entiers).

La question de la quadrature du cercle serait donc résolue (négativement) si l’on démontrait queπ est un nombre transcendant.

(19)

Irrationalité et transcendance de π

(20)

Irrationalité et transcendance de π

(21)

Nombres rationnels, algébriques transcendants

Récapitulons : Un nombre (réel ou complexe) est rationnel: si c’est le quotient de deux nombres entiers (exemples : 2/3, 22/7,...)

algébrique : s’il est racine d’un polynôme à coefficients entiers (exemples : p

2, p

7−p 2,...) transcendant: sinon.

Les nombres rationnels sont stables par addition,

soustraction, multiplication, quotient : c’est le calcul usuel des fractions. On dit qu’ils forment uncorps.

(22)

Nombres rationnels, algébriques transcendants

2, p

Il en est de même des nombres algébriques, mais c’est plus délicat.

(23)

Nombres rationnels, algébriques transcendants

2, p

Il en est de même des nombres algébriques, mais c’est plus délicat.

(24)

Les premiers nombres transcendants

1844. JosephLiouville construit les premiersnombres

transcendants.

Par exemple :L=^P10⁻ⁿ^!. La série ci-dessus converge

extrêmement vite donc la somme desn premiers termes approche vraiment très bien la somme de la série infinie.

SiS=^Pⁿ_m₌₀10⁻^m^!, on a S=A/10ⁿ^!, avecA entier, et 0< L−

A 10ⁿ^!

< 1

10⁽ⁿ^+1)! +· · ·¯

1 10ⁿ^!

ⁿ₊₁

(25)

Nombres de Liouville

Slogan :Un nombre algébrique n’est pas trop bien approché par un nombre rationnel.

Inégalité de Liouville :si un irrationnel α est racine d’un polynôme à coefficients entiers de degréd, alors

α− p q

>

c q^d

. Preuve

Un nombreαest appelénombre de Liouville s’il existe pour tout entiern un nombre rationnelp/ qtel que

0<

α− p q

< 1 qⁿ

.

Les nombres de Liouville sont donc transcendants, mais tous les nombres transcendants ne sont pas des nombres

(26)

Nombres de Liouville

α− p q

>

c q^d

. Preuve

0<

α− p q

< 1 qⁿ

.

Les nombres de Liouville sont donc transcendants, mais tous les nombres transcendants ne sont pas des nombres de Liouville...

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Nombres de Liouville

α− p q

>

c q^d

. Preuve

0<

α− p q

< 1 qⁿ

.

Les nombres de Liouville sont donc transcendants, mais tous les nombres transcendants ne sont pas des nombres

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Nombres de Liouville

α− p q

>

c q^d

. Preuve

0<

α− p q

< 1 qⁿ

.

Les nombres de Liouville sont donc transcendants, mais tous les nombres transcendants ne sont pas des nombres de Liouville...

(29)

La sublime décennie

1873.Hermite : eest transcendant. ^Preuve 1874.Cantorprouve que l’ensemble des nombres transcendants est non dénombrable, mais que celui des nombres algébriques est dénombrable.

1882.Lindemann: π est transcendant.

(30)

Le théorème de Lindemann-Weierstrass (1885)

Théorème

Soit₁, . . . , _n, des nombres algébriques non tous nuls.

Soitb₁, . . . , b_n sont des nombres algébriques deux à deux distincts.

Alors₁e^b1+· · ·+_ne^bⁿ6=0.

Reformulation :Les exponentielles des nombres

algébriques sont linéairement indépendantes sur le corps des nombres algébriques.

(31)

Le théorème de Lindemann-Weierstrass (1885)

Théorème

Soit₁, . . . , _n, des nombres algébriques non tous nuls.

Soitb₁, . . . , b_n sont des nombres algébriques deux à deux distincts.

Alors₁e^b1+· · ·+_ne^bⁿ6=0.

Reformulation :Les exponentielles des nombres

algébriques sont linéairement indépendantes sur le corps des nombres algébriques.

(32)

Le théorème de Gel’fond-Schneider

En 1900, DavidHilbertpose 23 problèmes à la communauté mathématique.

Le 7^e demande de prouver que si  et bsont des nombres algébriques,

6∈{0,1},b irrationnel, alors^b est transcendant.

Exemple p 2

p2

.

Il est résolu en 1934 parGelfond etSchneider, indépendamment.

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Le théorème de Gel’fond-Schneider

En 1900, DavidHilbertpose 23 problèmes à la communauté mathématique.

Le 7^e demande de prouver que si  et bsont des nombres algébriques,

6∈{0,1},b irrationnel, alors^b est transcendant.

Exemple p 2

p2

.

Il est résolu en 1934 parGelfond etSchneider, indépendamment.

(34)

Formes linéaires de logarithmes

Reformulation du théorème de Gelfond-Schneider Si et sont des logarithmes de nombres algébriques, linéairement indépendant surQ, ils sont linéairement indépendants sur ¯Q.

(Sinon :=,6∈Q, e^= (e^)^ est algébrique.) Théorème (Baker, 1967–69)

Si₁, . . . , _n sont des logarithmes de nombres algébriques,

₀, ₁, . . . , _n des nombres algébriques non tous nuls. Alors

₀+₁₁+· · ·+_n_n6=0.

(35)

Formes linéaires de logarithmes

Le théorème de Baker a énormément de conséquences et AlanBakera eu la médaille Fields en 1970 pour ce

résultat.

Par exemple (₁=π=log(−1), ₂=2) : Z ₁

0

d

1+³ = π 3p

3 +1 2log 2 est transcendant.

Il y a des « versions quantitatives » (aussi dues à Baker) et elles sont très utiles en théorie des nombres.

(36)

Conjecture de Schanuel

Conjecture (1960)

Soit₁, . . . , _n des nombres complexes linéairement indépendants surQ.

Alors parmi₁, . . . , _n, e^1, . . . , e^ⁿ, on peut trouver n nombres, disons₁, . . . , _n qui sont algébriquement

indépendants : siPest un polynôme non nul, à coefficients dansQ, P(₁, . . . , _n)6=0.

Par exemplee, π,e^π, e^e, log 2, 2^p² doivent être algébriquement indépendants.

... On n’en sait (presque) rien ! Théorème (Nesterenko, 1997)

π et e^π sont algébriquement indépendants.

(37)

Démonstration de l’inégalité de Liouville

P=c_dX^d+· · ·+c₀ polynôme à coefficients entiers de degréd

α=α₁, . . . , α_dles racines de P, de sorte que P=c_d(X−α)(X−α₂). . .(X−α_d).

Soitp/ qune approximation rationnelle de α (avecq_¾1).

On voit queq^dP(p/ q)est un entiernon nul Donc|P(p/ q)|¾1/ q^d.

Par ailleurs, pourp/ qproche deα P(p/ q) =P(p/ q)−P(α)≈

p q−α

P⁰(α) etP⁰(α)6=0 (parce queP est irréductible).

Alors,

α− p q §

1

|P0(α)|q^d

. Retour

(38)

Démonstration de l’inégalité de Liouville

p q−α

Alors,

α− p q §

1

|P0(α)|q^d

. Retour

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Démonstration de l’inégalité de Liouville

p q−α

Alors,

α− p q §

1

|P0(α)|q^d

. Retour

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Démonstration de l’inégalité de Liouville

p q−α

Alors,

α− p q §

1

|P0(α)|q^d

. Retour

(41)

Démonstration de l’inégalité de Liouville

p q−α

Alors,

α− p q §

1

|P0(α)|q^d

. Retour

(42)

Démonstration de l’inégalité de Liouville

P=c_dX^d+· · ·+c₀ polynôme à coefficients entiers de degréd,irréductible

p q−α

Alors,

α− p q §

1

|P0(α)|q^d

. Retour

(43)

Démonstration de l’inégalité de Liouville

p q−α

Alors,

α− p q §

1

|P0(α)|q^d

. Retour

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Démonstration de l’inégalité de Liouville

p q−α

Alors,

α− p q §

1

|P0(α)|q^d

. Retour

(45)

Démonstration de l’inégalité de Liouville

p q−α

Alors,

α− p q §

1

|P0(α)|q^d

. Retour

(46)

Transcendance de e , d’après Hilbert

Siƒ est un polynôme de degréN, on pose

(ƒ , ) = Z ₁

0

e^⁽¹⁻^⁾ƒ(t)dt.

Lemme

(ƒ;) =e^^P^N

k=0ƒ⁽^k⁾(0)−^P^N_k₌₀ƒ⁽^k⁾();

|(ƒ;)|¶^N+1e^kƒk_[0;];

Pour toutk,ƒ(k)()/ k! est un polynôme à coeff. entiers.

Démonstration :

Intégration par parties Majoration de l’intégrande Si ƒ() =^m,

ƒ(k)() =m(m−1). . .(m−k+1)^m⁻^k =k! ^mk

^m⁻^k.

(47)

Transcendance de e (2)

On raisonnepar l’absurdeet on suppose qu’il existe des entiers₀, . . . , _n, non tous nuls, tels que

₀+₁e+· · ·+_neⁿ=0. On peut supposer₀6=0.

On va prendreƒ() =^p⁻¹(−1)^p. . .(−n)^p, oùp est un nombre premier, et on pose

J_p=₀(ƒ; 0) +₁(ƒ; 1) +· · ·+_n(ƒ;n). Majoration deJ_p.

Sur l’intervalle[0;n], |ƒ()|¶(n!)^p. Le lemme entraîne queJ_p(n!)^p. Minoration deJ_p.

On va démontrer que lorsquep > n n’est pas multiple de₀, on aJ_p¾(p−1)!.

Quandp tend vers l’infini, ces deux inégalités sont

(48)

Transcendance de e (2)

Quandp tend vers l’infini, ces deux inégalités sont contradictoires, d’où la transcendance dee.

(49)

Transcendance de e (2)

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Transcendance de e (2)

Quandp tend vers l’infini, ces deux inégalités sont contradictoires, d’où la transcendance dee.

(51)

Transcendance de e (2)

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Transcendance de e (3)

Il reste donc àminorerJ_p.

On aƒ() =^p⁻¹(−1)^p. . .(−n)^pet

J_p=^Pⁿ_m₌₀^P^N_k₌₀_mƒ(k)(m). C’est un nombre entier.

On remarque queƒ(k)(0)est un entier, multiple dep!, sauf pourk =p−1 où on a ƒ(p−1)(0) = (−1)^np(n!)^p(p−1)!.

Par contre, pour toutk et toutm∈{1, . . . , n},ƒ⁽^k⁾(m) est un entier multiple dep!.

⇒Il existe des entiers Aet B tels que J_p=A(p−1)!+Bp!= (p−1)!(A+pB).

Sip > net p ne divise pas ₀, alors An’est pas multiple dep, donc|A+pB|¾1, d’où J_p_¾(p−1)!, comme on voulait.

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(53)

Transcendance de e (3)

On aƒ() =^p⁻¹(−1)^p. . .(−n)^pet

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Transcendance de e (3)

On aƒ() =^p⁻¹(−1)^p. . .(−n)^pet

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Transcendance de e (3)

On aƒ() =^p⁻¹(−1)^p. . .(−n)^pet

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Transcendance de e (3)

On aƒ() =^p⁻¹(−1)^p. . .(−n)^pet

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