da ne

H am

da ne

M oh am

m ed

3 :ﺕﺎﺤﻔﺼﻟﺍ دﺪﻋ

ﺪﺣﻮﻤﻟﺍ ﻲﺒﻳﺮﺠﺘﻟﺍ ﻥﺎﺤﺘﻣﻻﺍ

9 :ﻞﻣﺎﻌﻤﻟﺍ ﺎﻳﺭﻮﻟﺎﻜﺒﻟﺍ ﻚﻠﺳ ﺔﻴﻧﺎﺜﻟﺍ ﺔﻨﺴﻟﺍ ﻯﺮﺒﻜﻟﺍ ﺀﺎﻀﻴﺒﻟﺍ ﺭﺍﺪﻟﺍ ﺔﻬﺟ ﺕﺎﻋﺎﺳ ⁴: ﺯﺎﺠﻧﻹﺍ ﺓﺪﻣ -ﺄ- ﺔﻴﺿﺎﻳﺮﻟﺍ ﻡﻮﻠﻌﻟﺍ ﺔﺒﻌﺷ ﺮـــﺻﺍﻮﻨﻟﺍ ﺔـﺑﺎﻴﻧ

hamdane mo@hotmail.fr 2012 ﻱﺎــــﻣ ﺓﺭﻭد ﻱﺪﻴﺣﻮﺘﻟﺍ ﻥﺎﻴﺣ ﻲﺑﺃ ﺔﻳﻮﻧﺎﺛ

ﺔﺠﻣﺮﺒﻠﻟ ﺔﻠﺑﺎﻗ ﺮﻴﻐﻟﺍ ﺔﺒﺳﺎﺤﻟﺍ ﺔﻟﻵﺍ ﻝﺎﻤﻌﺘﺳﺎﺑ ﺢﻤﺴﻳ

ﻝﻭﻷﺍ ﻦﻳﺮﻤﺘﻟﺍ

x ⋆ y = 2xy

(1−x)(1−y) + 2xy :ﻊﻀﻧI = ]0; 1[ﻝﺎﺠﻤﻟﺍ ﻦﻣ ^yﻭ ^xﻞﻜﻟ ^(I

. I ﻲﻓ ﻲﻠﺧﺍد ﺐﻴﻛﺮﺗ ﻥﻮﻧﺎﻗ ^⋆ ﻥﺃ ﻦﻴﺑ ^❶ (^{0,25 pt})

.⁽I;⋆) ﻮﺤﻧ^{R+∗; x}ﻦﻣ ﻲﻠﺑﺎﻘﺗ ﻞﻛﺎﺸﺗ ^{ϕ(x) = x}

2 +x :ﻖﻴﺒﻄﺘﻟﺍ ﻥﺃ ﻦﻴﺑ (ﺃ) ^{❷ (0.5 pt)} .⁽I;⋆)ﻲﻓ ﺪﻳﺎﺤﻤﻟﺍ ﺮﺼﻨﻌﻟﺍ دﺪﺣ ﻢﺛ ﺔﻴﻟدﺎﺒﺗ ﺓﺮﻣﺯ⁽I;⋆) ﻥﺃ ﺞﺘﻨﺘﺳﺍ (ﺏ) (^{0,5 pt})

.⁽I;⋆) ﺓﺮﻣﺰﻠﻟ ﺔﻴﺋﺰﺟ ﺓﺮﻣﺯ

( 1

1 + 2x3^m ;m∈Z

)

ﻥﺃ ﻦﻴﺑ ^{❸ (0,75 pt)} .ﻲﻘﻴﻘﺣ ﻲﻬﺠﺘﻣ ﺀﺎﻀﻓ ^{(M3(R); +;}·)ﻥﺃ ﻭ ﺔﻳﺪﺣﺍﻭ ﺔﻘﻠﺣ ^{(M3(R); +; x)} ﻥﺃ ﺮﻛﺬﻧ^(II

.^{I =}















1 0 0 0 1 0 0 0 1















ﻭ ^{B =}















−√ 2 √

2 −2

0 0 0

−1 1 −√ 2















ﻭ^{A =}















1 √

2 −2 0 1 +√

2 0

−1 1 1















:ﻊﻀﻧ

. ^{A2 = 2A+I} :ﻥﺃ ﺖﺒﺛﺃ ﻢﺛ .^{B = A}−1 +√

2I :ﻥﺃ ﻖﻘﺤﺗ ^❶ (^{0,75 pt})

.^{(M3(R); +; x)}ﺔﻘﻠﺤﻟﺍ ﻲﻓ ﺮﻔﺼﻠﻟ ﻢﺳﺎﻗ ^B ﻥﺃ ﻦﻴﺑ ^{❷ (0,75 pt)}

ﻲﻧﺎﺜﻟﺍ ﻦﻳﺮﻤﺘﻟﺍ

.^{3 6 a 61953} ﺚﻴﺤﺑ ⁹⁷⁷ دﺪﻌﻠﻟ ﻒﻟﺎﺨﻣ ﻱدﺮﻓ ﻲﻌﻴﺒﻃ ﺢﻴﺤﺻ دﺪﻋ^a

.^a976 ≡ 1[977]ﻥﺃ ﻦﻴﺑ ﻢﺛ ﻲﻟﻭﺃ دﺪﻋ⁹⁷⁷ ﻥﺃ ﻖﻘﺤﺗ ^{❶ (0,75 pt)} .^a976k ≡ 1[1954]ﺎﻨﻳﺪﻟ^kﻲﻌﻴﺒﻃ ﺢﻴﺤﺻ دﺪﻋ ﻞﻜﻟ ﻥﺃ ﺞﺘﻨﺘﺳﺍ ^❷ (^{0,75 pt})

.^{(E) : a2x}−(a−1)y = 1 :ﺔﻟدﺎﻌﻤﻟﺍ ^N2 ﻲﻓ ﺮﺒﺘﻌﻧ ^❸

.^(E)ﺔﻟدﺎﻌﻤﻟﺍ^N2 ﻲﻓ ﻞﺣ ﻢﺛ . ^(E)ﺔﻟدﺎﻌﻤﻠﻟ ﻞﺣ ^{(1;a+ 1)}ﺝﻭﺰﻟﺍ ﻥﺃ ﻖﻘﺤﺗ (ﺃ) ^{(0,75 pt)}

y ≡ 0[1954]:ﻥﺃ ﻦﻴﺑ . ^m≡ −2[976]ﺚﻴﺤﺑ ^(E)ﺔﻟدﺎﻌﻤﻠﻟ ﻞﺣ ^(am;y)ﻦﻜﻴﻟ (ﺏ) (^{0,75 pt})

.

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3 ﻦﻣ ¹ ﺔﺤﻔﺼﻟﺍ

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ﺚﻟﺎﺜﻟﺍ ﻦﻳﺮﻤﺘﻟﺍ

.^{(O;e# »1;e# »2)} ﺮﺷﺎﺒﻣ ﻢﻈﻨﻤﻣ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ﻢﻠﻌﻣ ﻰﻟﺇ ﺏﻮﺴﻨﻣ ﻱﺪﻘﻌﻟﺍ ﻯﻮﺘﺴﻤﻟﺍ

.^{(E) : z2}−2 + ³₅iz + 1 +i = 0:ﺔﻟدﺎﻌﻤﻟﺍ ^Cﺔﻋﻮﻤﺠﻤﻟﺍ ﻲﻓ ﺮﺒﺘﻌﻧ: ﻝﻭﻷﺍ ﺀﺰﺠﻟﺍ

. ^(E)ﺔﻟدﺎﻌﻤﻟﺍ ^Cﺔﻋﻮﻤﺠﻤﻟﺍ ﻲﻓ ﻞﺣ ﻢﺛ⁽⁴−5i)² ﻱﺪﻘﻌﻟﺍ دﺪﻌﻟﺍ ﻱﺮﺒﺠﻟﺍ ﻞﻜﺸﻟﺍ ﻰﻠﻋ ﺐﺘﻛﺃ ^❶ (^{0,75 pt})

.^{tan(β) = 4}₃ ﻭ ^{tan(α) = 7} :ﺚﻴﺤﺑ^h0;π₂^h ﻝﺎﺠﻤﻟﺍ ﻦﻣ ﻥﺎﻴﻘﻴﻘﺣ ﻥﺍدﺪﻋ^β ﻭ ^{α ❷}

.Arctg(7) + Arctg⁴₃= ^3π₄ : ﻥﺃ ﺞﺘﻨﺘﺳﺍ ﻭ ﻲﺜﻠﺜﻤﻟﺍ ﻞﻜﺸﻟﺍ ﻰﻠﻋ ^(E) ﺔﻟدﺎﻌﻤﻟﺍ ﻲﻠﺣ ﺐﺘﻛﺃ ^{(0,75 pt)} . ^aﺎﻬﻘﺤﻟ ﻱﺪﻘﻌﻟﺍ ﻯﻮﺘﺴﻤﻟﺍ ﻦﻣ ﺔﻄﻘﻧ ^Aﻭ ﻡﺪﻌﻨﻣ ﺮﻴﻏ ﻱﺪﻘﻋ دﺪﻋ^a : ﻲﻧﺎﺜﻟﺍ ﺀﺰﺠﻟﺍ

k ﻪﺘﺒﺴﻧ ﻭ^O ﻩﺰﻛﺮﻣ ﻱﺬﻟﺍ ^hﻲﻛﺎﺤﺘﻟﺍ ﻭ ، ^π2 ﻪﺘﻳﻭﺍﺯ ﻭ ^O ﻩﺰﻛﺮﻣ ﻱﺬﻟﺍ ^R ﻥﺍﺭﻭﺪﻟﺍ ﺮﺒﺘﻌﻧ .(^k ∈R^∗)

.^P ﺔﻄﻘﻨﻟﺍ ﻖﺤﻟ ^pﻭ ^M ﺔﻄﻘﻨﻟﺍ ﻖﺤﻟ^mﻦﻜﻴﻟ ﻭ ^{P =R(M)}ﻭ ^{M = h(A)}: ﻊﻀﻧ

.^pﻭ ^mﻦﻴﻳﺪﻘﻌﻟﺍ ﻦﻳدﺪﻌﻟﺍ ^kﻭ ^a ﺔﻟﻻﺪﺑ دﺪﺣ ^{❶ (0,5 pt)} دﺪﻌﻟﺍ ﺎﻬﻘﺤﻟ ﻲﺘﻟﺍ ﺔﻄﻘﻨﻟﺍ ^R ﻭ ^(AP) ﻢﻴﻘﺘﺴﻤﻟﺍ ﻰﻠﻋ ^O ﺔﻄﻘﻨﻠﻟ ﻱدﻮﻤﻌﻟﺍ ﻂﻘﺴﻤﻟﺍ ^H ﻦﻜﺘﻟ ^❷

. ^m+iaﻱﺪﻘﻌﻟﺍ .ﺔﻴﻤﻴﻘﺘﺴﻣ ^Rﻭ ^H ﻭ^O ﻂﻘﻨﻟﺍ ﻥﺃ ﺞﺘﻨﺘﺳﺍ ﻭ ﺎﻓﺮﺻ ﺎﻴﻠﻴﺨﺗ ^p−a

m+ia ﻥﺃ ﻦﻴﺑ (ﺃ) (^{0,5 pt})

.^{AM R}ﺚﻠﺜﻤﻟﺎﺑ ﺔﻃﺎﺤﻤﻟﺍ ﺓﺮﺋﺍﺪﻟﺍ ﻰﻟﺇ ﻲﻤﺘﻨﺗ^H ﺔﻄﻘﻨﻟﺍ ﻥﺃ ﻦﻴﺑ (ﺏ) (^{0.25 pt})

ﻊﺑﺍﺮﻟﺍ ﻦﻳﺮﻤﺘﻟﺍ

.^{g(x) = 2x+ 1}−(x+ 1)e^x :ﻲﻠﻳ ﺎﻤﺑ ^{[0; +}∞[ﻰﻠﻋ ﺔﻓﺮﻌﻤﻟﺍ ^g ﺔﻟﺍﺪﻟﺍ ﺮﺒﺘﻌﻧ : ﻝﻭﻷﺍ ﺀﺰﺠﻟﺍ .^{O; #»i; #»j}ﻢﻈﻨﻤﻣ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ﻢﻠﻌﻣ ﻲﻓ ﺎﻫﺎﻨﺤﻨﻣ ^(Cg)ﻦﻜﻴﻟ ﻭ

.^{[0; +}∞[ﻝﺎﺠﻤﻟﺍ ﻰﻠﻋ ﺎﻬﺗﺭﺎﺷﺇ ﺞﺘﻨﺘﺳﺍ ﻢﺛ ^g′(x)ﺕﺍﺮﻴﻐﺗ ﺱﺭدﺃ ^❶ (^{0,75 pt})

.^{[0; +}∞[ﻦﻣ^x ﻞﻜﻟ^{g(x) 60} ﻥﺃ ﺞﺘﻨﺘﺳﺍ ﻭ ^g ﺔﻟﺍﺪﻟﺍ ﺕﺍﺮﻴﻐﺗ ﺱﺭدﺃ ^{❷ (0,75 pt)}

.











f(x) = 1−e^−x

xe^x ; x >0 f(0) = 1

:ﻲﻠﻳ ﺎﻤﺑ ^{[0; +}∞[ﻰﻠﻋ ﺔﻓﺮﻌﻤﻟﺍ ^f ﺔﻟﺍﺪﻟﺍ ﺮﺒﺘﻌﻧ: ﻲﻧﺎﺜﻟﺍ ﺀﺰﺠﻟﺍ .^O;#»i;#»jﻢﻈﻨﻤﻣ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ﻢﻠﻌﻣ ﻲﻓ ﺎﻫﺎﻨﺤﻨﻣ^(Cf)ﻦﻜﻴﻟ ﻭ

.^{[0; +}∞[ﻰﻠﻋ ﺔﻠﺼﺘﻣ^f ﻥﺃ ﻦﻴﺑ ^{❶ (0,5 pt)} . ^{f′(x) = g(x)}

(xe^x)² :ﻥﺃ ﻦﻴﺑ .^{]0; +}∞[ﻦﻣ^x ﻦﻜﻴﻟ ^❷ (^{0,25 pt})

. ^{I(x) = Z 0}

−x

(x+t)²

2 e^tdt :ﻊﻀﻧ^{[0; +}∞[ﻦﻣ ^xﻞﻜﻟ ^❸ .

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3 ﻦﻣ ² ﺔﺤﻔﺼﻟﺍ

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.^{0 6I(x)6 x}

3

6 :ﺎﻨﻳﺪﻟ^{]0; +}∞[ ﻦﻣ^x ﻞﻜﻟ ﻥﺃ ﻦﻴﺑ (ﺃ) ^{(0,5 pt)}

(∀x> 0) : I(x) = 1−x+ x²

2 −e^−x : ﻥﺃ ﻦﻴﺑ ، ﻦﻴﺗﺮﻣ ﺀﺍﺰﺟﻷﺎﺑ ﺔﻠﻣﺎﻜﻣ ﻝﺎﻤﻌﺘﺳﺎﺑ (ﺏ) . ^{(1) (}∀x > 0) :−x²

2 61−x−e^−x 6 x³ 6 − x²

2 : ﻥﺃ ﻭ (^{0,75 pt})

.











h(x) = 1−e^−x

x ; x > 0 h(0) = 1

:ﻲﻠﻳ ﺎﻤﺑ ^{[0; +}∞[ﻰﻠﻋ ﺔﻓﺮﻌﻤﻟﺍ ^h ﺔﻟﺍﺪﻟﺍ ﺮﺒﺘﻌﻧ ^❹

(⁽¹⁾ﻞﻤﻌﺘﺳﺍ ) . ⁰ﻦﻴﻤﻳ ﻰﻠﻋ ﻕﺎﻘﺘﺷﻼﻟ ﺔﻠﺑﺎﻗ ^hﻥﺃ ﻦﻴﺑ (ﺃ) ^{(0,25 pt)} .⁽∀x >0) : f(x) = 2h(2x)−h(x) :ﻥﺃ ﻖﻘﺤﺗ (ﺏ) (^{0,25 pt})

.⁰ ﻦﻴﻤﻳ ﻰﻠﻋ ﻕﺎﻘﺘﺷﻼﻟ ﺔﻠﺑﺎﻗ^f ﻥﺃ ﺞﺘﻨﺘﺳﺍ (ﺝ) (^{0,25 pt})

.^(Cf) ﻰﻨﺤﻨﻤﻟﺍ^O;#»i;#»jﻢﻠﻌﻤﻟﺍ ﻲﻓ ﺊﺸﻧﺃ ﻢﺛ ^f ﺔﻟﺍﺪﻟﺍ ﺕﺍﺮﻴﻐﺗ ﻝﻭﺪﺟ ﻂﻋﺃ ^❺ (^{0,75 pt})

.⁽∀n∈ N) : un=

Z n

0 f(t) dt :ﻲﻠﻳ ﺎﻤﺑ ﺔﻓﺮﻌﻤﻟﺍ ^(un)ﺔﻳدﺪﻌﻟﺍ ﺔﻴﻟﺎﺘﺘﻤﻟﺍ ﺮﺒﺘﻌﻧ : ﺚﻟﺎﺜﻟﺍ ﺀﺰﺠﻟﺍ

.⁽∀x> 0) : 06 f(x) 6e^−x :ﻥﺃ ﻦﻴﺑ ^❶ (^{0,5 pt})

. ⁽∀n∈ N) : 0 6un 61 :ﻥﺃ ﺞﺘﻨﺘﺳﺍ (ﺃ) ^❷ (^{0,25 pt})

ﺔﺑﺭﺎﻘﺘﻣ ﺎﻬﻧﺃ ﺞﺘﻨﺘﺳﺍ ﻭ .ﺔﻳﺪﻳﺍﺰﺗ^(un)ﺔﻴﻟﺎﺘﺘﻤﻟﺍ ﻥﺃ ﻦﻴﺑ (ﺏ) (^{0,5 pt})

. ^{H(x) = Z x}

0 h(t) dt :ﻲﻠﻳ ﺎﻤﺑ ^{[0; +}∞[ﻰﻠﻋ ﺔﻓﺮﻌﻤﻟﺍ ^H ﺔﻟﺍﺪﻟﺍ ﺮﺒﺘﻌﻧ ^❸ .^{un = Z 2n}

n h(t) dt ﻥﺃ ﻭ ^{un = H(2n)}−H(n) : ﺎﻨﻳﺪﻟ ^Nﻦﻣⁿ ﻞﻜﻟ ﻥﺃ ﻦﻴﺑ (ﺃ) ^{(0,75 pt)} .⁽∀x >1) : 0 6 1

x −h(x)6 e^−x :ﻥﺃ ﺖﺒﺛﺃ (ﺏ) (^{0,5 pt})

._n→^lim_+∞^unﺐﺴﺣﺃ ﻢﺛ .⁽∀n∈N) : 06 ln(2)−un 6 e⁻ⁿ(1−e⁻ⁿ):ﻥﺃ ﺞﺘﻨﺘﺳﺍ ^{❹ (0,5 pt)}

.











ψ(x) = 1 x

Z x

0 h(t) dt ; x >0 ψ(0) = 1

:ﻲﻠﻳ ﺎﻤﺑ ^R+ ﻰﻠﻋ ﺔﻓﺮﻌﻤﻟﺍ ^ψ ﺔﻟﺍﺪﻟﺍ ﺮﺒﺘﻌﻧ: ﻊﺑﺍﺮﻟﺍ ﺀﺰﺠﻟﺍ

.⁽∀x ∈]0; +∞[) : 1− x

4 6 ψ(x) 61− x 4 + x²

18 :ﻥﺃ ﻦﻴﺑ ^❶ (^{0,5 pt})

.⁰ ﻦﻴﻤﻳ ﻰﻠﻋ ﻕﺎﻘﺘﺷﻼﻟ ﺔﻠﺑﺎﻗ ﻭ ،⁰ﻲﻓ ﺔﻠﺼﺘﻣ ^ψ ﻥﺃ ﺞﺘﻨﺘﺳﺍ ^{❷ (0,5 pt)} ._x^lim

→+∞ψ(x)ﺞﺘﻨﺘﺳﺍ ﻭ .⁽∀x∈]1; +∞[) :

Z x

1 h(t) dt 6ln(x) :ﻥﺃ ﻦﻴﺑ ^❸ (^{0,5 pt})

.⁽∀x∈]0; +∞[) : ψ^′(x) = 1 x²

1−e^−x−H(x) : ﻥﺃ ﻦﻴﺑ ^❹ (^{0,5 pt})

.^ψ ﺔﻟﺍﺪﻟﺍ ﺕﺍﺮﻴﻐﺗ ﻝﻭﺪﺟ ﻂﻋﺃ ﻢﺛ .⁽∀x∈ [0; +∞[) : H(x) >1−e^−x : ﻥﺃ ﻦﻴﺑ ^❺ (^{0,75 pt})

.

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3 ﻦﻣ ³ ﺔﺤﻔﺼﻟﺍ

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