Expression du produit des coefficients du binôme

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B ULLETIN DE LA S. M. F.

C.- A. L AISANT

Expression du produit des coefficients du binôme

Bulletin de la S. M. F., tome 18 (1890), p. 140-141

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- 140 —

Expression du produit des coefficients du binôme ; par M. G.-A. LAISANT.

Les coefficients du développement (i +.r)" sont, à l'exception des deux extrêmes, C o = = i , c ^ = = j , représentés parles expres- sions

n ! n ! n \ i ! ( 7 i — i ) ! 2T(/i—2)! ' ' ' ( / i — i ) ! i ! '

Le produit de tous les coefficients de ce développement est donc

(nl)n-i

n^ [ i ! 2 ! . . . ( / i — i ) î p '

Le numérateur peut s'écrire

^n-i .3/1-1.4/t-i . _ ( ^ — i )»-i. ^»-i^

et le dénominateur

22W-4 . 32»-.6 . 42/1-8 . _ ( n — 1)2.

Par conséquent,

P^ = î-n+3.3-»+6.4-^+7. . . ( 71 — i )»-3. /i"-l,

ou, en groupant les termes qui ont des exposants égaux et de signes contraires,

//iy¹-¹ //i—iv<-³ //i—2\»-s

pn==^) {——) {~^)- • • • •

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— 141 —

Si n est pair, le dernier facteur a pour exposant l'unité et est égal à n- -t-i

2——; si n est impair, ce dernier facteur, égal à l'unité, a pour

2

exposant zéro.

Dans ce dernier cas, il est évident que Pn est un carré.

Par exemple, le produit des coefficients de (i +'î)6? ou i, 6, i5,20, i5,6, lestégalà^dD'd).

Le produit des coefficients i, 7, a i , 35, 35, a i , 7, i d e ( i + ^ )⁷ est

(O-(I)'(D'

, II résulte de l'expression même de P^ que l'on a, pour le rap- port des deux produits se rapportant à des puissances consécu- tives,

P^M _ (n-^i^

Pn ~~ n\ 9