Rédaction incomplète. Version obsolete Plan
I. Algorithmes d'Euclide . . . 1
1. Algorithme simple. . . 1
2. Calcul du pgcd - Existence de racines communes. . . 2
3. Algorithme d'Euclide étendu . . . 2
II. Divisibilité . . . 3
1. Dénitions . . . 3
2. PGCD. PPCM.. . . 4
3. Compléments . . . 6
1.Relations entre pgcd et ppcm . . . 6
2.Étude de l'équation de Bézout.. . . 6
III. Nombres premiers. Polynômes irréductibles . . . 7
Index
éléments premiers entre eux dans leur ensemble, équation de Bezout,5 6
algorithme d'Euclide,1 algorithme d'Euclide étendu,2
décomposition en facteurs irréductibles,7 décomposition en facteurs premiers,7 idéal,4
nombre premier,7
nombres premiers entre eux,5 plus grand diviseur commun pgcd,4 plus petit commun multiple ppcm,4 polynôme irréductible,7
polynômes premiers entre eux, 5 théorème de Bezout,5
théorème de Gauss,5
L'objet de ce chapitre est de mener en parallèle l'étude de certaines propriétés arithmétiques dans les anneaux ZetK[X]. Dans cette section, par anneauA on entend soitZ soitK[X]. Le corps Kest toujours un sous-corps deC. Cette étude conjointe est rendue possible par l'existence d'une division euclidienne dans chaque cas d'où le qualicatif d'arithmétique euclidienne.
I. Algorithmes d'Euclide
1. Algorithme simple
On présente d'abord l'algorithme sec (gure 1) qui est une suite de divisions euclidienne des restes successifs ainsi qu'une disposition pratique pour mener les calculs à la main . La deuxième version (gure 2) renvoie le pgcd des deux entrées. La troisième version (algorithme d'Euclide étendu g 3) conduit explicitement aux coecients du théorème de Bezout. Les quotients des divisions sont utilisés dans cette troisième version.
2. Calcul du pgcd - Existence de racines communes
La présentation mathématique de ces algorithmes ainsi que la preuve du fonctionnement dans le cas étendu utilise les notations suivantes pour les divisions euclidiennes :
a0=q1a1+a2
a1=q2a2+a3
...
an−2=qn−1an−1+an an−1=qnan
a < - - a a < - -
a a < > 0
r <-- reste de la division de a par aa
a <-- aa aa <-- r
V
F
fin
Fig. 1: Algorithme "sec"
L'élémentan est donc le dernier reste non nul. Le processus s'arrête car les valeurs absolues ou les degrés des ai sont strictement décroissants.
On montre facilement que
D(a0)∩ D(a1) =D(a1)∩ D(a2) =· · ·=D(an−1)∩ D(an) =D(an)
caran divisean−1. Ce qui prouve le résultat relatif au pgcd.
3. Algorithme d'Euclide étendu
Il sert à calculer les coecients permettant d'exprimer le dernier reste non nul en fonction des deux premiers termes de la suite. Il permet donc de résoudre pratiquement l'équation
xa0+ya1= 1 d'inconnue(x, y)lorsquea0 eta1 sont premiers entre eux.
Le principe est de considérer la relation de récurence dénie par la suite des quotients(q1, q2,· · ·, qn). On dira qu'une famille(x0, x1,· · · , xn)vérieQlorsque :
(Q) ∀k∈ {2,· · · , n}:xk=xk−2−qk−1xk−1
On remarque que la famille (a0, a1,· · ·, an) vérie Q car chaque relation traduit une des divisions euclidiennes.
Considérons deux suites(u0, u1,· · ·, un)et (v0, v1,· · ·, vn)vériantQet dénies par : u0= 1, u1= 0, v0= 0, v1= 1
Comme les trois familles(a0, a1,· · ·, an) (u0, u1,· · · , un)et(v0, v1,· · · , vn)vérientQet que : a0=u0a0+v0a1
a < - - a a < - -
a a < > 0
r <-- reste de la division de a par aa
a <-- aa aa <-- r
V
F
fin retour a
Fig. 2: Calcul du pgcd
Ces relations se propagent à tous leskentre2et net en particulier : an=una0+vna1
Le diagramme de l'algorithme est modié en introduisant de nouvelles variables u,uu,uuu,v,vv,vvv,q permettant de stocker les états des deux nouvelles suites et du quotient pour calculer les nouveaux termes.
Pour un calcul "à la main", on peut utiliser une disposition en tableau1. Au début
0 1 2 3
a a0 a1
q
u 1 0
v 0 1
puis on progresse vers la droite avec chaque division euclidienne : d'aborda2etq1, puis en utilisant la relationQ, u2 etv2 à partir des éléments de leur ligne respective et ainsi de suite
0 1 2 3
a a0 a1 a2
q q1
u 1 0 1
v 0 1 −q1
→
0 1 2 3
a a0 a1 a2 a3 q q1 q2
u 1 0 1 −q2
v 0 1 −q1 1 +q1q2
→ · · ·
1communiquée par Haitham Nasri
a < - - a a < - -
a a < > 0
a <-- aa aa <-- aaa
V
F
fin retour a , u , v u < - - 1
u u < - - 0 v < - - 0 v v < - - 1
aaa <-- reste de la division de a par aa q <-- quotient de la division de a par aa
uuu <-- u - q uu vvv <-- v - q vv
u < - - u u u u < - - u u u
v < - - v v v v < - - v v v
Fig. 3: Algorithme dEuclide "étendu"
II. Divisibilité
1. Dénitions
Proposition (Inversibles). L'ensemble des éléments inversibles deZ est {−1,+1}. L'ensemble des éléments in- versibles deK[X] estK0[X]\ {0K[X]} (ensemble des polynômes de degré0).
Notation. On désigne parD(a)l'ensemble des diviseurs d'un élémentanon nul deAet parM(a)l'ensemble de ses multiples.
Remarque. Soitaetbdeux éléments non nuls deAalorsM(a)∩ M(b)est l'ensemble des multiples communs àa etbet D(a)∩ D(b)est l'ensemble des diviseurs communs àaet b
Proposition. Soita et b deux éléments non nuls de A qui se divisent mutuellement. Ils sont alors égaux à un facteur inversible près. C'est à dire qu'il existec inversible tel que b=ac.
Remarque. 1. Soitaet b deux éléments non nuls deAalorsM(a) =M(b)ouD(a) =D(b) si et seulement si aetb sont égaux à un facteur inversible près.
2. Considérons une famille dénie à un facteur inversible près. LorsqueA=Z, il existe un seul élément de cette famille dansN. LorsqueA=K[X], il existe un seul polynôme unitaire dans cette famille. En général ce sont
il existe alors un élémentm∈A unique à multiplication près par un inversible tel queI=M(m).
Preuve. Utilise la division euclidienne. Cette démonstration est très proche de celle caractérisant lessous-groupes de(Z,+).
Remarque. Une partie deAvériant ces propriétés est appelée un idéal2.
2. PGCD. PPCM.
Dénition. Soitaetb deux éléments non nuls deA.
Un plus grand commun dénominateur (pgcd) deaetbest un élémentdtel que D(a)∩ D(b) =D(d). Un plus petit commun multiple (ppcm) deaetb est un élémentdtel queM(a)∩ M(b) =M(d).
Remarque. Par dénition, il n'y a pas d'unicité des pgcd et ppcm. Ils sont seulement uniques à un facteur inversible près. Si on impose de choisir des représentants particuliers (positifs pour Z, unitaires pour K[X]), on est assuré de l'unicité mais ce n'est pas toujours judicieux.
Notation. Soitaet bdeux éléments non nuls deA. Le pgcd deaest b est notéa∧bou simplement pgcd(a, b), le ppcm est notéa∨b ou simplement ppcm(a, b).
Proposition. Soitaetb deux éléments non nuls de A. Il existe des pgcd et des ppcm.
Preuve. 1. Existence d'un pgcd (première méthode).
On utilise l'algorithme d'Euclide aveca0=aetb0=b. Sian est le dernier reste non nul, D(a0)∩ D(a1) =D(a1)∩ D(a2) =· · ·=D(an−1)∩ D(an) =D(an) ce qui assure quean est un pgcd.
2. Existence d'un ppcm.
L'ensembleM(a)∩M(b)vérie les hypothèses de la proposition tout idéal est monogène . Cette proposition assure donc l'existence d'un ppcm.
3. Existence d'un pgcd (deuxième méthode).
Soitaetbdeux éléments non nuls deA. On désigne parM(a)+M(b)l'ensemble des sommes d'un élément de M(a)et d'un élément deM(b). Avec cette dénition et celle des multiples, il est évident qu'un élémentu∈A est dansM(a) +M(b)si et seulement si il existexety dansAtels que u=xa+yb. Il est immédiat aussi queM(a) +M(b)vérie les hypothèses de la proposition tout idéal est monogène . On vérie alors qu'un générateur de cet idéal est un pgcd ce qui constitue une deuxième preuve (non constructive) de l'existence.
Remarques. 1. D'après la proposition dénissant le pgcd, il existe toujours des éléments uet v de Atels que a∧b=ua+vb.
2. On peut étendre les dénitions de pgcd et ppcm à des familles(a1,· · · , ap) de plus de deux éléments. Un pgcd de la famille est un élémentdvériantD(a1)∩ · · · ∩ D(ap) =D(d). Un ppcm de la famille est un élément mvériantM(a1)∩ · · · ∩ M(ap) =M(d). Ces opérations (à un facteur inversible près) sont associatives car l'intersection est associative.
Dénition. Deux éléments non nuls sont dits premiers entre eux lorsque leur pgcd est 1.
Remarques. 1. Deux éléments sont premiers entre eux si et seulement si l'ensemble de leurs diviseurs communs est l'ensemble des éléments inversibles.
2. De même, les éléments d'un famille sont premiers entre eux dans leur ensemble lorsque les inversibles sont leurs seuls diviseurs communs.
Théorème (de Bezout). Soitaetb deux éléments non nuls deA.
Il existe des élémentsuetv dansAtels queau+bvsoit un pgcd de aetb. S'il existe des élémentsuetv dansA tels queau+bv= 1alors aet bsont premiers entre eux.
2vocabulaire hors programme
Preuve. L'algorithme d'Euclide étendu constitue une première preuve de la première proposition qui est de plus constructive c'est à dire qu'elle donne un moyen pratique de déterminer u et v. Cette première proposition est aussi une simple reformulation de la deuxième preuve (idéal somme) de l'existence d'un pgcd.
S'il existe des élémentsuet v dansA tels queau+bv= 1, il est immédiat que tout diviseur commundà aet b divise aussi1 c'est à dire qu'il est inversible.
Théorème (de Gauss). Soita,b,c trois éléments non nuls deA tels queadivisebcetapremier avecb, alorsa divisec.
Remarque. Une erreur fréquente consiste à supposer queane divise pas b au lieu de supposer que aest premier avecb.
Preuve. Commeaest premier avecb, il existeλet µdansA tels queλa+µb= 1. Commeadivisebc, il existe u dansA tel quebc=ua. On combine alors les deux relations :
c= (λa+µb)c−µ(bc−ua) = (λc+µu)a ce qui montre queadivisec.
3. Compléments
1. Relations entre pgcd et ppcm
SoitI une partie deAetλun élément non nul deA. On dénit l'ensembleλI ={λa, a∈I}. On montre alors que
M(λa) =λM(a)
M(λa)∩ M(λb) =λ(M(a)∩ M(b)) M(λa) +M(λb) =λ(M(a) +M(b))
On en déduit alors que sia,b etλsont des éléments non nuls deAon a la propriété suivante (dite de linéarité du pgcd et du ppcm) :
pgcd(λa, λb) =λpgcd(a, b), ppcm(λa, λb) =λppcm(a, b)
Dans la suite on note d = pgcd(a, b) et m = ppcm(a, b). Il existe alors des entiers a0 et b0 tels que a = da0 et b=db0. On se propose de montrer que
a0 etb0 sont premiers entre eux.
md=ab
Le premier point s'obtient par linéarité du pgcd.
d=pgcd(a, b) =pgcd(da0, db0) =dpgcd(a0, b0) d'où pgcd(a0, b0) = 1.
Deux démonstrations sont proposées pour le second point
pgcd(a, b)ppcm(a, b) =ab
Preuve. Remarquons queabest un multiple commun àaetbdonc divisible par le ppcm. Introduisonsupar ab=muet montrons queuest le pgcd deaet b.
Comme aet b divisentm, il existe α et β tels que m =αb=βa. On en déduita =uα et b =uβ ce qui prouve queuest un diviseur commun deaet b.
Utilisons maintenant la linéarité du ppcm :
d2a0b0=ab=mu=ppcm(da0, db0)u=dppcm(a0, b0)u
On peut alors simplier d'abord pardpuis par ppcm(a0, b0)qui divisea0b0 ce qui entraîne queddiviseu. Une autre manière de procéder est de montrer directement queda0b0=ppcm(a, b).
Remarquons d'abord queda0b0=ab0 =a0best un multiple commun àaetb. On sait donc quem=ppcm(a, b) diviseda0b0.
D'autre part,mest un multiple commun, il existe doncλetµdansAtels que
Ce qui prouve quedab divisemet achève la démonstration.
Une conséquence de ce que l'on vient de montrer est que deux éléments sont premiers entre eux si et seulement si leur ppcm est égal à leur produit.
2. Étude de l'équation de Bézout.
Il s'agit de l'équation
au+bv=c
oùa, b,c sont des paramètres dansAet les inconnues sontuetv. On supposera queaet bsont non nuls et non inversibles. Les points à retenir sont :
L'équation admet des solutions si et seulement sic est un multiple du pgcd deaet deb.
Lorsque c est un multiple de du pgcd deaet b, on peut tout simplier par ce pgcd et se ramener ainsi au cas oùaetbsont premiers entre eux.
Lorsque a et b sont premiers entre eux on peut préciser l'ensemble des couples solutions en fonction d'un couple solution particulier. Si(u0, v0)est une solution particulière, l'ensemble des solutions est :
{(u0−λb, v0+λa), λ∈A}
Une inclusion est évidente, l'autre se démontre à l'aide du théorème de Gauss.
On peut trouver un couple solution en utilisant l'algorithme d'Euclide étendu.
Lorsque a et b sont premiers entre eux et que c = 1, il existe un couple particulier de "petites" solutions.
Le mot est à préciser suivant queA=ZouK[X]. Ce couple est unique dans le cas oùaet bsont premiers entre eux.
Dans le cas deZ, on supposeaet bsupérieur ou égal à 2. Il existe un unique couple solution(u1, v1)tel que0< u1< b et0<−v1< a
Dans le cas deK[X], il existe un unique couple solution(u1, v1)tel quedegu1<degbet degv1<dega. L'existence se prouve par une division euclidienne deu0parblorsque(u0, v0)est une solution particulière. On noteu1le reste, il existe alors une solution(u1, v1). La condition surv1se verie en considérantbv1= 1−au1
et en formant des inégalités (pour le degré dans le cas deK[X]).
III. Nombres premiers. Polynômes irréductibles
Dénition (polynôme irréductible). Un polynômeP ∈K[X]est dit irréductible si et seulement si il est de degré au moins1et ses seuls diviseurs sont inversibles ou de la formeλP avecλélément non nul deK.
Dénition (nombre premier). Un entier naturela est dit premier si et seulement si il est supérieur ou égal à2 et ses seuls diviseurs sont1,−1,a,−a.
Proposition. Tout élément non nuladeAadmet un diviseur premier (cas de Z) ou irréductible (cas deK[X]).
Preuve. On considère l'ensemble formé par les valeurs absolues ou les degrés des diviseurs dea. C'est une partie non vide deN, elle admet don un plus petit élémént. Soit pun élément deA dont la valeur absolue ou le degré est égal à ce plus petit élément, on vérie facilement quepest premier ou irréductible.
Proposition. Soitaun élément non nul et non inversible de A, etp1, p2,· · ·, pn des diviseurs de adeux à deux premiers entre eux, alorsp1p2· · ·pn divisea.
Preuve. récurrence surnà rédiger à base de thm de Gauss.
Notation. L'ensemble des diviseurs (premiers ou irréductibles) d'un élémentanon inversible est non vide et ni.
Il est notéDp(a).
Proposition. L'ensemble des nombres premiers n'est pas ni.
Dénition. Supposons que p1 < p2 <· · · < pn soient n nombres premiers et considérons a = p1p2· · ·pn+ 1. D'après le théorème de Bezout cet élément est premier avec lespi. Il admet donc un diviseur premier autre que lespi qui ne peuvent donc constituer à eux seuls l'ensemble de tous les nombres premiers.
Proposition (décomposition en facteurs premiers ou irréductibles). Tout élément a non inversible est produit d'éléments premiers ou irréductibles. Il existe u inversible, p1,· · ·pk premiers ou irréductibles unitaires deux à deux distincts etα1,· · ·, αk entiers ≥1tels que
a=upα11· · ·pαkk
Une telle écriture est unique à permutation près sur les indicesientre1 etk.
Preuve. L'existence de la décomposition repose sur un raisonnement par récurrence portant sur la valeur absolue ou le degré. La démonstration de l'unicité repose d'abord sur le théorème de Gauss. Elle n'est pas détaillée ici.
Remarque. Pour chaque diviseurp(premier ou irréductible) dea, il existe un unique entierma(p)≥1 tel que ( pma(p)divisea
pma(p)+1ne divise pasa
Lorsquepn'est pas un diviseur dea, on posema(p) = 0de sorte que, en désignant parP l'ensemble des nombres premiers ou des irréductibles unitaires, la décomposition peut s'écrire
a=λY
p∈P
pma(p)
étant entendu que ce produit est en fait ni car lesmp(a)sont nuls sauf pour un nombre nis dep. Il est intéressant de remarquer que :
∀p∈ P: mp(a∧b) = min(mp(a), mp(b)) mp(a∨b) = max(mp(a), mp(b)) ce qui, avec
mp(a∧b) =mp(a) +mp(b) = min(mp(a), mp(b)) + max(mp(a), mp(b)) redonne(a∧b)(a∨b) =ab.
