13 - La fonction exponentielle

Fonction exponentielle

Classe de 1ère

I - La fonction exponentielle

1) Définition

Propriété : Il existe une unique fonction f dérivable sur IR telle que : f ⁰= f et f (0)=1

Cette fonction est appeléefonction exponentielleet est notée exp.

Preuve : L’existence de cette fonction est admise et la démonstration de l’unicité sera vue en exercices ainsi que le fait que pour tout x dans IR, exp(x)6=0.

Remarques : On a ainsi les résultats suivants :

• exp(0)=1

• pour tout x dans IR, (exp x)⁰=exp(x)

Propriété : Pour tous réels a et b, on aexp(a+b)=exp(a)×exp(b)

Preuve : Soit b un nombre réel, on considère la fonction f définie par f (x)= 1

exp(b)×exp(x +b).

f est dérivable sur IRavec f ⁰(x)= 1

exp(b)×1×exp(x+b)= f (x) et f (0)= 1

exp(b)×exp(0+b)=1

Propriété : On déduit immédiatement de la propriété précédente que :

• pour a ∈IR, exp(−a)= 1 exp(a)

• pour a ∈IR etb ∈IR, exp(a−b)= exp(a) exp(b)

• pourn ∈IN et a ∈IR, (exp(a))ⁿ =exp(na).

II - Nombre e et notation e

Définition :

On note e l’image de 1 par la fonction exponentielle. Le nombree a pour valeur approchéee ≈2,72.

Par convention, on décide de noter, pour tout x dans IR, exp(x)=e^x.

Remarque : Les propriétés précédentes sont donc analogues aux règles de calculs sur les puissances et deviennent, avec cette notation pour x et y nombres réels :

. e^x+y =e^xe^y . e^−x = 1

e^x

. (e^x)ⁿ =e^nx pourn entier relatif

Propriété : Pour tout réel a, la suite (e^na) est une suite géométrique de raison e^a et de premier termee⁰=1.

Exemple : Un capital de 3000€ est déposé sur un livret au taux de rendement annuel de 3%.

Soit (u_n) la suite géométrique de premier termeu₀=3000 et de raison 1,03 représentant le montant du capital après chaque année de placement.

On a, pour toutn dans IN,u_n =3000×1,03ⁿ. Or 1.03≈e^0.02956 donc la suite peut être modélisée par la fonction f (x)=3000×e^0.02956x.

III - Équations et inéquations

Propriété : Soient a et b deux nombres réels.

• e^a =e^b ⇔a =b

• e^a <e^b ⇔a <b

Preuve : Cette propriété qui sera admise découle du fait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur IR.

Exemple : 1) Résolvons l’équation e^2x+1=1. On a : e^2x+1=1⇔e^2x+1=e⁰⇔2x+1=0⇔x = −1

2 2) Résolvons l’inéquatione^3x−2<e^2x+1 :

e^3x−2<e^2x+1⇔3x−2<2x+1⇔x <3 donc S =]− ∞; 3[

IV - Étude de la fonction exponentielle

Propriété : La fonction exponentielle est strictement positive sur IR. Pour tout x dans IR, e^x>0.

Preuve : Pour tout x dans IR, e^x =¡ e^x2¢2

>0

Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR.

Preuve : Pour tout x dans IR, e^x >0et(exp x)⁰=e^x donc la fonction exponentielle est bien strictement croissante sur IR.

On en déduit alors le tableau de variation et la représentation graphique de la fonction exponentielle x

exp⁰(x)

exp(x)

−∞ +∞

+ 0

1

1

e

0 1 1 1

Propriété : Soitu une fonction affine telle queu(x)=ax+b, la fonction f :x 7−→e^u(x)est dérivable sur IR et, pour tout x de IR :

f ⁰(x)=a×e^u(x)=a× f (x)

Preuve : Il suffit d’appliquer la règle de calcul sur les dérivées de fonctions.

Exemple : La fonction f : x 7−→e^−3x+5 définie sur IR a pour dérivée la fonction f ⁰ telle que :