I. Proportion et pourcentage

Chapitre :

Pourcentages et taux v

~ Activité : 1,4,5,7p244

I. Proportion et pourcentage

~ Activité : Ap246

Définition Soit E un ensemble, dont le nombre d’éléments (non nul) est N. N peut être appelé l’effectif total.

Soit A une partie de l’ensembleE, dont le nombre d’éléments est n.

La proportion de A dans E est le nombre p= n N. On retient : « effectif divisé par effectif total ».

En statistiques, la proportion est aussi appelée fréquence.

Remarque Une proportion est un nombre compris entre 0et 1.

Pour obtenir une proportion en pourcentage, il suffit de multiplier cette proportion par 100.

Exemple Une tablette de chocolat de 180g contient 72g de sucre.

La proportion de sucre dans la tablette est donc 72

180 = 0,4, soit 40%.

Si l’on connaît la proportion (ou le poucentage), et l’effectif total, on peut retrouver l’effectif.

Exemple On suppose que dans la même tablette de chocolat, le cacao constitue55%de la tablette.

La masse de cacao présente est alors 55

100×180 = 99(55% de180). Il y a donc 99g de cacao dans la tablette.

I Exercices : 21,22p259, 41,43,44p260, 47,48p261

Propriété (Pourcentage de pourcentage)Dans un ensembleF non vide de référence, on consi- dère une partie non vide E. Dans la partie E on considère une partie A. Sip₁ est la proportion de A dans E et si p₂ est la proportion deE dans F, alors la proportion de A dans F estp₁×p₂ : on fait le produit des proportions.

Exemple On estime que 53% des français jouent régulièrement à des jeux vidéo. Parmi ces per- sonnes, 47% sont des femmes.

Ainsi, la proportion de femmes qui jouent régulièrement à des jeux vidéo en France est : 47 100× 53

100 = 0,2491, soit 24,91%.

I Exercices : 24,25p259, 50,52,53,54p261

II. Variations

~ Activité : Bp246

Définition Une quantité a une valeur initiale V_i. Elle varie pour atteindre une valeur finale V_f. La variation absolueest V_f −V_i.

La variation relative, autrement dit le taux de variation, est la nombre t= V_f −V_i V_i .

Remarque Le taux de variation peut être négatif ; on peut le donner en pourcentage en multipliant par 100.

Exemple Un prix passe de 110e à 132e. Le taux d’évolution est donc 132−110

110 = 22

110 = 0,2.

Le prix a donc augmenté de 20%.

Propriété Soit t le taux de variation (pas en poucentage !) qui permet de passer de V_i à V_f. Alors V_f = (1 +t)×V_i.

Le nombre CM = 1 +t est appelécoefficient multiplicateur associé au taux t.

Si t est en pourcentage, alors CM = 1 + t 100. Ainsi, V_f =CM ×V_i.

De plus, si l’on connaît CM, on obtient t en pourcentage par la formule : t= (CM −1)×100.

Propriété Dans le cas d’une hausse, t est positif et CM >1.

Dans le cas d’une baisse, t est négatif et 06CM < 1.

Exemples On considère une valeur initiale de 110.

Pour une hausse de 15%, le coefficient multiplicateur associé est 1 + 15

100 = 1,15. La valeur finale est alors 110×1,15 = 126,5.

Pour une baisse de 5%, le coefficient multiplicateur associé est 1− 5

100 = 1−0,05 = 0,95. la valeur finale est alors 110×0,95 = 104,5.

Remarque Si on connaît CM et la valeur finale, alors la valeur initiale est V_i = Vf

CM. I Exercices : 28,29,30p259, 60,62,58,64,59p262

III. Évolutions successives

~ Activité : Cp247

Propriété Lorsqu’une quantité subit des évolutions successives de taux t₁, t₂, . . ., t_n elle subit une évolution globale t.

Notons CM₁, CM₂, . . ., CM_n les coefficients multiplicateurs associés aux taux successifs, etCM le coefficient multiplicateur associé au taux global. Alors :

CM =CM₁×CM₂× · · · ×CM_n Autrement dit on multiplie les coefficient multiplicateurs

On rappelle qu’alors t = (CM −1)×100 (en pourcentage).

Faire attention au fait que l’on n’ajoute pas les pourcentages.

I Exercices : 32p259, 72,73,79,80,81,75,(76,77,83)p264 et suivante

IV. Taux réciproques

~ Activité : Dp247

Propriété Soit t le taux permettant de passer d’une valeurV_i à une valeur V_f. On appelle taux réciproque det le taux t⁰ permettant de passer de Vf àVi.

En notant CM le coefficient multiplicateur associé à t, et CM⁰ celui associé à t⁰, alors CM⁰ = 1

CM

Exemple On cherche le taux réciproque d’une augmentation de60%.

On a CM = 1,6, donc CM⁰ = 1

1,60 = 0,625.

Alors le taux réciproque est t⁰ = (CM⁰−1)×100 = (0,625−1)×100 =−37,5.

Autrement dit, après une hausse de 60%, il faut une baisse de37,5%pour revenir à la valeur initiale.

I Exercices : 33p259, 84,85,87,89,(88,86)p265 F Approfondissement : 90,91p266