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Chapitre P4 Mouvement d’un solide indéformable 1

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Chapitre P4 :::: Mouvement d’un solide indéformable Mouvement d’un solide indéformable Mouvement d’un solide indéformable Mouvement d’un solide indéformable

I) Rappels de seconde I) Rappels de seconde I) Rappels de seconde I) Rappels de seconde ::::

1-1) Nécessité d’un référentiel :

La description d’un mouvement dépend du référentiel dans lequel on se place. C’est la relativité du mouvement, et c’est pour cela qu’il est indispensable de définir un référentiel pour étudier n’importe quel mouvement.

Définition : un référentiel est donc un corps solide que l’on choisit comme référence pour étudier le mouvement d’un autre corps.

Le référentiel est constitué : Du solide de référence D’un repère d’espace (O, i

r , j

r ,k

r

) fixe par rapport à ce solide D’une horloge qui définit un repère de temps

On peut alors repérer la position d’un point M quelconque par ses coordonnées x(t), y(t), z(t).

Exemples de référentiels :

- référentiel terrestre : c’est le référentiel le plus utilisé, il a pour solide de référence tout solide fixe par rapport à la surface de la Terre.

- référentiel géocentrique : il a pour origine de référence le centre de gravité de la Terre.

- référentiel héliocentrique : il a pour origine de référence le centre de gravité du Soleil.

1-2) Trajectoire : Voir TP

La trajectoire d’un point mobile est la courbe qui décrit l’ensemble des positions occupés par ce point mobile au cours du temps.

1-3) Solides et points matériels :

Un objet solide peut-être assimilé à un point matériel si ses dimensions sont très petites devant l’échelle du problème que l’on cherche à résoudre.

Exemple : une fusée peut-être considéré comme un point matériel a l’échelle astronomique (si on étudie son mouvement entre la Terre et la Lune).

Un solide est dit indéformable lorsque la distance qui sépare deux de ses points ne varie jamais.

II) Vitesse d’un point du solide II) Vitesse d’un point du solide II) Vitesse d’un point du solide II) Vitesse d’un point du solide ::::

2-1) Rappels sur la vitesse moyenne :

Exemple : Calcul de la vitesse moyenne du TGV en Paris et Rennes.

Le TGV atlantique parcourt actuellement la distance de 410 km de voies ferrées entre Rennes et Paris Montparnasse en 2h03 sans arrêt.

Calculer la vitesse moyenne en m.s^-1 puis en km.h^-1 du TGV entre Rennes et Paris.

1 3

. 60 55

3 3600 2

10 .

410 = ₋

× +

= × ms

v_moy

v_moy = 3,6 ×55 = 200 km.h^-1

Comment expliquer que la valeur trouvée soit inférieure aux 300 km.h^-1 annoncés par la SNCF comme vitesse de croisière du TGV ?

Définition de la vitesse moyenne :

La vitesse moyenne v_m d’un point mobile est le quotient de la longueur L de son parcours par la durée

∆t correspondante.

∆t L ) t (t v L

1 2

m =

= − v^m : vitesse moyenne en m.s⁻¹ L : distance en m

1

2 t

t

∆t= − : durée du parcours en s.

Chapitre P4 Mouvement d’un solide indéformable 2 La valeur de la vitesse moyenne dépend du référentiel d’étude.

2-2) Vitesse instantanée d’un point : Voir TP

Si la vitesse moyenne du TGV est inférieure aux 300 km.h^-1 annoncés par la SNCF, c’est que le TGV ne circule pas à grande vitesse sur l’ensemble du trajet.

La vitesse instantanée représente la vitesse du TGV a un instant donné t. Pour calculer cette vitesse instantanée il faut calculer la vitesse moyenne sur une distance la plus courte possible (soit entre deux instants t₂ et t₁ les plus courts possibles)

La vitesse instantanée d’un point mobile à la date t est approximativement égale à la vitesse moyenne de ce point calculée entre deux instants voisin encadrant la date t.

1 3

3 1

2 t t

M v M

= −

On peut confondre la longueur de l’arc M₁M₃ avec celle du segment M₁M₃ si l’intervalle de temps est très petit.

2-3) Vecteur vitesse d’un point matériel : Voir TP

A chaque instant, le mouvement d’un point a une direction, un sens et sa vitesse instantanée a une certaine valeur.

On définit donc un vecteur vitesse, noté vr . A l’instant t, le vecteur vitesse (t)vr

d’un point mobile M a pour caractéristique : Direction : la tangente à la trajectoire à la date t

Sens : celui du déplacement sur la trajectoire Valeur : valeur de la vitesse instantanée à la date t.

Représentation du vecteur vitesse :

Le vecteur vitesse à la date t est représenté par un segment fléché dont : L’origine est la position du point mobile à la date t

Le sens celui du mouvement du point mobile

La longueur est proportionnelle à la valeur de la vitesse instantané v.

III) Le centre d’inertie d’un solide III) Le centre d’inertie d’un solide III) Le centre d’inertie d’un solide III) Le centre d’inertie d’un solide ::::

Voir TP (III-A enregistrement n°5) Voir photo du manuel p38

L’enregistrement du mouvement de différents points d’un solide indéformable dans un référentiel donné montre que, généralement, ces différents points n’ont pas la même trajectoire, donc pas le même

mouvement.

Parmi tous les points d’un solide en mouvement, il en existe un dont le mouvement est plus simple que les autres, il s’agit du centre d’inertie du solide (ou centre de gravité).

IV) Mouv IV) Mouv IV) Mouv

IV) Mouvement de translation d’un solideement de translation d’un solideement de translation d’un solideement de translation d’un solide ::::

Voir TP (III-A et III-B enregistrements n°5 et 1) Définition :

Un solide est en en mouvement de translation si tout segment liant deux points du solide reste parallèle à lui-même au cours du mouvement.

Si tous les points du solide ont pour trajectoire une droite, on dit que le solide est animé d’un mouvement de translation rectiligne.

M 0 ¹

M M₂

M 3

Chapitre P4 Mouvement d’un solide indéformable 3 Exemple : le déplacement d’un train en ligne droite.

Si tous les points du solide ont pour trajectoire des courbes superposables, on dit que le solide est animé d’un mouvement de translation curviligne.

Si tous les points du solide ont pour trajectoire des cercles superposables, on dit que le solide est animé d’un mouvement de translation circulaire.

Montrer l’animation de la grande roue : http://www.ostralo.net/3_animations/swf/grande_roue.swf Autre exemple : le mouvement de la Terre autour du Soleil est un mouvement de translation.

Tous les points d’un solide en translation ont, à chaque instant le même vecteur vitesse (t)vr

: c’est le vecteur vitesse du solide.

V) Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe V) Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe V) Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe V) Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe ::::

Voir TP (III-C enregistrement n°2) 5-1) Etude de la trajectoire :

Reprendre l’étude de la trajectoire du mobile en rotation autour d’un axe fixe vue en TP : Quelle est la trajectoire du centre d’inertie du mobile ?

Quelle serait la trajectoire d’un autre point du mobile ?

Définition :

Un solide est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe si :

tous les points du solide situés sur l’axe de rotation sont immobiles

tous les autres points du solide décrivent des arcs de cercle centrés sur l’axe de rotation.

Donc chaque point d’un solide en rotation autour d’un axe fixe a une trajectoire circulaire.

5-2) Vitesse angulaire :

Au cours d’une rotation, plus un point du solide est éloigné de l’axe de rotation, plus la longueur de l’arc qu’il décrit est grande : les points du solide n’ont pas la même vitesse.

Par contre, l’angle α décrit entre deux instants donnés est le même pour tous les points du solide : c’est l’angle de rotation du solide.

On utilise donc la vitesse angulaire ω qui est la même pour tous les points du solide en rotation et qui est donc la vitesse angulaire du solide en rotation.

Vitesse angulaire entre deux instants t₁ et t₂ est :

∆t α t t ω α

1 2

− =

= Avec : ω la vitesse angulaire en rad.s⁻¹ α l’angle de rotation du solide en rad

∆t la durée du parcours en s

5-3) Comment relier la vitesse angulaire et la vitesse d’un point du solide en rotation autour d’un axe fixe ?

Relation entre vitesse et vitesse angulaire :

Pour un point M d’un solide en rotation autour d’un axe fixe, situé à une distance R de l’axe de rotation, la distance parcourue pendant une durée ∆t=t₂ −t₁ ^{est L}=^Rα.

α

A1

A2

B1

B2

Chapitre P4 Mouvement d’un solide indéformable 4 Donc

∆t Rα

∆t

v= L = et comme

∆t

ω= α alors

v = R ω

Si ∆t est grand, on a les vitesses moyennes, si ∆t est petit on a les vitesses instantanées.