THÉORIE DES NOMBRES BESANÇON
Années 1998/2001
L e r a d i c a l d e K a p l a n s k y
K.J. B E C H E R
L e r a d i c a l d e K a p l a n s k y *
K a r i m J o h a n n e s B e c h e r
Département de Mathématiques de Besançon, Faculté des Sciences et Techniques, 16, Route de Gray, 25030 Besançon Cedex, France
E-mail: becherOmath. u n i v - f comte. f r
1 I n t r o d u c t i o n
D a n s t o u t e la suite, F désigne u n corps de caractéristique différente de 2.
Le radical de F , n o t é R ( i?) , est l'ensemble des éléments x G F * tels que soit x est u n carré d a n s F soit F ( y / x ) / F est u n e extension q u a d r a t i q u e p o u r laquelle l ' h o m o m o r p h i s m e de n o r m e F ( y / x )x —• Fx est surjectif. Il s'avère que R ( F ) est u n sous-groupe de Fx.
C e t t e notion d e radical p o u r u n corps a été i n t r o d u i t e p a r I. K a p l a n s k y lorsqu'il étudiait les corps qui a d m e t t e n t u n e seule algèbre de quaternions à à division [8]. P a r la suite, elle a été étudiée d a n s u n cadre général par C. M. Cordes, qui la b a p t i s a radical de Kaplansky, en l ' h o n n e u r de son in- venteur [3]. Cordes r e m a r q u e que, d a n s certains énoncés en théorie des formes quadratiques, on p e u t remplacer le g r o u p e des carrés F *2 p a r le radical R ( F ) .
*Le présent travail fait partie de la thèse de doctorat de l'auteur, effectuée à l'Université de Franche-Comté à Besançon sous la direction de Mme Eva Bayer-Fluckiger et M. Detlev Hoffmann et soutenue le 25 Septembre 2001. L'auteur tient à remercier ses directeurs de thèse pour leur soutien ainsi que M. Jean-Pierre Tignol et M. David Leep pour les discussions instructives qu'il a partagé avec eux au sujet de cet article et les suggestions précieuses dont ils lui ont fait part. Il est également très reconnaissant envers M. Emmanuel Lequeu pour son aide quant à la rédaction.
1. Introduction
2. Notations et rappels
3. Structure du radical et exemples 4. Radical et formes quadratiques 5. Corps quasi-pythagoriciens 6. Radical et extension du corps 7. Un problème de réduction d'indice 8. Agrandissement et réduction du radical Références
. 1 .3 . 5
.8 10 13 17 19 26
C'est le cas, p a r exemple, p o u r le lemme de Kneser qui affirme que sur un corps n o n réel t o u t e forme anisotrope de dimension n représente a u moins n classes de carrés ; Cordes m o n t r e alors que, p o u r n > 2, u n e telle forme représente a u moins n classes (entières) m o d u l o le radical. E n particulier, il obtient ainsi u n e estimation p o u r le w-invariant d ' u n corps n o n réel avec un n o m b r e fini de classes de carrés.
O n n o t e £ F x 2 le sous-groupe de Fx formé p a r les sommes non nulles de carrés d a n s F . Une p a r t i e m a j e u r e des t r a v a u x ultérieurs sur le radical a été consacrée à la construction de corps F de radical n o n trivial, i.e. où les deux inclusions F *2 C R ( F ) c valables en général, sont strictes. C'est encore Cordes qui a d o n n é le premier exemple d ' u n tel corps. M. K u l a [12] et L. B e r m a n [1], i n d é p e n d e m m e n t l'un de l'autre, ont construit des exemples de corps de radical non trivial avec u n n o m b r e fini de classes de carrés.
Le présent travail a p o u r b u t de résumer et d ' a p p r o f o n d i r les connais- sances sur le radical de K a p l a n s k y et de fournir de n o u v e a u x exemples.
D a n s les sections 3 et 4, nous exposons u n certain n o m b r e de faits sur le radical et n o u s d o n n o n s des exemples simples de la f o r m e qu'il p e u t prendre.
Les deux sections suivantes s'inspirent d ' u n travail de D. Kijima, M. Nishi et T. Iwakami ([9], [10] et [7]). D a n s la section 5, n o u s étudions les corps dits quasi-pythagoriciens, d a n s lesquels t o u t e somme d e carrés a p p a r t i e n t a u radical. Le premier résultat sur le radical, établi p a r K a p l a n s k y lui-même, s'inscrit d a n s ce contexte. D a n s la section 6, nous cherchons à m e t t r e en relation les radicaux de deux corps dont l'une est extension de l'autre. Le cas d ' u n e extension q u a d r a t i q u e présente u n intérêt particulier : les quotients respectifs, p o u r chacun des deux corps, d u groupe multiplicatif p a r le radical sont reliés p a r u n certain complexe dont l'exactitude a été étudiée par Kijima, Nishi et Iwakami.
Le c o m p o r t e m e n t d u radical p a r r a p p o r t aux formes quadratiques, étudié d a n s la section 4, incite à regarder les liens entre radical et algèbres simples centrales, ce qui est fait d a n s la section 7.
D a n s [11], K u l a développe la théorie des schémas de formes q u a d r a t i q u e s qui lui p e r m e t , en particulier, d ' o b t e n i r des corps de radical non trivial et avec u n n o m b r e fini de classes d e carrés. C e t t e a p p r o c h e suggère que, p o u r u n corps F , la s t r u c t u r e des formes q u a d r a t i q u e s m o d u l o le radical R ( F ) et le quotient R ( F ) / Px 2 p a r a m é t r e n t la s t r u c t u r e des formes q u a d r a t i q u e s sur F de façon i n d é p e n d a n t e . Aussi souhaiterait-on faire varier le radical p a r ex- tension des scalaires t o u t en préservant la s t r u c t u r e des formes q u a d r a t i q u e s m o d u l o le radical. L a construction d'agrandissement du radical, développée d a n s cet esprit en dernière section, d o n n e lieu à des exemples très généraux de corps de radical non trivial pour lesquels la s t r u c t u r e des formes q u a d r a t i q u e s m o d u l o le radical est imposée.
2 N o t a t i o n s e t r a p p e l s
Nous utiliserons librement les définitions et résultats de base en théorie algébrique des formes q u a d r a t i q u e s sur u n corps de caractéristique différente de 2. Les références s t a n d a r d s sont [13] et [18]. Les formes q u a d r a t i q u e s dont il est question d a n s la suite sont t o u t e s supposées n o n dégénérées et l'on dira souvent seulement "forme" p o u r "forme q u a d r a t i q u e " . Les formés q u a d r a t i q u e s de dimension 2 sont aussi appelées f o r m e s binaires. P o u r deux formes q u a d r a t i q u e s <p\ et (p2 on n o t e (fi _L <p2 (resp. <g> (p2) leur s o m m e orthogonale (resp. leur p r o d u i t tensoriel) et l'on écrit f i = ip2 p o u r signifier que ifii et (p2 sont isométriques.
Soit <p u n e f o r m e q u a d r a t i q u e sur F . Si . . . , om G F * sont les valeurs de ip sur u n e base orthogonale alors on écrit <p = ( a i , . . . , am) . P o u r u n entier positif n on n o t e n x iç la s o m m e orthogonale (f ± ••• 1 (p (n fois).
L'ensemble des éléments non nuls de F représentés p a r <p est n o t é Dp(<p)- Si Df{<p) — F * alors on dit que <p est universelle.
2 . 1 L e m m e . Soit u n e f o r m e quadratique s u r F et a G Fx. P o u r que tp représente a il f a u t et il suffit qu 'il existe u n e f o r m e quadratique ip' s u r F telle que t p ~ t p ' L ( a ) . D e plus, dans ce cas on a l'égalité
DF( t p ) = ( J DF( ( x , a ) ) . x£DF(ip')
D é m o n s t r a t i o n : C'est clair. • O n n o t e ( ( a i , . . . , an)) la n - f o r m e de P f i s t e r (1, a i ) <g> • • • <g> (1, an) . C'est
en particulier u n e forme multiplicative de dimension 2n.
Si les formes q u a d r a t i q u e s <px et <p2 sur F sont W i t t équivalentes alors on écrit (pi = (p2. O n désigne par W ( F ) l ' a n n e a u de W i t t de F et p a r I ( F ) son idéal f o n d a m e n t a l . P o u r n > 1 on écrit InF p o u r sa n-ième puissance, a u lieu de ( I ( F ) )n. Le d é t e r m i n a n t de <p = ( a i , . . . , am) est la classe d u p r o d u i t
d a n s Fx/ Fx 2. Il est noté d ( F ) . O n appelle alors discriminant de y la classe d±(<p) : = ( - l )m <T1 > • d(ip) G Fx/ Fx 2. Il ne d é p e n d que de la classe de tp d a n s W ( F ) . Ainsi le discriminant définit u n e application d± : W ( F ) Fx/ Fx 2. D é p l u s ,
sa restriction à I ( F ) est u n h o m o m o r p h i s m e de groupes. P a r a b u s de notation, nous regarderons souvent d±(<p) c o m m e u n élément de Fx, d é t e r m i n é à u n facteur carré près.
Nous n o t o n s B r ( F ) le groupe de B r a u e r de F . Sa loi de g r o u p e est notée additivement. Soit A u n e F - a l g è b r e simple centrale. Le degré de A est p a r définition la racine carrée de la dimension de A sur F . O n n o t e [A] la classe de A d a n s B r ( F ) et on appelle exposant de A, noté e x p ^ ( A ) , l'ordre de
[A] d a n s B r ( F ) . L'indice de A, noté i n dF( A ) , est le degré de l'unique F - algèbre à division D qui représente la m ê m e classe que A d a n s B r ( F ) . A est dite déployée lorsqu'elle représente la classe triviale d a n s B r ( F ) , i.e. lorsque A êé Mn{ F ) p o u r u n n > 1.
O n rappelle que, p o u r a, b G Fx, la F - a l g è b r e de q u a t e r n i o n s (a, b )F a pour forme n o r m e la 2-forme de Pfister {(—a, —b}).
2 . 2 L e m m e . P o u r a , b G Fx les conditions suivantes sont équivalentes : (i) La F-algèbre ( a , b ) p est déployée.
(ii) La 2 - f o r m e de P f i s t e r ((—a, —b)} est hyperbolique.
(iii) La f o r m e quadratique (1, —a, —b) est isotrope.
Référence : [13, C h a p . III, T h e o r e m . 2.7.].
2 . 3 L e m m e . P o u r a , b £ Fx on a DF( ( l , a)) fl DF( ( 1, b)) C DF{ ( 1, - a b ) ) . D é m o n s t r a t i o n : Soit x G D p ( ( l , a ) ) fl DF( ( l , b ) ) . Il vient —a,—b G
DF( ( 1, - x ) ) et ainsi ab G DF{ { 1, - a : ) ) , d ' o ù x G DF{ { 1, - a b ) ) . • Soit K / F u n e extension de corps. L'extension de scalaires induit u n ho-
m o m o r p h i s m e canonique de groupes B r ( F ) —> Br(.fi') ainsi q u ' u n homomor- phisme canonique d ' a n n e a u x W ( F ) —> W ( K ) . Le noyau d e B r ( F ) B r ( K ) est noté B r ( K / F ) et appelé groupe de B r a u e r relatif de K / F . P o u r u n e extension finie K / F , on note N k / f l ' h o m o m o r p h i s m e de n o r m e Kx —• Fx. 2 . 4 P r o p o s i t i o n . Soit K : = F ( y f â ) , avec a G Fx \ F *2. Les h o m o m o r - phismes d'inclusion Fx • Kx et de n o r m e N k / f Kx Fx d o n n e n t lieu à u n e suite exacte de groupes
1 { px 2, aFx 2} —> Fx/ Fx 2 —> Kx/ Kx 2 — * F x/ Fx \ Référence : [13, C h a p . VII, T h e o r e m 3.4.].
2 . 5 P r o p o s i t i o n ( P r i n c i p e d e l a N o r m e ) . Soient K / F u n e extension quadratique, (p u n e f o r m e quadratique s u r F et x E Kx. P o u r qu'il existe c e F x tel que ex G Dk{^>k) il f a u t et il suffit que N k / f ( % ) £ DF((p)-DF(<p).
Référence : [6, N o r m Principle 2.13.].
Remarque : O n utilisera le P r i n c i p e de la N o r m e s u r t o u t d a n s le cas où (p est une forme de Pfister ; d a n s ce cas on a D p ( ( f ) • Dp(<p) = Dp(<p), puisque
<p est multiplicative.
Une extension K / F qui s'injecte d a n s u n e clôture q u a d r a t i q u e de F est appelée 2-extension. L'énoncé suivant est classique :
2 . 6 L e m m e . Soit K / F u n e 2-extension n o n triviale. Alors K contient une extension quadratique de F .
D é m o n s t r a t i o n : Si l'on choisit u n élément x G Kx \ Fx, alors F { x ) / F est u n e 2-extension non triviale contenue d a n s K / F . O n p e u t donc sup- poser que K / F est finie. Soit L / F u n e clôture galoisienne de K / F . C o m m e t o u t e clôture q u a d r a t i q u e de F est une extension galoisienne de F , L / F est également u n e 2-extension. O n n o t e G le g r o u p e de Galois de L / F et H le g r o u p e de Galois de L / K . Alors G est u n 2-groupe et, c o m m e l'extension K / F est n o n triviale, on a H ^ G. O n choisit u n sous-groupe m a x i m a l H ' de G qui contient H . Alors H ' est d'indice 2 d a n s G (cf. [2, C h a p . I, §6, Proposition 12]) et LH' , le sous-corps d e L fixé p a r H ' , est u n e extension
q u a d r a t i q u e de F contenue d a n s K . •
3 S t r u c t u r e d u r a d i c a l e t e x e m p l e s Nous appelons radical de F l'ensemble
R ( F ) : = f | DF( ( l , a ) ) . aeF*
Il vient de cette définition que le radical de F est u n sous-groupe de Fx
et q u e l'on a les inclusions F x 2 C R ( F ) c Y ,F • D a n s c e t t e section, nous d o n n o n s des exemples qui illustrent les diverses positions possibles d u radical R ( F ) p a r r a p p o r t à F *2 et ^ F *2. Il convient d ' a b o r d de chercher des caractérisations équivalentes p o u r les éléments d u radical.
3 . 1 P r o p o s i t i o n . P o u r x € Fx les conditions suivantes sont équivalentes : (i) x e R ( F ) .
(ii) La f o r m e (1, —x) est universelle s u r F .
(iii) P o u r tout a G Fx on a l'égalité DF{ ( 1 , a)) = DF( { l , a x ) ) . (iv) La F - a l g è b r e (x, y )F est déployée quel que soit y G Fx.
(v) B r ( F ( y / x ) / F ) = 0.
Référence : Les équivalences (i & ii & iv) sont mentionnées d a n s [3, p. 253].
D é m o n s t r a t i o n : Les conditions (i) et (ii) sont chacune équivalentes à ce que la forme (1, — x, —y) soit isotrope quel q u e soit y G Fx, ce qui est, d ' a p r è s (2.2), également équivalent à (iv). De (2.3) on déduit l'égalité
DF( ( 1, a)) n DF( { 1, - x ) ) = DF( { 1 , a x ) ) n DF( { 1, - x ) )
p o u r a , x G Fx, d ' o ù l'implication (ii iii) . P o u r la réciproque, il suffit de p r e n d r e a : = —1.
Sans hypothèse sur x G Fx, le groupe de B r a u e r relatif B v ( F ( y / x ) / F ) consiste en les classes de F - a l g è b r e s de quaternions ( x , y )F, avec y G Fx.
L'équivalence (iv v) s'ensuit. • 3 . 2 C o r o l l a i r e . P o u r que le corps F satisfasse R ( F ) = Fx il f a u t et il suffit
que toute f o r m e binaire s u r F soit universelle. • Un corps F qui vérifie R ( F ) = Fx est n o n réel. De façon plus générale,
on s'intéresse a u x corps F p o u r lesquels R ( F ) = J ] Fx 2. Ces corps, dits quasi-pythagoriciens, seront étudiés en section 5.
3 . 3 E x e m p l e s . D a n s les cas suivants le corps F vérifie R ( F ) = Fx : (i) F est u n corps fini (de caractéristique impaire),
(ii) F — k((X)) où k est u n corps q u a d r a t i q u e m e n t clos (avec car (k) ^ 2), (iii) F = k ( X ) o ù k est u n corps algébriquement clos (avec car (k) ^ 2).
E n effet, d a n s les cas (i) et (ii), F est non réel avec \ Fx/ Fx 2\ = 2, donc il existe seulement d e u x formes binaires sur F et elles sont universelles. D a n s (iii) le corps F possède la propriété C\ (voir [18, C h a p . 2, § 15]) et ainsi t o u t e forme binaire sur F est universelle.
Il arrive souvent que le radical d u corps est réduit au groupe des carrés.
O n dit que le corps F est s a n s radical si R ( F ) — Fx 2.
3 . 4 E x e m p l e s . (1) Tout corps local est s a n s radical. E n effet, sur u n corps local F il existe u n e F - a l g è b r e de quaternions à division qui est déployée par t o u t e extension q u a d r a t i q u e de F [13, Chap. IV, L e m m a 2.14] ; par conséquent, on a B r ( F ( y / x ) / F ) ^ 0 p o u r x G Fx \ Fx 2 ; il s'ensuit par l'implication (i v) de (3.1) que R ( F ) = Fx 2.
(2) Tout corps pythagoricien est s a n s radical. C'est clair car p o u r u n corps pythagoricien F on a p a r définition ] T ) Fx 2 = Fx 2 et ainsi les inclusions
F *2 C R,(F) C Y ^ F *2 sont des égalités. E n fait, u n corps est pythagoricien si et seulement s'il est quasi-pythagoricien et sans radical.
(3) Tout corps de nombres est s a n s radical. P o u r le vérifier, on considère p o u r u n corps de nombres F ses complétés Fp p o u r toutes les places p sur F . Alors, de l'égalité F * — FXF *2 on déduit p a r l'équivalence (i ii) de (3.1) que R ( F ) C R ( Fp) . Or, R ( FP) = Fx 2 puisque Fp est soit u n corps local soit u n corps réellement clos et ainsi pythagoricien. Un élément d e R ( F ) devient donc u n carré d a n s t o u t complété Fp ; le "théorème d u carré global" [14, p. 182] dit alors que cet élément est u n carré d a n s F .
3 . 5 P r o p o s i t i o n . Soit F u n corps complet p o u r u n e valuation discrète avec u n corps résiduel de caractéristique différente de 2 et n o n quadratiquement clos. Alors F est s a n s radical.
D é m o n s t r a t i o n : Soient v la valuation p o u r laquelle F est complet et ir une uniformisante p o u r v. Il suit de [13, C h a p . VI, Proposition 1.9.] que DF( { l , a n ) ) = Fx 2 U a i r Fx 2 p o u r t o u t a G Fx tel que v(a) = 0. C o m m e le corps résiduel n'est p a s q u a d r a t i q u e m e n t clos il existe u n élément a G Fx \ F x 2 tel que v{a) = 0. Il vient R ( F ) C DF( ( l , n ) ) f ) DF( { l , air)) = Fx 2,
donc R ( F ) = Fx 2. •
3 . 6 C o r o l l a i r e . Si F est un corps n o n quadratiquement clos alors F((X))
est s a n s radical. • O n s'intéresse m a i n t e n a n t a u x corps qui ne sont ni quasi-pythagoriciens
ni sans radical. O n dira que le corps F est de radical n o n trivial lorsque F *2 C R ( F ) Ç £ F *2. P o u r les corps n o n réels cette définition coïncide avec celle qui est donnée d a n s [3, p. 259]. Nous d o n n o n s u n exemple d ' u n e extension algébrique non réelle de Q avec 8 classes de carrés et de radical non trivial.
3 . 7 E x e m p l e . D a n s Q3 les entiers - 2 , - 5 et 7 sont des carrés. Q3 contient donc le corps Q(\/—2, V ~ 5 ) , d a n s lequel 7 n'est pas u n carré. P a r m i les sous-corps de Q3 qui sont extension algébrique de Q ( \ / — 2 , V—5) et d a n s lesquels 7 n'est pas u n carré, on choisit u n corps F m a x i m a l . Alors F ( V 7 ) est la seule extension q u a d r a t i q u e de F d a n s Q3. Les q u a t r e classes d e carrés de Q3 é t a n t représentées par 1 , 2 , 3 et 6, il s'ensuit que les classes de 2 , 3 , 7 forment u n e F2- b a s e de Fx/ Fx 2 ; en particulier | Fx/ Fx 2| = 8.
O n déduit de Q3X = FxQx 2 que R ( F ) C R ( Q3) . C o m m e Q3 est sans radical il vient R ( F ) C Fx fl Q 32 = Fx 2 U 7 Fx 2. O n calcule 2 = 32 - 7, 3 = (V/ Z 2 . v ^ ) 2 - 7 et 2• 3• 7 = 72 - 7 ; on en conclut £>^((1, - 7 ) ) = Fx, d ' o ù R ( F ) = Fx 2U 7 Fx 2.
4 R a d i c a l e t f o r m e s q u a d r a t i q u e s
D a n s cette section, nous exposons plusieurs résultats qui éclairent le rôle joué p a r le radical de K a p l a n s k y d a n s la théorie des formes quadratiques.
E n particulier, nous m e t t o n s en correspondance le radical avec l'idéal de l ' a n n e a u de W i t t f o r m é p a r les formes binaires universelles (4.4), et, p o u r t o u t élément a G R ( F ) , nous d é t e r m i n o n s le noyau de l ' h o m o m o r p h i s m e canonique W { F ) W { F ( y / a ) ) (4.5).
4 . 1 L e m m e . Soit 0 une f o r m e binaire s u r F . P o u r que 0 soit universelle il f a u t et il suffit que son discriminant d±{0) appartienne à R ( F ) . Si tel est le
cas, alors 0 = (1, —d±{0)) et p o u r toute f o r m e quadratique p s u r F on a 0 g -l. / 0 si tp est de dimension paire,
^ | 0 si (p est de dimension impaire.
0 soit universelle il f a u t et il suffit que (1, —d±{0)) soit universelle, i.e. que d±( 0 ) e R ( F ) .
D é m o n s t r a t i o n : La forme 0 est semblable à (1 , — d ± ( 0 ) ) . P o u r que 0 soit universelle il f a u t et il suffit que (1, —d±(0)) soit universelle, i.e. que d±( 0 ) G R ( F ) .
O n suppose m a i n t e n a n t que 0 est universelle. E n particulier, 0 repré- sente 1, d ' o ù 0 = (1, —d±{0)). Soit <p u n e forme q u a d r a t i q u e sur F . Alors 0 0 tp est isotrope dès lors que d i r n ( ^ ) > 2. Si d i m ( ^ ) = 2 alors 0 g) tp est semblable à u n e 2-forme de Pfister et, é t a n t isotrope, elle est hyperbolique.
P a r conséquent, 0 0 <p est hyperbolique si tp est de dimension paire. Si ip est de dimension impaire alors on écrit tp = tp' J_ {z), avec u n élément 2 de F * et u n e forme de dimension paire tp', et on obtient <p' 0 0 = 0 et ainsi
t p ® 0 = z 0 ^ 0 . •
4 . 2 P r o p o s i t i o n ( C o r d e s ) . Soient a i , . . . , an G Fx et . . . , rn G R {F) avec n > 2.
(a) Les f o r m e s ( a i , . . . , an) et ( axr i , . . . , anrn) représentent les m ê m e s élé- m e n t s de Fx.
(b) S i n > 3 alors ( a i , . . . , an) est isotrope si et seulement si ( axrx, . . . , anrn) est isotrope.
(c) ( ( a i , . . . , c^)) = ( ( a ^ 1 , . . . , anrn) ) .
Référence : Les parties (a) et (b) proviennent de [3, Proposition 1 & Corol- lary]. Une version plus générale de (c) se trouve d a n s [21, T h e o r e m 2.4.].
D é m o n s t r a t i o n : Tous les énoncés s'obtiennent p a r récurrence à p a r t i r d u cas où r i = • • • = rn_ i = 1. O n se place alors d a n s c e t t e situation et l'on pose a an, r : = rn, tp : = ( au . . . , o„_i) et ir : = ( ( al f. . . , ctn-i)).
(a) Supposons q u e tp JL (a) représente x G Fx. O n p e u t alors écrire tp = t p ' ± (b) o ù b est u n élément de Fx tel que x est représenté par la forme binaire (b,a) et tp' est une forme sur F . C o m m e r G R ( F ) , l'implication (i iii) de (3.1) d o n n e bx G D p ( ( l , a b ) ) = D p ( { l , r a b ) ) et ainsi x G D p ( ( b , a r ) ) C Df(<p 1 ( a r ) ) . Cela m o n t r e l'inclusion Dp(<p _L (a)) C Dp(tp _L ( a r ) ) . P a r symétrie, on a l'égalité.
(b) Soit n > 3. Si tp _L (a) est isotrope alors on p e u t écrire tp = tp' _L (—a) avec tp' u n e forme n o n triviale. C o m m e (—a, a r ) est universelle, tp _L (ar) est isotrope. P a r symétrie on a l'équivalence de l'énoncé.
(c) La forme iï (g) (a, —ar) est hyperbolique d ' a p r è s (4.1). Il vient a n =
arir et ainsi it (g> (1, a) = 7r ® (1, a r ) . • 4 . 3 C o r o l l a i r e ( C o r d e s ) . P o u r toute f o r m e quadratique tp de dimension
au m o i n s 2 s u r F , l'ensemble DF( t p ) est l'union des classes de Fx modulo
R ( F ) . • 4 . 4 P r o p o s i t i o n . L'application R(-F) —> W ( F ) qui à u n élément x G R ( F )
associe la classe de la f o r m e (1, —x) est un h o m o m o r p h i s m e de groupes. Son noyau est Fx 2 et son image est l'idéal de W ( F ) f o r m é p a r les classes des f o r m e s binaires universelles.
D é m o n s t r a t i o n : P o u r x , y G R ( F ) la forme q u a d r a t i q u e (1, —x, 1, —y) est isotrope puisqu'elle contient des sous-formes binaires universelles. Il vient (1, - x , 1, - y ) = P p o u r u n e forme binaire P de discriminant x y G R ( F ) , donc p o u r (3 = (1 ,—xy). Cela m o n t r e que l'application R ( F ) —> W ( F ) est u n h o m o m o r p h i s m e de groupes. Il est clair que son noyau est F *2 et, en vertu de (4.1), q u e son image est u n idéal, constitué des classes des formes
binaires universelles. •
4 . 5 T h é o r è m e . Soit K = F ( ^ â ) avec a G R ( F ) \ Fx 2. Alors (1, - a ) est, à isométrie près, la seule f o r m e quadratique anisotrope s u r F qui devienne isotrope p a r extension des scalaires à K . E n particulier, (1, —a) représente la seule classe n o n triviale dans le noyau de l ' h o m o m o r p h i s m e canonique W ( F ) W ( K ) .
D é m o n s t r a t i o n : C o m m e a n'est p a s u n carré d a n s F , la forme (1, —a) est anisotrope sur F et hyperbolique sur K . Supposons m a i n t e n a n t que <p est une forme q u a d r a t i q u e anisotrope sur F telle que ipx est isotrope. D o n c (p con- tient u n e sous-forme binaire P de discriminant a [18, 2.5.1. Lemma]. D ' a p r è s (4.1), P est universelle et isométrique à (1, —a), car a G R ( F ) . C o m m e tp est
anisotrope, il vient </? = / ? = { ! , —a). •
5 C o r p s q u a s i - p y t h a g o r i c i e n s
Le corps F est dit quasi-pythagoricien lorsque R ( F ) = DF( ( 1 , 1 ) ) . Cette notion a été i n t r o d u i t e p a r K i j i m a et Nishi d a n s [10]. Nous allons donner différentes caractérisations des corps quasi-pythagoriciens, p o u r la p l u p a r t connues. Elles p e r m e t t e n t de donner u n e nouvelle preuve, d e n a t u r e struc- turelle, d ' u n résultat i m p o r t a n t de [10], à savoir q u ' u n e extension q u a d r a - tique F (y/a) d ' u n corps quasi-pythagoricien F est également u n corps quasi- pythagoricien lorsque a G £ F x 2 (5.2). E n ce qui concerne les corps quasi- pythagoriciens à ordre unique, il s'avère que ce sont e x a c t e m e n t ceux décrits par I. K a p l a n s k y d a n s le premier résultat sur le radical (5.3).
Une forme q u a d r a t i q u e ip est dite faiblement isotrope (resp. de torsion) s'il existe n > 1 tel q u e n x tp est isotrope (resp. hyperbolique). Une forme non faiblement isotrope est dite f o r t e m e n t anisotrope.
5 . 1 P r o p o s i t i o n . Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) F est quasi-pythagoricien.
(ii) R ( F ) = £ F *2.
(iii) P o u r tout élément a G X ^ *2 0 7 1 a l'égalité DF( ( 1 , a ) ) = R ( F ) . (iv) Il existe a G Fx tel que DF( ( 1, a)) = R ( F ) .
(v) I2F est s a n s torsion.
(vi) S u r F , toute 2 - f o r m e de P f i s t e r anisotrope est f o r t e m e n t anisotrope.
(vii) L ' h o m o m o r p h i s m e I2F —> I3F d o n n é p a r la multiplication p a r la f o r m e (1,1) est injectif.
Référence : Les équivalences (i ii v) sont données d a n s [10, Section 2].
D é m o n s t r a t i o n : (i ii) : O n suppose 1)) = R ( F ) . P a r (2.1) et l'implication (i iii) de (3.1) on obtient
j Df« 1 , 1 , 1 » = U = U DF( ( l , x ) ) = DF( ( 1 , 1 » , xeDF{( 1,1» i€R (F)
i.e. d a n s F , t o u t élément qui est s o m m e de trois carrés est d é j à u n e somme de d e u x carrés. Il vient £ F *2 = DP( ( 1,1)) = R ( F ) .
(ii => iii) : P o u r a E £ F *2, les inclusions R ( F ) C DF( ( 1 , a ) ) C ^ F * 2
deviennent des égalités sous l'hypothèse (ii).
(iii =>• iv) : O n p r e n d a : = 1.
(iv =4> i) : Supposons que DF( ( l , a ) ) = R ( F ) . Il vient a E R ( F ) et p a r l'implication (i iii) de (3.1) il s'ensuit que Z V ( ( 1 , 1 ) ) = DF( ( l , a ) ) = R ( F ) .
(ii => v) : Supposons que R ( F ) = £ F : • Soit <p u n e f o r m e anisotrope de dimension au moins trois sur F . O n va montrer que n x (p est anisotrope p o u r t o u t n > 1. Soit <p = ( a i , . . . , am) avec a i , . . . , am E F * et m > 3. Si n x <p est isotrope p o u r u n n > 1, alors il existe r \ , . . . , rm E Y ^ F *2 = R ( F ) tels que ( r i O i , . . . , rmam) est isotrope. C'est donc aussi vrai p o u r ip, d ' a p r è s (4.2). Cela m o n t r e que t o u t e forme anisotrope de dimension au moins 3 est fortement anisotrope. Il s'ensuit q u e I2F est sans torsion.
(v v i , v i i ) : C'est clair.
(vi => ii) : Soit a E J 2 F *2. P o u r t o u t b E Fx la f o r m e ( ( - a , b ) ) est de torsion, donc hyperbolique par l'hypothèse (vi). Cela m o n t r e que (1, —a) est universelle, d ' o ù a E R ( F ) .
(vii v) : P a r hypothèse, l'idéal I2F ne contient pas d'élément d ' o r d r e 2.
Or, l'ordre de t o u t élément de torsion de W ( F ) est une puissance de 2 [18,
2.6.4. T h e o r e m , (ii)]. D o n c I2F est s a n s torsion. •
5 . 2 C o r o l l a i r e ( K i j i m a , N i s h i ) . Soient F u n corps quasi-pythagoricien et K = F ( y / â ) p o u r a E ^ F *2. Alors K est quasi-pythagoricien.
Référence : [10, p. 34],
D é m o n s t r a t i o n : La proposition (5.1) assure que a E R ( F ) et que l'homo- m o r p h i s m e I2F —> /3F d o n n é p a r la multiplication p a r la forme (1,1) est injectif. On p e u t supposer que a £ Fx 2. O n considère le d i a g r a m m e com- mutatif „
I2F • I2K • I2F
J3F y J 3 K • I3F
où les flèches verticales représentent les multiplications respectives avec la forme (1,1) et où les flèches horizontales sont données p a r l ' h o m o m o r p h i s m e canonique W ( F ) —> W ( K ) et le t r a n s f e r t W ( K ) —* W ( F ) associé à la F - f o r m e linéaire s : K —> F avec s ( l ) = 0 et s(y/a) = 1 (cf. [18, C h a p . 2,
§5]). Il résulte d u t h é o r è m e (4.5) que l ' h o m o m o r p h i s m e P F —> IZK est in- jectif et de [4, T h e o r e m 3.3.] que la première ligne d u d i a g r a m m e est exacte.
Une chasse de d i a g r a m m e m o n t r e alors que la flèche verticale d u milieu est
aussi injective. Ainsi, d ' a p r è s (5.1), K est quasi-pythagoricien. •
5 . 3 C o r o l l a i r e ( K a p l a n s k y ) . Les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) F est réel et la seule F-algèbre de quaternions à division est (—1, —1)f- (ii) F est quasi-pythagoricien et admet u n seul ordre.
(iii) R ( F ) est d'indice 2 dans Fx.
Référence : L'équivalence (i iii) est l'énoncé de [8, T h e o r e m l].
D é m o n s t r a t i o n : (i =» ii) : L'unique 2-forme de Pfister anisotrope sur F est ((1,1)), la forme n o r m e de (—l, —1)f, et cette f o r m e est fortement anisotrope car F est réel. P a r la caractérisation (5.1, vi) il suit que F est quasi-pythagoricien. P o u r a G Fx \ DF( ( 1,1)) la F - a l g è b r e de quaternions ( — l , a )F est à division, donc isomorphe à (—1,— 1 )F et il s'ensuit que —a € D p ( ( 1,1)). C o m m e F est réel, cela m o n t r e que ] T Fx 2 est d'indice 2 dans Fx, i.e. F a d m e t u n seul ordre.
(ii iii) : D ' a p r è s les hypothèses, R ( F ) est égal à ] P F *2 qui est d'indice 2 d a n s F * .
(iii => i) : O n choisit x € Fx \ R ( F ) . L ' h y p o t h è s e et les relations R ( F ) C Df( ( 1, - x ) ) C Fx entraînent q u e DF( ( 1, - x ) ) = R ( F ) . Il s'ensuit p a r l'implication (iv =4> ii) de la proposition (5.1) que R ( F ) = • Donc F est réel, Fx = R ( F ) U - R ( F ) et la F - a l g è b r e ( - 1 , - 1 )F est à division.
S u p p o s o n s m a i n t e n a n t q u e (o, fyp est à division, avec a, b G Fx. Il vient a, b £ R ( F ) , donc —a, —b G R ( F ) . A l'aide de la p a r t i e (c) de la proposition
(4.2), on obtient ( ( - a , -b)} ^ ((1,1)) et alors (a, b )F S ( - 1 , - 1 )F. • Le corps des réels E satisfait les conditions équivalentes d u corollaire
(5.3). E n effet, le t h é o r è m e de Frobenius affirme que (—1, —1)r est la seule R-algèbre centrale à division. P o u r t o u t entier positif m , K. Szymiczek a d o n n é u n exemple de corps réel F tel que \ FX/ Fx \ — 2m et tel que R ( F ) est d'indice 2 d a n s Fx [19, p. 217]. On p o u r r a également obtenir des exemples de tels corps en appliquant le corollaire (8.5) au corps R .
6 R a d i c a l e t e x t e n s i o n d u c o r p s
C e t t e section vise à établir des relations entre les d e u x r a d i c a u x R ( F ) et R ( K ) p o u r u n e extension K / F . D ' a b o r d , nous cherchons à savoir à quelle condition l'inclusion R ( F ) C R ( i f ) est valable. Ensuite, nous nous restreignons au cas d ' u n e extension q u a d r a t i q u e K / F et nous a b o r d o n s le problème de savoir si la suite exacte canonique qui fait intervenir les groupes des carrés
1 — > { F *2, a Fx 2} — > Fx/ Fx 2 — K x / K * 2 — F x / F x 2
(voir proposition (2.4)) a d m e t u n analogue au moins partiel p o u r les radicaux.
O n obtient effectivement u n complexe
FX/ R ( F ) — • KX/ R { K ) FX/ R ( F ) .
La question de l'exactitude de ce complexe a été posée à l'origine p a r D. Ki- j i m a et M. Nishi. Nous nous inspirons là de l'étude entreprise d a n s [9], [10]
et [7]. Enfin, n o u s d o n n o n s u n exemple simple d'extension q u a d r a t i q u e K / F où F est sans radical alors que K est de radical n o n trivial.
6 . 1 T h é o r è m e ( C o r d e s ) . P o u r toute extension quadratique K / F on a les inclusions R ( F ) C R ( K ) et Nk / f( R ( K ) ) c R ( F ) .
Référence : [3, P r o p o s i t i o n 3, Corollary] et [3, Proposition 5].
D é m o n s t r a t i o n : Soit a G R ( F ) . P o u r x G Kx, c o m m e la f o r m e (1, —a) représente N k / f ( x ) sur F , le Principe de la N o r m e assure l'existence d ' u n élément c de Fx tel que ex G DK( { 1 , - a ) ) ] c o m m e c € DF( ( 1, - a ) ) , il vient x G D k ( ( 1 , —a)). Ainsi la forme (1, —a) est universelle aussi sur K . Cela m o n t r e l'inclusion R ( F ) C R ( K ) .
P o u r voir que N # / f ( R ( K ) ) C R ( F ) , considérons m a i n t e n a n t x G R ( K ) . P o u r a G Fx la forme ( l , a ) représente x sur K ; d ' a p r è s le Principe de la Norme, la m ê m e forme sur F représente alors N k / f ( x ) . O n en conlut que
NK / F( X ) G R ( F ) . •
6 . 2 C o r o l l a i r e . P o u r toute 2-extension K / F on a R ( F ) C R ( K ) .
D é m o n s t r a t i o n : Soient r G R ( F ) et a; G Kx. Alors F { x ) / F est une 2-extension finie. À l'aide de (2.6) on choisit u n e suite d e corps F o , . . . , Fn, o ù F0 = F et Fn = F ( x ) , telle que F i / F i - 1 est une extension q u a d r a t i q u e p o u r 1 < i < n. P a r récurrence sur i, on obtient, grâce à (6.1), que r G R(jFi).
E n particulier, (1, - r ) représente x sur le corps Fn = F ( x ) , donc aussi sur
K . Cela m o n t r e que R ( F ) C R {K). • P o u r u n e extension K / F t r a n s c e n d a n t e ou finie de degré a u t r e que 2, il
p e u t arriver que R ( F ) çt R ( K ) .
6 . 3 E x e m p l e s . (1) Soit F u n corps n o n q u a d r a t i q u e m e n t clos tel que R ( F ) = Fx. Alors p o u r K : = F({X)) on a R ( K ) = K *2 (3.6) et Fx < £ Kx 2, d ' o ù R ( F ) <£ R ( j r ) .
(2) Soit n u n entier supérieur ou égal à 3. N o t o n s F0 la clôture quadra- tique d u corps Q . O n choisit u n e extension K0/ F0 de degré n (voir 1a, re- m a r q u e suivante). Il est connu que le groupe des classes de carrés de K0
est infini [13, C h a p t e r VII, Appendix, Corollary 3]. Posons F F0((XJ) et K : = K0((X)). Il vient alors [K : F ] = [K0 : F0] = n , R ( F ) = Fx et R ( K ) = K *2. E n particulier, X G R ( F ) \ R ( K ) .
Remarque : P o u r obtenir u n e extension K q / F0 de degré n > 3 donné, où F0 est la clôture q u a d r a t i q u e de Q, on p e u t utiliser la construction suivante, qui a été suggerée à l ' a u t e u r p a r D. Leep :
O n choisit u n e extension galoisienne L / Q de g r o u p e de Galois Sn et on note k le sous-corps de L fixé par An- Ainsi k / Q est u n e extension quadra- tique et L / k u n e extension galoisienne de groupe An. C o m m e An n ' a pas de sous-groupe d'indice 2, le corps L ne contient aucune sous-extension q u a d r a - tique de k. Ceci dit que les extensions L / k et F0/ k sont linéairement dis- jointes. Ainsi L F o / F o est également u n e extension galoisienne de groupe An. On choisit u n sous-groupe H de An isomorphe à An- i , donc d'indice n. Alors le sous-corps de L F0 fixé p a r H est u n e extension de degré n de Fo.
6 . 4 C o r o l l a i r e . P o u r toute extension quadratique K / F , les homomorphis- mes d'inclusion F * Kx et de n o r m e N k / f '• Kx Fx induisent un complexe
FX/ R ( F ) — • KX/ R ( K ) — FX/ R ( F ) .
D é m o n s t r a t i o n : Le fait que les deux h o m o m o r p h i s m e s soient bien définis 2
provient d u théorème. Les relations N k / f ( Fx) = Fx C R ( F ) m o n t r e n t
alors que leur composition d a n s l'ordre d o n n é est triviale. • 6 . 5 C o r o l l a i r e . Soit K / F une extension quadratique telle que K = F (v /â )
p o u r a G R ( F ) \ Fx 2. Alors on a l'égalité R ( F ) = Fx fl R ( K ) et le complexe 1 — • FX/ R ( F ) — • KX/ R ( K ) FX/ R ( F ) —> 1
issu de (6.4) est exact à gauche et à droite.
D é m o n s t r a t i o n : Soit x G Fx fl R ( K ) . P o u r y G Fx, la F - a l g è b r e de quaternions {x,y)p, devenant déployée après extension des scalaires à K , est elle-même d é j à déployée, puisque B v ( K / F ) = 0 (3.1). P a r conséquent, x G R ( F ) . Cela m o n t r e qu'ici l'inclusion R ( F ) c Fx D R ( K ) (6.1) est une
égalité. Aussi le complexe est-il exact à gauche. C o m m e a G R ( F ) la n o r m e
N k / f est surjective, d ' o ù l'exactitude à droite. • La question de l'exactitude d u complexe d u corollaire (6.4) est équivalente à :
6 . 6 Q u e s t i o n ( K i j i m a , N i s h i ) . P o u r K / F u n e extension quadratique, a-t-on l'égalité N J ^/ f( R ( F ) ) = FXR ( / T ) ?
David Leep a annoncé récemment u n exemple qui m o n t r e que la réponse à c e t t e question, en général, est négative : il construit une extension quadra- tique K / F telle que R ( F ) ± F *2 alors que R ( K ) C FXKx 2 ; il s'ensuit que FXR ( K ) = N - }f( F *2) ï iV-/ 1 i r(R(F)), puisque R ( F ) C Nk / f( Kx) .
Néanmoins, d a n s certains cas, la question a d m e t u n e réponse positive : 6 . 7 C o r o l l a i r e ( K i j i m a , N i s h i ) . Soient F u n corps quasi-pythagoricien et K = F(y/E) avec a G R ( F ) \ Fx 2. Alors le complexe d o n n é dans (6.5) est e x a c t
Référence : [10, T h e o r e m 2.13.].
D é m o n s t r a t i o n : C o m m e F est quasi-pythagoricien, d ' a p r è s (5.2), il en est de m ê m e p o u r K . A l'aide d u Principe de la Norme, on obtient
N ? /FWf) ) = Nk / f ( D f ( ( 1 , 1))) = F * Dk( ( 1,1)) = FXR ( K ) ,
ce qui prouve l'exactitude d u complexe au milieu. • P o u r u n e extension q u a d r a t i q u e K = F ( y/a ) , le corollaire (6.5) affirme
que l'inclusion R ( F ) C Fxn R ( / 0 est une égalité lorsque a G R ( F ) . P o u r t a n t , si a R ( F ) , on p e u t avoir u n e inclusion stricte R ( F ) C Fx fl R ( K ) c o m m e l'illustre l'exemple suivant.
6 . 8 E x e m p l e . Soient F u n sous-corps m a x i m a l réel de Q2 et K = F ( \ / — 2 ) . Alors F est sans radical, t a n d i s que R ( K ) contient une classe non triviale m o d u l o Kx 2 représentée p a r —7. E n effet, avec a : = 2, b : = 5 et c : = 7, on vérifie que les hypothèses de (6.9) ci-dessous sont satisfaites, en utilisant que F (y/—7) est l'unique extension q u a d r a t i q u e de F contenue d a n s Q>2 et que 7 n'est u n e s o m m e de trois carrés ni d a n s F ni d a n s Q2-
P a r ailleurs, d a n s [1, Section 2], L. B e r m a n construit, p o u r t o u t n > 0, u n corps réel pythagoricien F tel que le corps K : = F(v/—1) vérifie les conditions
\ KX/ R ( K ) \ = 4 et \ R ( K ) / Kx 2\ = 2n ; pour l'extension q u a d r a t i q u e K / F on a alors R ( F ) Ç Fx n R ( ^ ) si n > 0.
6 . 9 P r o p o s i t i o n . Soient F u n corps réel tel que \ Fx/ Fx 2\ = 16 et a , b des éléments de DF( ( 1,1)) tels que a + b n'est pas s o m m e de 3 carrés dans F . On note K \— F ( \ / — a ) et c : = a + b. Alors :
(a) F est s a n s radical et a d m e t un unique ordre, (b) Df( { i) C) ) = Y : Fx\
(c) K est n o n réel avec \ KX/ Kx 2\ = 32, (d) R ( K ) = Kx 2 U - c Kx 2 et - c i Kx 2.
D é m o n s t r a t i o n : P o u r a i , . . . , am G Fx on n o t e g r ( a i , . . . , am) le sous- g r o u p e de Fx engendré p a r a1 ?. . . , om.
(a) O n m o n t r e d ' a b o r d que les éléments a et b représentent des classes distinctes et n o n triviales m o d u l o le radical de F . Si l'on avait a G R ( F ) alors on o b t i e n d r a i t par (4.2, a) que DF( ( a , b)) = DP{ ( 1, b)) C DF( ( 1 , 1 , 1 ) ) , ce qui est impossible car a + b n'est pas s o m m e de 3 carrés d a n s F . O n conclut que a £ R ( F ) et, p a r le m ê m e a r g u m e n t , que b R ( F ) . Enfin, si l'on suppose que ab G R ( F ) , alors on obtient DF( { l , a b ) ) = DF( ( l , l ) ) 3 a et par suite a + b = a ( l + (a~1)2ab) G DF( ( 1,1}), ce qui est aussi une contradiction avec l'hypothèse que a + b n'est pas s o m m e de moins de 4 carrés d a n s F .
Il s'ensuit que R ( F ) est d'indice 4 d a n s g r ( a , b) R ( F ) . É t a n t d o n n é que
\ F * / F *2\ = 16, on déduit de la chaîne d'inclusions
Fx 2 C R ( F ) C g r ( a , b) R ( F ) C DF( ( 1,1)) C C Fx
les égalités R ( F ) = Fx 2 et DF( ( 1,1}) = g r { a , b ) Fx 2, ainsi que le fait que J 2 Fx 2 soit d'indice 2 d a n s Fx, ce qui est équivalent à ce que le seul ordre de F soit £ F x 2.
(b) E n plus, on obtient £ F x 2 = g r ( a , b, c ) Fx 2 car c £ DF( ( 1 , 1 ) ) . Il est clair que DF( ( l , a ) ) C DF( ( 1 , 1 , 1 ) ) ? c et que DF( ( l , a ) ) <£ DF( { 1,1)). Il vient DF( ( 1 , a)) fl DF( ( l , 1)) = Fx ûU a Fx 2, puis ^ ( ( l . o ) ) = g r ( a , b c ) Fx 2. P a r conséquent, la F - a l g è b r e de quaternions (—c, o )F, isomorphe à (—b, a c )F puisque — c + a — —b, est déployée. P a r symétrie des hypothèses sur a et b, on a également que (—c, b )F est déployée. Cela m o n t r e que a, 6, c G DF( ( l , c)), d ' o ù / M ( l , c ) ) = £ F *2.
(c) Il est clair que K est non réel. L'image de la n o r m e N k / f '• Kx —> Fx est DF( ( l , a)) = g r ( a , b c ) Fx 2. P a r (2.4) on en déduit que \ Kx/ Kx 2\ =
\ • j Fx/ Fx 2| • | DF( ( l , a ) ) / Fx 2| = 32.
(d) L'élément —c n'est p a s u n carré d a n s K . C o m m e ^ F x 2 = DF( ( 1, c)) est u n ordre de F et - a G - £ F *2 fl Kx 2, il vient Fx C DK( ( 1 , c)). D ' u n
a u t r e côté, Nk / f( Kx) = DF( ( l , a ) ) C £ F *2 = £ >F( ( l , c ) ) . Ainsi le principe de la N o r m e assure que la forme ( l , c ) est universelle sur K , i.e. que —c € R(A'). Cela m o n t r e que K *2 U - c Kx ï C R ( K ) .
M o n t r o n s l'inclusion réciproque. Considérons u n élément x G R ( K ) . P a r le t h é o r è m e (6.1) et par (a), on obtient NK / F( x ) G R ( F ) = Fx 2. E n vertu de (2.4), on p e u t alors supposer que x G F * . D ' a p r è s le Principe de la Norme, la forme (1, — x), qui est universelle sur K , représente sur F t o u t e s les normes de K / F , et donc, en particulier, les éléments a et bc. Ainsi x G Df( ( 1, - a ) ) D DF{ { 1 , - b c ) ) . C o m m e R ( F ) = Fx 2 et | Fx/ Fx 2| = 16, chacune des formes (1,—a) et (1 ,—bc) représente sur F a u plus 8 classes de carrés.
De - 1 , — o , —c G DF( ( l , — a)) et de —a,—c,—bc G DF( ( l , — b c ) ) on déduit que Df( ( 1 , —a)) = g r ( - l , a , c ) Fx 2 et DF( { l , - b c ) ) = g r ( - a , b , - c ) Fx 2. Il
vient alors a; G g r ( - a , - c ) Fx 2 C Kx 2 U - c Kx 2. •
7 U n p r o b l è m e d e r é d u c t i o n d ' i n d i c e
Considérons ici u n e extension q u a d r a t i q u e K / F dont la f o r m e n o r m e N k / f est surjective. O n p e u t alors écrire K = F ( y / â ) avec a G R ( F ) \ Fx 2 et on sait que l ' h o m o m o r p h i s m e canonique B r ( F ) —> B r ( A ) est injectif (3.1). O n connaît également le noyau de l ' h o m o m o r p h s i m e canonique W ( F ) —> W ( K ) : il contient une seule classe non triviale représentée par la f o r m e (1, —a). E n fait, il s'est avéré q u ' a u c u n e forme anisotrope sur F a u t r e que (1, —a) ne p e u t devenir isotrope sur K (4.5). O n se d e m a n d e alors si l'on ne p e u t pas constater u n fait plus fort que l'injectivité de B r ( F ) Br(AT), qui serait l'absence de réduction de l'indice p o u r t o u t e F - a l g è b r e simple centrale lors de l'extension des scalaires à K . O n formule ce problème de la manière suivante :
7 . 1 Q u e s t i o n . Soit K / F une extension quadratique comme ci-dessus.
Existe-t-il u n e F-algèbre centrale à division D telle que D ^ ne soit pas à division ?
Remarques : (1) P o u r r é p o n d r e à cette question, on p e u t se restreindre à considérer les F - a l g è b r e s centrales à division d'exposant u n e puissance de 2.
E n effet, le t h é o r è m e de décomposition primaire pour les algèbres simples centrales (cf. [15, p. 261] ou [16, T h e o r e m 7.2.13]) assure que D = D \
p o u r d e u x F - a l g è b r e s simples centrales Dx et telles que Dx est de degré impair et D2 est de degré u n e puissance de 2 ; ainsi ( Dx) k est à division puisque [K : F ] = 2 et p a r suite DK est à division si et seulement si ( D2) k est à division [15, § 14.4, Proposition b (viii)].
(2) P o u r u n e extension K / F quelconque, il p e u t arriver que B r ( K / F ) = 0 alors qu'il existe u n e F - a l g è b r e centrale à division sur F qui ne reste p a s à division après extension des scalaires à K . C'est le cas d a n s l'exemple ci- dessous. P o u r a u t a n t , on ne connaît pas d'exemple d ' u n e telle situation où l'extension soit finie [17, p. 22, Remark].
7 . 2 E x e m p l e . Soit B une F - a l g è b r e de biquaternions à division. Notons tp sa forme d ' A l b e r t , définie à similitude près, et K le corps de fonctions F(tp). Alors l ' h o m o m o r p h i s m e B r ( F ) —> Br ( K ) est injectif et B x n'est pas à division. Ces d e u x c o n s t a t a t i o n s se font, par exemple, à p a r t i r de la formule, d u e à A. Merkurjev, de réduction d'indice sur le corps de fonctions d ' u n e q u a d r i q u e [20].
7 . 3 P r o p o s i t i o n . Soient A u n e F~algèbre simple centrale et K = F ( \ / ô ) avec a G R ( F ) . Alors e x pk( A k ) = e x pF( A ) . De plus, si indir(A) = e x pF( A ) alors i n d x ( A x ) = i n d / ^ A ) .
D é m o n s t r a t i o n : L'ordre de [A] d a n s B r ( F ) et de [Ax] d a n s Br(À') est le m ê m e parce que l ' h o m o m o r p h i s m e canonique B r ( F ) —> Br ( K ) est injec- tif. Cela dit que e x p x ( A x ) = e x pF( A ) . Sous l'hypothèse supplémentaire i n d ^ ( A ) = e x pF( A ) , les inégalités e x pK( A x ) < i n d x ( A x ) < indF(yl) (va-
lables p o u r t o u t e extension K / F ) sont alors des égalités. •
7 . 4 C o r o l l a i r e . Soient F u n e extension algébrique de Q et K = F ( i / ô ) avec a G R ( F ) . Si D est une F-algèbre centrale à division alors D k est aussi à division.
D é m o n s t r a t i o n : L'égalité indir(A) = e x p ^ ( A ) vaut p o u r t o u t e F - a l g è b r e simple centrale A sur un corps de nombre F , par conséquent aussi, lorsque F est u n e extension algébrique de Q . A l'aide de (7.3) on conclut a u x égalités i n d k ( D k ) = ind77(D) = d e gF( D ) = d e gK( DK) qui m o n t r e n t que D k est à
division. • Remarque : L a conclusion est valable dès que F est u n corps tel que
ind;?(A) — expF(^4) pour t o u t e F - a l g è b r e simple centrale A. C e t t e condi- tion est satisfaite p a r d ' a u t r e s types intéressants de corps que les extensions algébriques de Q.
7 . 5 P r o p o s i t i o n . Soit K = F (v /ô ) avec a G R ( F ) . Soit D u n e F-algèbre centrale à division de degré 2n, n > 1. Si toute extension L / F contenue dans D et de degré divisant 2n~1 est telle que R ( F ) C R (L) alors D k est à division.
D é m o n s t r a t i o n : Supposons que D k n'est pas à division. O n sait que l'extension q u a d r a t i q u e K / F se plonge alors d a n s D [15, § 13.4, Corollary], Ainsi il existe a; G D tel que a2 = a. E n vertu d u théorème de Skolem- Noether, l ' a u t o m o r p h i s m e d'extension non trivial de F ( a ) / F s'étend à D en u n a u t o m o r p h i s m e intérieur I n t ( u ) avec u £ D * . Cet élément u a n t i c o m m u t e alors avec a . Tous les éléments de F ( u2) c o m m u t e n t avec a ce qui n'est pas le cas de u. Il vient F ( u2) C F ( u ) , donc L :— F ( u2) n'est pas u n sous-corps m a x i m a l de D et alors [L : F ] divise 2n~l. Les éléments a et u engendrent une L-algèbre de quaternions Q, contenue d a n s D et donc nécessairement à division. De plus, Q est déployée p a r l'extension q u a d r a t i q u e L (v/ a ) . Ainsi Br ( L (v /â ) / L ) n'est pas trivial et p a r suite a £ R (L). D o n c R ( F ) <f_ R (L),
contrairement à l'hypothèse. •
7 . 6 C o r o l l a i r e . Soient K = F (y/a) avec a G R ( F ) et D u n e F-algèbre centrale à division telle que D k n'est pas à division. Alors le degré de D est divisible p a r 8 et strictement s u p é r i e u r à l'exposant de D .
D é m o n s t r a t i o n : E n vertu de la r e m a r q u e qui suit la question (7.1), on p e u t supposer q u e D est de degré 2™, avec n > 1. C o m m e i n d k ( D k ) < i n dF( D ) p a r hypothèse, (7.3) m o n t r e que e x pF( D ) < i n dF( D ) . D ' a p r è s (7.5), D contient une extension L de F telle que [L : F ] divise 2n~l et R ( F ) Çl R (L). D ' a p r è s (6.1), L / F n'est p a s u n e extension quadratique, d ' o ù n > 3, ce qui achève la
preuve. • Remarque : Sous les hypothèses d u corollaire, si le degré de D est 8 alors
son exposant est 4. E n effet, le corollaire dit que e x pF( D ) < 4 et nous allons voir que e x pF( D ) ^ 2. Si e x pF( D ) = 2 alors u n t h é o r è m e de Rowen et sa preuve [16, p. 279-280, Exercise 32] m o n t r e n t qu'il existe b,c G Fx tels que D est déployée p a r F ( \ / a , \fb, \Jc) ; p o u r L : = F ( y / b , y/c) le corollaire (6.2) dit que a G R (L), ce qui est en contradiction avec le fait que D l représente u n e classe non triviale d a n s B r ( L ( y / a ) / L ) .
8 A g r a n d i s s e m e n t e t r é d u c t i o n d u r a d i c a l Nous avons v u que le radical R ( F ) se p r o j e t t e de façon naturelle sur u n idéal de l ' a n n e a u de W i t t W { F ) (4.4). N o t o n s K W { F ) l ' a n n e a u quotient de W { F ) par cet idéal. Nous nous intéressons a u x extensions K / F pour lesquelles les a n n e a u x K W ( F ) et K W ( K ) sont canoniquement isomorphes. E n quelque sorte, on p o u r r a i t dire que les corps F et K présentent alors a u radical près la m ê m e s t r u c t u r e p o u r les formes quadratiques.
E n premier lieu, nous construisons u n e extension K d ' u n corps d o n n é F telle q u e t o u t e forme q u a d r a t i q u e anisotrope sur F reste a n i s o t r o p e sur K et telle que Kx = FXR ( K ) et R ( F ) Kx 2 C R ( K ) ((8.4) et (8.5)). O n parvient ainsi à agrandir le radical d u corps en conservant sa s t r u c t u r e p o u r les formes q u a d r a t i q u e s a u radical près. C e t t e approche conduit en particulier à de nouveaux exemples de corps K pour lesquels le quotient R ( K ) / Kx 2 est fini de cardinal arbitraire.
Ensuite, nous étudions le problème inverse, qui consiste à réduire par extension le radical d u corps. P o u r t o u t corps F , nous établissons l'existence d ' u n e plus p e t i t e 2-extension K de F sans radical (8.9). Sa construction rappelle celle de la clôture pythagoricienne d ' u n corps, avec des propriétés comparables (voir [18, §2.6]).
Un élément x e Fx\ Fx 2 est dit rigide (dans F ) si DF{ ( 1, x)) = Fx 2U x Fx 2. O n dit que x est hirigide si x et —x sont rigides.
8 . 1 P r o p o s i t i o n . Soient a u n élément hirigide dans F , K : = F (v /a ) et tp u n e f o r m e quadratique s u r F .
(a) Kx = ( Fx U y/â Fx) Kx 2.
(b) D a n s K les deux racines carrées de a sont birigides.
(c) Si <px est anisotrope alors Dk{<P>k) C FxKx 2.
(d) P o u r que <~pk soit anisotrope il f a u t et il suffit que <p±atp soit anisotrope.
D é m o n s t r a t i o n : (a) C o m m e — a est rigide on a N k / f { Kx) = D f ( ( 1 , — a)) = Fx 2U - a Fx 2 . O n en déduit l'énoncé à l'aide des égalités N k / f ( V ô ) = ~a et N ~ )f{ Fx 2) = FxKx 2 (2.4).
(b) Soit £ l'une des deux racines carrées de a d a n s K . P o u r b G Fx tel que b £ Fx 2U a Fx 2 = DF( ( 1, a)) on a NK / F{ - Ç ) = - a <£ DF( { 1, - b ) ) ; alors, d ' a p r è s le Principe de la Norme, ^ DK( ( 1 , - b ) ) , i.e. b ^ DK( ( 1, £)). Cela m o n t r e q u e Fx n DK{ ( 1, £}) C Fx 2 U a Fx 2 C Kx 2. P a r (a) on conclut que D k { ( 1 , 0 ) = Kx 2U Ç Ky 2. Ainsi £ est rigide dans K . Le m ê m e raisonnement vaut p o u r —
(c) Supposons que <p>K est anisotrope et de dimension n. P a r récurrence sur n nous allons m o n t r e r que DF( t p ) C FxKx 2. P o u r n = 1 c'est clair. 2 o D a n s le cas n = 2 nous avons tp = 6(1, - c ) avec 6, c G Fx et c f. Fx U a Fx . Supposons que tpK représente Ç G Kx. Alors b( G D k ( { 1, — c)) entraîne par le P r i n c i p e de la N o r m e que N k / f { C ) £ — c ) ) f ) Z V ( ( l , —a))- D u fait que a soit birigide et que c i Fx 2U a Fx 2 on déduit que DF( ( 1, — c ) ) f l DF( ( l , —a))
est égal à F *2. Ainsi N x / f ( C ) £ F *2, ce qui, d ' a p r è s (2.4), est équivalent à ce que C € F * K *2.
Si n > 2 nous écrivons <p = ip' _L (c) avec ip' u n e forme de dimension n — 1 sur F et c 6 Fx. O n appliquant l'hypothèse de récurrence à <p' on obtient Dk{ w ' k ) C FxKx 2 \ - c Kx 2. Le lemme (2.1) et le cas n = 2 p e r m e t t e n t de conclure que
DK( < p ) = [ J DK( ( b , c ) ) = l j DK( ( b , c ) ) C FxKx 2. b£DK(<p'K) beDF(<p')
(d) O n p e u t supposer que ip est anisotrope. Si (p _L a<p est isotrope alors il existe une sous-forme binaire (3 de <p telle que (3 L a(3 est isotrope [5, Proposition 2.2.], donc telle que d±( p ) e DF{ ( \ , a ) ) = Fx 2 U a Fx 2 C Kx 2, ce qui entraîne que f3K et <px sont isotropes. Réciproquement, si p k est isotrope alors <p contient u n e sous-forme semblable à (1, —a) [13, C h a p . VII,
L e m m a 3.2.] ; il s'ensuit que cp _L a<p est isotrope. • Soit a G F . Il existe u n corps engendré p a r u n e suite d'éléments (ûj)i>o
vérifiant «o = a et a f = on~i p o u r i > 1. Un tel corps est unique à F-iso- m o r p h i s m e près. O n le note F i ^ / a ) .
8 . 2 P r o p o s i t i o n . Soient a un élément birigide dans F et (p u n e f o r m e qua- dratique s u r F . On pose L F ( ^ / â ) .
(a) On a les égalités Lx = FxLx 2 et Fx n L *2 = Fx 2 U a Fx 2.
(b) P o u r que ipL soit anisotrope il f a u t et il suffit que <p La<p> soit anisotrope.
D é m o n s t r a t i o n : Soit (aj)i>o u n e suite d'éléments de L c o m m e ci-dessus. O n n o t e Fi : = F ( a i ) p o u r i > 0. Alors L f F est la limite directe des extensions F i / F . A l'aide de la proposition précédente on obtient p a r récurrence sur i que a i est un élément birigide d a n s Fi et que
F ? = { F ^ U a i F ^ 2 C F ^ Fx + l 2 p o u r t o u t i > 1. Il découle de ces inclusions que Lx = FXLX .
Si (pL est anisotrope alors <pFl est anisotrope ; p a r la p a r t i e (8.1, d), il vient que <p _L a<p est anisotrope sur F . P o u r la réciproque, supposons que
<p ± aip est anisotrope. Alors les parties (c) et (d) de (8.1) m o n t r e n t que 2 /s tpFl est anisotrope et que DF l(<pF l) C FXFX . D ' u n a u t r e côté, NF l/F( a i ) =
9 2
—a ^ Fx implique que o.\ </z FXFX . Il s'ensuit que <p>Fl ± ot\<PFi est anisotrope. O n m o n t r e alors par récurrence que <pFi ± a ^F i est anisotrope p o u r t o u t i. P a r conséquent, <pi est anisotrope.
E n particulier, p o u r x E Fx la forme (1, —x) devient hyperbolique sur L si et seulement si ((—x,a)) est hyperbolique sur F . O n en déduit que
Fx f] Lx 2 = D p ( ( l , a ) ) = Fx 2 U a F *2. •
Désignons par F ( X ) la 2-extension maximale d u corps des fonctions F ( X ) d a n s le corps des séries formelles F((X)). La théorie de base des formes q u a d r a t i q u e s sur u n corps complet p o u r une valuation non 2-adique [13, C h a p . VI, Section 1] assure que F ( ( X ) )X = ( Fx U X Fx) F ( ( X ) )x 2 et que l'élément X est birigide d a n s F((X)). P a r définition de F ( X }) il vient que X est aussi birigide d a n s F { X ) ainsi que F ( X )X = ( Fx U X Fx) F ( X )x 2.
8 . 3 C o r o l l a i r e . Soit L l'un des corps F ( ( X ) ) ( V X ) ou F ( X ) ( V X ) . Alors Lx = FxLx 2 et toute f o r m e quadratique anisotrope s u r F reste anisotrope après extension des scalaires à L.
Référence : Cet énoncé est u n e variante de [11, L e m m a 3.2.].
D é m o n s t r a t i o n : Écrivons L = K ( \ / X ) où K est l'un des corps F((X)) ou F ( X ) . L'élément X est birigide d a n s K et devient u n carré d a n s L. C o m m e Kx = ( Fx U X Fx) Kx 2, on déduit de la proposition que Lx = FxLx 2. Soit cp u n e forme q u a d r a t i q u e anisotrope sur F . Alors <pk _L X<pk est anisotrope [13, C h a p . VI, Proposition 1.19.] ce qui implique, d ' a p r è s la proposition, que
<Pl est anisotrope. •
8 . 4 T h é o r è m e . P o u r tout corps F de caractéristique différente de 2 il existe u n e extension K / F de degré de transcendance 1 telle que toute f o r m e aniso- trope s u r F reste anisotrope après extension des scalaires à K et telle que les égalités Kx = ( Fx U r Fx) Kx 2 et R ( K ) = ( R ( F ) U r R ( F ) ) Kx 2 sont véri- fiées p o u r u n certain élément r E R ( i ^ ) \ FxKx 2.
D é m o n s t r a t i o n : Posons I : = Fx/ Fx 2. Soit ( ba)aç i C Fx u n système complet de r e p r é s e n t a n t s des classes de carrés de F , où ba € a p o u r tout a E J . C o m m e les ba sont nécessairement distincts d e u x à deux, la famille de polynômes linéaires (1 + baX )a ei C F ( X )X est F2-linéairement i n d é p e n d a n t e m o d u l o F ( X )x 2. D ' u n a u t r e côté, t o u s ces polynômes deviennent des carrés d a n s F((X)), donc aussi d a n s F ( X ) .
N o t o n s F* le sous-corps F ( X ) ( ^ ( 1 + baX ) ( l + ba /X ) )a t a>e I de F ( X ) et posons r (1 + ba oX ) pour ao E I arbitraire. P o u r t o u t b E Fx on a r E DF, ( ( l , b X ) ) , puisque b Fx 2 = baFx 2 pour a : = b Fx 2 E I , et ainsi r • (1 + baX ) E Fx 2.
