SBPMef–Congr`es2018 ThomasB Mathipulations

Mathipulations

Thomas BRIHAYE Service de Math ´ematiques Effectives

D ´epartement de Math ´ematique

SBPMef – Congr `es 2018

Pour commencer, prouvons que 0 = 1 !

−20 = −20

16 − 36 = 25 − 45

4

− 4 · 9 = 5

− 5 · 9

Pour commencer, prouvons que 0 = 1 !

4

− 4 · 9 = 5

− 5 · 9

4

− 4 · 9 + 81

4 = 5

− 5 · 9 + 81 4

4

− 2 · 4 · 9 2 +

9

2

= 5

− 2 · 5 · 9 2 +

9

2

Pour commencer, prouvons que 0 = 1 !

4

− 2 · 4 · 9 2 +

9

2

= 5

− 2 · 5 · 9 2 +

9

2

4 − 9 2

=

5 − 9 2

4 − 9

2 = 5 − 9

2

Pour commencer, prouvons que 0 = 1 !

4 − 9

2 = 5 − 9 2 4 = 5

0 = 1

O `u est la manipulation ?

−20 = −20

16−36 = 25−45 4²−4·9 = 5²−5·9 4²−4·9+81

4 = 5²−5·9+81 4 4²−2·4·9

2+

9

2 2

= 5²−2·5·9 2+

9

2 2

4−9

2 2

=

5−9 2

2

4−9

2 = 5−9

2

4 = 5

0 = 1

O `u est la manipulation ?

−20 = −20

16−36 = 25−45 4²−4·9 = 5²−5·9 4²−4·9+81

4 = 5²−5·9+81 4 4²−2·4·9

2+

9

2 2

= 5²−2·5·9 2+

9

2 2

4−9

2 2

=

5−9 2

2

4−9

2 = 5−9 2

4 = 5

0 = 1

O `u est la manipulation ? (suite)

Th ´eor `eme

Quel que soit x ∈ R ,

√

x

= |x |.

4 − 9

2

=

5 − 9 2

− 1 2

=

1

2

1

2 = 1

2

5 − 9 2

=

5 − 9 2

O `u est la manipulation ? (suite)

Th ´eor `eme

Quel que soit x ∈ R ,

√

x

= |x |.

4 − 9

2

=

5 − 9 2

− 1 2

=

1

2

1

2 = 1

2

5 − 9 2

=

5 − 9 2

Dans les journaux, `a la t ´el ´evision, sur internet,...

Les math ´ematiques sont partout!!!

Elles sont utilis ´ees pour prendre des d ´ecisions importantes sur base d’affirmations ´erig ´ees en v ´erit ´e...

.. en politique, en ´economie, en m ´edecine, en psychologie,...

Comment ces affirmations sont-elles obtenues ?

Exemples d’affirmations

Le cannabis diminue les performances sexuelles.

Facebook a un effet n ´efaste sur le bien- ˆetre.

Gagner au lotto ne rend pas heureux.

Consommer des fruits et l ´egumes diminue le risque de cancer.

Les vaches sont responsables du changement climatique.

Que signifie prouver ou r ´efuter

de telles affirmations ?

Exemple d’une preuve math ´ematique

Th ´eor `eme

Tous les multiples de quatre sont pairs.

Preuve:

Soitn∈Zun multiple de quatre.

On a donc quen=4·k, o `uk ∈Z.

On peut donc ´ecriren=2·(2·k), o `uk∈Z. Doncn=2·m, avecm=2·k∈Z.

On peut conclure quenest pair.

CQFD

Prouver une affirmation dans le monde math ´ematique

Formulation math ´ematique de l’affirmationA

Suite logique de d ´eductions bas ´ees sur les hypoth `eses des axiomes, des th ´eor `emes,...

Oui Non

Erreur dans un argument

Reformulation de l’affirmation

Prouver une affirmation dans le monde math ´ematique

Formulation math ´ematique de l’affirmationA

Suite logique de d ´eductions bas ´ees sur les hypoth `eses des axiomes, des th ´eor `emes,...

Oui Non

Erreur dans un argument

Reformulation de l’affirmation

Prouver une affirmation dans le monde math ´ematique

Formulation math ´ematique de l’affirmationA

Suite logique de d ´eductions bas ´ees sur les hypoth `eses des axiomes, des th ´eor `emes,...

Oui Non

Erreur dans un argument

Reformulation de l’affirmation

Prouver une affirmation dans le monde math ´ematique

Formulation math ´ematique de l’affirmationA

Suite logique de d ´eductions bas ´ees sur les hypoth `eses des axiomes, des th ´eor `emes,...

Oui Non

Erreur dans un argument

Reformulation de l’affirmation

Dans le monde r ´eel, c’est plus compliqu ´e...

Un exemple d’affirmation du monde r ´eel

Facebook a un effet n ´efaste sur le bien- ˆetre. (Le Figaro 19/08/2013)

Il est impossible de fournirune preuve math ´ematique. Extraits de l’article:

Les r ´esultats montrent que plus les sujets utilisent Facebook, plus leur sentiment subjectif de bien- ˆetre se d ´egrade.

[...] il faut rester prudent quant aux conclusions: l’humeur ou le bien- ˆetre d’un individu ne peuvent pas d ´ependre d’un seul param `etre.

Mais souvent, l’information diffus ´ee et retenue se r ´esumera `a:

“Facebook a un effet n ´efaste sur le bien- ˆetre.”

Dans le monde r ´eel, c’est plus compliqu ´e...

Un exemple d’affirmation du monde r ´eel

Facebook a un effet n ´efaste sur le bien- ˆetre. (Le Figaro 19/08/2013)

Il est impossible de fournirune preuve math ´ematique.

Extraits de l’article:

Les r ´esultats montrent que plus les sujets utilisent Facebook, plus leur sentiment subjectif de bien- ˆetre se d ´egrade.

[...] il faut rester prudent quant aux conclusions: l’humeur ou le bien- ˆetre d’un individu ne peuvent pas d ´ependre d’un seul param `etre.

Mais souvent, l’information diffus ´ee et retenue se r ´esumera `a:

“Facebook a un effet n ´efaste sur le bien- ˆetre.”

Dans le monde r ´eel, c’est plus compliqu ´e...

Un exemple d’affirmation du monde r ´eel

Facebook a un effet n ´efaste sur le bien- ˆetre. (Le Figaro 19/08/2013)

Il est impossible de fournirune preuve math ´ematique.

Extraits de l’article:

Les r ´esultats montrent que plus les sujets utilisent Facebook, plus leur sentiment subjectif de bien- ˆetre se d ´egrade.

[...] il faut rester prudent quant aux conclusions: l’humeur ou le bien- ˆetre d’un individu ne peuvent pas d ´ependre d’un seul param `etre.

Mais souvent, l’information diffus ´ee et retenue se r ´esumera `a:

“Facebook a un effet n ´efaste sur le bien- ˆetre.”

Prouver une affirmation dans le monde r ´eel

Elaboration d’une exp ´erience (ou d’une enqu ˆete)´ qui permet de testerA

Collecte des donn ´ees

Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees

Probable

Pas exclu

Improbable Hautement

probable

Hautement improbable Impossible Certain

Exp ´erience non concluante

Manque de donn ´ees

Prouver une affirmation dans le monde r ´eel

Elaboration d’une exp ´erience (ou d’une enqu ˆete)´ qui permet de testerA

Collecte des donn ´ees

Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees

Probable

Pas exclu

Improbable Hautement

probable

Hautement improbable Impossible Certain

Exp ´erience non concluante

Manque de donn ´ees

Prouver une affirmation dans le monde r ´eel

Elaboration d’une exp ´erience (ou d’une enqu ˆete)´ qui permet de testerA

Collecte des donn ´ees

Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees

Probable

Pas exclu

Improbable Hautement

probable

Hautement improbable Impossible Certain

Exp ´erience non concluante

Manque de donn ´ees

Prouver une affirmation dans le monde r ´eel

Elaboration d’une exp ´erience (ou d’une enqu ˆete)´ qui permet de testerA

Collecte des donn ´ees

Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees

Probable

Pas exclu

Improbable Hautement

probable

Hautement improbable Impossible Certain

Exp ´erience non concluante

Manque de donn ´ees

Prouver une affirmation dans le monde r ´eel

Elaboration d’une exp ´erience (ou d’une enqu ˆete)´ qui permet de testerA

Collecte des donn ´ees

Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees

Probable

Pas exclu

Improbable Hautement

probable

Hautement improbable Impossible Certain

Exp ´erience non concluante

Manque de donn ´ees

Buts de l’expos ´e: prendre conscience que:

prouver une affirmation est une t ˆache vraiment difficile, les math sont parfois (souvent?) utilis ´ees abusivement pour

“prouver” certaines affirmations,

les math nous aident `a aiguiser notre esprit critique!

Elaboration d’une exp ´erience (ou d’une enqu ˆete)´ qui permet de testerA

Collecte des donn ´ees

Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees Exp ´erience

non concluante

Manque de donn ´ees

Probable

Pas exclu

Improbable Hautement

probable

Hautement improbable Impossible Certain

Plan de l’expos ´e

1 Quelques consid ´erations importantes mais non math ´ematiques

2 Collecte des donn ´ees et repr ´esentation

3 Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees

4 Pr ´edire l’avenir

5 Conclusion

Plan de l’expos ´e

1 Quelques consid ´erations importantes mais non math ´ematiques

2 Collecte des donn ´ees et repr ´esentation

3 Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees

4 Pr ´edire l’avenir

5 Conclusion

L’art de poser les questions...

Version 1

Quel est votre pr ´esident am ´ericain pr ´ef ´er ´e ?

Version 2

Choisissez votre pr ´esident am ´ericain pr ´ef ´er ´e:

Georges W. Bush Barack Obama Donald Trump

Version 3

1 Etes-vous raciste ?ˆ

2 Choisissez votre pr ´esident am ´ericain pr ´ef ´er ´e:

Georges W. Bush Barack Obama Donald Trump

L’art de poser les questions...

Version 1

Quel est votre pr ´esident am ´ericain pr ´ef ´er ´e ?

Version 2

Choisissez votre pr ´esident am ´ericain pr ´ef ´er ´e:

Georges W. Bush Barack Obama Donald Trump

Version 3

1 Etes-vous raciste ?ˆ

2 Choisissez votre pr ´esident am ´ericain pr ´ef ´er ´e:

Georges W. Bush Barack Obama Donald Trump

L’art de poser les questions...

Version 1

Quel est votre pr ´esident am ´ericain pr ´ef ´er ´e ?

Version 2

Choisissez votre pr ´esident am ´ericain pr ´ef ´er ´e:

Georges W. Bush Barack Obama Donald Trump

Version 3

1 Etes-vous raciste ?ˆ

2 Choisissez votre pr ´esident am ´ericain pr ´ef ´er ´e:

Georges W. Bush Barack Obama Donald Trump

Choix de l’ ´echantillon

On imagine qu’on veut prouver l’efficacit ´e d’une nouvelle boisson

´energ ´etique: SuperPower. Pour cela, on organise un 100 m `etres.

le groupe 1 recevra duSuperPower, le groupe 2 recevra de l’eau.

On mesurera les performances des deux groupes lors de la course.

le groupe 1 sera constitu ´e d’une seule personne: Usain Bolt, le groupe 2 sera constitu ´e d’anciens sportifs ˆag ´es de 60 `a 90 ans.

Sans oublier que...

les scientifiques, et les personnes interrog ´ees peuvent mentir, Non Mr l’agent, je n’ai pas trop bu...

les scientifiques peuvent se tromper,

1917 1904

les r ´esultats peuvent influencer l’avenir de ceux qui les publient, Monsanto affirme: Le glyphosate ne pr ´esente aucun danger.

Elaboration d’une exp ´erience (ou d’une enqu ˆete)´ qui permet de testerA

Collecte des donn ´ees

Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees Exp ´erience

non concluante

Manque de donn ´ees

Probable

Pas exclu

Improbable Hautement

probable

Hautement improbable Impossible Certain

Plan de l’expos ´e

1 Quelques consid ´erations importantes mais non math ´ematiques

2 Collecte des donn ´ees et repr ´esentation Savoir compter

R ´esumer les donn ´ees

3 Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees

4 Pr ´edire l’avenir

5 Conclusion

Combien de vaches se trouvent sur la photo ?

3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 4 ?

Combien de vaches se trouvent sur la photo ?

3 ?

2 ? 1 ? 0 ? 4 ?

Combien de vaches se trouvent sur la photo ?

3 ? 2 ?

1 ? 0 ? 4 ?

Combien de vaches se trouvent sur la photo ?

3 ? 2 ? 1 ?

0 ? 4 ?

Combien de vaches se trouvent sur la photo ?

3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 4 ?

Compter ou mesurer

Ch ˆomage. Qui rentre dans la cat ´egorie “travailleur” ? Une personne qui travaille `a temps partiel 2h/semaine ? Un jobiste qui travaille un mois sur l’ann ´ee ?

Une jeune maman en CDI en cong ´e de maternit ´e pour 3 mois ?

D ´elinquance. Que mesurent les chiffres sur la d ´elinquance ? Le nombre de PV? de plaintes pour vol? d’agressions?

Intelligence, bonheur... Que mesure-t-on vraiment? QI? QE? Qualit ´e de vie? Niveau de bonheur?

Pour comprendre, il faut des r ´eponses pr ´ecises `a toutes ces questions!

Compter ou mesurer

Ch ˆomage. Qui rentre dans la cat ´egorie “travailleur” ? Une personne qui travaille `a temps partiel 2h/semaine ? Un jobiste qui travaille un mois sur l’ann ´ee ?

Une jeune maman en CDI en cong ´e de maternit ´e pour 3 mois ? D ´elinquance. Que mesurent les chiffres sur la d ´elinquance ? Le nombre de PV? de plaintes pour vol? d’agressions?

Intelligence, bonheur... Que mesure-t-on vraiment? QI? QE? Qualit ´e de vie? Niveau de bonheur?

Pour comprendre, il faut des r ´eponses pr ´ecises `a toutes ces questions!

Compter ou mesurer

Ch ˆomage. Qui rentre dans la cat ´egorie “travailleur” ? Une personne qui travaille `a temps partiel 2h/semaine ? Un jobiste qui travaille un mois sur l’ann ´ee ?

Une jeune maman en CDI en cong ´e de maternit ´e pour 3 mois ? D ´elinquance. Que mesurent les chiffres sur la d ´elinquance ? Le nombre de PV? de plaintes pour vol? d’agressions?

Intelligence, bonheur... Que mesure-t-on vraiment?

QI? QE? Qualit ´e de vie? Niveau de bonheur?

Pour comprendre, il faut des r ´eponses pr ´ecises `a toutes ces questions!

Plan de l’expos ´e

1 Quelques consid ´erations importantes mais non math ´ematiques

2 Collecte des donn ´ees et repr ´esentation

Savoir compter R ´esumer les donn ´ees

3 Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees

4 Pr ´edire l’avenir

5 Conclusion

R ´esumer les donn ´ees en un seul nombre

Les donn ´ees brutes peuvent comporter des millions de chiffres...

...pas facilement exploitables sous cette forme (par un humain).

Masse de donn ´ees quelques nombres “significatifs”.

Nouvelles techniques r ´evolutionnaires d’apprentissage

On forme 4 groupes de 5 individus. Chaque groupe suit une m ´ethode.

On fait ensuite passer le m ˆeme test aux 4 groupes.

R ´esultats en %:

M.T. 45 45 45 45 45

M.1 10 10 10 100 100

M.2 0 0 55 60 65

M.3 0 50 50 50 50

Quelle est la meilleure m ´ethode ?

Nouvelles techniques r ´evolutionnaires d’apprentissage

On forme 4 groupes de 5 individus. Chaque groupe suit une m ´ethode.

On fait ensuite passer le m ˆeme test aux 4 groupes.

Moy. Med. Mod. R. Var.

M.T. 45 45 45 45 45

45 45 45 0 0

M.1 10 10 10 100 100

46 10 10 2 1944

M.2 0 0 55 60 65

36 55 0 3 874

M.3 0 50 50 50 50

40 50 50 4 400

Nouvelles techniques r ´evolutionnaires d’apprentissage

On forme 4 groupes de 5 individus. Chaque groupe suit une m ´ethode.

On fait ensuite passer le m ˆeme test aux 4 groupes.

Moy.

Med. Mod. R. Var.

M.T. 45 45 45 45 45 45

45 45 0 0

M.1 10 10 10 100 100 46

10 10 2 1944

M.2 0 0 55 60 65 36

55 0 3 874

M.3 0 50 50 50 50 40

50 50 4 400

La m ´ethode 1 est la meilleure m ´ethode en moyenne!

La moyenne (arithm ´etique) dennombresx1,x2, . . .xn

¯x = x₁+x₂+· · ·+xn

n .

Nouvelles techniques r ´evolutionnaires d’apprentissage

On forme 4 groupes de 5 individus. Chaque groupe suit une m ´ethode.

On fait ensuite passer le m ˆeme test aux 4 groupes.

Moy. Med.

Mod. R. Var.

M.T. 45 45 45 45 45 45 45

45 0 0

M.1 10 10 10 100 100 46 10

10 2 1944

M.2 0 0 55 60 65 36 55

0 3 874

M.3 0 50 50 50 50 40 50

50 4 400

La m ´ethode 2 offre la meilleure performance m ´ediane!

La m ´ediane de 2n+1 nombres class ´esx1≤x2 ≤. . .≤x2n+1

x₁≤x₂≤ · · · ≤xn≤x_n+1≤x_n+2≤ · · ·x_2n+1.

Nouvelles techniques r ´evolutionnaires d’apprentissage

On forme 4 groupes de 5 individus. Chaque groupe suit une m ´ethode.

On fait ensuite passer le m ˆeme test aux 4 groupes.

Moy. Med. Mod. R.

Var.

M.T. 45 45 45 45 45 45 45 45 0

0

M.1 10 10 10 100 100 46 10 10 2

1944

M.2 0 0 55 60 65 36 55 0 3

874

M.3 0 50 50 50 50 40 50 50 4

400

La m ´ethode 3 est la plus performante par rapport au mode et au nombre de r ´eussites!

Le mode dennombresx₁,x₂, . . .xn

Le mode est la valeur pr ´esente le plus souvent dans l’ ´echantillon.

Nouvelles techniques r ´evolutionnaires d’apprentissage

On forme 4 groupes de 5 individus. Chaque groupe suit une m ´ethode.

On fait ensuite passer le m ˆeme test aux 4 groupes.

Moy. Med. Mod. R. Var.

M.T. 45 45 45 45 45 45 45 45 0 0

M.1 10 10 10 100 100 46 10 10 2 1944

M.2 0 0 55 60 65 36 55 0 3 874

M.3 0 50 50 50 50 40 50 50 4 400

La m ´ethode traditionnelle est la plus stable!

La variance de nnombresx₁,x₂, . . .xn

σ² = (x1−x¯)²+ (x2−x¯)²+· · ·+ (xn−x¯)²

n .

Nouvelles techniques r ´evolutionnaires d’apprentissage

On forme 4 groupes de 5 individus. Chaque groupe suit une m ´ethode.

On fait ensuite passer le m ˆeme test aux 4 groupes.

Moy. Med. Mod. R. Var.

M.T. 45 45 45 45 45 45 45 45 0 0

M.1 10 10 10 100 100 46 10 10 2 1944

M.2 0 0 55 60 65 36 55 0 3 874

M.3 0 50 50 50 50 40 50 50 4 400

Quelle est vraiment la meilleure m ´ethode ???

Quelques mises en garde sur les moyennes

R ´esumer en une seule donn ´ee a-t-il toujours un sens ?

Esp ´erance de vie. On consid `ere une maladie fictive: laMatharia. L’esp ´erance de vie (la moyenne) de laMathariaest de 2 ans. Marc a ´et ´e diagnostiqu ´e positif `a cette maladie il y a bient ˆot 2 ans,

risque-t-il de mourir dans les jours `a venir ?

Mort dans les 24h du diagnostic 80 Mort 10 ans apr `es le diagnostic 20 Donn ´ees fictives concernant laMatharia.

Quelques mises en garde sur les moyennes

R ´esumer en une seule donn ´ee a-t-il toujours un sens ?

Esp ´erance de vie. On consid `ere une maladie fictive: laMatharia.

L’esp ´erance de vie (la moyenne) de laMathariaest de 2 ans.

Marc a ´et ´e diagnostiqu ´e positif `a cette maladie il y a bient ˆot 2 ans, risque-t-il de mourir dans les jours `a venir ?

Mort dans les 24h du diagnostic 80 Mort 10 ans apr `es le diagnostic 20 Donn ´ees fictives concernant laMatharia.

Quelques mises en garde sur les moyennes

R ´esumer en une seule donn ´ee a-t-il toujours un sens ?

Esp ´erance de vie. On consid `ere une maladie fictive: laMatharia.

L’esp ´erance de vie (la moyenne) de laMathariaest de 2 ans.

Marc a ´et ´e diagnostiqu ´e positif `a cette maladie il y a bient ˆot 2 ans, risque-t-il de mourir dans les jours `a venir ?

Mort dans les 24h du diagnostic 80 Mort 10 ans apr `es le diagnostic 20 Donn ´ees fictives concernant laMatharia.

Elaboration d’une exp ´erience (ou d’une enqu ˆete)´ qui permet de testerA

Collecte des donn ´ees

Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees Exp ´erience

non concluante

Manque de donn ´ees

Probable

Pas exclu

Improbable Hautement

probable

Hautement improbable Impossible Certain

Plan de l’expos ´e

1 Quelques consid ´erations importantes mais non math ´ematiques

2 Collecte des donn ´ees et repr ´esentation

3 Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees Probabilit ´es et statistiques

Docteur, faut-il op ´erer?

Une erreur judiciaire?

4 Pr ´edire l’avenir

5 Conclusion

Probabilit ´es et statistiques (deux branches des math)

Probabilit ´es

Etude des ph ´enom `enes caract ´eris ´es par´ le hasard.^a

aHasard: Circonstance de caract `ere impr ´evu ou impr ´evisible. [Larousse]

Exemple d’application des probabilit ´es

Calcul de la probabilit ´e d’obtenir 5 piles et 5 faces, si on lance 10 fois une pi `ece de monnaie ´equilibr ´ee.

Statistiques

Analyser, repr ´esenter, traiter et interpr ´eter unensemble de donn ´ees. Exemple d’application des statistiques

Calcul de la probabilit ´e qu’une pi `ece soit ´equilibr ´ee, apr `es avoir observ ´e le r ´esultat de 100 lancers.

Probabilit ´es et statistiques (deux branches des math)

Probabilit ´es

Etude des ph ´enom `enes caract ´eris ´es par´ le hasard.^a

aHasard: Circonstance de caract `ere impr ´evu ou impr ´evisible. [Larousse]

Exemple d’application des probabilit ´es

Calcul de la probabilit ´e d’obtenir 5 piles et 5 faces, si on lance 10 fois une pi `ece de monnaie ´equilibr ´ee.

Statistiques

Analyser, repr ´esenter, traiter et interpr ´eter unensemble de donn ´ees.

Exemple d’application des statistiques

Calcul de la probabilit ´e qu’une pi `ece soit ´equilibr ´ee, apr `es avoir observ ´e le r ´esultat de 100 lancers.

Un peu de vocabulaire probabiliste

Exemple d’exp ´erience al ´eatoire

On lanceune foisun d ´eparfaitement ´equilibr ´e.

Univers d’une exp ´erience al ´eatoire

L’univers, not ´eΩ, est l’ensemble de toutes les issues possibles.

Dans le cas du lancer de d ´e, on a queΩ ={1,2,3,4,5,6}.

Ev ´enement´

Un ´ev ´enementest un ensemble d’issues possibles, i.e. E⊆Ω. E_p={pairs}={2,4,6} , P(E_p) =1

2 (Ω ={1,2,3,4,5,6}).

Un peu de vocabulaire probabiliste

Exemple d’exp ´erience al ´eatoire

On lanceune foisun d ´eparfaitement ´equilibr ´e.

Univers d’une exp ´erience al ´eatoire

L’univers, not ´eΩ, est l’ensemble de toutes les issues possibles.

Dans le cas du lancer de d ´e, on a queΩ ={1,2,3,4,5,6}.

Ev ´enement´

Un ´ev ´enementest un ensemble d’issues possibles, i.e. E⊆Ω.

E_p={pairs}={2,4,6} , P(E_p) =1

2 (Ω ={1,2,3,4,5,6}).

Plan de l’expos ´e

1 Quelques consid ´erations importantes mais non math ´ematiques

2 Collecte des donn ´ees et repr ´esentation

3 Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees

Probabilit ´es et statistiques Docteur, faut-il op ´erer?

Une erreur judiciaire?

4 Pr ´edire l’avenir

5 Conclusion

Une exp ´erience historique en psychologie

Probl `eme pos ´e `a des m ´edecins

Une maladie touche dans la population une personne sur mille.

Cette maladie, si non trait ´ee, est toujours mortelle.

Il existe une op ´eration risqu ´ee. Cette op ´eration sauve la moiti ´e des personnes op ´er ´ees, mais tue l’autre moiti ´e.

Cette maladie peut ˆetre d ´etect ´ee `a l’aide d’un test fiable `a 90%.

Conseillez-vous l’op ´eration `a un patient avec un r ´esultat positif ?

La plupart des m ´edecins r ´epondent qu’ils conseillent l’op ´eration... ... ce qui peut sembler raisonnable vu que le test est fiable (90%).

Une exp ´erience historique en psychologie

Probl `eme pos ´e `a des m ´edecins

Une maladie touche dans la population une personne sur mille.

Cette maladie, si non trait ´ee, est toujours mortelle.

Il existe une op ´eration risqu ´ee. Cette op ´eration sauve la moiti ´e des personnes op ´er ´ees, mais tue l’autre moiti ´e.

Cette maladie peut ˆetre d ´etect ´ee `a l’aide d’un test fiable `a 90%.

Conseillez-vous l’op ´eration `a un patient avec un r ´esultat positif ?

La plupart des m ´edecins r ´epondent qu’ils conseillent l’op ´eration...

... ce qui peut sembler raisonnable vu que le test est fiable (90%).

Une exp ´erience historique en psychologie (suite)

Imaginons une population de 10 000 personnes.

pers. malades pers. saines total test positif

test n ´egatif total

9 990

10 000

La maladie touche une personne sur mille

et le test est fiable `a 90%.

Une exp ´erience historique en psychologie (suite)

Imaginons une population de 10 000 personnes.

pers. malades pers. saines total test positif

test n ´egatif

total 10 9 990 10 000

La maladie touche une personne sur mille

et le test est fiable `a 90%.

Une exp ´erience historique en psychologie (suite)

Imaginons une population de 10 000 personnes.

pers. malades pers. saines total

test positif 9 999 1 008

test n ´egatif 1 8 991 8 892

total 10 9 990 10 000

La maladie touche une personne sur mille et le test est fiable `a 90%.

Une exp ´erience historique en psychologie (suite)

Imaginons une population de 10 000 personnes.

pers. malades pers. saines total

test positif 9 999 1 008

test n ´egatif 1 8 991 8 892

total 10 9 990 10 000

La maladie touche une personne sur mille et le test est fiable `a 90%.

Sc ´enario 1: On op `ere toutes les personnes avec un test positif R ´esultat: 504 morts - On a op ´er ´e 999 personnes saines!!!

Une exp ´erience historique en psychologie (suite)

Imaginons une population de 10 000 personnes.

pers. malades pers. saines total

test positif 9 999 1 008

test n ´egatif 1 8 991 8 892

total 10 9 990 10 000

La maladie touche une personne sur mille et le test est fiable `a 90%.

Sc ´enario 1: On op `ere toutes les personnes avec un test positif R ´esultat: 504 morts - On a op ´er ´e 999 personnes saines!!!

Sc ´enario 2: On n’op `ere personne R ´esultat: 10 morts

Une exp ´erience historique en psychologie (suite)

Imaginons une population de 10 000 personnes.

pers. malades pers. saines total

test positif 9 999 1 008

test n ´egatif 1 8 991 8 892

total 10 9 990 10 000

La maladie touche une personne sur mille et le test est fiable `a 90%.

Pourquoi on se trompe ?

Une exp ´erience historique en psychologie (suite)

Imaginons une population de 10 000 personnes.

pers. malades pers. saines total

test positif 9 999 1 008

test n ´egatif 1 8 991 8 892

total 10 9 990 10 000

La maladie touche une personne sur mille et le test est fiable `a 90%.

Pourquoi on se trompe ?

Une explication possible: on ne remet pas `a ´echelle humaine!

A propos d’ ´echelle humaine

Quand un journal titre:

“Le nombre de demandeurs d’asile a doubl ´e cette ann ´ee!”

Il peut ˆetre pass ´e de 1 `a 2 ou de 100 `a 200. On n’en sait rien!

“Invasion de migrants!” On n’a aucune information! On a l’impression que le seul but de ces titres est de faire peur...

En Belgique: 35 276 demandes d’asile en 2015 ... pour 11 250 000 habitants.

1 migrant pour 318 personnes.

Dans une ´ecole avec 10 classes de 32 ´el `eves, en moyenne, on n’accueille un seul migrant.

A propos d’ ´echelle humaine

Quand un journal titre:

“Le nombre de demandeurs d’asile a doubl ´e cette ann ´ee!”

Il peut ˆetre pass ´e de 1 `a 2 ou de 100 `a 200. On n’en sait rien!

“Invasion de migrants!” On n’a aucune information!

On a l’impression que le seul but de ces titres est de faire peur...

En Belgique: 35 276 demandes d’asile en 2015 ... pour 11 250 000 habitants.

1 migrant pour 318 personnes.

Dans une ´ecole avec 10 classes de 32 ´el `eves, en moyenne, on n’accueille un seul migrant.

A propos d’ ´echelle humaine

Quand un journal titre:

“Le nombre de demandeurs d’asile a doubl ´e cette ann ´ee!”

Il peut ˆetre pass ´e de 1 `a 2 ou de 100 `a 200. On n’en sait rien!

“Invasion de migrants!” On n’a aucune information!

On a l’impression que le seul but de ces titres est de faire peur...

En Belgique: 35 276 demandes d’asile en 2015

... pour 11 250 000 habitants. 1 migrant pour 318 personnes.

Dans une ´ecole avec 10 classes de 32 ´el `eves, en moyenne, on n’accueille un seul migrant.

A propos d’ ´echelle humaine

Quand un journal titre:

“Le nombre de demandeurs d’asile a doubl ´e cette ann ´ee!”

Il peut ˆetre pass ´e de 1 `a 2 ou de 100 `a 200. On n’en sait rien!

“Invasion de migrants!” On n’a aucune information!

On a l’impression que le seul but de ces titres est de faire peur...

En Belgique: 35 276 demandes d’asile en 2015 ... pour 11 250 000 habitants.

1 migrant pour 318 personnes.

Dans une ´ecole avec 10 classes de 32 ´el `eves, en moyenne, on n’accueille un seul migrant.

A propos d’ ´echelle humaine

Quand un journal titre:

“Le nombre de demandeurs d’asile a doubl ´e cette ann ´ee!”

Il peut ˆetre pass ´e de 1 `a 2 ou de 100 `a 200. On n’en sait rien!

“Invasion de migrants!” On n’a aucune information!

On a l’impression que le seul but de ces titres est de faire peur...

En Belgique: 35 276 demandes d’asile en 2015 ... pour 11 250 000 habitants.

1 migrant pour 318 personnes.

Dans une ´ecole avec 10 classes de 32 ´el `eves, en moyenne, on n’accueille un seul migrant.

A propos d’ ´echelle humaine

Quand un journal titre:

“Le nombre de demandeurs d’asile a doubl ´e cette ann ´ee!”

Il peut ˆetre pass ´e de 1 `a 2 ou de 100 `a 200. On n’en sait rien!

“Invasion de migrants!” On n’a aucune information!

On a l’impression que le seul but de ces titres est de faire peur...

En Belgique: 35 276 demandes d’asile en 2015 ... pour 11 250 000 habitants.

1 migrant pour 318 personnes.

Dans une ´ecole avec 10 classes de 32 ´el `eves, en moyenne, on n’accueille un seul migrant.

Retour `a notre exp ´erience psychologique

Imaginons une population de 10 000 personnes.

pers. malades pers. saines total

test positif 9 999 1 008

test n ´egatif 1 8 991 8 892

total 10 9 990 10 000

La maladie touche une personne sur mille et le test est fiable `a 90%.

Pourquoi on se trompe ?

Une autre explication possible:

confusion entreP(A|B)etP(B|A).

Le concept de probabilit ´e conditionnelle

Probabilit ´e conditionnelle

Laprobabilit ´e de E sachant Fest not ´eeP(E|F)et d ´efinie par P(E|F) =P(E∩F)

P(F) .

Exemple: Le lancer d’un d ´e

E_p={2,4,6} Ω ={1,2,3,4,5,6} P(E_p) =¹₂.

E₆={6} Ω ={1,2,3,4,5,6} P(E₆) = ¹₆.

Ep∩E₆={6} E₆={6} P(Ep|E₆) =^1/6_1/6=1. E₆∩Ep={6} Ep={2,4,6} P(E₆|E_p) =^1/6_3/6= ¹₃.

Le concept de probabilit ´e conditionnelle

Probabilit ´e conditionnelle

Laprobabilit ´e de E sachant Fest not ´eeP(E|F)et d ´efinie par P(E|F) =P(E∩F)

P(F) .

Exemple: Le lancer d’un d ´e

E_p={2,4,6} Ω ={1,2,3,4,5,6} P(E_p) =¹₂. E₆={6} Ω ={1,2,3,4,5,6} P(E₆) =¹₆.

Ep∩E₆={6} E₆={6} P(Ep|E₆) =^1/6_1/6=1. E₆∩Ep={6} Ep={2,4,6} P(E₆|E_p) =^1/6_3/6= ¹₃.

Le concept de probabilit ´e conditionnelle

Probabilit ´e conditionnelle

Laprobabilit ´e de E sachant Fest not ´eeP(E|F)et d ´efinie par P(E|F) =P(E∩F)

P(F) .

Exemple: Le lancer d’un d ´e

E_p={2,4,6} Ω ={1,2,3,4,5,6} P(E_p) =¹₂. E₆={6} Ω ={1,2,3,4,5,6} P(E₆) =¹₆.

Ep∩E₆={6} E₆={6} P(Ep|E₆) =^1/6_1/6=1.

E₆∩Ep={6} Ep={2,4,6} P(E₆|E_p) =^1/6_3/6= ¹₃.

Le concept de probabilit ´e conditionnelle

Probabilit ´e conditionnelle

Laprobabilit ´e de E sachant Fest not ´eeP(E|F)et d ´efinie par P(E|F) =P(E∩F)

P(F) .

Exemple: Le lancer d’un d ´e

E_p={2,4,6} Ω ={1,2,3,4,5,6} P(E_p) =¹₂. E₆={6} Ω ={1,2,3,4,5,6} P(E₆) =¹₆.

Ep∩E₆={6} E₆={6} P(Ep|E₆) =^1/6_1/6=1.

E₆∩Ep={6} Ep={2,4,6} P(E₆|E_p) =^1/6_3/6= ¹₃.

Une exp ´erience historique en psychologie (suite et fin)

Imaginons une population de 10 000 personnes.

pers. malades pers. saines total

test positif 9 999 1 008

test n ´egatif 1 8 991 8 892

total 10 9 990 10 000

La maladie touche une personne sur mille et le test est fiable `a 90%.

Quand le m ´edecin se dit: le test est tr `es fiable!, il ´evalue P(test positif|pers. malade) = 9/10000

10/10000 = 9 10

Mais on ignore si le patient est malade, il est plus important de savoir P(pers. malade|test positif) = 9/10000

1008/10000 = 9

1008 = 1 112!!!

Une exp ´erience historique en psychologie (suite et fin)

Imaginons une population de 10 000 personnes.

pers. malades pers. saines total

test positif 9 999 1 008

test n ´egatif 1 8 991 8 892

total 10 9 990 10 000

La maladie touche une personne sur mille et le test est fiable `a 90%.

Quand le m ´edecin se dit: le test est tr `es fiable!, il ´evalue P(test positif|pers. malade) = 9/10000

10/10000 = 9 10

Mais on ignore si le patient est malade, il est plus important de savoir P(pers. malade|test positif) = 9/10000

1008/10000= 9

1008= 1 112!!!

Plan de l’expos ´e

1 Quelques consid ´erations importantes mais non math ´ematiques

2 Collecte des donn ´ees et repr ´esentation

3 Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees

Probabilit ´es et statistiques Docteur, faut-il op ´erer?

Une erreur judiciaire?

4 Pr ´edire l’avenir

5 Conclusion

Le cas tragique de Sally Clark

Les faits

En 1996, le premier fils de S. Clark d ´ec `ede ˆag ´e de 11 semaines.

En 1998, le second fils de S. Clark d ´ec `ede ˆag ´e de 8 semaines.

S. Clark est accus ´ee du double meurtre

Le raisonnement de Roy Meadow (Expert p ´ediatre) La probabilit ´e d’un d ´ec `es naturel est de 1/8543.

La probabilit ´e de deux d ´ec `es naturels est de 1/(8543)²≈1/73000000! Ce qui semble quasiment impossible.

Pensez-vous que S. Clark est coupable ?

S. Clark fut jug ´ee coupable du double meurtre en 1999.

Le cas tragique de Sally Clark

Les faits

En 1996, le premier fils de S. Clark d ´ec `ede ˆag ´e de 11 semaines.

En 1998, le second fils de S. Clark d ´ec `ede ˆag ´e de 8 semaines.

S. Clark est accus ´ee du double meurtre

Le raisonnement de Roy Meadow (Expert p ´ediatre) La probabilit ´e d’un d ´ec `es naturel est de 1/8543.

La probabilit ´e de deux d ´ec `es naturels est de 1/(8543)²≈1/73000000!

Ce qui semble quasiment impossible.

Pensez-vous que S. Clark est coupable ?

S. Clark fut jug ´ee coupable du double meurtre en 1999.

Le cas tragique de Sally Clark

Les faits

En 1996, le premier fils de S. Clark d ´ec `ede ˆag ´e de 11 semaines.

En 1998, le second fils de S. Clark d ´ec `ede ˆag ´e de 8 semaines.

S. Clark est accus ´ee du double meurtre

Le raisonnement de Roy Meadow (Expert p ´ediatre) La probabilit ´e d’un d ´ec `es naturel est de 1/8543.

La probabilit ´e de deux d ´ec `es naturels est de 1/(8543)²≈1/73000000!

Ce qui semble quasiment impossible.

Pensez-vous que S. Clark est coupable ?

S. Clark fut jug ´ee coupable du double meurtre en 1999.

Le cas tragique de Sally Clark

Les faits

En 1996, le premier fils de S. Clark d ´ec `ede ˆag ´e de 11 semaines.

En 1998, le second fils de S. Clark d ´ec `ede ˆag ´e de 8 semaines.

S. Clark est accus ´ee du double meurtre

Le raisonnement de Roy Meadow (Expert p ´ediatre) La probabilit ´e d’un d ´ec `es naturel est de 1/8543.

La probabilit ´e de deux d ´ec `es naturels est de 1/(8543)²≈1/73000000!

Ce qui semble quasiment impossible.

Pensez-vous que S. Clark est coupable ?

S. Clark fut jug ´ee coupable du double meurtre en 1999.

Une premi `ere erreur

Le raisonnement de Roy Meadow (Expert p ´ediatre) La probabilit ´e d’un d ´ec `es naturel est de 1/8543.

La probabilit ´e de deux d ´ec `es naturels est de

1/(8543)²≈1/73000000! FAUX!

Le concept de probabilit ´e conditionnelle (rappel)

Probabilit ´e conditionnelle

Laprobabilit ´e de E sachant Fest not ´eeP(E|F)et d ´efinie par P(E|F) =P(E∩F)

P(F) .

Exemple: Le lancer d’un d ´e

E_p={2,4,6} Ω ={1,2,3,4,5,6} P(E_p) =¹₂. E₆={6} Ω ={1,2,3,4,5,6} P(E₆) =¹₆.

Ep∩E₆={6} E₆={6} P(Ep|E₆) =^1/6_1/6=1.

E₆∩Ep={6} Ep={2,4,6} P(E₆|E_p) =^1/6_3/6= ¹₃.

Le concept d’ind ´ependance

Ev ´enements ind ´ependants´

Deux ´ev ´enementsE,F ⊆Ωsontind ´ependantss’ils n’ont aucune influence l’un sur l’autre. Dans ce cas, on a que

P(E|F) =P(E) (etP(F|E) =P(F)).

Exemple: Retour au lancer d’un d ´e

E_petE₆nesontpasind ´ependants: P(E_p) =1

26=1=P(E_p|E₆). Th ´eor `eme

P(E∩F) =P(E)·P(F)si et seulement siE etF sont ind ´ependants. P(Ep∩E₆) =P({6}) =1

6 6= P(Ep)·P(E₆) =1 2·1

6= 1 12.

Le concept d’ind ´ependance

Ev ´enements ind ´ependants´

Deux ´ev ´enementsE,F ⊆Ωsontind ´ependantss’ils n’ont aucune influence l’un sur l’autre. Dans ce cas, on a que

P(E|F) =P(E) (etP(F|E) =P(F)).

Exemple: Retour au lancer d’un d ´e

E_petE₆nesontpasind ´ependants: P(E_p) =1

26=1=P(E_p|E₆).

Th ´eor `eme

P(E∩F) =P(E)·P(F)si et seulement siE etF sont ind ´ependants. P(Ep∩E₆) =P({6}) =1

6 6= P(Ep)·P(E₆) =1 2·1

6= 1 12.

Le concept d’ind ´ependance

Ev ´enements ind ´ependants´

Deux ´ev ´enementsE,F ⊆Ωsontind ´ependantss’ils n’ont aucune influence l’un sur l’autre. Dans ce cas, on a que

P(E|F) =P(E) (etP(F|E) =P(F)).

Exemple: Retour au lancer d’un d ´e

E_petE₆nesontpasind ´ependants: P(E_p) =1

26=1=P(E_p|E₆).

Th ´eor `eme

P(E∩F) =P(E)·P(F)si et seulement siE etF sont ind ´ependants.

P(Ep∩E₆) =P({6}) =1

6 6= P(Ep)·P(E₆) =1 2·1

6= 1 12.

Retour au cas tragique de S. Clark

Les deux d ´ec `es ne sontpas des ´ev ´enements ind ´ependants!!!

Le raisonnement de Roy Meadow (Expert p ´ediatre) La probabilit ´e d’un d ´ec `es naturel est de 1/8543.

La probabilit ´e de deux d ´ec `es naturels est de

1/(8543)²≈1/73000000! FAUX!

Le Professeur Ray Hill prouvera qu’une double mort naturelle est en fait neuf fois plus probable qu’un double homicide.

Ce qui conduira `a la lib ´eration de S. Clark en 2003.

Une seconde erreur

Question

Supposons que la probabilit ´e de deux d ´ec `es naturels soit vraiment de 1/73.000.000,

est-ce que cela prouve que S. Clark est coupable du double meurtre ?

Non, il y a des millions de naissances tous les ans (139 en 2014).

La probabilit ´e de gagner `a l’Euro Millionsest de l’ordre de 1/140.000.000.

Pourtant, les gagnants ne sont pas accus ´es de fraude. Pourquoi ? Des millions de gens jouent `a l’Euro Millions(54 le 07/10/2016).

Une seconde erreur

Question

Supposons que la probabilit ´e de deux d ´ec `es naturels soit vraiment de 1/73.000.000,

est-ce que cela prouve que S. Clark est coupable du double meurtre ?

Non, il y a des millions de naissances tous les ans (139 en 2014).

La probabilit ´e de gagner `a l’Euro Millionsest de l’ordre de 1/140.000.000.

Pourtant, les gagnants ne sont pas accus ´es de fraude. Pourquoi ?

Des millions de gens jouent `a l’Euro Millions(54 le 07/10/2016).

Une seconde erreur

Question

Supposons que la probabilit ´e de deux d ´ec `es naturels soit vraiment de 1/73.000.000,

est-ce que cela prouve que S. Clark est coupable du double meurtre ?

Non, il y a des millions de naissances tous les ans (139 en 2014).

La probabilit ´e de gagner `a l’Euro Millionsest de l’ordre de 1/140.000.000.

Pourtant, les gagnants ne sont pas accus ´es de fraude. Pourquoi ? Des millions de gens jouent `a l’Euro Millions(54 le 07/10/2016).

Une seconde erreur

Question

Supposons que la probabilit ´e de deux d ´ec `es naturels soit vraiment de 1/73.000.000,

est-ce que cela prouve que S. Clark est coupable du double meurtre ? Non, il y a des millions de naissances tous les ans (139 en 2014).

La probabilit ´e de gagner `a l’Euro Millionsest de l’ordre de 1/140.000.000.

Pourtant, les gagnants ne sont pas accus ´es de fraude. Pourquoi ? Des millions de gens jouent `a l’Euro Millions(54 le 07/10/2016).

Les choses improbables arrivent... souvent

D ´efinition de impossible (dictionnaire Larousse)

Impossible: Qui ne peut exister, qui esthautement improbable.

confusion des deux concepts dans le langage courant.

Dans le langage math ´ematique, on distingue les deux concepts: Un ´ev ´enementimpossiblen’arrive jamais (probabilit ´e nulle). Trouver un nombre impair divisible par deux est impossible. Un ´ev ´enementimprobablea une “tr `es petite” probabilit ´e d’arriver. Gagner au lotto est hautement improbable, mais pas impossible. Etre frapp ´e par la foudre est improbable, mais pas impossible.ˆ

Les choses improbables arrivent... souvent

D ´efinition de impossible (dictionnaire Larousse)

Impossible: Qui ne peut exister, qui esthautement improbable.

confusion des deux concepts dans le langage courant.

Dans le langage math ´ematique, on distingue les deux concepts:

Un ´ev ´enementimpossiblen’arrive jamais (probabilit ´e nulle).

Trouver un nombre impair divisible par deux est impossible.

Un ´ev ´enementimprobablea une “tr `es petite” probabilit ´e d’arriver.

Gagner au lotto est hautement improbable, mais pas impossible.

Etre frapp ´e par la foudre est improbable, mais pas impossible.ˆ

Plan de l’expos ´e

1 Quelques consid ´erations importantes mais non math ´ematiques

2 Collecte des donn ´ees et repr ´esentation

3 Interpr ´etation des donn ´ees collect ´ees

4 Pr ´edire l’avenir

Pr ´edire l’ob ´esit ´e d’une population Pr ´edire la criminalit ´e

5 Conclusion

Tous les Am ´ericains seront ob `eses

en 2102

Genre Or. ethnique 80%d’ob `eses 100%d’ob `eses

Tous Toutes 2072 2102

Homme Toutes 2077 2107

Femme Toutes 2058 2084

· · · ·

Homme Afro-am ´ericain 2079 2110

Homme Latino-am ´ericain 2091 2126

Will All Americans Become Overweight or Obese? Estimating the Progression and Cost of the US Obesity Epidemic, Youfa Wang et al, Journal of obesity, 2008.[papier cit ´e plus de 1100 fois]

Comment ces chiffres ont-il ´et ´e obtenus ?

Tous les Am ´ericains seront ob `eses

en 2102

Genre Or. ethnique 80%d’ob `eses 100%d’ob `eses

Tous Toutes 2072 2102

Homme Toutes 2077 2107

Femme Toutes 2058 2084

· · · ·

Homme Afro-am ´ericain 2079 2110

Homme Latino-am ´ericain 2091 2126

Will All Americans Become Overweight or Obese? Estimating the Progression and Cost of the US Obesity Epidemic, Youfa Wang et al, Journal of obesity, 2008.[papier cit ´e plus de 1100 fois]

Comment ces chiffres ont-il ´et ´e obtenus ?

Tous les Am ´ericains seront ob `eses en 2102!

Boris Rasin

Tous les Am ´ericains seront ob `eses en 2102: la preuve

Observ ´e

1970 1990 2010 2030 2050 2070 2090 2110

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Tout genre et or. ethn.

Interpol ´e

2102

Tous les am ´ericains seront ob `eses en 2102

Homme Latino-am.

2126

Tous les hommes Latino-am. seront ob `eses en 2126

86%

O `u sont les 14%d’hommes latinos non-ob `eses en 2102 ?

Tous les Am ´ericains seront ob `eses en 2102: la preuve

Observ ´e

1970 1990 2010 2030 2050 2070 2090 2110

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Tout genre et or. ethn.

Interpol ´e

2102

Tous les am ´ericains seront ob `eses en 2102

Homme Latino-am.

2126

Tous les hommes Latino-am. seront ob `eses en 2126

86%

O `u sont les 14%d’hommes latinos non-ob `eses en 2102 ?

Tous les Am ´ericains seront ob `eses en 2102: la preuve

Observ ´e

1970 1990 2010 2030 2050 2070 2090 2110

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Tout genre et or. ethn.

Interpol ´e

2102

Tous les am ´ericains seront ob `eses en 2102

Homme Latino-am.

2126

Tous les hommes Latino-am. seront ob `eses en 2126

86%

O `u sont les 14%d’hommes latinos non-ob `eses en 2102 ?

Tous les Am ´ericains seront ob `eses en 2102: la preuve

Observ ´e

1970 1990 2010 2030 2050 2070 2090 2110

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Tout genre et or. ethn.

Interpol ´e

2102

Tous les am ´ericains seront ob `eses en 2102

Homme Latino-am.

2126

Tous les hommes Latino-am. seront ob `eses en 2126

86%

O `u sont les 14%d’hommes latinos non-ob `eses en 2102 ?

Tous les Am ´ericains seront ob `eses en 2102: la preuve

Observ ´e

1970 1990 2010 2030 2050 2070 2090 2110

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Tout genre et or. ethn.

Interpol ´e

2102

Tous les am ´ericains seront ob `eses en 2102

Homme Latino-am.

2126

Tous les hommes Latino-am. seront ob `eses en 2126

86%

O `u sont les 14%d’hommes latinos non-ob `eses en 2102 ?

Tous les Am ´ericains seront ob `eses en 2102: la preuve

Observ ´e

1970 1990 2010 2030 2050 2070 2090 2110

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Tout genre et or. ethn.

Interpol ´e

2102

Tous les am ´ericains seront ob `eses en 2102

Homme Latino-am.

2126

Tous les hommes Latino-am.

seront ob `eses en 2126

86%

O `u sont les 14%d’hommes latinos non-ob `eses en 2102 ?

Tous les Am ´ericains seront ob `eses en 2102: la preuve

Observ ´e

1970 1990 2010 2030 2050 2070 2090 2110

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Tout genre et or. ethn.

Interpol ´e

2102

Tous les am ´ericains seront ob `eses en 2102

Homme Latino-am.

2126

Tous les hommes Latino-am.

seront ob `eses en 2126

86%

O `u sont les 14%d’hommes latinos non-ob `eses en 2102 ?

Lancer d’une balle

Observ ´e

temps hauteur

Interpol ´e

Trajectoire r ´eelle

Tous les ph ´enom `enes ne sont pas lin ´eaires! Toutes les courbes ne sont pas des droites... ... m ˆeme si elles y ressemblent quand on regarde de pr `es.

Lancer d’une balle

Observ ´e

temps hauteur

Interpol ´e

Trajectoire r ´eelle

Tous les ph ´enom `enes ne sont pas lin ´eaires! Toutes les courbes ne sont pas des droites... ... m ˆeme si elles y ressemblent quand on regarde de pr `es.

Lancer d’une balle

Observ ´e

temps hauteur

Interpol ´e

Trajectoire r ´eelle

Avec cette m ´ethode, la balle ne toucherait plus jamais le sol...

Tous les ph ´enom `enes ne sont pas lin ´eaires! Toutes les courbes ne sont pas des droites... ... m ˆeme si elles y ressemblent quand on regarde de pr `es.