L’ensemble des nombres réels – TD

L’ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS TD

L’ensemble des nombres réels – TD

Entiers naturels, entiers relatifs, nombres rationnels

Exercice 1

Soientx∈R^\Q^{et (a,b,c,d)}∈Q⁴. On suppose quea×d−b×c,^{0. On note y}=a×x+b c×x+d. Exprimerxen fonction de yet en déduire que y∉Q^.

Exercice 2

1. Soitx∉Q^{et y}∈Q. Montrer quex+y∉Q^. 2. Soitx∉Q^{et y}∈Q^?. Montrer quex×y∉Q^.

3. Soit (a,b)∈Q^{2 tel quea}<b. Montrer qu’il existec∉Q^{tel quec}∈]a,b[.

Indication : p 2∉Q

4. Montrer qu’il existeaetbdeux nombres irrationnels tels quea^best un nombre rationnel.

Exercice 3

Soit f :R→R une application non identiquement nulle vérifiant, pour tout (x,y)∈R^{2, f(x}+y)=f(x)+f(y) et f(x×y)=f(x)×f(y).

1. Montrer quef(1)=1. En déduire, pour toutx∈Q^{, f(x)}=x.

2. Montrer que, pour toutx∈R^{, f(x2)}Ê0. En déduire que f est croissante.

3. Montrer quef =Id_R.

Bornes supérieures, bornes inférieures

Exercice 4

SoientAetBdeux parties non vides et majorées deR^.

1. Justifier que la borne supérieure deAet la borne supérieure deBexistent.

2. Montrer que siA⊂B, alors sup(A)Ésup(B).

3. Montrer que sup(A∪B)=max¡

sup(A), sup(B)¢ . Exercice 5

SoientAune partie non vide et bornée deR^{. On note}−A={−a|a∈A}. Montrer que inf(A)= −sup(−A) Exercice 6

1. On noteA=

½

2+(−1)ⁿ n

¯

¯

¯

¯ n∈N^∗

¾

. Déterminer, si possible, sup(A) et inf(A).

2. On noteB=

½n+1 n+3

¯

¯

¯

¯ n∈N

¾

. Déterminer, si possible, sup(B) et inf(B).

Exercice 7

Déterminer si possible le maximum, le minimum, la borne supérieure, la borne inférieure des ensembles suivants : 1. A=

(

x∈[0,_π[¯

¯

¯cos(x)É p3

2 )

. 2. B=

½ x∈R^?₊^¯¯¯

1 x² <2

¾

. 3. C=n

x∈R^¯¯¯|x+1| Ê2|x−3|o .

G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC

TD L’ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS

Exercice 8

SoitAune partie non vide et bornée deR^{. On noteB}=©

|x−y|¯

¯(x,y)∈A²ª . 1. Montrer que la borne supérieure deBexiste.

2. Montrer que, sup(B)=sup(A)−inf(A).

Exercice 9

Soitf : [0, 1]→[0, 1] une application croissante.

1. Montrer queA={x∈[0, 1]|f(x)Êx}possède une borne supérieure notées.

2. Montrer quef(s)=s.On dit que f possède un point fixe.

3. Une applicationg: [0, 1]→[0, 1] décroissante possède-t-elle nécessairement un point fixe ?

Intervalles de R

Exercice 10

SoitI etJdeux intervalles deR^.

1. Montrer queI∩J est un intervalle deR^.

2. Montrer que siI∩J,;, alorsI∪J est un intervalle deR^.

3. Dans la question précédente, peut-on se passer de l’hypothèseI∩J,;?

PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD