Chapitre :
Pourcentages et taux v
~ Activité : 1,4,5,7p244
I. Proportion et pourcentage
~ Activité : Ap246
Définition Soit E un ensemble, dont le nombre d’éléments (non nul) est N. N peut être appelé l’effectif total.
Soit A une partie de l’ensembleE, dont le nombre d’éléments est n.
La proportion de A dans E est le nombre p= n N. On retient : « effectif divisé par effectif total ».
En statistiques, la proportion est aussi appelée fréquence.
Remarque Une proportion est un nombre compris entre 0et 1.
Pour obtenir une proportion en pourcentage, il suffit de multiplier cette proportion par 100.
Exemple Une tablette de chocolat de 180g contient 72g de sucre.
La proportion de sucre dans la tablette est donc 72
180 = 0,4, soit 40%.
Si l’on connaît la proportion (ou le poucentage), et l’effectif total, on peut retrouver l’effectif.
Exemple On suppose que dans la même tablette de chocolat, le cacao constitue55%de la tablette.
La masse de cacao présente est alors 55
100×180 = 99(55% de180). Il y a donc 99g de cacao dans la tablette.
I Exercices : 21,22p259, 41,43,44p260, 47,48p261
Propriété (Pourcentage de pourcentage)Dans un ensembleF non vide de référence, on consi- dère une partie non vide E. Dans la partie E on considère une partie A. Sip1 est la proportion de A dans E et si p2 est la proportion deE dans F, alors la proportion de A dans F estp1×p2 : on fait le produit des proportions.
Exemple On estime que 53% des français jouent régulièrement à des jeux vidéo. Parmi ces per- sonnes, 47% sont des femmes.
Ainsi, la proportion de femmes qui jouent régulièrement à des jeux vidéo en France est : 47 100× 53
100 = 0,2491, soit 24,91%.
I Exercices : 24,25p259, 50,52,53,54p261
II. Variations
~ Activité : Bp246
Définition Une quantité a une valeur initiale Vi. Elle varie pour atteindre une valeur finale Vf. La variation absolueest Vf −Vi.
La variation relative, autrement dit le taux de variation, est la nombre t= Vf −Vi Vi .
Remarque Le taux de variation peut être négatif ; on peut le donner en pourcentage en multipliant par 100.
Exemple Un prix passe de 110e à 132e. Le taux d’évolution est donc 132−110
110 = 22
110 = 0,2.
Le prix a donc augmenté de 20%.
Propriété Soit t le taux de variation (pas en poucentage !) qui permet de passer de Vi à Vf. Alors Vf = (1 +t)×Vi.
Le nombre CM = 1 +t est appelécoefficient multiplicateur associé au taux t.
Si t est en pourcentage, alors CM = 1 + t 100. Ainsi, Vf =CM ×Vi.
De plus, si l’on connaît CM, on obtient t en pourcentage par la formule : t= (CM −1)×100.
Propriété Dans le cas d’une hausse, t est positif et CM >1.
Dans le cas d’une baisse, t est négatif et 06CM < 1.
Exemples On considère une valeur initiale de 110.
Pour une hausse de 15%, le coefficient multiplicateur associé est 1 + 15
100 = 1,15. La valeur finale est alors 110×1,15 = 126,5.
Pour une baisse de 5%, le coefficient multiplicateur associé est 1− 5
100 = 1−0,05 = 0,95. la valeur finale est alors 110×0,95 = 104,5.
Remarque Si on connaît CM et la valeur finale, alors la valeur initiale est Vi = Vf
CM. I Exercices : 28,29,30p259, 60,62,58,64,59p262
III. Évolutions successives
~ Activité : Cp247
Propriété Lorsqu’une quantité subit des évolutions successives de taux t1, t2, . . ., tn elle subit une évolution globale t.
Notons CM1, CM2, . . ., CMn les coefficients multiplicateurs associés aux taux successifs, etCM le coefficient multiplicateur associé au taux global. Alors :
CM =CM1×CM2× · · · ×CMn Autrement dit on multiplie les coefficient multiplicateurs
On rappelle qu’alors t = (CM −1)×100 (en pourcentage).
Faire attention au fait que l’on n’ajoute pas les pourcentages.
I Exercices : 32p259, 72,73,79,80,81,75,(76,77,83)p264 et suivante
IV. Taux réciproques
~ Activité : Dp247
Propriété Soit t le taux permettant de passer d’une valeurVi à une valeur Vf. On appelle taux réciproque det le taux t0 permettant de passer de Vf àVi.
En notant CM le coefficient multiplicateur associé à t, et CM0 celui associé à t0, alors CM0 = 1
CM
Exemple On cherche le taux réciproque d’une augmentation de60%.
On a CM = 1,6, donc CM0 = 1
1,60 = 0,625.
Alors le taux réciproque est t0 = (CM0−1)×100 = (0,625−1)×100 =−37,5.
Autrement dit, après une hausse de 60%, il faut une baisse de37,5%pour revenir à la valeur initiale.
I Exercices : 33p259, 84,85,87,89,(88,86)p265 F Approfondissement : 90,91p266