Lemme de Morse
CamilleFranciniet LauraGayd’apr`es MaylisVarvenne et CarolineRobet
R´ef´erence :Rouvi`ere: Petit guide de calcul diff´erentiel p. 354 (exercice 114) et p. 210 (exercice 66) Lemme (R´eduction des formes quadratiques, version diff´erentiable)
SoitA0∈GLn(R)∩Sn(R) alors il existe un voisinageV deA0dansSn(R) etρ∈ C1(V, GLn(R)) tels que :
∀A∈V, A=tρ(A)A0ρ(A)
(i.e. toute forme quadratique suffisamment voisine d’une forme quadratique non d´eg´en´er´ee lui est ´equivalente i.e. se ram`ene `a celle-ci par changement de base)
Preuve :
Id´ee : appliquer le th´eor`eme d’inversion locale.
Etape 1 :
Soitϕ: Mn(R) −→ Sn(R)
M 7−→ tM A0M est polynomiale doncC1. On munitMn(R) d’une norme matriciellek·k.
SoitH ∈ Mn(R),
ϕ(In+H)−ϕ(In) =t(In+H)A0(In+H)−A0
=A0+A0H+tHA0+tHA0H−A0
=tHA0+A0H+o(kHk)
OrA0 sym´etrique donctHA0=t(A0H). De plus,H7→t(A0H) +A0H est lin´eaire. D’o`u Dϕ(In)(H) =t(A0H) +A0H
D’o`u H ∈ Ker(Dϕ(In)) ⇔ A0H ∈ An(R) (i.e. le noyau est form´e des matrices H telles que A0H soit anti- sym´etrique).
Dϕ(In) n’est donc pas bijective1(probl`eme sur l’injectivit´e), on ne peut pas appliquer le TIL. Id´ee : la restreindre..
Etape 2 :
On pose F ={H ∈ Mn(R) | A0H ∈Sn(R)}. On a ´egalement vu que Ker(Dϕ(In)) ={H ∈ Mn(R) |A0H ∈ An(R)}.
AlorsF ∼=Sn(R) parH→A˜ 0
−1H. Et Ker(Dϕ(In))∼=An(R) par le mˆeme isomorphisme (cf note?). Donc : Mn(R) =Sn(R)⊕An(R) =F⊕Ker(Dϕ(In))
Soitχ:F →Sn(R) la restriction deϕ`aF. D´ej`a,In∈F.
Dχ(In) est bijective. En effet, par l’´egalit´e des dimensions l’injectivit´e suffit :
Ker(Dχ(In)) = Ker(Dϕ(In))∩F={0} (par la somme directe)
Par le th´eor`eme d’inversion locale, il existe un voisinage ouvertU deIndansF (que l’on peut supposer contenu dans l’ouvert des matrices inversibles, car det est continue donc on peut trouver un ouvertU0 deInde matrices de d´eterminant non nul donc inversibles, on peut alors prendreU∩U0) tel queχsoit un diff´eomorphisme de classeC1 de U surV =χ(U).
Ainsi,V est un voisinage ouvert deA0 =χ(In) dansSn(R) et∀A∈V,A=tχ−1(A)A0χ−1(A) d’o`u le r´esultat
avecρ=χ−1
1. On peut exhiber la surjectivit´e car pourA∈Sn(R), Dϕ(In) A−10 A 2
!
=1
2(tA+A) =A
1
Th´eor`eme (Lemme de Morse `a n variables - ≈1934) Soitf :U →R, de classeC3surU ouvert de Rn tel que 0∈U.
On suppose que Df(0) = 0, que D2f(0) est non d´eg´en´er´ee (donc inversible car c’est une matrice)et que sign(D2f(0)) = (p, n−p).
Alors il existeϕunC1-diff´eomorphisme entre deux voisinages de 0 dansRn tel que :
? ϕ(0) = 0
? f(x)−f(0) =u21+· · ·+u2p−u2p+1· · · −u2n o`u u=ϕ(x) Preuve :
On ´ecrit la formule de Taylor `a l’ordre 1 avec reste int´egral au voisinage de 0.
f(x)−f(0) = Df(0)(x) + Z 1
0
(1−t) D2f(tx) (x, x)dt
=tx
Z 1
0
(1−t) D2f(tx) dt
| {z }
x
= tx Q(x) x
Qest de classeC1. De plus,Q(0)∈GLn(R)∩Sn(R) carQ(0) =D2f(0)
2 .
On peut donc appliquer leLemme:
Il existeV un voisinage deQ(0) dansRnetρ∈ C1(V, GLn(R)) tel que
∀A∈V,A=tρ(A)Q(0)ρ(A) De plus commeQ: Rn −→Sn(R)
x 7−→Q(x) est continue, il existe un voisinageV0 de 0 dansRntel queV0⊂Q−1(V).
Ainsi,∀x∈V0,Q(x)∈V, donc
Q(x) =tρ(Q(x))Q(0)ρ(Q(x)) On poseM(x) =ρ(Q(x)) et on obtient
Q(x) =tM(x)Q(0)M(x)
D’autre part, d’apr`es le th´eor`eme d’inertie de Sylvester appliqu´ee `aQ(0) qui est aussi de signature (p, n−p),∃A∈GLn(R) telle que
Q(0) =tA
Ip 0 0 −In−p
A Finalement
f(x)−f(0) =txtM(x)tA
Ip 0 0 −In−p
AM(x)x En posantϕ(x) =AM(x)x, on a
f(x)−f(0) =tϕ(x)
Ip 0 0 −In−p
ϕ(x) Et donc avecu=ϕ(x), on a bien
? ϕ(0) = 0
? f(x)−f(0) =u21+· · ·+u2p−u2p+1· · · −u2no`uu=ϕ(x)
Il reste `a montrer queϕd´efinit unC1-diff´eomorphisme entre deux voisinages de 0.ϕestC1carM l’est.
Calculons la diff´erentielle `a l’origine deϕ:
ϕ(h)−ϕ(0) =A−1M(h)h
=A−1(M(0) + DM(0).h+o(khk))h
carM est diff´erentiable en 0 puisqueρ◦Ql’est
=A−1M(0)h+o(khk) CommeA−1M(0)∈GLn(R), Dϕ(0) est inversible.
D’apr`es la th´eor`eme d’inversion locale appliqu´e `aϕ, il existe deux voisinages de 0 (en fait de 0 et deϕ(0) = 0) tels que
ϕsoit unC1-diff´eomorphisme entre ces deux voisinages.
Notes :
♣ Marston Morse (1892-1977) (`a ne pas confondre avec Anthony Morse, math´ematicien ´egalement) est un math´ematicien am´ericain, connu surtout pour ses travaux sur le calcul des variations global, un sujet o`u il a introduit la technique de topologie diff´erentielle appel´ee depuis th´eorie de Morse.
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