Théorème de Boltzmann

Soit un ensemble de N particules identiques, en équilibre thermique, satisfaisant au théorème de Boltzmann.

L'énergie de chaque particule ne peut prendre que certaines valeurs E_i, i∈ ℕ, et pour chaque valeur E_iil existe m_i états permis différents d'égale probabilité.

Soit α= 1

k T où k est la constante de Boltzmann et T la température thermodynamique du système.

On définit la fonction de partition de ce système par Z=

∑

i=0

∞

m_ie^−αEi.

1)Montrer que l'énergie interne du système est U=−N dln Z

dα .

2) En déduire que la capacité thermique à volume constant est égale à K_v=N k α² d²ln Z

dα² .

3)Dans cette partie, on considère le cas où l'énergie de chaque particule ne peut prendre que deux valeurs E₀ et E₁ avec ∆E=E₁−E₀0.

a. Exprimer le rapport n₁

n₀ des populations de ces deux niveaux d'énergie, en fonction de m₀, m₁, k, T et ∆E.

b. Représenter n₁

n₀ en fonction de T.

Quelle est la condition nécessaire pour que n₁=n₀? Quelle est la température T₀correspondante ?

c. Application numérique : k=1,38 10⁻²³ J K⁻¹ ; T=300 K ; charge du proton e=1,6 10⁻¹⁹C m₀=1 ; m₁=2

Calculer T₀quand ∆E=1 eV et quand ∆E=0,01 eV. Conclusion.

d. Soit x= 1

2 α ∆E. Exprimer K_v en fonction de N , k , m₁, m₀ et x.

Montrer qu'il existe une valeur x_m pour laquelle K_v est maximale (anomalie de Schottky).

e. Calculer numériquement x_m dans le cas où m₀=m₁=1.

En déduire K_vx_m en fonction de N et k et représenter K_vT dans ce cas.

4) Les N particules forment un cristal. Chaque particule peut vibrer autour d'une position moyenne avec la fréquence f et constitue donc un oscillateur spatial équivalent à 3 oscillateurs linéaires de même fréquence f.

L'énergie de chaque oscillateur linéaire est quantifiée, E_i=





Exprimer K_ven fonction de N , k et x avec x=1 2αhf . Représenter K_vT.