Analyse II, partie 1 Année académique 2016-2017 2e Bloc Mathématique et Physique
Travail dirigé 1
Exercices de base
Exercice 1. Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justier.
(a) La fonctionx7→e−iπx2 est de carré intégrable surR.
(b) Si celui-ci existe, le produit de convolution de deux fonctions impaires est impair.
(c) Si une suite de fonctions converge sur[0,1]pour la norme||.||2, elle converge aussi sur[0,1]pour la norme||.||1.
(d) Il existe une fonction bornée (non identiquement nulle) sur[0,1]dont les normes||.||1,||.||2 et||.||∞ sont égales.
(e) Soitn∈N0. Il existe des constantesc1, c2>0 telles que
c1 n
X
j=1
|xj| ≤ v u u t
n
X
j=1
|xj|2≤c2 n
X
j=1
|xj|, pour tousx1, . . . xn∈R.
(f) Il existe des constantesc1, c2 >0 telles quec1kfk1 ≤ kfk2 ≤c2kfk1 pour toute fonction continue sur[0,1].
Exercice 2. (a) Calculer la valeur deΓ(7/2)et de B(12,32).
(b) Pour quelles valeurs des réelsαetβles fonctionsx7→xαetx7→(1−x)βsont-elles de carré intégrable sur]0,1[? Pour ces valeurs, montrer l'inégalité
B(α+ 1, β+ 1)≤ 1
p(1 + 2α)(1 + 2β). (c) Montrer que la fonctionΓest convexe sur]0,+∞[.
Exercice 3. Pour toutn∈N0, on pose
fn(x) =
1 six∈[−1,0[
√1−nx six∈[0,1/n[
0 six∈[1/n,1]
. (a) Etudier la convergence ponctuelle de la suite(fn)n∈N0 sur[−1,1].
(b) Etudier la convergence uniforme de cette suite sur [−1,1], sur [−1,0], sur ]0,1] et sur les fermés bornés inclus dans]0,1].
(c) Etudier la convergence de cette suite sur[−1,1]pour les normes||.||1 et||.||2. Exercice 4. Soitα∈R. Pour toutn∈N0, on pose
fn(x) =nαx e−nx
2
2, x∈R.
(a) Pour quelles valeurs deαla suite (fn)n∈N0 converge-t-elle (1) ponctuellement sur R, (2) unifor- mément surR, (3) uniformément sur tout compact deR0, (4) sur Rpour||.||1, (5) sur Rpour
||.||2?
(b) Dans la suite, on suppose queα= 1. (1) Montrer que la fonction
S=
+∞
X
n=1
fn
est dénie surRet continue surR0.
(2) CalculerS(x)pour toutx∈R0. En déduire que la fonctionS n'est pas continue en0.
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Exercice 5. La densité de probabilité d'une variable aléatoire gaussienne d'écart-typeσ >0 est donnée par la fonctionGσ dénie par
Gσ(x) = 1
√
2πσ2exp −x2
2σ2
, x∈R. (a) Vérier que
Z
R
Gσ(x)dx= 1, Z
R
x Gσ(x)dx= 0 et Z
R
x2Gσ(x)dx=σ2.
(b) Pour tousσ, τ >0, établir queGσ? Gτ=G√σ2+τ2 surR.
Exercice 6. Soit la fonctionf dénie sur Rpar f(x) =
cos(x) six∈
−π2,π2
0 sinon .
(a) Montrer que le produit de convolution f ? f est déni surR et déterminer son expression en tout point deR. En déduire la valeur de(f ? f)(π2).
(b) Pourn∈N0, on poseΨn =f ? . . . ? f (produit de convolution composé denfacteursf). Si on note [f]le support def, montrer queΨn est nul en dehors den[f].
(c) Calculer si possible la valeur de l'intégrale Z
R
Ψn(x)dx.
Autres exercices
Exercice 7. SoitEune partie mesurable deRn. Sifm→f surEpour||.||2etgm→gsurE pour||.||∞, montrer quefmgm→f g surE pour||.||2.
Exercice 8. (a) Montrer si possible que, pour toutm∈N0, on a Z π2
0
sin((2m+ 1)x)
sin(x) dx=π 2
Suggestion. Pour calculer cette intégrale, montrer au préalable la formule
m
X
k=−m
e2ikx=sin((2m+ 1)x) sin(x) pour tousx∈]0, π/2[etm∈N0.
(b) En déduire la valeur de l'intégrale échée Z →+∞
0
sin(x) x dx.
F. Bastin & C. Dubussy 29 octobre 2016
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