Géothermie TF06

TF06_P08_médian_exo_1.mcd

d²T dx²

q





 





= donne dT

dx q





 





xC1

= puis T x( ) q

2

  





x²C1 x C2

=

Les conditions aux limites vont permettre de trouver les constantes d'intégration.

Par convention, le sens positif est pris dans sens du transfert de chaleur, donc de la diminution de la température.

Pour x = 0 T( )0 = T0 q

2

  





0²C10C2= T0 C2= T0 Pour x = - L T(L)= TL q

2

  





L²C1 L T0= TL C1 TL T0 L

q L 2





 

 





=

T x( ) q 2

  





x² TL T0 L

q L 2





 

 



^x

 T0

 Où est le maximum ?

4°)

35 30 25 20 15 10 5 0

250 350 450 550 650 750 850 950

Profil de température de la croûte

Profondeur en km

Température en K

T5

dT dx

q





 





x TL T0 L

q L 2





 

 





= = 0

L

2 TL T0 L



q

  35.024km

5°) T5 T(5km) T5 432.1 K

TF06

- Médian P2008 - Exercice 1

Géothermie

Données : L35km T0 273K TL873K  23 W m K



 q 2.25 10 ^5 W

m³





1°) Nous avons un problème à symétrie sphérique :

 = S  4 r²dT

dr

= soit

R1 R2

 r r²



 d

T1 T2

4  T



 d



= ou T1 T2 

4  1 R1

1

 R2

 



 





=

avec les notations du problème :

 4  TL T0 1 RL

1

 R



=

4  ^



TL T0



L R L ( ) R

= 4  TL T0

 L R(RL)

= 4  TL T0

 L R² 1 L

R

  





=

d'où : th

 4R²

= th  TL T0

 L 1 L

 R

  





=

2°) Si L est très petit devant R, alors le rapport L/R est négligeable devant 1 : th  TL T0

 L



Cette expression de  correspond bien à une géométrie plane, où la densité de flux est proportionnelle à l'écart de température, et inversement proportionnelle à l'épaisseur de la couche conductive.

th 0.394 W m²

 3°) Nous avons un problème plan avec une source interne : ²T q





 





=

1/4

TF06_P08_médian_exo_1.mcd

ra 0.788 W m²



ra  TL T0

 L q L

 2



ra= ( )L

( )x q x  TL T0 L

q L 2





 

 









  dT

dx 6°) =

T5 432.1 K T5 T[(355) km ]

5°)

L 2

TL T0 L



q

  0.024km

dT dx

q





  

 x TL T0

 L q L

2



= = 0

0 5 10 15 20 25 30 35

250 350 450 550 650 750 850 950

Profil de température de la croûte

Distance en km

Température en K

T5 4°)

Où est le maximum ? T x( ) q

2

   

 x² TL T0 L

q L 2





 

 



^x

 TL



C1 T0 TL L

q L 2





 

 

=



q 2

   

 L²C1 L TL= T0 T L( )= T0

Pour x = L

C2= TL q

2

   

 0²C10C2= TL T( )0 = TL

Pour x = 0

On peut aussi décider de prendre l'origine x=0 à la profondeur L, la surface étant alors à x=L.

Les conditions aux limites deviennent :

ra 0.788 W m²



ra  TL T0

 L q L

 2



ra= ( )0

( )x q x  TL T0 L

q L 2





 

 









  dT

dx 6°) =

2/4

TF06_P08_médian_exo_2.mcd

sa⁼ h2^



Tp2 T2



^{e3mm}

Bilan thermique dans l'ailette entre une section  à la distance x et une section  à la distance x+dx, sur un périmètre P.

On a =H·e et P=2(H+e).



₂



2 P x T T

x h T x

T

x x x



























d d d d

d

d

d²T dx²

h2 P

  ^



TT2



 = 0

Posons :  h2 P

 

= on a P



2(He) H e

= 2H

H e

= 2

= e (e petit devant H)

 149.295m^1 d²T

dx²

^2



TT2



 = 0 T x( )= T2 C1 e  ^xC2 e ^x

2.1. ailette semi-infinie x=0 T( )0 = Tp2 Tp2= T2 C1 C2 Conditions aux limites :

x=L



T( ) = T2 donne C1= 0 et donc C2= Tp2 T2

0

0 



 

















x x

T d Soit : T x( )⁼ T2^



Tp2 T2



^{ex} d

alors asi   dT

dx

= ⁼    ^



Tp2 T2



^asi

asi

sa

=  

= h2 P h2

= 2

e h2

= asi 4.5

TF06

- Médian P2008 - Exercice 2

Échangeur cylindrique

Données : R11cm R21.3cm h1 3000 W m²K



 h2 500 W

m²K



  15 W

m K





Appelons H la longueur de tube sur laquelle on va raisonner (longueur unité).

Attention, la notation L est réservée à la longueur de l'ailette, distance de la base à l'extrémité. H1m 1°) tube nu, sans ailettes

tube : th  2 rH dT

dr

= dT

th

 2  H

dr

 r

= Tp1 Tp2 th

2  H ln R2 R1

 



 





=

intérieur : th⁼ h1 2 R1H^



T1 Tp1



extérieur : th⁼ h2 2 R2H^



Tp2 T2



th H

T1 T2 1

2R1h1 1

2  ln R2 R1

 



 





 1

2R2h2



= 1.1. 1

2R1h1 5.30510^3m KW^1 1

2  ln R2 R1

 



 





 2.78410^3m KW^1 1

2R2h2 24.48510^3m KW^1

1.2. RS 1

2R1h1 1

2  ln R2 R1

 



 





 1

2R2h2



 RS 32.610^3m KW^1

1.3. Il faut diminuer la résistance de l'échange avec le fluide extérieur, d'où les ailettes

2°) tube avec ailettes Débit de chaleur sans ailettes :

3/4

TF06_P08_médian_exo_2.mcd

à 0,1 % près : 1

argth(0.99) 1.8cm 1

argth(0.995) 2.0cm 1

argth(0.999) 2.5cm

3. Résistance thermique externe n nombre d'ailettes

 ⁼ n  He^



Tp2 T2



^h2^



2R2n e



^H



Tp2 T2



R' 1

n  e^h2^



2R2n e



= On cherche à trouver n pour

que R' soir 1/3 de R₂

 H

Tp2 T2 1

n  e^h2^



2R2n e



=

3.1. 1

n  e^h2^



2R2n e



= ¹³^2R2¹ h2 n

4R2h2 e^



  h2



 n 15.7

na16 3.2. L4mm na16 e 3mm on utilise la formule complète avec th

RA 1

2R1h1 1

2  ln R2 R1

 



 





 1

2R2na e

 

h2na  eth(L)



 RA 21.510^3m KW^1

résistance externe : 1

2R2na e

 

h2na  eth(L) 13.410^3m KW^1

RS RA

RS 33.9%

2.2. ailette à flux nul en bout x=0 T( )0 = Tp2 Tp2= T2 C1 C2 Conditions aux limites :

x=L  dT

dx = 0 C1exp(L)C2exp(L)= 0 Ce système de 2 équations et 2 inconnues C₁ et C₂ est classique, et on obtient T(x) :

0 0





 

















x x

T d T x( )⁼ T2^



Tp2 T2



^ch[_ch^₍⁽_^L_L^₎^x)] d

alors afn   dT

dx

= ⁼    ^



Tp2 T2



^{th(L)}

afn

afn

sa

=  

h2 th(L)

= P

h2 th h2 P

  L

 



 





= 2

e h2 th 2h2

e L

 



 





= afn= asi th (L)

L'approximation ailette semi-infinie est atteinte lorsque th(L) est presque égale à 1, disons à 1% près.

th(L)= 0.99 donne : L= argth(0.99) argth(0.99) 2.647 1

 6.69810^3m L 1

argth(0.99)

 L 1.8cm

à 1 % près : à 0,5 % près :

4/4